Una nueva teoría electromagnetica I. Propiedades del electrón en reposo: masa, carga, spin y estabilidad.

Transcripción

1 Una nueva teoía electomagnetica I. Popiedades del electón en eposo: masa, caga, spin y estabilidad. Manuel Henández Rosales. 18 de Junio de 215 Abstact En este atículo a pati de nuevas ecuaciones paa el campo electomagnético se deducen las popiedades del básicas del electón en eposo: Estabilidad, caga, masa y spin. Las ecuaciones de campo que se poponen son genealizaciones de las ecuaciones de Maxwell eliminando en ellas las vaiables densidad de caga y velocidad, siendo ellas consecuencia de las ecuaciones de campo. No suponemos una densidad de caga ni de coiente paa obtene los campos sino que a pati de estas ecuaciones, en las que solo apaecen el vecto escala y potencial del campo electomagnético se deducen las conguaciones de densidad de caga y de coiente pemisibles en el mundo físico. En este atículo mostamos que se pueden deduci la caga, masa y spin del electón a pati de las ecuaciones. 1 Oigen y planteamiento del modelo paa leptones. La ecuación de Maxwell: ϕ = 4πρ (1) tiene un punto insatisfactoio desde el punto de vista de la teoía de campos y es que paa calcula el campo potencial escala electomagnético tenemos que da de inicio una distibución de caga en el espacio y de este modo no nos popociona un modelo de las distibuciones de caga que debieamos de espea en el mundo físico. En este escito expeimentaemos con un modelo de potencial que no depende de que demos una fuente de caga de inicio sino que asumimos que el potencial obedece una ecuación difeencial pacial en la que solo apaece el potencial. La ecuación que poponemos es la siguiente: ϕ = 1 ϕ ϕ (2) ϕ 1

2 en donde poponemos que la densidad de caga en el espacio está dada po: ρ = ϕ (3) 4π (Hemos cambiado la convención del signo de ϕ) La caga total de una distibución de potencial paa un leptón vendia dada po: e = 1 [ 1 ϕ ϕ]d (4) 4π ϕ Una solución a la ecuación (2) está dada po (vease el apendice I): donde elegimos δ >. La ecuación (3) da entonces: ϕ = σexp( δ ) (5) e = σ exp( 2 δ 4 ) exp( δ ) 2 d = σ exp( δ ) 2 d = σδ[exp( δ )] = σδ (6) Si consideamos ahoa la expesión paa la densidad de enegía del campo eléctico: u el = 1 8π E2 = 1 ϕ ϕ (7) 8π Y consideamos que la enegía electica total de un electón en eposo es un múltiplo de su enegia elativista en eposo, esto es ηmc 2 e integamos sobe todo el volumen: ηmc 2 = u el d (8) tendemos: ηmc 2 = σ2 2 4 exp( 2δ )2 d = σ exp( 2δ )d = σ2 δ 4 (9) Peo ya que σ = e δ tendemos y po ende: ηmc 2 = e2 4δ (1) δ = e2 4ηmc 2 = α 4ηmc en téminos de la constante de estuctua na α (11) 2

3 2 Poque este modelo de potencial es más satisfactoio desde el punto de vista de teoía de campos. Con este modelo podemos apecia que es posible constui estuctuas estables de distibución de caga sin hace efeencia a una distibución de caga inicial paa genea el potencial escala electomagnético. Y la misma caga ( e po ejemplo) puede da luga a distintas masas con distintas distibuciones de la densidad de caga y misma caga total. Especialmente notable es que no tenemos que supone de entada un adio especico paa cota la distibución de caga sino que esta está simplemente mas concentada en una egión. La distibución de caga y de masa (enegía) en este modelo se extiende sobe todo el espacio siendo más concentada en una egión. La masa es simplemente la concentación de enegía del campo. De esta foma podemos considea a las patículas simplemente como concentaciones del campo en egiones deteminadas. Igualmente con este modelo no se poducen campos elécticos con singulaidades pues: E( ) = δσ 2 exp( δ )ˆ = e 2 exp( δ )ˆ (12) el cual a distancias gandes >>> δ E( ) e 2 ˆ coincide con el valo clásico que asignamos a el campo eléctico del electón. y a distancias cotas E( ) Especialmente notable es la expesión paa δ en (11) pues dá una estimación de que las concentaciones de campo empiezan a se impotantes paa la longitud de Compton y que hay una elación intima ente la estuctua de las patículas subatómicas y la constante de Planck. 3 Una nueva ecuación paa el potencial vectoial De las dos ecuaciones de Maxwell paa el potencial escala y vectoial: ϕ = 4πρ A = 4π c ρ v (13) modicaemos la pimea de tal foma que no contenga la densidad de caga como una funcion dada, sino que popondemos en la segunda pate de este escito una ecuación difeencial 3

4 ϕ = 1 ϕ [ ϕ ϕ 1 c 2 ( t ϕ)2 ] (14) de la cual obtenemos una solucion paa ϕ y de la cual calculamos la densidad de caga como ρ = ϕ 4π Esta consideación entonces tansfoma la segunda ecuación de 14 a: A = 1 c ϕ v (15) (Cambiando el 4π po 8π como hicimos anteiomente) En las ecuaciones de Maxwell (13) si ϕ es solución de la pimea evidentemente A = v c ϕ es solución de la segunda, azón po la cual paa desapaece de la ecuación (15) la velocidad y de este modo deja las ecuaciones de campo en téminos solo de los potenciales la modicaemos a: que evidentemente tiene solución tivial como: A = 1 ϕ ϕ A (16) A = v c ϕ (17) peo que geneá una solución adicional cuando v =, es deci cuando la patícula no está en movimiento. En ese caso la ecuación (16) es: Ya que σexp( δ ) = σ 1 2 A = 1 ϕ ϕ A (18) (2 exp( δ )) = σδ 1 2 (exp( δ δ2 )) = σ 4 exp( δ ) (19) cuya solución es (vease Apéndice 2): A = δ2 4 A (2) µ A = 3 exp( δ2 4 2 ) (21) de lo cual tenemos el sopendente esultado de que de acuedo a la modicación popuesta de las ecuaciones de Gauss y de Oested además de tene potenciales escalaes y distibuciones de caga estables también tenemos un campo magnético asociado a ellos. Y tenemos que el campo magnético: µ µ B = ( )exp( ) + δ2 µ 2 ( 5 µ δ2 7 )exp( 4 2 ) (22) 4

5 a gandes distancias tiene una foma muy paecida al campo magnético clásico B cl = µ + 3 µ 3 5 B Bcl + δ2 µ 2 ( 5 µ δ2 7 )exp( 4 2 ) peo con la impotante popiedad de que el campo magnético no tienen singulaidades pues cuando : B y po tanto podemos calcula la enegía asociada al campo magnético del electón sin tene que usa una longitud de cote: u mag d = 1 B 2 d = 1 2 B 2 d (23) 8π 2 lo cual después de laboiosos cálculos da: u mag d = [2 µ2 6 2 µ µ 2 δ 4 δ2 ]exp( )d = (24) 1 42 = µ 2 [ δ 4 δ2 ]exp( )d = µ [ δ 4 u δ 4 u δ 4 u 8 ]exp( 1 u 2 )du = 8 µ2 δ 3 [ 1 u u u 8 ]exp( 1 π )du = 8µ2 u2 δ 3 [ 4 π µ 2 π] = 8 π 4 δ 3 Si aceptamos como valo expeimental apoximado que µ en el caso del electón es el valo del magneton de Boh µ B = e y tenemos en cuenta que δ = α η4mc = α 2ηe µ B entonces la enegía magnética del electón seá: E mag = 8 π µ2 B δ 3 = 8 π (2ηe)3 α 3 µ B (25) y puesto que sabíamos po (1) que la enegía total asociada al campo electico es: E el = ηm e c 2 tendemos que si consideamos que toda la enegia del electón tiene oigen electomagnético: m e c 2 = ηm e c π (2ηe)3 α 3 µ B (26) 5

6 Dividiendo ente m e c 2 : Si escibimos η = aα tendemos: 1 = η π 1 α 2 η3 (27) 1 = aα + a πα (28) tendemos apoximadamente: 1 = a a3 ( 128 π 137 ) (29) de lo cual a.84 η.84α y la enegía eléctica es mucho meno que la enegía magnética que puede se vista como el espin. Obsevese que 4 Conclusiones. δ = α 4aαmc πmc = h Con la modicación a las ecuaciones de Gauss y de Oested se puede obtene un modelo paa el electón en el cual podemos a pati de las ecuaciones de campo da una justicación de poque la distibución de caga es estable y podemos con el valo adecuado de a en la foma del potencial solución: ϕ = e 4amc exp( 4amc pedeci los valoes de la caga del electón, su masa y el espin cuyos valoes todos dependen de a. Muy sugeente es que el valo de 4a = π con lo cual el valo de δ = πmc = h. alo que es pobable puesto que según el cálculo de Lamb de el momento magnético del electón diee de el valo del magneton de Boh. Y entonces: ϕ = e h exp( ) Sopendente que la enegía magnética sea muy supeio a la eléctica. ) 6

7 Apendice 1. (5) es solución de (2) Si σexp( δ ) 1 2 El laplaciano aplicado en coodenadas esféicas dá: (2 ϕ) = σ 1 2 (2 δ 2 exp( δ )) = σδ 1 2 mientas que del oto lado de la ecuación tenemos: (exp( δ σδ2 )) = 4 exp( ) ( ϕ)2 ϕ = σ ( exp( δ ))2 exp( δ ) = σδ2 4 exp( δ ) Apendice 2. (21) es solución de (2) Usando la identidad vectoial: A = A A Si ahoa poponemos tendemos: µ A = 3 exp( δ2 4 2 ) µ A = ( µ )exp( ) + δ2 A 2 4 A = exp( δ2 4 2 ) δ2 2 4 ( µ 3 +3 µ 5 ) 2 4 A + A ( 2 4 ) = = δ2 δ2 exp( )( µ ) + A δ2 2 2 (1 ) = δ2 4 (1 A ) A = δ2 A 4 7