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1 Uiversidad Católica de Valparaíso EXAMEN de Mat 6 Istituto de Matemáticas Miércoles de julio, Tiee de miutos para hacer cosultas y 9 para resolver la prueba. los celulares Apague Trabaje ordeadamete y justi que todas sus respuestas. Debe cotestar 6 putos. La preguta es obligatoria.. ( putos c/u Resuelva los siguietes ejercicios: (a Determie #A si #B = ; #P (A [ B = 6 y A \ B = f; g X cos (k + + cos (k (b k= k (c arcta = arcta ( + (d Determie el vértice de la parábola que tiee por directriz a la recta y = y su foco coicide co el vértice superior de la elipse 9 + y + =. ( putos Determie el valor de N de modo que los coe cietes costates, de grado y de grado e el desarrollo del poliomio p ( = ( ; forme ua P.G. (. ( putos Dados los cojutos: A = fz C : kz ik = g ; B = z C : z z + z z = kzk ; gra que ambos cojutos y determie todos los valores complejos z tales que z (A \ B. ( putos Descompoga al máimo e fraccioes parciales e C [] la + + fracció poliomial: +. ( putos c/u Determie si so verdaderas o falsas cada ua de las siguietes a rmacioes. Si so verdaderas, pruébelas y si so falsas, de u cotraejemplo: (a Si A (b cos B = A \ B A = + arcta = p 8

2 (c Si el águlo que forma los vectores complejos z y w es ; etoces z w + z w = (d Si p ( C [] tal que p ( + i = etoces p ( i tambié es raíz de Hasta la victoria, siempre!! Eresto, "CHE" Guevara "Difícil mimisió es, pero imposible o:" Maestro Yoda : "Al i ito y más allá" Buz Light Year "Todos los que se efreta a situacioes dí ciles piesa e reuciar pero o tiee opció, lo que si puede hacer es decidir que hacer co el tiempo que les ha dado:" Gadalf

3 Desarrollo. ( putos c/u Resuelva los siguietes ejercicios: (a Determie #A si #B = ; #P (A [ B = 6 y A \ B = f; g Sabemos que # (A [ B = #A + #B # (A \ B y que #P (X = (b #X ; por lo que: #P (A [ B = 6 = 6 # (A [ B = 6: Luego, #A = # (A [ B #B + # (A \ B = 6 + = X cos k= (c arcta + (k + + cos (k k = = arcta ( = = X si (k + + k=! k + si (k si ( + si ( + si ( + si ( Restriccioes: + 6= 6= ^ + R+ : Ahora arcta + = arcta ( ta arcta + ta arcta + = + ta arcta Como R + S = + = + = ( + = = p _ = p o p =

4 (d Determie el vértice de la parábola que tiee por directriz a la recta y = y su foco coicide co el vértice superior de la elipse 9 + y + = ( La ecuació pricipal de la elipse es + y 9 = ; por lo que el vértice superior de la elipse es V = (; : De este modo, el vértice de la elipse correspode a V = (;. ( putos Determie el valor de N de modo que los coe cietes costates, de grado y de grado e el desarrollo del poliomio p ( = ( ; forme ua P.G. Teemos que el poliomio tiee la forma siguiete: p ( = ( = X ( + 6 k k = ( ::: + k= por lo que los coef. costates, de grado y de grado so respectivamete, 6 y 6: Si estos valores está e P:G: etoces teemos que 6 6 = 6 = (. ( putos Dados los cojutos: A = fz C : kz ik = g ; B = z C : z z + z z = kzk ; gra que ambos cojutos y determie todos los valores complejos z tales que z (A \ B o Aquí se puede ver que A = fz C : kz ik = g = + iy C : + (y = cuya grá ca es y ( ( Por otro lado, B = z C : z z + z z = kzk = z C : z + z = zz kzk = + yi C : y = = + yi C : y = co grá ca y

5 Fialmete para ecotrar A\B hay que resolver el sistema. + (y = y = de dode = p ^ y = _ = p ^ y = : Por lo que A \ B = p p + i; + i. ( putos Descompoga al máimo e fraccioes parciales e C [] la + + fracció poliomial: + Dividiedo se tiee que + + = + + : Factorizado el deomiador, e C [] teemos que + = ( + i ( i : De este + modo + = A + B + i + C i = A + +B i +C + i Evaluado se llega a que: = A = = i C = = i B = Por lo que = + + i i. ( putos c/u Determie si so verdaderas o falsas cada ua de las siguietes a rmacioes. Si so verdaderas, pruébelas y si so falsas, de u cotraejemplo: (a Si A B = A \ B A = Verdadero. Supogamos que A: Si perder lageeralidad, supogamos que B (A \ B (A B A ^ B c = B! = A (b cos + arcta = p 8

6 VERDADERO. Teemos que cos + arcta = cos arcta cos = p cos arcta = p = p = p sec arcta ssec arcta sta arcta = p + = p p 9 r = p p p 9 9 si arcta si si arcta + s cos arcta C A v u t C sec arcta A v u t C A +! 9 v u t C ta arcta + A = p 8 (c Si el águlo que forma los vectores complejos z y w es ; etoces z w + z w = Verdadero. Si el águlo que forma los vectores complejos z y w es ; etoces sea z = rcis ( y w = scis + ; etoces z w + z w = rcis ( scis + rcis ( scis + = (r s cis + cis = (r s ( i + i = (r s = 6

7 (d Si p ( C [] tal que p ( + i = etoces i tambié es raíz de p ( Falso. Esto sería verdadero si p ( R [] : Como cotraejemplo basta tomar el poliomio p ( = i 7

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