TEMA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 CONCEPTO DE LÍMITE: Límite de un función en un punto: TEMA : LÍMITES Y CONTINUIDAD El símbolo ( y se lee tiende hci ) y signific que elegimos vlores muy próimos l vlor, (tn próimos como quermos). Es decir, vlores de, l derech o l izquierd de que se cercn rbitrrimente l punto. Consideremos hor un función y f(), si l hcer, los correspondientes vlores de f() resultn que se vn posicionndo cd vez más cerc de un número rel, que representremos por l letr L, entonces decimos que l función tiene límite ( L) cundo. Y se epres simbólicmente como: f( ) L Ahor bien, elegir vlores próimos podemos hcerlo de dos mners diferentes, desde l derech o desde l izquierd, surgen dos nuevos conceptos, los límites lterles, y que un punto nos podemos cercr por dos ldos, el derecho y el izquierdo. De est form denotremos por: * f(), l límite lterl derecho, es decir, nos vmos cercndo tomndo vlores myores que. * f(), l límite lterl izquierdo, es decir, nos vmos cercndo tomndo vlores menores que. En tl cso diremos que l función tiene límite si tnto el derecho como el izquierdo condicen: f() f() L f() L En l práctic se utilizrá el siguiente enuncido equivlente: Si f() f() f(). Significdo gráfico: Con todos estos resultdos y definiciones, l función y f() puede comportrse como sigue, cundo, y. /6

2 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 /6 En los csos, y 7 diremos que l rect es un síntot verticl b f() f() f() b c f() f() f() b f() f() f() f() f() f() 4 f() f() f() 5 f() f() f() 6 f() f() f() 7

3 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 Límites en el infinito OBSERVACIÓN: Se indic por cundo queremos decir que tommos vlores de tn grndes como quermos, es decir, puntos de l rect rel que se lejn hci l derech sin tope. Cundo l situción es hci l izquierd del eje rel se escribe medinte. Si l hcer, los vlores de f() de un función tienden l número rel L, se dice que l función tiene límite L, pr ; y lo escribimos medinte símbolos en l form: f( ) L. Significdo grfico L L f() L En este cso se dice que l rect y L es un síntot horizontl de l función y f(). 4 f() f() 5 f() no eiste /6

4 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 Cundo, l función puede comportrse sí: L L f() L En este cso diremos que l rect y L es un síntot horizontl de l función y f(). 4 f() f() 5 f() no eiste CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES CONOCIDA SU EXPRESIÓN ALGEBRAICA Si Como norml generl, se sustituye el vlor de por el de en l epresión lgebric correspondiente. Por ejemplo, pr determinr el ite cundo tiende de l función y 5. Se procede de l siguiente mner: ; y por tnto, el vlor del ite es. 4/6

5 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 Ahor bien, eso no siempre es lo ms indicdo y que nos podemos presentr con lgun de ests situciones: * Cso : l función es trozos y el punto es de l fronter. En este cso debemos siempre clculr los ites lterles pr verigur si los trozos de l función pegn bien Ejemplo: f() > f() Tnto l derech como l izquierd del cero, el límite vle lo mismo, por lo que l función tiene límite y vle, Es decir: f() En el cso de que hubiern ddo diferente, l función no tendrí ite en el punto nlizdo * Cso : Después de sustituir nos d un epresión indetermind: k Algun de ells y se estudió en el curso psdo, vmos recordr ls diferentes técnics: K INDETERMINACIÓN DEL TIPO K Si l clculr el límite de un función obtenemos un indeterminción de este tipo, tendremos que clculr los límites lterles. Siempre nos sldrá o bien o bien, es por lo que solmente nos interes el signo del resultdo. Pr ello tomremos vlores suficientemente próimos l de tendenci de l, lo sustituimos en l función y nos fijremos sólo en el signo. Así sbremos si el resultdo del límite es ó. Ejemplos: ) X K 5/6

6 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 Ahor tommos un vlor próimo ½ por l derech, por ejemplo.5 y sustituimos en l función tiende hci. (.5) Es decir por l derech el límite.5. X Repetimos el proceso pero hor con un vlor próimos por l izquierd tiende hci. (.49) Es decir por l izquierd el límite.49.. X En resumen, los límites lterles son diferentes y en consecuenci, no eiste el límite de l función pr tendiendo l vlor ½. b) 4 4 En csos sencillos como este no es necesrio sustituir ningún vlor concreto, sólo drnos cuent de que el numerdor siempre es positivo, independientemente de que nos cerquemos l por l derech o por l izquierd y lo mismo sucede con el denomindor, siempre es positivo. Es decir, los límites lterles son en mbos csos, y consecuentemente, 4 INDETERMINACIÓN DEL TIPO Si l clculr el límite de un función f() obtenemos un indeterminción de este tipo, pr resolverl tendremos que distinguir dos csos: ) Si l función f() es un función rcionl (frcción lgebric), entonces l tendenci del límite es un ríz común mbos polinomios, con lo cul se v poder simplificr: Al clculr el límite, es decir, l sustituir por el vlor de tendenci:. Entonces tnto el numerdor como el denomindor son divisibles entre (-) y podremos simplificr. Utilizremos l regl de Ruffini o culquier otro método pr fctorizr los polinomios. Aquí por ejemplo, el numerdor lo hremos medinte l regl de Ruffini y pr el denomindor, nos dmos cuent de que es un iguldd notble: 6/6

7 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 - Entonces ( ) ( ). El límite quedrá pues de l siguiente form: ( ) ( ) ( ) ( ) b) Si se trt de un función con ríces cudrds en el numerdor o en el denomindor: Al sustituir l por el vlor tendremos:. Entonces multiplicremos tnto el numerdor como el denomindor por el conjugdo, en este cso del denomindor ( ) ( ) ( ) ( ) Puesto que en el denomindor tenemos un iguldd notble. Pr continur el ejercicio hy que simplificr, fijémonos en el denomindor, hy un que sum y otro que rest y después de hcerlo tendremos un en el numerdor que se podrá simplificr con l del denomindor y lo que qued es: ( ) 6 INDETERMINACIÓN DEL TIPO Si cmbimos por se tiene lo siguiente. En relidd pr comprobr que es ectmente del tipo, tendrímos que hcer un nálisis por l derech y por l izquierd del vlor. En l práctic no se hce nunc pr poder ir más rápido y se sume que es de este tipo. Summos ls frcciones lgebrics y quedrí en l form: ( ) Al sustituir hor por, tenemos un indeterminción del tipo, que resolveremos descomponiendo en fctores y simplificndo los resultdos. ( ) ( ) 7/6

8 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5. INDETERMINACION DEL TIPO Como norm generl, est indeterminción se trnsform en sin ms que relizr ls operciones ( ). Si sustituimos el vlor de por, se obtiene: ( ) Pero si efectumos l multiplicción nos qued resolveremos descomponiendo el denomindor ( ) y hor es del tipo, que ( ) ( ) ( ) ( ) 4. INDETERMINACIONES DEL TIPO En generl, se usn los logritmos y ls derivds pr resolver este tipo de indeterminciones es por lo que se verán con ms detlle en el tem siguiente.. Si Result evidente que no puede sustituirse el vlor en l epresión lgebric puesto que no es un número en concreto, es por lo que tenemos que recurrir diferentes técnics relcionds con el tipo de función estudir: Potencis negtivo n : Dependerá de si n es pr o impr, demás si es infinito positivo o infinito n n sin es pr sin esimpr Polinomios: Pr vlores muy grndes (hci el infinito) o muy pequeños (hci en menos infinito) l potenci myor domin todos los demás sumndos. Así pues, pr esos vlores, el polinomio es csi igul que (el de myor grdo) n n Ejemplos: ( ) 8/6

9 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 5. INDETERMINACIÓN DEL TIPO Funciones rcionles: plicmos un rgumento nálogo l del prtdo nterior y que en mbos miembros tenemos polinomios: Ejemplos: , porque pr vlores muy grndes de, el 5 resultdo de l división será cd vez más pequeño Funciones irrcionles: unque no se puede hblr propimente de grdo, el procedimiento es bstnte similr l de los polinomios. Así, por ejemplo pr l función f(), el término de myor orden (llmmos orden lo que en los polinomios de llm grdo) será que simplificdo d. 6 6, 6 6 INDETERMINACIÓN DEL TIPO Funciones rcionles: Siempre se podrá efectur l rest de ls frcciones y sí l indeterminción se cmbirá otr de otro tipo En primer lugr, vmos comprobr que este límite es del tipo señldo. (En l práctic se hce directmente, unque hor vmos hcerlo quí todo por seprdo pr que se entiend mejor). Clculremos por seprdo los límites de cd sumndo: 9/6

10 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 En definitiv, el límite es del tipo. Pr resolver l indeterminción hremos l rest de frcciones, simplificremos y veremos qué se nos qued después. ( ) ( ) ( ) ( ) Funciones irrcionles: Si se trt de diferenci de funciones con ríces cudrds multiplicremos y dividiremos por l epresión conjugd de l función ( ). Y que el primer sumndo v l infinito y el segundo tmbién. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) TÉCNICA DE LA COMPARACIÓN DE INFINITOS. Est técnic es muy útil cundo eistn diferencis y cocientes de epresiones en ls que queden ls indeterminciones y. Propiedd: Si f() ± y g() ±, cundo f() se un infinito de orden superior g() se verific que: f() ±. g() g(). f() f() ± g() ( ) ( ± f() ) ± ( ± ) Comprción entre los órdenes de los infinitos de diverss funciones: * Dds dos potencis de, l de myor eponente es un infinito de orden superior. 4 4 Ejemplo : 5 5 Ejemplo : /6

11 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 7 5 Orden myor. * Dds dos funciones eponenciles de bse myor que, l de myor bse es un infinito de orden superior. Ejemplo :. 5 * Culquier función de bse myor que es un infinito de orden superior culquier potenci de bse. Ejemplo: 5 5 ( ) ( ) * Tnto ls funciones eponenciles de bse myor que como ls potencis de, son infinitos de orden superior culquier función logrítmic. Ejemplo : ln En resumen:.- Ls funciones de myor orden son l eponenciles, luego ls polinómics y por ultimo ls logrítmics..- Entre dos funciones eponenciles de bse myor que tiene myor orden l que teng myor bse.- Entre dos funciones polinómics tiene myor orden l que teng myor eponente 4.- Entre dos funciones logrítmics de bse myor que, tiene myor orden l que teng menor bse /6

12 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Definición Se dice que f() es continu en si se verificn ests condiciones: f() f(), f( ) y f( ) f() f() f() f(). NOTA: Cundo en ls condiciones nteriores prece el símbolo,, quiere decir que el vlor se finito. Por lo tnto un función dej de ser continu, es decir será discontinu, si no verific lgun de ls condiciones nteriores. De est form precen ls discontinuiddes. Ejemplo : Anliz l continuidd de < f () en.. f().. f() f() ( ) f(). Como f() f() f() es continu en. Clsificción de l discontinuidd (no continuidd) Cuáles son ls cuss pr que un función se discontinu en un punto, es decir no se continu en un punto? Que flle un de ls dos condiciones ntes citds: no eiste límite de l función en o eiste pero no coincide con f() Discontinuidd Evitble Cso b Cso c b f() f() f() f() f() f() /6

13 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 Discontinuidd de slto finito c b f() f() Discontinuidd de slto infinito Eiste este tipo de discontinuidd cundo lguno de los límites lterles es infinito. Vemos diferentes gráficos en los que están contempldos est discontinuidd. b /6

14 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 Discontinuidd de ª especie ó esencil Cundo l función no está definid por lgún ldo de un punto. b Al igul que eisten los ites lterles, se puede hblr de continuidd lterl, es decir, por l derech y por l izquierd. Así, en el dibujo nterior podemos decir que l función es continu por l derech en, discontinu de slto infinito por l izquierd en b y pr todos los vlores comprendidos entre b y l función es discontinu esencil Ejemplo: Estudi l continuidd de f() ln. f() e ln < en. ( ln) f() / f() f() e e Como f() f() es no es continu en. Eiste un discontinuidd de slto. Aunque, según los resultdos nteriores podemos decir que f() es continu por l derech de, y que f() f() y por l izquierd es discontinu de slto. Análisis de l continuidd de un función trozos Pr nlizr l continuidd de un función trozos debemos tener en cuent lo requerido en el enuncido, sí que: Si nos piden estudir l continuidd en un punto, sólo nos itremos estudir l continuidd en ese punto como hicimos en los ejemplos nteriores. Si nos piden nlizr l continuidd, sin decirnos donde, debemos nlizrl en su dominio. Si nos piden estudir l continuidd en un intervlo, primero l estudiremos en su dominio y luego comprobremos si el intervlo está incluido o no en el dominio. 4/6

15 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 Ejemplo : Estudi l continuidd de f() e e. > Hemos de hcer un estudio en todo el dominio de l función, en primer lugr entonces determinremos cul es el dominio. L función est compuest por dos trozos: En el primero es un función rcionl que seri no continu en quellos puntos que nulen el denomindor, es decir quellos vlore de tles que son solución de l ecución e. Ahor bien, pr resolverl si psmos el termino independiente l otro miembro nos qued que e, que es un ecución sin solución, con lo cul el dominio el todo el intervlo, del primer trozo, es decir [ ) En el segundo, es un polinomio cuyo dominio será entonces todo el intervlo de definición, es decir ( ) En resumen, l función tiene por dominio todos los números reles Pr nlizr l continuidd de un función trozos, hemos dicho que hy que tener en cuent dos tipos de puntos, en primer lugr, los que no pertenecen l dominio (en este cso no hy ninguno con est crcterístic) y por otro ldo los puntos fronter, en este cso Pr nlizr l continuidd tendremos que comprobr si coincide el ite con l función en dicho punto. Precismente l ser un punto fronter, tenemos que clculr los ites lterles e e e e f() ½ Diremos entonces que l función es discontinu en de tipo slto finito, y podemos concretr ms diciendo que es continu por l izquierd pero discontinu de slto finito por l derech. Ejemplo : Clcul y b pr que se continu l siguiente función: f() b 4 < < En primer lugr debemos loclizr cul es el dominio ectmente, como quier que cd uno de los trozos es un polinomio, y demás los puntos fronter tmbién están incluidos en l definición, podemos concluir que el dominio es todo el conjunto de números reles R. 5/6

16 MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 Entonces, donde único pudier ser discontinu l función será precismente en dichos puntos fronter. Si nlizmos en primer lugr, por ejemplo, l situción pr -, se tiene que: b b f( ) ( ) ( ) Pr que se continu, deberá ser que Del mismo modo, si nlizmos pr, se tiene que: b b Pr que se continu, tiene que ser b. f() De lo cul se deduce que luego -9. Y l función quedrí: b 9 f() 4 < < 6/6

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