Conjuntos y relaciones entre conjuntos

Transcripción

1 Conjuntos Conjuntos y relaciones entre conjuntos Conjuntos Un conjunto es una colección bien definida de objetos en la que el orden es irrelevante. Dichos objetos pueden ser reales o conceptuales y se llaman elementos o miembros del conjunto. Por su estructura, dentro de un conjunto no se admiten repeticiones (todos sus miembros deben ser distintos). Definición por extensión de un conjunto: Consiste en enumerar sus elementos entre llaves. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Definición por comprensión de un conjunto: Mediante una propiedad que lo caracterice. Ejemplo: A = {a Z 1 a 9}. El cardinal de un conjunto A es el número de elementos de A y se representa por A. 1 / 59

2 Conjuntos y relaciones entre conjuntos Unión e intersección de conjuntos Conjuntos Dados dos conjuntos A y B, se define la unión de A y B como A B = {x x A ó x B} y la intersección de A y B como A B = {x x A y x B}. Algunos otros símbolos:,,,,,,,,,.... Propiedades: i) A B = B A, A B = B A (conmutativa), ii) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) (asociativa), iii) A A = A, A A = A (idempotente), iv) A (B A) = A, A (B A) = A (absorción), v) A =, A = A, vi) (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C) (distributiva). 2 / 59

3 Conjuntos y relaciones entre conjuntos Producto cartesiano de conjuntos Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de pares ordenados de la forma (a, b) donde a A y b B: A B = {(a, b) a A, b B}. Se denota A B. Ejemplo. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}, entonces A B = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d)}. Se puede representar como: a b c d 1 (1, a) (1, b) (1, c) (1, d) 2 (2, a) (2, b) (2, c) (2, d) 3 (3, a) (3, b) (3, c) (3, d) Pregunta: Se cumple alguna de las siguientes propiedades? i) A (B C) = (A B) (A C), ii) A (B C) = (A B) (A C), iii) A (B C) = (A B) (A C), iv) A (B C) = (A B) (A C). 3 / 59

4 Relaciones Conjuntos y relaciones entre conjuntos Relaciones Una relacion binaria R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano A B. Si (a, b) R se dice que a está relacionado con b (arb). Si (a, b) R se dice que a no está relacionado con b (a Rb). Una relación binaria R en un conjunto A es una relación de A en A, es decir, un subconjunto del producto cartesiano A A. Ejemplo. En el conjunto A = {a, e, i, o, u} de las vocales se dice que dos vocales están relacionas si forman un diptongo. Entonces R = {(a, i), (a, u), (e, i), (e, u), (o, i), (o, u), (i, a), (i, e), (i, o), (i, u), (u, a), (u, e), (u, o), (u, i)}. Dados A = {a 1, a 2,..., a m } y B = {b 1, b 2,..., b n } conjuntos finitos no vacíos, y dada R relación de A en B, llamamos{ matriz de la relación R a la matriz M R M m n dada 1 si ai Rb por M R = (m ij ) donde m ij = j 0 si a i Rb j.. 4 / 59

5 Conjuntos y relaciones entre conjuntos Relaciones de equivalencia Relaciones de equivalencia Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia si y solo si es: reflexiva: ara, para todo a A, simétrica: arb bra, transitiva: arb y brc arc. Dada R relación de equivalencia en A y dado a A se llama clase de a al conjunto [a] = {b A bra}. Se llama conjunto cociente de A respecto de R al conjunto formado por las clases de equivalencia, esto es, A/R = {[a] a A}. Propiedades. Dada R A A relación de equivalencia, se tiene que: a) [a] = [b] arb, b) [a] [b] [a] [b] = (las clases son disjuntas). 5 / 59

6 Conjuntos y relaciones entre conjuntos Ejemplos de relaciones de equivalencia Relaciones de equivalencia i) Dado P conjunto de rectas del plano y rrs r s, R es relación de equivalencia y para toda r P se tiene que [r] = {s P r s}. ii) Dado P conjunto de rectas del plano y rrs r s, R no es relación de equivalencia pues no es reflexiva ni transitiva. iii) Dado R \{0} y arb a + 1 a = b + 1, se tiene que b a + 1 a = b + 1 b a b = a b ab b = a ó ab = 1 b = 1 a. Entonces { R es relación de equivalencia y para todo a R \{0} se tiene que [a] = a, 1 }. a 6 / 59

7 Conjuntos y relaciones entre conjuntos Particiones de conjuntos Relaciones de equivalencia Una partición en un conjunto no vacío A es una familia de subconjuntos no vacíos y disjuntos dos a dos de A tales que su unión es A. Teorema. Si R es una relación de equivalencia en A, entonces el conjunto cociente A/R es una partición de A. Demostración. Inmediata a partir de las propiedades de las relaciones de equivalencia Teorema. Si P = {A i } i I es una partición de A, entonces existe una relación de equivalencia R P en A tal que el conjunto cociente A/R P = P. Demostración. Definimos ar P b existe i I tal que a, b A i. Es inmediato comprobar que R P es una relación de equivalencia. Además para todo a A se tiene que [a] = A i donde A i es el único elemento de la partición que contiene a a. Por tanto A/R P = P. 7 / 59

8 Conjuntos y relaciones entre conjuntos Ejercicios de relaciones de equivalencia Ejercicios de relaciones de equivalencia Ejercicio 1. En el conjunto N N se define la relación (a, b)r(c, d) ad = bc. Averigua si es de equivalencia y si lo es calcula la clase del elemento (4, 8). Ejercicio 2. En el conjunto N N se define la relación (a, b)r(c, d) a + d = b + c. Averigua si es de equivalencia y si lo es calcula la clase del elemento (2, 5). Ejercicio 3. En R 2 se define la relación (x 1, y 1 )R(x 2, y 2 ) x 1 y 1 = x 2 y 2. Comprueba que es de equivalencia y calcula el conjunto cociente. Ejercicio 4. En Z se define la relación xry x 2 y 2 = x y. Comprueba que es de equivalencia y calcula el conjunto cociente. Ejercicio 5. En R se define la relación xry h Z tal que y = x + h. Prueba que es de equivalencia. Razona si los elementos 2 3 y 5 4 pertenecen a la misma clase. 8 / 59

9 Relaciones de orden Relaciones de orden Relaciones de orden Una relación R en un conjunto A es una relación de orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva, donde R es antisimétrica si arb + bra a = b. Un conjunto ordenado es un par (A, R), con R una relación de orden en A. Ejemplos. (N, ) y (N, ) (a b a divide a b) son conjuntos ordenados. Dada R relación en A, se dice que dos elementos a y b de A son comparables si arb o bra. Se dice que R es un orden total si todo par de elementos de A son comparables. Se dice entonces que (A, R) es un conjunto totalmente ordenado. Ejemplo. (N, ) es totalmente ordenado). Se dice que R es un orden parcial si es una relación de orden no total. Ejemplo. (N, ) es parcialmente ordenado). 9 / 59

10 Relaciones de orden Diagrama de Hasse de una relación de orden Diagrama de Hasse de una relación de orden El diagrama de Hasse de una relación de orden en un conjunto finito es una representación de ésta, en la que si a b verifican que a b, entonces se dibuja a por debajo de b y se unen a y b por un segmento, suprimiendo los segmentos que corresponden a la propiedad transitiva (si a b y b c se suprime el segmento correspondiente a a c). Ejemplo. Para D 15, D 20 y D 30 (D n =divisores positivos de n) con la relación de divisibilidad (a b a divide a b) se tienen los siguientes diagramas de Hasse: D 15 = {1, 3, 5, 15} D 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} D 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 10 / 59

11 Relaciones de orden Elementos característicos de conjuntos ordenados Elementos característicos de conjuntos ordenados Sea (A, ) un conjunto ordenado y B un subconjunto no vacío de A. Se dice que i) c A es cota superior de B si x c para todo x B, ii) c A es cota inferior de B si c x para todo x B, iii) s A es el supremo de B si es la menor de las cotas superiores, es decir, si es cota superior y para toda cota superior c de B se tiene s c, iv) i A es el ínfimo de B si es la mayor de las cotas inferiores, es decir, si es cota inferior y para toda cota inferior c de B se tiene c i. v) si el supremo de B es un elemento de B llama máximo de B, vi) si el ínfimo de B es un elemento de B llama mínimo de B, vii) m B es maximal de B si no existe x B \ {m} tal que m x, viii) m B es minimal de B si no existe x B \ {m} tal que x m, Se dice que B está acotado superiormente si existe c A cota superior de B. Se dice que B está acotado inferiormente si existe c A cota inferior de B. Se dice que B está acotado si está acotado superiormente e inferiormente. 11 / 59

12 Relaciones de orden Elementos característicos de conjuntos ordenados Elementos característicos de conjuntos ordenados Ejemplo. Dado A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l} y dado B = {f, g, i, j, k} A: a b c d e f g h i j k l cotas superiores de B en A: {a, b, c} cotas inferiores de B en A: {l} no existe sup A B existe inf A B = l no existe max B no existe min B elementos maximales de B: {f, g} elementos minimales de B: {i, j, k} 12 / 59

13 Relaciones de orden Existencia y unicidad de elementos característicos Existencia y unicidad de elementos característicos Teorema. Sea B un subconjunto no vacío de un conjunto ordenado (A, ). Tanto el máximo como el mínimo de B, si existen, son únicos. Teorema. Sea B un subconjunto no vacío de un conjunto ordenado (A, ). Tanto el supremo como el ínfimo de B, si existen, son únicos. Teorema. Sea B un subconjunto finito no vacío de un conjunto ordenado (A, ). Entonces B tiene al menos un elemento maximal y otro minimal. Demostración. Sea a 1 B. Si a 1 es minimal ya hemos terminado. Si no es minimal, existirá a 2 B \ {a 1 } tal que a 2 a 1. Si a 2 es minimal ya hemos terminado. Si no es minimal, existirá a 3 B \ {a 1, a 2 } tal que a 3 a 2 a 1. Continuando este proceso, o bien obtenemos un elemento minimal o acabaríamos ordenando todos los elementos de B (por ser finito) de la forma a n a n 1 a 2 a 1. Pero entonces a n sería el minimo del conjunto y por tanto minimal. 13 / 59

14 Relaciones de orden Ejercicios de conjuntos ordenados Ejercicios de conjuntos ordenados Ejercicio 6. Halla elementos maximales, minimales, máximo y mínimo (si los hay) de A: a) d e b c a b) d e c a b c) f d e b c a d) c d e a b Ejercicio 7. Halla todos los elementos característiocs de B en A: a) f g d e c a b B = {c, d, e} b) h f g d e c a b B = {d, e, f } c) e f c d b a B = {b, c, d} 14 / 59

15 Relaciones de orden Ejercicios de conjuntos ordenados Ejercicios de conjuntos ordenados Ejercicio 8. Representar el diagrama de Hasse de los siguientes conjuntos ordenados y hallar los elementos notables de los subconjuntos señalados: a) (D 60, ), A = {2, 5, 6, 10, 12, 30} y B = {2, 3, 6, 10, 15, 30}. b) (D 48, ), A = {2, 4, 6, 12} y B = {3, 6, 8, 16}. c) (D 40, ), A = {4, 5, 10} y B = {2, 4, 8, 20}. Ejercicio 9. Hallar, si los hay, los elementos maximales, minimales, máximo y mínimo para los siguientes conjuntos ordenados: a) (P(X ), ), b) ((0, 1), ), c) (N, ), d) (N {1}, ). Ejercicio 10. En cada uno de los casos siguientes, dígase si el conjunto X tiene o no una cota inferior, y si tiene alguna hallase su ínfimo si existe: a) X = {x Z x 2 16}, b) X = {x Z x = 2y para algún y Z}, c) X = {x Z x 2 100x}. 15 / 59

16 Ordenación topológica Relaciones de orden Ordenación topológica Teorema. Dado un orden parcial en un conjunto finito (A, ), existe un orden total que lo contiene (esto es, tal que a b a b). Demostración. Sea a 1 un elemento minimal de A. Sea a 2 un elemento minimal de A \ {a 1 } y definimos a 1 a 2. Sea a 3 un elemento minimal de (A \ {a 1, a 2 }, ) y definimos a 2 a 3. Como A es finito, después de un número finito de pasos tendremos los elementos de A ordenados en la forma a 1 a 2 a n. Finalmente, el orden obtenido contiene al dado en el sentido de que si a b, entonces a b. En efecto, si a i a j, a j no puede ser minimal de un conjunto que contenga a i, luego hemos de haber escogido a i antes que a j. Por tanto a i a j. 16 / 59

17 Relaciones de orden Ejercicios. Orden topológico Ejercicios i Ejercicio 11. Dado el orden parcial del diagrama de Hasse de la figura, obtener un orden total que lo contenga. Cuantos pueden obtenerse? h f g Ejercicio 12. Sea T = {a, b, c, d, e, f, g} la lista de tareas para realizar un trabajo, de las que se sabe que unas preceden e inmediatamente a otras de la siguiente forma: f a, f d, e b, c f, e c, b f, e g, g f. Hallar el orden c d parcial. Que tareas pueden realizarse independientemente? Construir un orden si el trabajo lo realiza solo una persona. a b 17 / 59

18 Relaciones de orden Órdenes en conjuntos producto Órdenes en conjuntos producto Sean (A, ) y (B, ) conjuntos ordenados, se define i) (a, b) PROD (c, d) si y solo si a c y b d, a c y a c ii) (a, b) LEX (c, d) si y solo si ó. a = c y b d Proposición. Sean (A, ) y (B, ) conjuntos ordenados. Entonces (A B, PROD ) y (A B, LEX ) son conjuntos ordenados. Observación. Los órdenes anteriores también se pueden definir en el producto de n conjuntos ordenados. 18 / 59

19 Relaciones de orden Ejercicios Ejercicios. Órdenes en conjuntos producto Ejercicio 13. Determina el orden lexicográfico de las siguientes cadenas de bits: 001, 111, 010, 011, 000 y 100 basado en el orden 0 1. Dibujar el diagrama de Hasse de estas cadenas, ahora con el orden producto. Ejercicio 14. Sea A = ({1, 2, 3, 4}, ). Respecto al orden lexicográfico: a) Encontrar todos los pares en A A anteriores a (2, 3). b) Encontrar todos los pares en A A posteriores a (3, 1). c) Dibujar el diagrama de Hasse de (A A, Lex ). Ejercicio 15. En (D 10, ) (D 18, ) se considera el orden lexicográfico. Hallar las cotas superiores, cotas inferiores, supremo e ínfimo, si existen, del subconjunto B = {(2, 2), (2, 3)}. Dibujar el diagrama de Hasse. Se define f : D 10 xd 18 D 180 por f (a, b) = ab es f inyectiva? es suprayectiva? Ejercicio 16. Se considera en D 48 N el orden lexicográfico correspondiente a tomar el orden divisibilidad en el primer factor y el orden usual en el segundo factor. Sea B = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (6, 3), (6, 1), (4, 2)}. Se pide hallar, si existen, las cotas superiores e 19 / 59 inferiores, elementos maximales y minimales, máximo, mínimo, supremo e ínfimo de B.

20 Relaciones de orden Isomorfismos de conjuntos ordenados Isomorfismos de conjuntos ordenados Dados dos conjuntos ordenados (A, ) y (B, ), y dada f : A B, se dice que f es un isomorfismo de conjuntos ordenados si es biyectiva y cumple que f (a) f (e) a e. Ejemplo. Sea P({a, b, c}) la familia de subconjuntos del conjunto {a, b, c}. Es decir: P({a, b, c}) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Entonces (P({a, b, c}), ) es isomorfo a (D 30, ). También (D 30, ) es isomorfo a (D 42, ) pero no a (D 12, ). 20 / 59

21 Primera definición de retículo Retículos Primera definición de retículo Un conjunto ordenado (R, ) es un retículo si para cualesquiera a, b R existe sup{a, b} R e inf{a, b} R. Ejemplos i) (N, ) y (N, ) son retículos, ii) (D n, ) es retículo, iii) (P(X ), ) es retículo. Observación. Todo conjunto totalmente ordenado es un retículo. El recíproco no es cierto en general. 21 / 59

22 Segunda definición de retículo Retículos Segunda definición de retículo La noción de retículo se puede definir también del modo siguiente. Definición. Un retículo es una terna (R,, ) donde R es un conjunto y, : R R R son dos operaciones binarias internas tales que: i) a a = a, a a = a (idempotente), ii) a b = b a, a b = b a (conmutativa), iii) (a b) c = a (b c), (a b) c = a (b c) (asociativa), iv) a (b a) = a, a (b a) = a (absorción). Ejemplos. (P(X ), ) es retículo con esta segunda definición con las operaciones y. 22 / 59

23 Retículos Equivalencia de ambas definiciones de retículo Equivalencia de ambas definiciones de retículo Proposición. Las dos definiciones de retículo son equivalentes y se relacionan de la siguiente manera: a b a b = b a b = a. Demostración. Si (R, ) es un retículo definimos, : R R R como a b = inf{a, b} y a b = sup{a, b}. Entonces y verifican las cuatro propiedades (idempotente, conmutativa, asociativa y absorción) y a b a b = b a b = a. Reciprocamente, si (R,, ) es un retículo, definimos a b a b = b a b = a. Es fácil ver que es una relación de orden. 23 / 59

24 Ejemplos Retículos Ejemplos Son los siguientes conjuntos ordenados retículos? SI NO SI NO Indicación: Si en un conjunto ordenado existen dos elementos maximales o dos minimales entonces ese conjunto ordenado no es un retículo. Tampoco lo es si existen dos puntos (necesariamente no comparables) sin cotas superiores o inferiores o de tal forma que dentro del conjunto de cotas superiores (o inferiores) existan dos elementos minimales (o dos elementos maximales). 24 / 59

25 Retículos isomorfos Retículos Retículos isomorfos Sean (R, ) y (S, ) retículos. Se dice que una aplicación f : R S es un homomorfismo de retículos si para cualesquiera a, b R se tiene que f (sup{a, b}) = sup {f (a), f (b)} y f (inf {a, b}) = inf{f (a), f (b)}. Se dice que f es isomorfismo de retículos si es homomorfismo y es biyectivo. Observación. También se podría definir homomorfismo e isomorfismo de retículos a partir de la segunda definición de retículo. Proposición. Sean (R, ) y (S, ) retículos y sea f : R S una aplicación biyectiva. Entonces f es un isomorfismo de retículos si y solo si f es un isomorfismo de conjuntos ordenados. Ejemplo. (P({a, b}, ) y (D 6, ) son retículos isomorfos. 25 / 59

26 Subretículos Retículos Subretículos Sea (R, ) un retículo. Se dice que un subconjunto no vacío A de R es un subretículo si (A, ) es un retículo y para cualesquiera a, b A se tiene que sup{a, b} = sup{a, b} e inf{a, b} = inf{a, b}. A R A R Esto es equivalente a que para cualesquiera a, b A se cumpla que sup R {a, b} A e inf{a, b} A. Ejemplos. Dados los retículos siguientes R A R B se tiene que B es subretículo de A pero A no es subretículo de R. 26 / 59

27 Subretículos Retículos Subretículos La noción de subretículo se puede definir también a partir de la definición alternativa de retículo de la forma siguiente: Sea (R,, ) un retículo y sea A un subconjunto no vacío de R. Entonces (A,, ) es un subretículo de (R,, ) si para cualesquiera a, b A se tiene que o, equivalentemente, si y solo si para cualesquiera a, b A. a b = a b y a b = a b a b A y a b A, 27 / 59

28 Retículos producto Retículos Retículos producto Proposición. Si (A, R) y (B, S) son retículos, entonces (A B, R PROD ) también lo es. Proposición. Si (A, R) y (B, S) son retículos, entonces (A B, R LEX ) es retículo si R es un orden total en A o si existe inf B y sup B. Demostración. Sean (a, b), (c, d) A B. Si a = c, entonces sup{(a, b), (a, d)} = (a, sup{b, d}) e inf {(a, b), (a, d)} = (a, inf{b, d}). R LEX S R LEX S Si a c y arc, sup RLEX {(a, b), (c, d)} = (c, d) e inf RLEX {(a, b), (c, d)} = (a, b). Si a c y cra, sup RLEX {(a, b), (c, d)} = (a, b) e inf RLEX {(a, b), (c, d)} = (c, d). Finalmente, si a y c no son comparables, entonces sup{(a, b), (c, d)} = (sup{a, c}, inf B) e inf {(a, b), (c, d)} = (inf{a, c}, sup B) R LEX R R LEX S siempre que existan inf B y sup B. 28 / 59

29 Retículos acotados Retículos Retículos acotados Se dice que un retículo es acotado si tiene máximo y mínimo. Notaremos por 1 al máximo y por 0 al mínimo. Ejemplo. (N, ) no es acotado. Proposición. Todo retículo finito es acotado. Demostración. Supongamos que A = {a 1, a 2,..., a n }. Entonces a 1 a 2 a n = 1 pues (a 1 a 2 a n ) a i = a i por la propiedad de absorción y (a 1 a 2 a n ) a i = a 1 a 2 a n para todo i {1, 2..., n}. Por otra parte a 1 a 2 a n = 0 pues (a 1 a 2 a n ) a i = a 1 a 2 a n y (a 1 a 2 a n ) a i = a i (por la propiedad de absorción) para todo i {1, 2..., n}. 29 / 59

30 Retículos complementarios Retículos Retículos complementarios Sea (R, ) un retículo acotado. Dado a R se dice que a R es complementario de a si sup{a, a } = 1 e inf{a, a } = 0. Se dice que (R, ) es complementario si es acotado y todo elemento tiene complementario. Ejemplos. i) (N, ) no es complementario (no es acotado), ii) (D n, ) es complementario n es producto de números primos distintos, iii) (P(X ), ) es complementario, iv) ({0, 1}, ) es complementario. Ejemplos de retículos complementarios y no complementarios SI NO 2 3 NO NO 1 NO 30 / 59

31 Retículos distributivos Retículos Retículos distributivos Se dice que un retículo (R,, ) es distributivo si para cualesquiera a, b, c R se tiene que (a b) c = (a c) (b c) y (a b) c = (a c) (b c). Ejemplo. (P(X ), ) es distributivo. Proposición. En un retículo acotado y distributivo, el complementario de un elemento, si existe, es único. Al único complementario de a se le denota por a. Corolario. Si R es acotado y un elemento tiene dos complementarios, entonces R no es distributivo. 1 Proposición. Un retículo (R,, ) es distributivo si y solo si no contiene un subretículo isomorfo a los b 1 de la derecha. c a b c Corolario. (D n, ) es distributivo, para todo n N. a / 59

32 Ejercicios de retículos Retículos Retículos distributivos Ejercicio 17. Estudiar cuales de los siguientes conjuntos ordenados son retículos: a) a b) a b c d c) a b c e f b c d d e g e f g h h f Ejercicio 18. Obtener los diagramas de Hasse de todos los retículos, salvo isomorfismos, de uno, dos, tres, cuatro y cinco elementos. Ejercicio 19. Estudiar si el retículo de la figura se verifica la igualdad a (b c) = (a b) (a c). Ejercicio 20. Encontrar el complementario de cada elemento de D 42 y D a b c d 0 32 / 59

33 Álgebras de Boole Álgebras de Boole Álgebras de Boole Un álgebra de Boole es un retículo complementario y distributivo. Es decir, una terna (A,, ), con A un conjunto y, : R R R dos operaciones binarias internas tales que: i) a a = a, a a = a (idempotente), ii) a b = b a, a b = b a (conmutativa), iii) (a b) c = a (b c), (a b) c = a (b c) (asociativa), iv) a (b a) = a, a (b a) = a (absorción), v) existe 1 = max A, 0 = min A (acotado), vi) dado a, existe un único a tal que a a = 0, a a = 1, (complem.), vii) (a b) c = (a c) (b c), (a b) c = (a c) (b c) (distributiva). Otras propiedades (consecuencia de las anteriores): viii) (a ) = a para todo a A (involutiva), ix) (a b) = a b y (a b) = a b (leyes de Morgan) 33 / 59

34 Álgebras de Boole Ejemplos de álgebras de Boole Álgebras de Boole i) B 1 = ({0, 1}, ) es el álgebra de Boole más sencilla (con dos elementos). 1 Si la consideramos en la forma ({0, 1},, ) se tiene: 1 1 = 1, 0 0 = 0, 1 0 = 0 1 = 0, = 1, 0 0 = 0, 0 1 = 1 0 = 1, * No hay álgebras de Boole con 3 elementos (el único retículo con 3 elementos no es complementario). ii) Con 4 elementos: (D 6, ) (P(a, b), ) (B 1 B 1, PROD ) = B {a, b} {a} {b} (1, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 0) donde (x, y) (x, y ) = (x x, y y ) y (x, y) (x, y ) = (x x, y y ). En general, el producto de álgebras de Boole es un álgebra de Boole. 34 / 59

35 Álgebras de Boole Ejemplos de álgebras de Boole Álgebras de Boole iii) B 3 = (B 1 B 1 B 1, PROD ) es álgebra de Boole definiendo (x, y, z) (x, y, z ) = (x x, y y, z z ) (x, y, z) (x, y, z ) = (x x, y y, z z ). Habitualmente, denotaremos (x, y, z) = xyz, como y como +. Con esta notación, por ejemplo, = 110, = B (D 30, ) (P({a, b, c}), ) (P({a, b, c}),, ) 000 iv) En general, B n = ({x 1 x 2... x n x i {0, 1}}, +, ) es un álgebra de Boole. Cuántos elementos tiene? 2 n. 35 / 59 B n (P({a 1, a 2,..., a n }, ) (D n, ) n producto de primos distintos.

36 Álgebras de Boole finitas Álgebras de Boole Álgebras de Boole Teorema. Todo álgebra de Boole finita es isomorfa a B n para algún n N. Por tanto, el diagrama de Hasse de todo álgebra de Boole es de tipo cúbico y para toda álgebra de Boole finita, existe n N tal que A = 2 n. Cómo se llega a este resultado?. Primero se ve que si A es un álgebra de Boole finita, existe un conjunto finito C tal que A P(C). (En concreto, C es el conjunto de los elementos minimales de A \ {0}). Luego se prueba que si C es un conjunto finito con n elementos, entonces las álgebras de Boole P(C) y B n son isomorfas (B = {0, 1}). Si C = {c 1, c 2,..., c n }, el isomorfismo viene dado por φ : P(C) B n {c i1, c i2,..., c ik } φ({c i1, c i2,..., c ik }) = (b 1, b 2,..., b n ) donde b i = 1 si y solo si i {i 1, i 2,... i n }. Ejercicio. Construye el isomorfismo entre P({a, b, c}) y B / 59

37 Álgebras de Boole Ejercicios de álgebras de Boole Álgebras de Boole Ejercicio 21. Expresar la operación conjunción en función de la disyunción y la complementaria. Expresar la disyunción en función de la conjunción y la complementaria. Ejercicio 22. Demostrar que en un algebra de Boole se dan las siguientes propiedades: a) a b b a. b) a b a (b c) = b (a b). c) a b c (a b) (a b c) (b c) (a c) = b. d) a b a b = 0 a b = 1. Ejercicio 23. Construir un isomorfismo entre (P(C), ) y (B n, n ) para algún n N, donde C = {1, 2, 3, 4} y n denota el orden producto en B n. Ejercicio 24. Sea (A, ) un álgebra de Boole. Cuantos elementos minimales tiene A {0}, si A es un álgebra de Boole de 8 elementos? Y si A tiene 16 elementos? Ejercicio 25. Existen álgebras de Boole con infinitos elelmentos? 37 / 59

38 Funciones booleanas Álgebras de Boole Funciones booleanas Una función Booleana es una aplicación f : A C entre álgebras de Boole finitas. Puesto que toda álgebra de Boole finita es isomorfa a B n para algún n, podemos definir función boolena como toda aplicación f : B k B m. pause Como toda función f : B k B m tiene m componentes basta estudiar las funciones booleanas de la forma f : B n B. pause La tabla de verdad de una función Booleana f : B n B es una tabla del tipo donde se presentan todos los elementos de B n y sus iḿagenes. x 1 x 2... x n f (x 1, x 2,..., x n ) f (0, 0,..., 0) f (0, 0,..., 1) f (1, 1,..., 1) 38 / 59

39 Álgebras de Boole Funciones booleanas Funciones booleanas Ejemplo. La siguiente tabla x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 ) es la tabla de verdad de una función booleana f : B 3 B. Ejemplo. Todas las posibles funciones booleanas de grado 2 se pueden representar en una tabla de verdad conjunta. Existen 16 funciones booleanas de grado / 59

40 Expresiones booleanas Álgebras de Boole Expresiones booleanas El concepto de expresión booleana en n variables x 1,..., x n se define recursivamente: i) Las variables x 1, x 2,..., x n son expresiones booleanas. ii) Los símbolos 0 y 1 son expresiones booleanas. iii) Si E 1 y E 2 son expresiones booleanas, E 1 E 2, E 1 E 2 y E 1 son expresiones booleanas. iv) No hay más expresiones booleanas que las obtenidas por las reglas anteriores. Toda expresión booleana en n variables define una función booleana en m variables, para todo m n. Se dice entonces que E(x 1,..., x n ) representa a f. Ejemplo. La expresión booleana E(x, y) = x (x y) define x y f (x, y) una función booleana con la tabla de verdad de la derecha Dos expresiones booleanas son equivalentes si representan la misma función booleana. 40 / 59

41 Expresiones booleanas Álgebras de Boole Expresiones booleanas Dada una función booleana f de n variables se define S(f ) = {b B n f (b) = 1}. Teorema. Dada una función booleana f : B n B, existe una expresión booleana que representa a f. Demostración. Para cada b = (b 1, b 2,..., b n ) S(f ) consideramos E b = x1 x2 xn donde xi = x i si b i = 1 y xi = x i si b i = 0. Entonces E(f ) = b S(f ) E b representa a f. Ejemplo. Sea f definida por E(x, y) = x (x y) tal que S(f ) = {(0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Entonces E(x, y) = (x y) (x y ) (x y) representa f. Observación. A cada una de las expresiones E b, b S(f ) se le llama producto elemental y a la expresión E(f ) = b S(f ) E b se le denomina expresión asociada a f en forma de suma de productos elementales. Observación A partir de ahora denotaremos como + y como. Así, por ejemplo, E(x, y) = x (x y) la escribiremos como E(x, y) = x + x y. 41 / 59

42 Álgebras de Boole Ejercicios de funciones booleanas Expresiones booleanas Ejercicio 26. Halla la tabla de verdad de la función f : B 2 B definida por la expresión E(x, y) = (x y ) ((y (x y)) xy + (y(x + y)). Ejercicio 27. Determina todas las funciones booleanas binarias que cumplan: f (a, b) = f (a, b ) = (f (a, b)). Ejercicio 28. Determina S(f ) para las funciones f : B 3 B definidas por: a) f (x, y, z) = xy, b) f (x, y, z) = z, c) f (x, y, z) = xy + z. Ejercicio 29. Haz operaciones para reducir las siguientes expresiones booleanas: a) (x + y) + y z b) (x y) (x + xyz ) c) x(xy + x y + y z) d) (x + y) (xy ) e) y(x + yz) f) (x + y z)(y + z ). Ejercicio 30. Dada la función booleana f : B 4 B f (x, y, z, t) = xyzt + xy zt + xyzt + xy zt + x y z t + x yz t + x y z t + x yz t utilizando las propiedades de un Algebra de Boole demuestra que f (x, y, z, t) = xz +x z. 42 / 59

43 Álgebras de Boole Simplificación de expresiones booleanas Simplificación de expresiones booleanas La expresión de una función booleana en forma de suma de productos elementales no es en general la más simple de todas las expresiones equivalentes que la representan. Por ejemplo E(x, y) = x y Ẽ(x, y) = xy + xy son expresiones equivalentes. Los métodos de simplificación que veremos se basan en la busqueda de pares de productos elementales que difieran solamente en una variable, como ocurre en el ejemplo mencionado. En concreto, los métodos de simplificación que veremos se basan en el siguiente resultado. Teorema. Si E es una expresión booleana en n variables y x n+1 es otra variable, entonces la expresión E y la expresión Ẽ = (E x n+1) (E x n+1) son equivalentes como expresiones en n + 1 variables. 43 / 59

44 Álgebras de Boole Método de los mapas de Karnaugh Método de los mapas de Karnaugh Para cada n = 2, 3, 4 consideramos una cuadrícula de 2 n cuadrados. Cada uno de ellos representa un producto elemental, distribuidos de tal forma que dos productos elementales son adyacentes si y solo si difieren unicamente en una variable. A efectos de adyacencia, los lados opuestos de la cuadrícula se identifican. Estas cuadrículas son x x y y x x y y y y x y y y y x z z z z x z z z z El mapa de Karnaugh de una expresión booleana E de n variables (n = 2, 3, 4) es una cuadrícula como las anteriores en la que se han sombreado los cuadrados correspondientes a los productos que aparecen en una expresión equivalente de E en forma de suma de productos elementales. 44 / 59 t t t t

45 Álgebras de Boole Método de los mapas de Karnaugh Método de los mapas de Karnaugh En el mapa de Karnaugh de una expresión booleana de n variables (n = 2, 3, 4), se llaman rectángulos simples a los correspondientes a las expresiones x i y x i, i {1, 2,..., n} y a sus intersecciones k a k (k = 2,..., n). Ejemplo. Para n = 2, los rectángulos simples son, los correspondientes a las expresiones x, x, y e y, y y y y y y y y x x x x x x x x y los correspondientes a las intersecciones dos a dos de estos, es decir, los correspondientes a los productos xy, xy, x y, x y : y y y y y y y y x x x x x x x x 45 / 59

46 Álgebras de Boole Método de los mapas de Karnaugh Método de los mapas de Karnaugh Método de simplificación de los mapas de Karnaugh. Consiste en lo siguiente: i) Representamos el mapa de Karnaugh de E. ii) Consideramos todos los rectángulos simples, de tamaño lo mayor posible, que recubran la zona sombreada del mapa de Karnaugh, aunque se solapen. iii) Eliminamos los rectángulos simples que estén contenidos en la unión de otros de forma que la zona sombreada quede recubierta por el menor número de rectángulos del mayor tamaño posible. iv) La unión de las expresiones que quedan al final del proceso es una expresión simplificada de la expresión original. Ésta dependerá de las elecciones hechas en el proceso. 46 / 59

47 Álgebras de Boole Método de los mapas de Karnaugh Ejemplo. Si el mapa de Karnaugh de E es x x x y y y y t t t x t z z z z = Método de los mapas de Karnaugh entonces E = x y t x y z x y t. 47 / 59

48 Álgebras de Boole Método de los mapas de Karnaugh Por otra parte también se puede descomponer y y y y x t x t x t x t z z z z = y por tanto E = x y t x z t x y t. Pero es incorrecto descomponer y y y y x t x t x t x t z z z z = Método de los mapas de Karnaugh puesto que los rectángulos simples de la descomposición han de ser lo mayor posible. 48 / 59

49 Álgebras de Boole Método de los mapas de Karnaugh Método de los mapas de Karnaugh El método de los mapas de Karnaugh se puede utilizar también para simplificar funciones que no estén definidas en todo B n. Ejemplo. Sea A = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001} el conjunto de números del 0 al 9 en notación binaria y sea f : A B tal que f (xyzt) = 0 xyzt representa un número menor que 5. Entonces en el mapa de Karnaugh de f rayamos los puntos en que la función vale 1, marcamos con 0 los puntos en los que vale 0 (en el resto de los puntos puede tomar cualquier valor pues no son entradas de la función): x x x y y y y z z z z x t t t t = = Por tanto E = x (y t) (y z). 49 / 59

50 Álgebras de Boole Ejercicios de mapas de Karnaugh x Método de los mapas de Karnaugh Ejercicio 31. Dados los siguientes mapas de Karnaugh, escribe las expresiones booleanas que definen estos mapas: y y y y y y y y y y y y x x x x x x x z z z z z z z z z z z z y y y y y y y y y y y y x x t t t x t x x x z z z z z z z z z z z z t t t x t x x x t t t t 50 / 59

51 Álgebras de Boole Ejercicios de mapas de Karnaugh Método de los mapas de Karnaugh Ejercicio 32. Se consideran los conjuntos a) S(f ) = {(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1)} b) S(f ) = {(0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)} Simplifica la expresión booleana de la función f que toma valor 1 en el conjunto S(f ) y cero en el resto, mediante mapas de Karnaugh. Ejercicio 33. Completa los huecos de la tabla de la derecha, teniendo en cuenta que la expresión que se desea obtener ha de ser lo mas sencilla posible. Determina esa expresión y dibuja el mapa de Karnaugh correspondiente. Ejercicio 34. Encuentra la expresión mas sencilla que detecte en {0, 1, 2, 3,..., 15} los numeros del conjunto: a) A = {múltiplos de dos}, b) B = {múltiplos de tres}, c) C = {múltiplos de cuatro} x y y f 1 (x, y) / 59

52 Álgebras de Boole Método de Quine-McCluskey Método de Quine-McCluskey Funciona agrupando sistematicamente productos que difieren en una variable, a partir de los elementos de s(f ), como sigue: i) Se ordenan los elementos de s(f ) por bloques en orden decreciente según el número de unos. ii) Se compara cada elemento de cada bloque con los del bloque inmediatamente inferior de la forma siguiente: Si dos elementos difieren en un solo término, se marcan ambos elementos, y se pone en una nueva lista el elemento obtenido al sustituir el término repetido por un guión. iii) Se repite el paso ii) con la nueva lista y se continua este proceso. iv) Cuando ya no se pueda continuar: a) Se consideran todos los elementos no marcados de todas las listas, b) para cada b B n con f (b) = 1 se elige un elemento no marcado: - Primero elegimos aquellos para los que existe una única posibilidad, - para los restantes se elige la menor cantidad posible de entre aquellos con mayor cantidad de guiones. v) La expresión booleana formada por la disyunción de las expresiones correspondientes 52 / 59 a estos elementos es una expresión simplificada.

53 Álgebras de Boole Método de Quine-McCluskey Ejemplo. Hallar una expresión booleana simplificada de la función booleana cuya tabla de verdad es: Método de Quine-McCluskey x y z t E(x, y, z, t) / 59

54 Álgebras de Boole Método de Quine-McCluskey En este caso tenemos 1110 * 1100 * 1001 * 0110 * 0001 * 0100 * 1000 * 0000 * Método de Quine-McCluskey 11-0 * -110 * -100 * 1-00 * -001 * 100- * 01-0 * 000- * 0-00 * -000 * A continuación consideramos la siguiente tabla * * * * -00- * * * * * * * * Luego la expresión buscada es E(x, y, z, t) = (y t ) (y z ). 54 / 59

55 Álgebras de Boole Método de Quine-McCluskey En casa paso NO basta con tomar aquellos sumandos que basten para tapar los del paso precedente. Por ejemplo, para Método de Quine-McCluskey x y z t E(x, y, z, t) / 59

56 Álgebras de Boole Método de Quine-McCluskey En este caso si en la primera simplificación solo tomamos el menor número de sumandos que cubren los iniciales tendríamos que da lugar a la siguiente tabla Método de Quine-McCluskey 0111 * 1100 * 0110 * 0101 * 0100 * 0000 * * * 01-1 * * -100 * * 0-00 * * con lo que se tendría que E(x, y, z, t) = (x y z) (x y t) (x z t ) (y z t ). 56 / 59

57 Álgebras de Boole Método de Quine-McCluskey Sin embargo, si lo hacemos comparando todos con todos, incluso los ya cubiertos, tenemos Método de Quine-McCluskey 0111 * 1100 * 0110 * 0101 * 0100 * 0000 * 011- * 01-1 * * 010- * 0-00 que da lugar a la siguiente tabla * * 0-00 * * * * * * Luego la expresión buscada es E(x, y, z, t) = (x y) (x z t ) (y z t ). Ejercicio 35. Utilizando el algoritmo de Quine-McCluskey halla la expresión booleana minima de la función f : B 5 B tal que S(f ) = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1), 57 / 59 (1, 1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 1)}.

58 Álgebras de Boole Ejercicios de diseño y simplificación de expresiones booleanas Ejercicios de diseño y simplificación de expresiones booleanas Ejercicio 36. Define una expresión booleana que compare, según el orden, dos numeros del conjunto {0, 1, 2, 3} y simplifícala. Ejercicio 37. Se considera un ascensor dotado de un dispositivo de seguridad, para que no puedan viajar niños pequeños solos ni pesos excesivos. Queremos que el ascensor se ponga en marcha cuando este vacío o con pesos entre 25 y 300 kilos. Dotamos al ascensor de tres sensores: A sensible a cualquier peso, B sensible a pesos mayores de 25 kilos y C sensible a pesos superiores a 300 kilos. Diseña el circuito mas sencillo posible que cumpla dichas condiciones. Ejercicio 39. Para evitar errores de transmisión en ciertos mensajes codificados, es frecuente añadir un bit, llamado de control, a un bloque de bits. Así, por ejemplo, en la representación de cifras decimales mediante un código binario, 0 se representa como 00001, 1 se representa como 00010, 2 se representa como 00100, 3 se representa como El bit de paridad vale 1 si el numero de unos del bloque es par y vale 0 en caso contrario. Define una expresión c que verifique lo anterior para los dígitos del 0 al 9 de manera que sea lo mas simplificada posible en la forma suma de productos. 58 / 59

59 Álgebras de Boole Ejercicios de diseño y simplificación de expresiones booleanas Ejercicios de simplificación de expresiones booleanas Ejercicio 40. La aparición de una cifra decimal en el visor de una calculadora se produce mediante un circuito con cuatro entradas, que se corresponden con el código binario del dígito y siete salidas fi / i = 1..7, que se presentan como pequeños segmentos, iluminados o no en el visor, según el siguiente esquema: (f 1 es el segmento superior, f 2,... f 6 son los restantes segmentos exteriores numerados en el sentido de las agujas del reloj, y f 7 es el segmento central. a) Traza la tabla de verdad de cada una de las funciones booleanas f i : B4 B que represente este fenómeno binario. b) Encuentra expresiones mínimas en forma de suma de productos para f 1 y f 2. f 1 f 6 f 7 f 5 f 4 f 2 f 3 59 / 59