TALLERES DE METODOS NUMERICOS SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES NO LINEALES

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1 TALLERES DE METODOS NUMERICOS SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES NO LINEALES. Usar un procedimiento iterativo para calcular una aproimación a la menor raíz positiva de la ecuación : sen π = 0 Calcular tres iteraciones.. Considerar la ecuación tan = + ( Usar el método de bisección para estimar la menor raíz positiva de la ecuación, con los resultados de la tercera iteración. Dar una cota para el error que se comete. π. Aplicar el método de Newton a la ecuación Sen + = 0, tomando o =. Calcular dos iteraciones para establecer un valor aproimado de la raíz positiva. 4. Para la función ( f = e +, obtener aproimaciones a todos sus ceros, usando el método de bisección, con la cuarta iteración. Tabular sus cálculos. 5. El Principio de Arquímedes establece que el empuje a que está sometido un cuerpo sumergido en un líquido es igual al peso del fluido desplazado. Al plantear esta condición de equilibrio para una esfera de radio cm y densidad γ = 075. gm/cm, se consigue la ecuación h h + = 0, donde h es la altura de la parte de la esfera que está sumergida. Se pide aplicar el método de Newton-Horner para estimar un valor aproimado de h, usando dos iteraciones. Tomar h 0 = (valor inicial. 6. Considerar la ecuación e = 0 ( a Estudiar gráficamente la ecuación (. Cuántas raíces tiene en [ 0, 4 ]? b Justificar que se puede aplicar bisección a f( = e en [, ] aproimación a la raíz en [ 0, ], con tres iteraciones. Dar la cota de error. 0. Hallar una

2 c Tomando o =, calcular diez iteraciones por el método de Newton, aplicado a f. 4 d Considerar la sucesión ( n+ n N generado por las iteraciones de Newton. Demostrar que si n + L n, entonces L es una raíz de f ( = 0. e Las funciones g ( = e, g ( = ln + ln, tienen alguna relación con el cálculo de las raíces de la ecuación (? f Calcular: n + = g ( n, n = 0,,..., 0 n + = g ( n, n = 0,,..., 0 tomando o = 0.5; 0.40; 0.50; ;. Estudiar los resultados. 7. Considerar la ecuación tan = 0. Aplicar el método de Newton parra calcular dos iteraciones que busquen aproimar la menor raíz positiva de la ecuación. Tomar π o =. Usar aritmética aproimada truncando en la cuarta cifra decimal. Hacer una 6 gráfica aproimada de localización de la raíz buscada. 8. Combinar los métodos de bisección y Newton para hallar una aproimación a la menor raíz positiva de 4 = Considere la función ( h= e. a Probar que h tiene un único cero, determínelo y dé su multiplicidad. b Usar el método de Newton para aproimar el cero de h con tres iteraciones. Dar la velocidad de convergencia del método escogido. 0. Considerar la ecuación = 0. Al aplicar el procedimiento de Newton, qué resultados se consiguen? Tendría el polinomio raíces reales?. Considerar la sucesión a n+ = n +, n = 0,,,... donde a > 0. n a Pruebe que si la sucesión converge lo hace a a. (Nota: Para a > 0 y o > 0 la sucesión siempre converge a a. b Calcular el orden de convergencia de la sucesión asumiendo que es convergente.

3 . Probar que la función f ( e = tiene un cero de multiplicidad dos en 0 =.. Demostrar que la función: f ( = e tiene uno y sólo un cero, que es = 0, dar su multiplicidad. Calcular f en valores cercanos a cero. Analizar estos resultados. 4. Considerar las sucesiones:, n n N n 0 n N Para cada una de ellas calcular los valores de λ, para los cuales el número real positivo. en+ lim es un n λ en 5. Considerar la ecuación: = + 4 ( a Demostrar que la función f ( = 4 tiene una única raíz real α en (,. b Se puede usar bisección para hallar una aproimación a α? c Convertir el problema de calcular la raíz α de la ecuación ( en un problema de P.F. en el intervalo [, ]. Ensayar por lo menos cuatro funciones de iteración en [, ]. d Demostrar que la función g( = + 4 es una función de iteración para el problema. Demuestre que i < g( 5 < para todo [, ]. ii g' (, para todo [, ] iii g ( cumple las hipótesis del T.F.P.F. en [, ] iteraciones de P.F. 6. Considerar la ecuación: e = 0. Concluir. Calcular tres

4 Estudiar la posibilidad de calcular la menor raíz positiva por el método de P.F., con las funciones de iteración g = e ( en [ 0, ]. ( = ln ln g + Si es del caso, para g estudiar el intervalo [.4; 0.8 ] Considerar la ecuación: 4 + 5= 0 ( a Mostrar que g ( = + 5 es una función de iteración posible para el problema (, en el intervalo cerrado [,]. b Para la función g, en el intervalo [,], eaminar cuáles hipótesis del teorema fundamental de punto fijo cumple. Justificar sus afirmaciones. Sacar conclusiones. c Decidir si la sucesión n+ = g( n, n = 0,,,... converge o no; si lo hace, a qué valor converge? Depende la convergencia de ( n del valor inicial o escogido en [,]?. Justificar sus afirmaciones. d Tomar o =, calcular y. 8. Considerar la ecuación: + 8 = 0. a Demostrar analíticamente que la ecuación tiene una única raíz real. b Comprobar que la función g( = 8 es una función de iteración de punto fijo para la ecuación propuesta. c Determinar un intervalo cerrado [ a, b ] donde la función g satisfaga todas las hipótesis del Teorema Fundamental de Punto Fijo y verificar analíticamente sus afirmaciones. (Ayuda: Para a y b sirven números enteros. d Para un o escogido en el interior del intervalo determinado, analizar si la sucesión de iteración de punto fijo converge o no. Justificar sus conclusiones. 9. Use el método iterativo de punto fijo para encontrar una aproimación a una raíz de la ecuación + 0 cos = 0. Para aplicar el método debe escoger una función de iteración g ( que satisfaga todas las hipótesis del teorema de punto fijo en un intervalo adecuado. Cuál es el orden de convergencia del método de punto fijo en esta aplicación? Eplique cuál es la precisión de los resultados obtenidos. 4

5 0. Se dispone de una lámina rectangular 0 cm 6 cm, para construir una caja rectangular sin tapa, cortando un cuadrado de igual tamaño en cada una de las esquinas. Estimar un posible valor para el lado del cuadrado de tal forma que el volumen de la caja sea de 00 cm.. Las gráficas de las funciones ( ( f = e f = 00 se cortan en algún punto α del intervalo [ 0, ]. a Mostrar que g ( de α. = 0 e es una función de iteración de punto fijo para el cálculo b Verificar que la función g satisface las hipótesis del Teorema Fundamental de Puntos Fijos (eistencia y unicidad. c Dejar claramente indicadas las operaciones correspondientes a las dos siguientes iteraciones de PF, comenzando con 0 = 0. d La escogencia del 0 inicial en [ 0, ] influye en la convergencia o divergencia del proceso de PF? Justificar su respuesta.. Encontrar valores aproimados de las coordenadas del punto situado en el primer cuadrante donde se cortan: + y = 4, y, y = e Para ello, usar la técnica de P.F., tomando como función de iteración a g ( = ln ( 4 en el intervalo [ 0, ]. Verificar que g es una función de iteración posible, y que además cumple las hipótesis del Teorema Fundamental de P.F. Concluya sobre la convergencia de la sucesión ( n generada, y decir hacia dónde converge. Calcular dos iteraciones, tomando o =. 5

6 . Hallar una aproimación a la menor raíz positiva de la ecuación = 0. Usar dos iteraciones con la técnica de punto fijo. Dar eplícitamente el intervalo en el cual la función de iteración escogida satisface las hipótesis del teorema de punto fijo (probarlas. 4. Usar el método de punto fijo para determinar una aproimación a la raíz positiva de tan ( = 0, después de tres iteraciones. Verificar que su función de iteración cumple todas las condiciones del Teorema Fundamental de Puntos Fijos, en el intervalo elegido por usted. 5. Considerar la ecuación: = 0 Usar la técnica de punto fijo para determinar una aproimación de su raíz positiva. Determinar un intervalo y una función de iteración que satisfagan las hipótesis del Teorema de Punto Fijo. Calcular cinco iteraciones. 6. Considerar la función: a g ( = +, > 0 a Si g tiene un punto fijo, cuál sería? b Construir un intervalo donde la función g satisfaga las hipótesis del T.F.P.F. c Para valores de a, calcular varias iteraciones de P.F. 7. Usar la técnica de P.F. para calcular una aproimación a la raíz positiva más pequeña de e cos = Demostrar que la ecuación: sen π + = 0 tiene una única raíz en, 9. Dado el sistema de ecuaciones no lineales: y = 4 e + y = a Haga una gráfica que ilustre cuántas soluciones reales tiene el sistema. 6

7 b Para una de las soluciones reales, tome como aproimación inicial un punto t apropiado de coordenadas enteras ( 0 ( 0 y ( 0 =, y realice todos los pasos necesarios para obtener la aproimación t ( ( y ( =,, utilizando el método de Newton Raphson. c Obtenga una aproimación ( n ( n y ( n =, por medio del computador, iterando hasta que ( n ( n < 0, utilizando el método de Newton Raphson. 0. Resolver el siguiente sistema no lineal ( cos ( ( sen ( sen h y = 0 y cos h y = 0 usando como condición inicial el punto ( 0., 9. y el método de Newton.. Usar el método de Newton para sistemas no lineales para calcular una aproimación a la solución del sistema 9 + y = 9 + y = Tome como ( 0 = [, ] y calcule dos iteraciones. Dejar indicadas las operaciones antes de realizar cálculos.. Aplicar el método de Newton al sistema: y 6+ 8= 0 + 9y 8y 6+ 9= 0 Tome como punto inicial ( 44, y calcule dos iteraciones. Aritmética eacta.. Considerar el sistema de ecuaciones no lineales: + y z = 0 + y + z = y + z = 7

8 a Usar el método de Newton para calcular dos iteraciones tomando (, 0, 0 como punto de partida. ± son solución del sistema. c Usar un código para realizar los cálculos, tomando varios puntos de partida. b Muestre que (, 0, 0 4. Utilizar el Método de Newton para calcular varias iteraciones, en los siguientes sistemas:... + y = + y + z = 0 + y = y sen = 0 + y y = 0 y = 0 5. Usar el Método de Bairstow para hallar todas las raíces de los siguientes polinomios, tomando como punto de partida el indicado en cada caso: 5 4 a p ( z = z 7z 5z + z 8z +, (u, v = (, b 4 ( = c ( = d ( = p, (u, v = (0,0 p, (u, v = (-0.5, p, (u, v = (-0., 6. Rehacer los literales (c y (d del ejercicio anterior, pero empleando el método de Newton para hallar la raíz real y posteriormente división sintética para encontrar el factor cuadrático irreducible y de allí las raíces complejas. 8