Ecuaciones Cuadráticas (por lo menos una variable elevada al cuadrado)

Transcripción

1 Breve Reso de Geometrí en el Plno Euión Linel (tods ls vriles están elevds l 1ª) Ret Euión Generl de l Ret: A B C = 0 = f ( ) Euión Segmentri de l Ret: = 1 Euiones Cudrátis (or lo menos un vrile elevd l udrdo) Cónis Cónis on entro en el origen: ± ± = 1 Los términos ositivos Elise = 1 r Si demás = = r Cirunfereni = r r Un término ositivo otro negtivo Hiérol = 1 El término negtivo determin el eje imginrio. L urv NO ort l eje imginrio No se ueden dr dos signos negtivos. No se estrí en el lno rel. Cónis sin entro: = Práol L ráol rode l eje de l vrile linel. 1

2 Funiones de dos Vriles Un funión de dos vriles en geometrí reresent un suerfiie en el esio de tres dimensiones (R 3 ). ( ) z f, = Dominio formdo or dos vriles indeendientes. z z 0 0 z 0 = osiión de l imgen ue orresonde l unto del dominio ( 0, 0 ) 0 Euión Linel (tods ls vriles están elevds l 1ª) Euión Generl del lno: A B Cz D = 0 z Plno Euión Segmentri del Plno: z = 1 Euiones Cudrátis (or lo menos un vrile elevd l udrdo) Suerfiies : on entro en el origen: ± ± z ± = 1 Vrindo los signos ositivos negtivos se otienen los distintos tios de suerfiies. En este tio de suerfiies eiste un trile simetrí, or lo tnto son simétris reseto l unto de interseión entre ls suerfiies. Entones odemos deir ue son simétris reseto un entro.

3 Los tres términos udrátios ositivos: ELIPSOIDE z Trzs de un elisoide: Trz on el lno, z = 0 elise Trz on el lno z, = 0 z elise Trz on el lno z, = 0 z elise Si un de ls trzs es un irunfereni, se llm elisoide de revoluión. De uerdo los vlores de los rámetros el elisoide uede tomr distints osiiones. 3

4 En el so de ue todos los rámetros sen igules, es deir, = = = r, se tiene un esfer. z = r Dos términos udrátios ositivos uno negtivo: HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA z = 1 El hieroloide NO ort l eje de l vrile ue está en el término negtivo. 4

5 Trzs del hieroloide de un hoj: Trz on el lno, z = 0 - hiérol eje rel en, eje imginrio en. Trz on el lno z, = 0 z - hiérol eje rel en z, eje imginrio en. Trz on el lno z, = 0 z elise L elise más eueñ, se llm elise de grgnt. Si en vez de tener omo trz un elise se tiene un irunfereni, l suerfiie se llm Hieroloide de un hoj de revoluión. Est es un suerfiie regld, es deir, ue se l uede otener medinte rets. 5

6 De uerdo los vlores de los rámetros el hieroloide de un hoj uede tomr distints osiiones. Un término udrátio ositivo dos negtivos: HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS z El hieroloide NO ort l lno formdo or los ejes de ls vriles ue están en los términos negtivos. Trzs del hieroloide de dos hojs: Trz on el lno, z = 0 No eiste trz. Trz on un lno rlelo l, z = d on Como d > 1, d 1 d d > = d 1 > 1. Entones se uede llegr : elise 6

7 Trz on el lno z, = 0 z - hiérol eje rel en z, eje imginrio en. Trz on el lno z, = 0 z hiérol eje rel en z, eje imginrio en. - Si los dos rámetros negtivos tienen el mismo vlor el Hieroloide de dos hojs se die de revoluión. (se lleg 1 = 1) 7

8 sin entro: z = ± ± PARABOLOIDES Los dos términos udrátios on el mismo signo: PARABOLOIDE ELÍPTICO z = El roloide rode l eje de l vrile linel Trzs del roloide elítio: Trz on el lno, z = 0 =0 Punto (0,0) vértie del roloide. Trz on un lno rlelo l, z = d on d = d >0 Entones se uede llegr : 1 1 elise Trz on el lno z, = 0 z = ráol ue rz l eje z. 8

9 Trz on el lno z, = 0 z = ráol ue rz l eje z. Si l seión norml l eje l ue rode el roloide es un irunfereni, es deir =, el roloide se llm de revoluión. Si el vértie está deslzdo sore el eje l ue rode el roloide, se tiene: z = k Vrindo los rámetros meniondos sus signos se ueden tener los siguientes roloides: Los dos términos udrátios on distinto signo: PARABOLOIDE HIPERBÓLICO z = Z Y X 9

10 Trzs del roloide hierólio: Trz on el lno, z = =0 = Dos rets ue sn or el origen. Trz on el lno z, = 0 z = ráol ue rz l eje z, on rms de onvidd negtivs. Trz on el lno z, = 0 z = ráol ue rz l eje z, on rms de onvidd ositivs. 10

11 Si mrmos l interseión del roloide hierólio on lnos rlelos l tenemos: z = ±d d = d d Que deendiendo del signo de d son hiérols on eje imginrio o. El roloide hierólio es un suerfiie regld. 11

12 Suerfiies Cilíndris: Se llm suerfiie ilíndri un suerfiie generd or un ret ue se deslz rlel si mism siguiendo un urv C llmd diretriz. Z O P(,,z ) Z Y C R(,,0) X Y X Si l diretriz de un suerfiie ilíndri es un irunfereni, l suerfiie se llm irulr. Análogmente, tenemos suerfiies ilíndris rólis, elítis e hierólis. 1