GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

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1 CAPITULO VII CALCULO II GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO Es el estudio de las formas geométricas en un sistema ordenado. Un sistema de ejes coordenados en el espacio, dividen al espacio en ocho octangulos. Los ejes X,Y,Z determinan tres planos, donde los vectores son denominados puntos P1, P2...Pn. 7.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN EL ESPACIO Un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio, esta conformado por la asociación de puntos del espacio, con ternas ordenadas de números reales, donde la terna está referida a tres rectas reales perpendicularmente dispuestas. Estas rectas se llaman ejes coordenados, se interceptan en un plano llamado origen. Los ejes X; Y; Z; determinan a su vez tres planos llamados planos coordenados YZ; ZX; XY; DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos P 1 y P 2 se calcula usando la siguiente fórmula: d( P 1, P 2 ) = P 1 - P 2 Por ejemplo: d(4, -6) = 4 - (-6) = 10 Pero para hallar la distancia entre dos puntos, mediante sus coordenadas P 1 (X 1, Y 1 ) y P 2 (X 2, Y 2 ), utilizamos la siguiente fórmula de distancia: 61

2 D = 7.3 LA RECTA La recta en el espacio es un lugar geométrico de puntos, que satisfacen a dos ecuaciones lineales, con tres variables de la forma: Donde: A1,A2;B1, B2; C1, C2; D1, D2 son constantes. Z Recta con b=0, c=0 Y P 1 P = t P 1 P 2 0P = 0P 1 + P 1 P 0P = 0P1 + t P1P2 X ECUACIONES DE LA RECTA La ecuación vectorial de es 1. Despejando obtenemos las ecuaciones parámetricas de 62

3 2. Si cada, despejando obtenemos las ecuaciones cartesiana de 3. Si cada, despejando obtenemos la ecuación de dos puntos de PROPIEDADES Donde: Po: es un punto conocido a: es su dirección t: es un parámetro 1. si y sólo si 2. si y sólo si 3. El ángulo entre y es igual al ángulo entre y 7.4 EL PLANO El plano en el espacio se define como el lugar geométrico de puntos que satisfacen la ecuación: Ax + By + Cz + D = 0 Donde: A,B,C,D son constantes. P (x, y, z) n Sea Po=(xo,yo,zo) un punto conocido perteneciente al plano y n un vector dado, normal; n= (a, b, c) Sea P=(x,y,z) un punto genérico del 63 plano Po (xo, yo, zo)

4 7.4.1 ECUACIÓN VECTORIAL Representado por: Donde: P, P 0 pertenecen al plano; N es su vector normal. Ejemplo: Determinar la ecuación del plano que contiene al punto P 0 =(2,-3,5) y un vector direccional N = (4,3,-2) ECUACIÓN PUNTO NORMAL. (P - P 0 ) o N = 0 A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Donde: N = (ABC); P(x,y,z); Po=( x 0, y 0, z 0 ) Ejemplo: Determinar la ecuación del plano II que pasa por el punto P 0 =(3,6,9) donde N = (3,-2,8) ECUACIÓN REDUCIDA x + y + z = 1=0 a b c 64

5 Donde: a,b,c son las intersecciones con los ejes : X,Y,Z Ejemplo: El plano II intercepta a los ejes coordenados: X;Y;Z en 2,5,6; respectivamente utilizamos la ecuación reducida ECUACIÓN DE TRES PUNTOS. (P P 0 ) o [(P 2 - P 1 ) x (P 2 - P 1 ) ] = 0 Donde: P,P 1, P 2 pertenecen al plano. Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos: P 1 =(1,2,5), P 2 =(2,4,3), P 3 =(4,7,6) DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. La distancia de un punto Pe a un plano, de normal N que pasa por el punto Pe se determina por: D = (Pe P 0 ) o N N Ejemplo: Dado el punto: P e (2,6,9) y el plano II: x+2y+2z-8=0; determinando el punto P e del plano en ecuación. Si: x=0; y=0; reemplazar estos valores en la ecuación del plano y despejar z. 7.5 CUÁDRICAS Definición: Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo 65

6 7.5.1 ELIPSOIDE 1. Intersección a los ejes: x + a, y + b, z + c 2. Simétrico: f (x, y, z) = f ( x, y, z) 3. La intersección con los planos de los ejes son elipses 4. La intersección de un plano paralelo al de los ejes determina una elipse ó dos puntos (elipse degenerada) 5. En caso que a = b (para valores de z menores de c) elipsoide de revolución. 6. En caso que a = b = c Superficie esférica de radio a : x 2 + y 2 + z 2 = a HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS: 66

7 1. Intercepta únicamente al eje x + a 2. Simétrico respecto a los planos, a los ejes y el centro de coordenadas. 3. La intersección con los planos xy, xz son hipérbolas 4. La intersección de un plano paralelo al de los planos xy, xz son hipérbolas. 5. La intersección con el plano zy (a lo largo de x) determina elipses para valores mayores que a y menores que a. Dos puntos al ser iguales que a ó a. Para valores menores, no hay intersección. 6. En caso que a = b, b = c ó c = a, respectivamente, los hiperboloides se denominan de revolución. 67