TEMA 4. Geometría. Teoría. Matemáticas

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2 1.- Rectas y ángulos La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que forman parte del espacio geométrico, es decir, el conjunto formado por todos los puntos: El punto La recta El plano Partiendo de ellos, se generan otros elementos muy importantes. Por ejemplo semirrecta, el segmento. También el punto, la línea y el plano sirven para construir figuras planas como: El círculo: es una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia: es una línea curva cerrada y plana, en la que todos los puntos que la conforman equidistan de un punto llamado centro. El polígono: es una figura plana limitada por segmentos. El ángulo: es la parte del plano que queda delimitada por dos semirrectas que se originan en el mismo punto. Este punto se llama vértice del ángulo 1.2 Teorema de Tales Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Ejemplo 1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x. 2

3 2.- Los polígonos Un polígono es una figura plana cerrada, limitada por segmentos rectos Un polígono está formado por los siguientes elementos: Los lados: cada uno de los segmentos rectos que delimitan y cierran la superficie del polígono. Los vértices: son los puntos donde se unen dos lados. Los ángulos interiores: la amplitud determinada por dos lados, que tiene su origen en el vértice. Los ángulos exteriores: la abertura determinada por un lado y la prolongación del lado contiguo. Las diagonales: son líneas que unen dos vértices no consecutivos. La apotema: es la distancia del centro de un polígono al punto medio de un lado. Los polígonos se pueden clasificar según distintos criterios: Según los ángulos, pueden ser de dos tipos: Los convexos: todos sus ángulos interiores son menores que 180 y todas sus diagonales son interiores. Los cóncavos: tienen uno o más ángulos interiores mayores que 180 y una de sus diagonales es exterior 3

4 Según los lados y los ángulos, pueden ser de dos tipos: Los regulares: todos sus lados y sus ángulos son iguales. Los irregulares: algunos de sus lados y sus ángulos no son iguales. Según el número de lados, tienen como nombre un prefijo griego que indica el número de lados (penta-, hexa-, etc.) y el sufijo -gono ( lado ). Podemos ver los polígonos que con más frecuencia se tratan en geometría en la siguiente ilustración. 3.- Triángulos Un triángulo es un polígono con tres lados. Propiedades de los triángulos Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Según sus lados, los triángulos pueden ser de tres tipos: Los equiláteros: tienen los tres lados iguales. Los isósceles: tienen dos lados iguales. Los escalenos: tienen los tres lados diferentes. 4

5 Según sus ángulos, los triángulos pueden ser de tres tipos: Los acutángulos: tienen los tres ángulos agudos (menores de 90 ). Los rectángulos: tienen un ángulo recto (90 ). Los obtusángulos: tienen un ángulo obtuso (mayor de 90 ) El teorema de Pitágoras Pitágoras de Samos ( a.c.) fue un filósofo y matemático griego que contribuyó de manera significativa al avance de las matemáticas. Encontró la relación que existe entre las medidas de los lados de los triángulos rectángulos, es lo que se conoce como teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, se llama hipotenusa al lado mayor (que es el opuesto al ángulo recto) y cateto a cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto. El teorema de Pitágoras establece una relación entre las medidas de los lados de los triángulos rectángulos, de manera que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 5

6 Ejemplo: Longitud de un lado de un triángulo rectángulo conociendo los otros dos lados: si un cateto de un triángulo rectángulo mide 3 cm y la hipotenusa, 5 cm, cuánto mide el otro cateto? Sabemos que, por Pitágoras, el valor de un lado de un triángulo respecto a los otros dos es: En nuestro caso, si c = 3 cm y a = 5 cm, entonces tendremos: Respuesta: el otro cateto mide 4 cm. 4. Cuadriláteros Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360. Clasificación de cuadriláteros 1 Paralelogramos: Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en: Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide 2 Trapecios: Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en: T. rectángulo T. Isósceles T. escaleno Trapezoides Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo. 6

7 Áreas de polígonos Las unidades de área más comunes son cm 2 o m 2. En la siguiente figura se recogen las formulas de los polígonos más comunes. Recuerda que el perímetro de un polígono es la suma de todos sus lados. 5.- Circulo Recuerda La longitud de una circunferencia es igual a 2 π r, donde r es el radio. El área de un circulo es π r 2 Los elementos de superficie relacionados con el círculo son: 7

8 El sector circular: es una superficie del círculo comprendida entre dos radios y el arco que va entre ellos. Dos casos particulares de sector circular son: El semicírculo: que es medio círculo, cuando el arco es de 180. El cuadrante: que es la cuarta parte del círculo, cuando el arco es de 90. El segmento circular: es la superficie del círculo comprendida entre una cuerda y su arco. Un caso particular de segmento circular es el semicírculo, que es medio círculo, cuando el arco es de 180. Por lo tanto, cuando n = 180 : La cuerda es el diámetro. El segmento circular coincide con el sector circular. La corona circular: es la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Las áreas son: 8

9 6.- Los poliedros Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales limitados por caras planas de forma poligonal. Observa lo siguiente:++ Los elementos de un poliedro son: Las caras: cada uno de los polígonos que limitan el poliedro. Pueden ser triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. Las aristas: los segmentos rectos que forman dos caras cuando se cortan entre sí. Los vértices: los puntos donde concurren tres o más aristas. Las diagonales: los segmentos que unen dos vértices que no están situados en la misma arista. 9

10 6.1.- Prismas Los prismas son poliedros irregulares que tienen dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí, y el resto de caras son paralelogramos. Según como sean los polígonos que forman las bases: En función del tipo de polígonos que forman la base, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc.: Triangular: sus bases son triángulos. Cuadrangular: sus bases son cuadrados. Pentagonal: sus bases son pentágonos. Hexagonal: sus bases son hexágonos. Etc. Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales. Superficie de un prisma S = 2S b + S L S b área del polígono base S L área lateral, S L = P h donde P es el perímetro de la base y h es la altura Volumen de un prisma V = S b h S área del polígono base, h es la altura. 10

11 6.2.- Las pirámides Las pirámides son poliedros con las caras laterales triangulares. A continuación, vamos a ver la clasificación de las pirámides en función de distintos criterios. Según los polígonos que forman la base: En función de cómo sea el polígono que forma la base, una pirámide puede ser triangular, cuadrangular, etc.: Triangular: si su base es un triángulo. Cuadrangular: si su base es un cuadrado. Pentagonal: si su base es un pentágono. Etc. 11

12 Por el contrario, una pirámide es irregular si su base no es un polígono regular. Superficie de la Pirámide S = S b + S L S b área del polígono regular base S L área lateral, P ap S L = 2 donde P es el perímetro de la base y ap es la altura de la cara lateral (apotema) Volumen de una pirámide V = S b h 3 S b área del polígono base, h es la altura Los poliedros regulares Los poliedros regulares son aquellos que cumplen las siguientes condiciones: Todas las caras están formadas por polígonos regulares iguales. A todos los vértices del poliedro se unen el mismo número de caras. Solo hay cinco poliedros regulares convexos que son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. 7.- Geometría de los cuerpos de revolución Un cuerpo de revolución es un cuerpo tridimensional que puede generarse a partir del giro de una figura plana alrededor de un eje. El eje puede estar pegado a uno de los lados de la figura o bien ser externo a este: Si el eje está pegado a uno de los lados de la figura, el eje queda en el interior del cuerpo resultante. Si el eje es externo, el cuerpo resultante tendrá un agujero, como sucede, por ejemplo, con las rosquillas. La línea exterior de la figura plana cuyo giro genera la superficie del cuerpo de revolución recibe el nombre de generatriz. 12

13 7.1. El cilindro Un cilindro se obtiene por el giro de un rectángulo en torno a un eje unido a uno de sus lados. Área del cilindro A L = 2.π.R At = A L + 2.Ab V = A b. altura R radio A L área lateral A b área de la base Volumen del cilindro V = A b. altura 7.2. El Cono El cono se obtiene mediante el giro de un triángulo rectángulo alrededor de un eje, que está unido a uno de los catetos. Los elementos que conforman el cilindro son los siguientes: 13

14 Área del cono Al = π.r.g Volumen del cono V = 1/3.Ab.altura At = Al + Ab 7.3. Esfera La esfera es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar un semicírculo en torno a un eje que está unido a su diámetro. Area volumen A = 4 π r 2 V = 4 π r3 3 14

15 8.- Las figuras semejantes Para introducirnos en el tema, un buen inicio es buscar algún ejemplo en nuestro entorno donde el concepto de semejanza esté presente. Fíjate en estas imágenes: Las ampliaciones y las reducciones de fotografías son un ejemplo de semejanza. Las ampliaciones o reducciones de fotografías, fotocopias, etc. son magníficos ejemplos de realización de figuras semejantes. Las denominamos semejantes porque dichas figuras mantienen la misma forma y solo se diferencian en su tamaño La razón de semejanza En relación a las figuras semejantes, se llama razón de semejanza al cociente entre la longitud de un segmento de una figura y la longitud de su segmento correspondiente u homólogo en la otra figura. Observa la siguiente imagen: 15

16 Comprobamos que todos los segmentos de la figura de la derecha mantienen la misma relación de proporcionalidad con sus homólogos de la otra figura. La razón de semejanza es la siguiente: Los segmentos de la segunda figura son dos veces más grandes que sus homólogos de la primera figura. Si 0 < k < 1, la figura será una reducción de la original. Si k > 1, la figura será una ampliación de la original Las escalas La semejanza de figuras nos permite hacer representaciones de objetos reales a un tamaño más grande, las ampliaciones, o más pequeño, las reducciones. En estos casos, la razón de semejanza recibe el nombre de escala. Las escalas pueden ser: Numéricas: se expresan en forma de cociente x : y, donde: x representa las unidades medidas sobre la representación. y representa la medida correspondiente al objeto real. Gráficas: se representan las distancias reales sobre un segmento graduado. 16

17 La escala Cuando realizamos una representación de un objeto real a un tamaño más grande, el factor de escala se denomina escala de ampliación. En estos casos, el denominador en la escala numérica es 1 (por ejemplo, 2:1, 5:1, etc.). ejemplo: dos escuelas están a una distancia de 2 km. Si en un plano se representan a una distancia de 0,5 m, qué escala se ha utilizado?. Respuesta: la escala de plano es 1:

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