Antes de ver la definición, estudiemos unos ejemplos de espacios vectoriales para ver las propiedades comunes.

Transcripción

1 Espacios vectoiales. Popiedades. Antes de ve la definición, estudiemos unos ejemplos de espacios vectoiales paa ve las popiedades comunes. R 2 =RxR={(x,y)/x,y R} conjunto de todos los paes de númeos eales Dos paes son iguales si lo son sus componentes, es deci: (x,y)=(x',y') x=x' e y=y' En R 2 se definen las siguientes opeaciones: Opeación intena: suma: (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') Opeación extena: Poducto po númeos eales: k(x,y)=(kx,ky) Estas opeaciones cumplen las siguientes popiedades: Sean u =(x,y), v =(x',y') y w =(x'',y'') 1: Asociativa: (u + v ) + w = u + (v + w ) : [(x,y)+(x',y')]+(x'',y'')=(x,y)+[(x',y')+(x'',y'')] 2: Conmutativa: u + v = v + u : (x,y)+(x',y')=(x',y')+(x,y) : Elemento neuto: 0=(0;0) ya que u + 0 = u : (x,y)+(0,0)=(x,y) 4: Elemento opuesto: el opuesto de u =(x,y) es - u =(-x,-y) ya que u + ( u ) = 0, es deci: (x,y)+(0,0)=(x,y) 5: k[ u + v ] = ku + kv : k[(x,y)+(x',y')]=k(x,y)+k(x',y') 6: (k + h)u = ku + hu : (k+h)(x,y)=k(x,y)+h(x,y) 7: k[ hu] = (kh) u : k[h(x,y)]=(kh)(x,y) 8: 1 u = u : 1(x,y)=(x,y) R =RxRxR={(x,y,z)/x,y,z R} conjunto de todas las tenas de númeos eales con la opeación intena, suma:(x,y,z)+(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z') y la opeación extena, poducto po nºeales: k(x,y,z)=(kx,ky,kz) también se cumplen las 8 popiedades anteioes. En geneal R n =RxRx... n veces...xr={ (x 1 )/x i R, i=1,...,n} con las opeaciones: suma: (x 1 )+(x' 1,x' 2,...,x' n )=(x 1 +x' 1 +x' 2 +x' n ) poducto po númeos eales:k(x 1 )=(kx 1,kx 2,...,kx n ) también se cumplen las 8 popiedades anteioes. Pasemos a defini un espacio vectoial de foma geneal. Definición Sea V = { u,v,w,...} un conjunto no vacío de elementos, a los que les llamaemos vectoes. En este conjunto definimos las siguientes opeaciones: Suma: u + v V (es una opeación intena) Poducto po númeos eales: ku V (es una opeación extena) El conjunto V con las opeaciones "+" y " R" es un espacio vectoial si se cumplen las ocho popiedades siguientes: 1: Asociativa: (u + v ) + w = u + (v + w ) 2: Conmutativa: u + v = v + u : Elemento neuto: Existe un elemento al que nombaemos 0, tal que paa cualquie oto elemento u, se cumple u + 0 = u 4: Elemento opuesto: paa todo u, existe oto elemento - u (opuesto de u ) tal que u +(- u )= 0 5: k[ u + v ] = ku + kv 6: (k + h)u = ku + hu 7: k[ hu] = (kh) u 8: 1 u = u El espacio vectoial V definido así, lo designaemos po (V,+, R) o V(R) o símplemente V. Los elementos de V se llaman vectoes y los elementos de R escalaes. 1

2 Ejemplos de espacios vectoiales - El conjunto de vectoes libes del plano V 2, con las opeaciones de suma de vectoes y poducto po un númeo eal usuales. - El conjunto de los polinomios con coeficientes eales, de gado meno o igual que n, con las opeaciones usuales de suma de polinomios y poducto de un polinomio po un númeo eal. - El conjunto de las sucesiones de númeos eales con las opeaciones usuales de suma de sucesiones y poducto de una sucesión po un númeo eal. - El conjunto de las funciones eales continuas definidas en un intevalo, con las opeaciones de suma de funciones y poducto de una función po un númeo eal. - El conjunto de los númeos complejos con las opeaciones usuales de suma de complejos y poducto de un complejo po un númeo eal. Otas popiedades Popiedades de los ceos: 1: 0 0 = 0 2: k 0 = 0 : k u = 0 k = 0 ó u = 0 Ejecicios Popiedades de los signos: 4: u ( + v ) = u v 5: u ( v ) = u + v 6: k( u ) = ku 7: k(u ) = ku 8: k( u ) = ku Popiedades simplificativas: 9: u + v = u + w v = w 10: ku = kv u = v si k 0 11: ku = hu k = h si u En R 4, detemina el vecto (x,y,z,t) en cada caso: a) (x,y,z,t)=5(6,-1,8,4)-[(1,2,-5,)-5(4,,-1,2)] b) 6(x,y,z,t)=8(1,-1,2,0)+7[(2,,-5,6)-(1,-5,,7)]+(-1,-,-6,0) c) 4[(1,-1,2,)+4(x,y,z,t)]=-5(2,-6,,1)-[(8,,-5,2)-2(1,-2,0,0)] 2.- En R 2 se definen las opeaciones: suma: (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') poducto po escalaes: k(x,y)=(k 2 x,ky) Estudia si R 2 con estas opeaciones tiene estuctua de espacio vectoial.- Sea A={(x,y,y)/x,y R}. Sobe A se definen las opeaciones: suma: (x,y,y)+(x',y',y')=(x+x',y+y',y+y') poducto po escalaes: k(x,y,y)=(kx,ky,ky) Estudia si A con las opeaciones así definidas es un espacio vectoial. Subespacios vectoiales. Caacteísticas Sea V un espacio vectoial eal. Una pate W de V no vacía, se dice que es un subespacio vectoial de V, cuando es espacio vectoial especto de las opeaciones definidas en V, es deci, en W se deben veifica las 8 popiedades de un espacio vectoial. Ejemplos: En R 2 consideemos: W 1 ={0}xR={(0,y)/y R} eje y ; W 2 ={Rx{0}={(x,0)/x R} eje x W 1 y W 2 son subespacios vectoiales de R 2 En R consideemos W={(x,y,0)/x,y R}: W es un subespacio vectoial de R Caacteización Paa poba que un subconjunto no vacío de un espacio vectoial es un subespacio vectoial, no hace falta compoba las ocho popiedades, ya que según el siguiente teoema, se pueden educi a dos. Teoema: La condición necesaia y suficiente paa que un subconjunto no vacío W de V, sea un subespacio vectoial, es que se veifiquen las popiedades: 1) u,v W u + v W 2) u W, k R ku W 2

3 Coolaio: La condición necesaia y suficiente paa que un subconjunto no vacío W de V, sea un subespacio vectoial, es que se veifique: λ, µ y u,v W λu + µ v W Ejemplos: a)sea V un espacio vectoial y W 1 y W 2 subespacios vectoiales de V. Entonces W 1 W 2 es un subespacio vectoial de V. "La intesección de subespacios es un subespacio." b)la unión de subespacios no es en geneal un subespacio. Po ejemplo los subespacios de R 4 : W 1 ={(x,y,z,o)}; W 2 ={(x,y,0,t)}; W 1 W 2 no es un subespacio de R 4. 4 { R / x + + z + t = 0} c) A ( x,y,z,t ) = es un subespacio de R 4. Ente los subespacios vectoiales de un espacio vectoial V se encuentan dos muy paticulaes, los llamados tiviales que son el mismo V y el fomado sólo po el vecto nulo 0. Los subespacios no tiviales se llaman subespacios popios. Ejecicios: 1: En R, detemina cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoiales: a) A = {( x,y,z) R / x = y = 0} b) B = {( x,y,z) R / x + y z = 0} c) {( x,y,z) R / x = 1} d) D = {( x,y,z) R / y } e) E = {( x,y,z) R / x + 2y = 0} 2: En R los únicos subespacios existentes son los tiviales. : W 1 y W 2 subespacios vectoiales de V, entonces W1 + W2 = { z V / z = x + y con x W1,y W2 } es un subespacio vectoial de V. 4: Sea W un subespacio vectoial de V y sea λ 1v W, v V tal que v W. Demosta que λ R, λ 0 λv W Demostación: Si λ 1 R es tal que λ 1v W, entonces po se W un subespacio vectoial, y aplicando la popiedad 2 del teoema de caacteización, al multiplica λ 1 v po cualquie númeo eal, también estaá en W; en 1 paticula ( λ v 1 ) = v W lo cual está en contadicción con la hipótesis. λ 1 Dependencia e independencia lineal Combinación lineal de vectoes Un vecto u de V, es combinación lineal de los vectoes u1,..., un de V si puede expesase u = a1u1 + a2u2 + L + anun siendo a i R, i=1,...,n Consecuencias: 1) Todo vecto es combinación lineal de sí mismo: u = 1 u 2) El vecto 0 es combinación lineal de cualquie conjunto de vectoes: 0 = 0u1 + 0u2 + L + 0un Ejemplos: a) u =(2,2,2) es combinación lineal de v =(1,1,1) b) u =(5,7) es combinación lineal de v =(1,1),w =(2,) c) u =(,4,5) es combinación lineal de a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) d) En el espacio vectoial de los polinomios de gado meno o igual que 2, expesa el polinomio p(x)=5x 2 -x+7 como combinación lineal de los polinomios 2x 2,4x y. Vectoes linealmente independientes Un conjunto de vectoes u1,..., u de un espacio vectoial V, se dice libe o linealmente independiente (l.i.) si al hace α 1u1 + α2u2 + L + α u = 0 se tiene necesaiamente α i = 0, i = 1,..., Ejemplo: u =(5,0), v =(0,7) son l.i. en R 2

4 Vectoes linealmente dependientes Un conjunto de vectoes u1,..., u de un espacio vectoial V, se dice ligado, o linealmente dependiente (l.d.), si existen escalaes α 1,α 2,...,α no todos nulos tales que α 1u1 + α2u2 + L + α u = 0 También son l.d. si uno de ellos se pede pone como combinación lineal de los estantes, y en caso contaio son l.i. En el caso de R n, la dependencia lineal equivale a la popocionalidad de las componentes de los vectoes. Po ejemplo: (1,2,) y (4,8,12) son l.d. Ejecicios: 1) Estudia la dependencia lineal de (1,2,),(2,1,) y (1,0,1). 2) " " " " " (,,2),(1,1,-1) y (2,2,). ) Detemina la expesión geneal de los vectoes de R 4 que son combinación lineal de : a) el vecto (-1,2,,1) b) los vectoes (,1,0,5) y (1,0,0,-5) Popiedades 1) S= { u1,...,u } l.i. cualquie subconjunto no vacío de S es l.i. 2)S= { u1,...,u } l.d. cualesquiea v1,..., v s, el conjunto S'= { u1,...,u,v1,...,v s } ) Todo conjunto de vectoes que contenga el 0 es l.d. 4) Un vecto es l.i. es no nulo es l.d. Sistemas de geneadoes,...,u } un conjunto de vectoes de V y sea L(S) el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de esos vectoes. L(S) = { a1u1 + a2u2 + L + a u / ai R } L(S) es un subespacio vectoial ya que: - L(S) - La suma de combinaciones lineales es ota combinación lineal. - El poducto de una combinación linesl po un escala es ota combinación lineal. Definición,...,u } un conjunto de vectoes de un espacio vectoial V. Se llama subespacio engendado po S, y se designa po L(S), al subespacio vectoial de V fomado po todas las combinaciones posibles de los vectoes de S. Es deci, L(S) = { a1u1 + a2u2 + L + a u / ai R } L(S) también se denota po u1,..., u Los vectoes u i,i = 1,...,, se dice que foman un sistema de geneadoes de L(S). Ejemplos: a) W={(x,y,z) R /y=0}. Poba que {(1,0,0),(0,0,1)} es un sistema de geneadoes de W. b) u =(1,0,0), v =(0,1,0), w =(0,0,1) es un sistema de geneadoes de R. c) {p(x)=x2, q(x)=x, (x)=1} son un sitema de geneadoes de P2 (x). Teoema de Steinitz Sea V un espacio vectoial, sea S= { u1,...,um } un sistema de geneadoes de V. Sea H= v1,..., v l.i. Entonces m y se pueden sustitui los vectoes de S po los de H, convenientemente elegidos, de foma que el conjunto esultante sigue siendo un sistema de geneadoes de V. Dicho de ota manea, el núneo de vectoes l.i. de un espacio vectoial es meno o igual que el númeo de vectoes de cualquie sistema de geneadoes de dicho espacio vectoial. Teoema 4

5 ,v } un sistema de geneadoes de V. Si v es combinación lineal de los estantes vectoes de S, y se supime v, el conjunto S'= { u1 } esultante también es un sistema de geneadoes de V. Base y dimensión de un espacio vectoial. Coodenadas En R 2 hemos visto que B={(1,0),(0,1)} es un sistema geneado y además es l.i. Po cumpli estas dos condiciones se dice que B es una base. Definición Sea V un espacio vectoial. Un conjunto de vectoes B= { u1 } es una base de V, si: a) B es un sistema geneado de V. b) B es l.i. Ejemplo: {(1,0),(0,1),(4,)} es sistema geneado peo no es l.i., po lo tanto no es base de R 2. Teoema B= { u1 } los vectoes de B; x = λ 1u1 + λ2u2 + L + λnun de manea única. Los númeos (λ 1,λ 2,...,λ n ) que son únicos paa x se les llama coodenadas de x en la base B. Es evidente que el mismo vecto tendá coodenadas distintas en ota base. Teoema de la base es base todo vecto x de V se puede escibi de manea única como combinación lineal de Todas las bases de un mismo espacio vectoial tienen el mismo númeo de elementos. - En un espacio vectoial no puede habe un conjunto de vectoes l.i. con más elementos que los que tiene una base. - En un espacio vectoial no puede habe un conjunto de vectoes que sea sistema de geneadoes, con menos elementos que los de una base. - Po lo tanto, el númeo de vectoes que componen una base es el máximo númeo de vectoes l.i. y el mínimo númeo de vectoes sistema de geneadoes. Ejemplo: En R una base es {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} fomada po vectoes. Entonces no puede habe en R más de vectoes l.i. ni menos de vectoes que sean sistema de geneadoes. Dimensión Se llama dimensión de un espacio vectoial V, al númeo de elementos que foman una cualquiea de sus bases. Se escibe dim(v). Ejemplo: dim(r 2 )=2, dim(r )=, dim(r n )=n Ejecicios: Detemina el vecto de R cuyas coodenedas en la base B={(2,0,0),(0,4,0),(0,0,-1)} son: a) (,1,5) b) (-6,,2) c) (-5,-4,6) Rango de un conjunto de vectoes,...,us } un conjunto de vectoes. Se llama ango de S y se denota g(s), al númeo máximo de vectoes l.i. de S. Tambiém podemos deci que g(s) es la dimensión del subespacio geneado po S; g(s)=dim L(S) Teoema,...,ui } un conjunto de vectoes que genean el espacio vectoial W, es deci, W = L( u1, u2,..., ui,..., us ) Sea S' el conjunto obtenido al aplica sobe S las siguientes tansfomaciones de Gauss: 5

6 a) Cambia el oden de los vectoes de S. b) Multiplica un vecto de S po un númeo distinto de ceo. c) Supimi un vecto que sea combinación lineal de los demás. d) Sustitui un vecto po la suma de él más oto multiplicado po un númeo eal. e) Sustitui un vecto po una combinación lineal de él y los estantes, siempe que el coeficiente de dicho vecto sea distinto de ceo. Entonces: 1) S'engenda el mismo subespacio que S, es deci W. 2) g(s')=g(s) Ejemplo: S= u,u,u,u } un subconjunto de R 4 { u 1 =(1,0,1,1), u 2 =(2,1,0,), u =(1,-1,,2), u 4 =(4,1,2,5) Sea H el subespacio engendado po S, es deci H=L(S) Aplicando el método de educción de Gauss se tiene: u 1 =(1,0,1,1) v 1 = u 1 = (1,0,1,1) w 1 = v 1 = (1,0,1,1) u 2 =(2,1,0,) v 2 = u 2-2 u 1 = (0,1,-2,1) w 2 = v 2 = (0,1,-2,1) u =(1,-1,,2) v = u - u 1 = (0,-1,2,1) w = v + v 2 = (0,0,0,2) u 4 =(4,1,2,5) v 4 = u 4-4 u 1 = (0,1,-2,1) w 4 = v 4 - v 2 = (0,0,0,0) Los tes conjuntos de vectoes { u1,u,u4 } ; { v1,v 2,v,v4 } ; { w1,w2,w,w4 } engendan el mismo subespacio vectoial H y po consiguiente tienen el mismo ango. Como { w1,w2,w } es l.i. estos vectoes foman una base del subespacio H. Po tanto: 1) g(s)= 2) dim(h)= ) una base de H es { w1,w2,w } Ejecicio: S= { u1,u,u4 } donde u 1 =(1,1,2,0), u 2 =(2,-1,0,1), u =(5,-1,2,2), u 4 =(,0,2,1) Sea H=L(S) Halla: a) g(s) b) una base de H c) ecuaciones paaméticas de H d) Petenece x =(2,11,16,-) al subespacio H? 6