MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II:

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II: EJERCICIOS RESUELTOS. PREPARACIÓN PARA LAS P.A.U. Lorena Sierra Galdón. Enrique Cantó Abad.

2 1ª Parte: EJERCICIOS CON SOLUCIONES T1:MATRICES...Pág3 T2:DETERMINANTES...Pág9 T3:SISTEMAS DE EC.LINEALES...Pág15 T4:PROGRAMACIÓN LINEAL...Pág21 T5:LÍMITESYCONTINUIDADDEFUNCIONES...Pág28 T6:DERIVADAS...Pág36 T7:APLIC.DELASDERIVADAS...Pág42 T8:INTEGRACIÓN...Pág48 T9:PROBABILIDAD...Pág52 2ª Parte: EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U. DE LA COMUNDAD VALENCIANA(RESUELTOS Y EXPLICADOS) T1y2:MATRICESYDETERMINANTES...Pág55 T3:SISTEMAS DE EC.LINEALES...Pág58 T4:PROGRAMACIÓN LINEAL...Pág65 T7a:APLIC.DELASDERIVADAS...Pág86 T7b:ESTUDIOYREPRESENTACIÓNDEFUNCIONES...Pág95 T8:INTEGRALDEFINIDA.APLICACIONES...Pág97 T9:PROBABILIDAD...Pág98-2-

3 1.DadaslasmatricesA TEMA 1. MATRICES ,B yc 2.HallalamatrizAquesatisfacelaigualdad: DeterminalasmatricesXeYtalesque:2X Y 3X 2Y DadaslasmatricesA ,yB EncuentratodaslasmatricesqueconmutenconA 6.CompruebaquelamatrizB lainversadeb? Hallalasinversas,porelmétododeGauss,de: A 11,M 3 0 4,B DadaslasmatricesB yc y calculaa 1999 yb esinversadea Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo: EJERCICIOS P.A.U.,calculaA 2B 3C A Cuáles,resuelveBX 3C C B 3I x y z 2 2x 5y 3z 5 3x y 2z 12 1.ExplicaquécondicionesdebenverificardosmatricesAyBparaquesepuedarealizar elproductoa B.Efectúa,siesposible,lasiguienteoperaciónmatricial: DadasdosmatricesAyBdeorden3 3,decirsielsiguienterazonamientoescorrectoo incorrecto. Si es correcto, indicar en cada paso la propiedad utilizada y si es incorrecto señalar el error cometido: -3-

4 A B A B A A A B B A B B A 2 A B B A B 2 A 2 B 2 3. Existealgúnvalordexqueverifiquelaigualdad x2 0x 4.SiendoAyBdosmatrices2 2,resolverelsistemamatricial: 3A 5B ; A 3B CalcularunamatrizXqueverifiqueX B 2 A B,siendo: A y B x 2 2 x DeunamatrizA n n sesabequeesidempotente(esdecir,quesecumplea 2 A).Se defineb 2A I,dondeIeslamatrizunidadn n.calculaelproductoa p B q A r, donde p,q y r son números enteros positivos.? Sea A 11.Sepide: a)demostrarquea2 2A I,dondeIeslamatriz identidad2 2. b)expresara 3 ya 4 enfuncióndea. c)calculara Seanlasmatrices A B C a)calculalamatrizinversadea.b)encontrarunamatrizxtalque: A X B 2C Dadaslasmatrices A 10 que A I 2 A 2 2A I. e I :a)hallasusinversas b)comprueba 10.Seanlasmatrices: A 123 ; B A B ; B A T ; B 2A T Calcular, si es posible, las matrices: 11.SeconsideralamatrizA Calcular AT A 1 2 A. 12.HallarlamatrizX,sabiendoquesatisfacelaecuaciónmatricial 3AX B,siendo: A y B

5 13.DeterminaraquellosvaloresdeyparaloscualeslamatrizZ y0 02 verifique la ecuaciónmatricialx 2 5 X I O,siendoIlamatrizidentidaddeordendosyOla 2 matriznuladeordendos.expresarz 1 enfuncióndez. 14. Dado el sistema de ecuaciones lineales 3x y z 0 x y z 0 y z 0 a)expresarloenlaformamatricial(ax B ycalcularlamatrizinversaa 1. b) Resolverlo. 15.LasrelacionesdeequilibriodedosmercadosXeYvienendadas,enfuncióndesus preciosdeequilibriop x yp y,porlasecuaciones 2P x P y 3 P x 2P y 4.Escribeesta información en notación matricial y determina el precio de cada mercado. 16.Unaempresaproducedostiposdetelevisores,AyB.Todosellossefabricanentres terminaciones: N, L y S, a los siguientes precios, en euros, cada unidad: N L S TelevisorA TelevisorB El nº de unidades producidas por año figuran en la siguiente tabla: A B TerminaciónN Terminación L Terminación S a)darlainformaciónanteriorendosmatrices,pyq.pseráunamatriz,conmenornº defilasquedecolumnas,quesuministrarálaproducciónporañoyqunamatriz,con mayor nº de filas que de columnas, que suministrará información sobre los precios. b)calcularp Q y Q P. c) QuéinformaciónsuministraladiagonalprincipaldeP Q ydeq P? 17. En Massafarina hay dos fábricas de bicicletas. La fábrica Rosinger S.A. produce 3 de carrerasy2demontañaenunahora.lafábricainmurains.l.produce4decarrerasy1 demontañaenunahora.lajornadadetrabajoenrosingers.a.esde7horasmientras que en Inmurain S.L. se trabajan 8 horas diarias. Esta información puede mostrarse en formamatricialsegún: P H 7 8. a)obténlamatrizproductop Heinterpretasuselementos. b)lamatrizpexpresaelnºdebicicletasdecarrerasydemontañaqueenunahorase fabrican en las dos empresas. Expresa en forma matricial la producción diaria de -5-

6 bicicletas de carreras y de montaña de ambas fábricas. 18.HallarlamatrizXsabiendoqueB A I AXA,siendo A B Unaempresafabricatrestiposdeartículos:A,ByC.Lospreciosdecostedecada unidad son 60, 92 y 143 respectivamente. Los correspondientes precios de venta de unaunidaddecadaartículoson180,280y400.elnºdeunidadesvendidas anualmente es de 2240, 1625 y 842, respectivamente. Sabiendo que las matrices de costeseingresos,c e I,sondiagonalesyquelamatrizdeventas,V,esunamatrizfila: a)determinalasmatricesc,iyv. b)obtén,apartirdelasmatricesanteriores,la matriz de ingresos anuales correspondiente a los tres artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales. 20. Tres escritores presentan a un editor, al acabar una enciclopedia, la minuta siguiente: Horas de trabajo Conferencias dadas Viajes EscritorA Escritor B Escritor C Eleditorpagalahoradetrabajoa30,laconferenciaa12 yelviajea20.side momentosólopiensapagar,respectivamente,el30%,el20%yel10%deloquele corresponda a cada escritor, qué gasto tendría el editor? 21.UnaempresadecarpinteríadisponededosnavesAyBdondesefabricansillasy mesasentrestiposdeacabados:calidadextrae,calidadmediam,ycalidadinferiori. Ambas naves tienen la misma producción mensual. La cantidad de sillas producidas mensualmente,encadaunadelasnaves,esde100deltipoe,150delmy200deltipo I;laproducciónmensualdemesasesde100declaseE,50declaseMy300declaseI. Sesabequeelporcentajedesillasymesasdefectuosases,enlanaveA,de0,01paralos mueblesdecalidade,de0,02paralosdecalidadmyde0,03paralosdecalidadi, mientrasqueenlanaveblosporcentajesson0,02paralaclasee,0,04paralamy0,01 paralaclasei.sepide: a) Obtener la matriz que representa la producción de sillas y mesas, de calidad extra, mediaoinferiorencadaunadelasdosnaves. b)obtenerlamatrizquerepresentaelnºdesillasymesasdefectuosas,enlascalidades E,M,I,procedentesdecadaunadelasnavesylamatrizquedaelnºtotaldesillasyde mesas defectuosas para cada calidad. 22.UnafábricadecidedistribuirtresproductosA,ByCacuatropaísesdeÁfrica P 1,P 2,P 3,P 4,segúnsedescribeenlamatrizM 1 (cantidadesentoneladas).estafábrica y -6-

7 ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los paísesdedestino,comoindicalamatrizm 2 (eneurosportonelada). A B C M 1 P 1 P 2 P 3 P M 2 P 1 P 2 P 3 P 4 E E Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones: a. Quérepresentaelelementoa 11 delamatrizproducto? b. Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto CconlaempresaE 2? c. Indica qué elementos de la matriz producto permiten averiguar cuál es la empresa quetransportamásbaratoelproductobatodoslospaíses DadaslasmatricesA 42 orden,x,talquea X B X yb 32 64,explicasihayalgunamatrizde2º x0 24.CalculalosvaloresdexparaquelamatrizcuadradaA verifique la ecuación 0x matriciala 2 6A 9I O,dondeIyOsonlasmatricesidentidadynuladeordendos. 25.ResuelvelaecuaciónAX B,siendo A 26.SealamatrizA A B B A Dadaslasmatrices A 20 igualdad A B 2X A 3B. 28.Dadalamatriz A y B HallalasmatricesBqueconmutenconA,esdecir, y B ,hallalamatrizXqueverificala a)calculalamatriza A 2. b)resuelveelsistema A 5 x y z SOLUCIONES: -7-

8 X Y A B B a 2c c a c 6.A 7.A M /2 1/2 1/ B 1 16/6 7/3 1 13/3 11/3 2 8.X PAU:1.7 2.AB BA 3. 11/6 5/ No,salex 1ex -1, que es imposible. 4.A 13/4 14/4 39/4 3/4 B 7/4 5/2 17/4 1/4 5.X Hay que distinguir entreqpar(q 2n) yqimpar(q 2n 1) En ambos casos: A p B q A r A 7. A 3 3A 2I A 4 4A 3I A A /2 0 1/3 0 1/3 X A 1 A I 1 I 10.5: ; /2 11/ X y 1 2 y Z 1 Z 5 2 I 14.A 1 1/3 0 1/3 1/6 1/2 2/3 1/6 1/2 1/3 x 1/3 y 2/3 z 1/3 15. P x 2 P y Diag.princ.dePQ:dinerogeneradoporlostelev.Aylostelev.B( y ) Diag.princ.deQP:dinerogeneradoporlaterm.N,laLylaS.( , y900000) b)esph X M.deingresos:VI M.degastos:VC M.beneficios:VI VC nºtotalde sillas y mesas defectuosas : M 2 M a)loscostesdelae1paraenviarelproductoa. b)a 23 c)losdela2ªcolumna(es baratalae2). 23.X a b a b 24.x 3 25.X B a b 0 a 27.X / / x 20 y 5 z 9-8-

9 TEMA 2. DETERMINANTES. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. P1 El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: A A t (comprobadaenclaseparamatrices3 3). Observación: Dado que las filas de una matriz son las columnas de su matriz traspuesta, las propiedades válidas para las filas también serán válidas para las columnas y viceversa. Por eso, en las siguientes propiedades nos referiremos a líneas, donde una línea puede ser tanto una fila como una columna. P2 Siunamatriztieneunalínea(filaocolumna)deceros,sudeterminantevale0. Ejemplo: Podemosobservarquetodoslostérminostienenunfactorquees0. P3 Si se intercambian 2 líneas paralelas de la matriz, el determinante cambia de signo: Ejercicio: Comprueba la igualdad anterior. P4 Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale 0. Ejemplo-demostración:Sea A Siintercambiamosla1ªyla3ªfila, según la propiedad 3, el determinante debería cambiar de signo. Ahora bien, al intercambiar las filas, la matriz no cambia, luego el valor de su determinante tampoco. Por eso,elvalordesudeterminantehadeser0(yaqueel0eselúniconúmerotalque 0 0) P5 Si multiplicamos todos los elementos de una línea por un mismo número, el determinante queda multiplicado por ese número. Comprobación: 3 1 7k 2 4 8k 5 6 9k 3 4 9k 1 8k k 7k k 8k 6 3 k Esta propiedad permite sacar fuera del determinante el factor común que tengan los -9-

10 elementos de una línea. P6 Si una matriz tiene 2 líneas paralelas proporcionales su determinante vale 0. Ejemplo-demostración: (Sacamosfactorcomúnde 3 enla últimafila) determinantevale0) (yahoraéstamatriztiene2filasiguales,luegosu P7 Si los elementos de una línea se pueden descomponer en 2 sumandos, el determinante esigualalasumadelosdeterminantesquemuestraelejemplo: a x d b y e a x d b y e a d b e c z f c z f c f P8 Si a una línea le sumamos otra línea multiplicada por un número(transformación elemental tipo II) el determinante no varía. Ejemplo: F 2 F 2 F 1 F 3 F 3 2 F Consecuencia: Si una línea es combinación lineal de las demás, entonces su determinante es0.(seentiendeporcombinaciónlineallasumadevariaslíneasdondecadaunapuede estar multiplicada por un número) Ejemplo: (Éstedeterminantevaldrá0porque Fila3 Fila1 2 Fila2 Comprobémoslorealizandotransformacioneselementales tipo II) F 3 F 3 1 F 1 (yaquetieneunafiladeceros) F 3 F 3 2 F 2 P9 El determinante del producto es igual al producto de los determinantes: A B A B

11 EJERCICIOS: 1. Justifica, sin desarrollar, éstas igualdades: a) b) c) d) Teniendoencuentaelresultadodeldetermiantequeseda,calculaelrestosin desarrollar: xyz Si A 1 a) abc de f ghi 3x3y3z b) 8,hallaa) 2A b) 5x5y5z adg beh c f i c) c) x y z 2x 5 2y 2z 3 x 1 y 1 z 1 3a 3b 3c 2d 2e 2f 5g 5h 5i d) de f abc ghi 4.ConociendoelvalordeldeterminantedelamatrizA,calculaeldeByeldeC. A x y z mpq t us 4 B p2mq u 2t s y 2x z C x 3ty 3uz 3s t u s m p q 5. Calcula los siguientes determinantes desarrollándolos por adjuntos: A B C D Soluciones: 1.a)Tieneunafiladeceros(P2).b)F 3 2 F 1 (P6)c)F 3 10F 2 F 1 (ConsdeP8)d)F 1 10F 2 F 3 (ConsdeP8) 2.a)3b)1c)13.a) 2A 64b)8c)-240d)-84. B 8 C 4 5. A 0 B 2 C 35 D 0 EJERCICIOS P.A.U. 1. Encuentra el valor positivo de x que verifica la ecuación: 3 1x 5 2x7 1 3 x 5x 6 2 a 5 2. El determinante 4a 2 13 vale0paraa 3.Compruebaestaafirmaciónsin 8a 3 35 desarrollarlo e indica las propiedades de los determinantes que aplicas. 3.Calculaelvalorde abc de f ghi, sabiendo que d e f a b c g h i

12 4.Deunamatrizcuadradadeorden3sesabequesudeterminantevale-1. Cuántovaldrá el determinante de la matriz 2A? 5. Sabiendo que det abc de f ghi 6. Calcula el valor del determinante 3,calcula,sindesarrollardet a 1 a a a a a 1 a a a a a 1 a a a a a 1 7.Resuelvelaecuacióndet A xi 0,siendoA x laincógnita. 8. Determina los valores de m que anulan el determinante i g h f cd ae b 3c 3a 3b,Ilamatrizunidad,y m m 1 m 2m2m 12m 1 9. Determina, según los valores de a, el rango de las siguientes matrices: a) A a23 b)b a 10.HallaelvalorquedebetenerxparaquelamatrizA xi sealainversade 1 x A I, 111 siendoa Calcula el valor de los determinantes siguientes: a) 3xxx x3xx xx3x xxx3 b) DadaslasmatricesA c) d) y B a)hallaa 2. b)resuelvelaecuación A 2 X A B B 0abc a0cb bc0a cba Cómoeslamatrizinversadeunamatrizdiagonalregular? Ysupotenciade exponente 15?. -12-

13 1 a 2 1 a 14.HallaelrangodelamatrizA 12a 2 22a 1 segúnseaelvalordel 1 0 a 2 parámetroa.encuentra,siexiste,lamatrizinversadeaenloscasosa 0ya DadalamatrizA CalculalainversadeAydeAn. 16.SeconsideralamatrizA t 11 1 t 2t a.determinalosvaloresdelnúmerorealtparalosqueeldeterminantedea(t)sea0. b.hallalainversadelamatriza(t)parat DadalamatrizA inversa. 1 1 t t hallalosvaloresdetparaloscualesanotiene 18. Sea A x 10 1x a)determinaparaquévaloresdexnoexistelainversadelamatriza. b)calculalainversadeacuandox 1. a10 19.SeaA 011.HallarelvalorovaloresdeaparaloscualeslamatrizAnotiene 1a0 inversa.hallara 1 paraa a) Define el concepto de matriz inversible. Da un criterio para asegurar que una matriz es inversible. b)dadalamatriz A existea m, determina para qué valores del parámetro m c)param 1,resuelvedet A 1 xi 0(Ieslamatrizunidad). 21.SeanlasmatricesA B a) CalculalamatrizinversadeAB. b)hallaelproductodelainversadebporlainversadea. Quérelaciónexisteentre la matriz del apartado anterior y esta matriz? Justifica tu respuesta. 22.Siendolasmatrices A B , -13-

14 esciertoquedet(ab) det(ba)? Calcula,siesposible,lainversadeAB. 23.a)Delassiguientesoperacionescondeterminantesdeorden2 2,señalalasqueson aa correctas y, en su caso, enuncia las propiedades que se utilizan: 0; bb ; b)dadaslasmatricesaybdeorden4 4con A 3 y B 2,calcula A 1, B t A y AB 1 t,justificandolarespuesta. SOLUCIONES: 1.-31/8,22.Consec.deP8(C3 C1 C2) a 17.x 0,1,48.m -1/39.a)Sia 1rg(A) 3.Si a 1rg(A) 2 b)sia 1rg(B) 3.Sia 1rg(B) 210.x 211.a)-3(x 1)(x-3) 3 b)-2 c)0 d) (a b c)(c-b-a)(b-c-a)(a-b-c)12.a 2 I,X 2I13.Esdiagonalregular.Cadaelementodeladiagonalquedaelevadoa15 14.Sia 1ya -1rg(A) 3.Sia 1rg(a) 1.Sia -1rg(A) 215.A A n 1 1 2n t 0 t 1, A t 5 18.Siempre A 1, x A a 1 a -1 A a) Aesinversiblesi A 1 talqueaa 1 A 1 A I Criterio:Aesinversiblecuando A 0 b)siempre A 1, m c) x -1(doble) x AB B 1 A SonigualesporquelainversadeA BesB 1 A 1.Veámoslo: AB B 1 A 1 A BB 1 A 1 AIA 1 AA 1 i B 1 A 1 AB B 1 A 1 A B B 1 IB B 1 B I 22.Noescierto,dadoque AB 23, BA 0. AB a)P6;P5;Falso(malaplicadalaP5)b) A A 3 B T A B T -14-

15 TEMA 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1.Resuelvelossiguientessistemas,el1ºporlaregladeCrameryel2ºporelmétodode Gauss:(2 ejercicios PAU) a) x y z 6 2x 3y z 9 3x 2y 5z 1 b) 3x 2y 4z 8 x y 2z 1 7x 8y 8z Sea el siguiente sistema de ecuaciones, en función del parámetro m: 3x 2m 3 y 1 3mx y 1 a) Exprésalo en forma matricial, siendo los elementos de una delasmatricesqueintervienenlasvariablesxey. b) Discútelo según los valores del parámetro m. c)determinasusoluciónparam Discute los siguientes sistemas en función de los valores del parámetro a:(2 ejercicios PAU) a) ax y z 1 x 2y z 2 x 3y z 0 resuélveloparaa 4. yresuélveloparaa 0. b) 4. Discute y resuelve, si es compatible, el siguiente sistema: x y z 6 x y a 4 z 7 x y 2z 11 4x 4z 0 x y az 0 x ay z 0 5.Enunaconfiteriaenvasanbombonesencajasde250g,500gy1kg.Ciertodíase envasaron60cajasentotal,habiendo5cajasmásdetamañopequeño(250g)quede tamañomediano(500g).sabiendoqueelpreciodelkilogramodebombonesesde40 yqueelimportetotaldelosbombonesenvasadosasciendea1250 : a. Plantea un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. b. Resuelve el problema. 6. Discute, según los valores del parámetro correspondiente en cada apartado, los sistemas: (3 ejercicios PAU) y a) x y z 1 2x y z x y z 0 b) 2x 3y z 0 x my 3z 0 5x 2y z 0 c) x y 1 x 2y a x a 1 y a -15-

16 yresuelveb)yc) cuando sea posible. 7. Clasifica y resuelve el siguiente sistema: x 2y 2z t 4 x y z t 5 x y z t 6 6x 3y 3z 2t Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El nºtotaldeejecutivosdelastresdelegacionesasciendea31.paraqueelnºdeejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellosdemadridabarcelona.además,elnºdeejecutivosdemadridexcedeenunoala suma de los destinados en las otras dos ciudades. Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad? 9.Losgastosdiariosdetresestudiantes,Marta,RaúlyPedro,suman15,45.Sialoque gastamartaselesumaeltripledeladiferenciaentrelosgastosderaúlypedro obtenemos lo que gasta Pedro. Además, ocho veces la diferencia entre el gasto de Raúl yeldemartaesigualalgastodemarta.averiguacuáleslacantidadquegastacada uno. 10.a)Resuelve x x y z matricialax B,calculalamatrizinversaA 1 yresuélvelo y z b) Dado Expresa el sistema anterior en la forma 11.Enunaaceríasefabricantrestiposdeproductos:aceroenláminas,enrollosoaceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla siguiente, por cada unidad de producto fabricado: A. en láminas A. en rollos A. especiales Chatarra Carbón Aleaciones a.siduranteelpróximomessedeseafabricar6unidadesdeaceroenláminas,4 unidadesdeaceroenrollosy3unidadesdeacerosespeciales,obténunamatrizque indique las cantidaes de chatarra, carbón y aleaciones que serán necesarias.(obténla mediante un producto de la matriz de la tabla anterior por una matriz columna). b.sisedisponede34unidadesdechatarra,28decarbóny9aleaciones, cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales? -16-

17 12. Discute y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas:(3 ejercicios PAU) a) x 2y 1 3x y 1 4x y n b) 2y z a 3x 2z 11 y z 6 2x y 4z a c) x y 1 y z 1 x 2y z 1 13.Hallaelvalordelparámetrokparaquelastresrectasdelplano,definidasporlas siguientes ecuaciones, sean concurrentes en un punto. y 2x 4 2y 3x k 0 x y Consideralamatriz A m,siendomunparámetroreal.Sepide: a.calculaelrangodeasegúnlosvaloresdelparámetrom. b.consideraelsistemadeecuacioneslinealesa x y z Discute si existe solución según los valores del parámetro m. En caso afirmativo, resuelve el sistema. c.param 7,consideraelsistemadeecuacioneslinealesA Discute si existe solución. 15.Ungrifotarda3horasenllenarundepósito,mientrasqueotrosólotarda2horasen llenarlo. Cuántotardaránenllenareldepósitolosdosgrifosalavez?Razonala respuesta. 16.Unaamadecasaadquirióenelmercadociertascantidadesdepatatas,manzanasy naranjasaunpreciode0,5;0,75y1 /kg,respectivamente.elimportetotaldela comprafuede7,25.elpesototaldelamismaes9kgy,además,compró1kgmásde naranjas que de manzanas. Cuántos kg compró de cada uno de los productos? 17.Siaunnºdedoscifrasselesuma18,seobtieneelnºconlascifrasintercambiadas. Sabiendoquelasumadelascifrasdelnºes16,encuentradichonº. 18.DadalamatrizA x y z.resuelveporelmétododegauss: a.elsistemadeecuacioneshomogéneocuyamatrizdecoeficientesesa A t. b.elsistemadeecuacionesnohomogéneocuyamatrizampliadaesa t A,siendola última columna los términos independientes. 19.Uncineproyectaunapelículasólotresdías:lunes,martesymiércoles.Sesabequeel

18 nºdeespectadoresdelmartesseincrementóun12%respectoaldellunes,elmiércoles esenºdisminuyóun12%respectoalmartesyell:unesesenºsuperóen36 espectadores el del miércoles. Cuántos espectadores vieron la película cada uno de los días? 20.Enciertaheladería,porunacopadelacasa,doshorchatasycuatrobatidostecobran 34 undía.otrodía,porcuatrocopasdelacasay4horchatastecobran44,yun tercerdía,tepiden26 porunahorchatay4batidos. Tienesmotivosparapensarque alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta? 21.Dosamigosinvierten20000 cadauno.elprimerocolocaunacantidadaal4%de interés,unacantidadbal5%yelrestoal6%.elotroinviertelamismacantidadaal 5%,laBal6%yelrestoal4%.DeterminalascantidadesA,ByCsabiendoqueel primero obtiene unos intereses de 1050 y el segundo de Unatiendahavendido600ejemplaresdeunvideojuegoporuntotalde6384.El precio original era de 12, pero también ha vendido copias defectuosas con un descuento del 30% y del 40%. Sabiendo que el número de copias defectuosas vendidas fuelamitaddeldecopiasenbuenestado,calculaacuántascopiasseleaplicóel30% de descuento. 23.Uncajeroautomáticocontiene95billetesde10,20y50 yuntotalde2000.sielnº debilletesde10 eseldoblequeelnºdebilletesde20,averiguacuántosbilleteshay de cada tipo. 24.AntoniotieneunañomásqueJuan,yLuis,unomásqueÁngel.Determinalaedadde loscuatrosabiendoqueladeluiseslasumadelatercerapartemáslaséptimapartede ladeantonioyqueladeángeleslasumadelacuartapartemáslaquintapartedela de Juan. 25. Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda, entregaráacadaunodelosotrosdosunacantidadigualalaquecadaunoposeaenese momento.cadaunoperdióunapartidayalfinalcadaunotenía24. Cuántoteníacada jugador al comenzar? 26.Unjoyerotienetresclasesdemonedas:A,ByC.LasmonedasdetipoAtienen2 gramosdeoro,4grdeplatay14grdecobre;lasdetipobtienen6grdeoro,4grde platay10grdecobreylasdetipoctienen8grdeoro,6grdeplatay6grdecobre. Cuántasmonedasdecadatipodebefundirparaobtener44grdeoro,44grdeplatay 112grdecobre? 27. Un fabricante produce 42 electrodomésticos. La fábrica abastece a 3 tiendas, que demandan toda la producción. En una cierta semana, la primera tienda solicitó tantas unidadescomolasegundaylatercerajuntas,mientrasquelasegundapidióun20% másquelasumadelamitaddelopedidoporlaprimeramáslatercerapartedelo pedido por la tercera. Qué cantidad solicitó cada una? -18-

19 28.Semezclan60ldevinoblancocon20ldevinotintoyseobtieneunvinode10grados (10%dealcohol).Si,porelcontrario,semezclan20ldeblancocon60ldetinto,se obtieneunvinode11grados. Quégraduacióntendráunamezclade40ldevino blancoy40ldevinotinto? 29. Dadas las ecuaciones sea: 3x 2y z 5 2x 3y z 4.Añadeunaecuaciónparaqueelsistema a) Incompatible. b) Compatible Determinado. 30. Encuentra razonadamente dos valores del parámetro a para los cuales el siguiente sistema sea incompatible: x y 2z 0 ax y 2z 1 x 3z 2 2x az 3 31.SeanSyS dossistemasequivalentesconsoluciónúnicaquetienenigualeslos términos independientes. Podemos asegurar que tienen iguales los coeficientes de las incógnitas? 32.Eneltrayectoquehayentresucasayeltrabajo,unindividuopuederepostargasolina en3estacionesdeservicio(a,byc).elindividuorecuerdaqueestemeselpreciode lagasolinaenahasidode1,2 /litroyelprecioenb,de1,18 /litro,perohaolvidado el precio en C(supongamos que son m /litro, con m desconocido). También, recuerda quelasumadelgastoenlitrosdegasolinadelasestacionesaybsuperóen46,80 al gastoenc;elnºdelitrosconsumidosenbfueelmismoqueenc,yqueelgastoen litrosenasuperóaldeben12,60. a. Plantea un sistema de ecuaciones(en función de m) para determinar los litros consumidos en cada gasolinera. b. Estudia la compatibilidad del sistema en función de m. Puedes dar algún precio al que sea imposible haber vendido la gasolina en C? SOLUCIONES: 1.a)(1,3,2)b) , 2 5 5, 2. m 1ym 1/2 SCD m 1 SCI m 1/2 SI m , a) Sia 1/5 SCD Sia 1/5 SI a 0 9,4,3 b) Sia 2 SCD Sia 2 SI a 4 5, 2,9 4.SCD a. sol:(0,0,0)5. x y z 60 x y 5 10x 20y 40z 1250 sol:(25,20,15) 6. a) A 1 5 Si 1/5 SCD Si 1/5 SI b) A 7m 56 Sim 8 SCD Sim 8 SCI sol:( 19, 7 19, c) -19-

20 A 1 a 2 Sia 1ya 1 SI a 1sol:(3,2).a -1sol:(1,0)7.SI8. x y z 31 x-3 y 3 sol:(16,10,5) 9. Sia 1oa 1 SCD x y z 1 x y z x 3(y-z) z 8(y-x) x sol:(4 8,5 4,5 25)10.a)(2,-3,2) b)a sol:(1 5,0 5,0)11.a) b) 8x 6y 6z 34 6x 6y 4z 28 2x y 3z 9 sol:(2,2,1) 12. a) n 2 SI n 2 SCD(7/3,2/3 b) a 6 SI a 6 SCD(5,4,2) c) Si 0y 1 SCDSol: 2 1, 1 1, 1 1 Si 0SCI sol:(x,1,1)conx Si 1SI 13.k a) Sim 7 rg(a) 3 Sim 7 rg(a) 2 b) Sim 7 SCDsol:(0,0,0) Sim 7 SCI sol:(-5,2, c)si15.1hy12min x 0 75y z 7 25 x y z 9 z y 1 sol:(2,3,4) x y 18 10y x x y 16 sol:el7918. a)(0,0) b)(-1,3) x y 0 88y z x 36 z (2500, 2800, 2464) 20. x 2y 4z 34 4x 4y 44 y 4z 26 Sípq essi21. x y z x 0 05y 0 06z 1050 (5000, 5000, 10000) 22. x y z x 8 4y 7 2z 6384 (400,120,80)A x 0 06y 0 04z 950 2y 2z x copias 23. x y z 95 10x 20y 50z 2000 x 2y (50,25,20) 24. x y 1 z t 1 z x/3 x/7 t y/4 y/5 (21,20,10,) 25.(39,21,12) 26. 2x 6y 8z 44(oro) 4x 4y 6z 44(plata) 14x 10y 6z 112(cobre) (5,3,2) 27. x y z 42 x y z y 1 2(x/2 z/3) (21,15,6) x 20y 8 20x 60y 8 8 (0 095,0 115) , litrosdealcohol(en80l) 80z 8 4 z sol:10 5grados 30. A 2a 2 12a 16 0cuandoa 2oa 4.Portantocualquiervalordeadistintode2yde4vale.31.No,sison homogéneos podrían tener los coeficientes proporcionales(y no tedrían por qué ser iguales x 1 18y mz y z 1 2x 1,18y Sim 2 36 SCD Sim 2 36 SI Sí, sería imposible al precio de

21 TEMA 4. PROGRAMACIÓN LINEAL. MÉTODO DE LOS VÉRTICES: 1º Obtenemos todos los vértices de la región factible. 2º Sustituimos cada vértice en la función objetivo hasta encontrar el máximo o el mínimo. MÉTODODELASRECTASDENIVEL: 1ºEscogemosunpuntocualquieradelaregiónfactibleydibujamoslarectadenivelquepasaporél. 2ºDibujamoselvectorgradiente f. 3ºTrasladamoslarectadeniveldeformaparalelaenladirecciónysentidoqueindicaelvector gradiente. El último punto de contacto con la región factible es el máximo. Si hemos de encontrar elmínimolarectadenivelsetrasladaenelsentidocontrarioalvectorgradiente. PROBLEMAS 1.Enuntallerdecarpinteríasefabricanmesasdecocinadeformicaydemadera.Lasde formicasevendena210 ylasdemaderaa280.lamaquinariadeltallercondiciona laproducción,porloquenosepuedenfabricaraldíamásde40mesasdeformica,ni másde30demadera,nitampocomásde50mesasentotal.sisevendetodoloquese fabrica, cuántas mesas de cada tipo les convendría fabricar para ingresar por su venta la máxima cantidad de dinero posible? 2.UnaempresafabricayvendedosartículosAyB.Ensuproducciónseutilizantrestipos demáquinasm 1,M 2 ym 3.Latablaqueseadjuntaindicaeltiempo,enhoras,que necesita cada máquina para fabricar cada uno de los modelos. Cada máquina trabaja un máximode60hsemanales.siporlaventadecadaunodelosartículosdeltipoa obtieneunbeneficiode10000,yporcadaunodeltipob,unbeneficiode15000, cuántos artículos se deben fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio? M 1 M 2 M 3 A B Ungranjerotienequesuministraraldíaunmínimode30mgdevitaminaA,20mgde vitaminaby30mgdevitaminacporkilogramodepiensoasusanimales.disponede doscompuestosdepiensop 1 yp 2,cuyoscontenidosenmiligramosdevitaminasA,By Cporkilogramodepiensovienendadosenlatablaqueseadjunta.Elkilogramode piensop 1 vale1 yeldep 2 vale1 2. Cuántoskgdecadatipodepiensodebe mezclar para que el coste sea mínimo? A B C P P DosfábricasF 1 yf 2 producen40y50unidadesrespectivamentedeundeterminado producto.debenabasteceratrescentrosc 1,C 2 yc 3,quenecesitan20,45y25 unidades respectivamente. El coste del transporte de cada fábrica a cada centro de -21-

22 consumo, en euros por unidad, viene dado en la siguiente tabla C 1 C 2 C 3 F F Cómo han de distribuirse las unidades del producto para que el transporte sea lo más económico posible? 5. Dibuja la región definida por las siguientes desigualdades y determinaenellaelpuntoenquelafunción f x,y 6x ytomaelvalormáximo: 5x y 47 9y 2x 0 x 2y 22 x 0 6. Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x y 8 x y 4 x 2y 6 a) Dibuja la región y determina sus vértices. b)dadalafunciónobjetivof x,y 3x 2y,halladónde alcanza dicha función su valor mínimo y calcúlalo. 7.UnafábricatextilelaboraprendasdepuntodecalidadesAyB.Lasprendasdecalidad Asefabricancon1unidaddelanay2unidadesdefibrasintética,ylasdecalidadBcon 2unidadesdelanay1defibrasintética.Losbeneficiosobtenidosenlaventadelas prendassonde15 paralasdecalidaday10 paralasdecalidadb.sabiendoque sólosedisponede180unidadesdelanay240defibrasintética,sepide: a. Determina cuántas prendas de cada tipo debe elaborarse para obtener un beneficio máximo si la producción no puede ser superior a 1000 prendas. b. A cuánto ascenderá dicho beneficio? Justifica las respuestas. 8.Unpastelerotiene150kgdeharina,22kgdeazúcary27,5kgdemantequillapara hacer2tiposdepasteles,pyp.paraelaborarunadocenadepastelesdeltipop necesita3kgdeharina,1kgdeazúcary1kgdemantequilla,yparahacerunadocena deltipop necesita6kgdeharina,0,5kgdeazúcary1kgdemantequilla. ElbeneficioqueobtieneporunadocenadeltipoPes20 yporunadocenadeltipop es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tienequehacerdecadaclaseparaqueelbeneficioseamáximo. 9.Unagranjadeavescríapollosypatosconuncosteporcadapollode1 yde2 por cadapato.lospreciosdeventason1,80 elpolloy2,30 elpato.sabiendoquela capacidadmáximadelagranjaesde2000animalesyquesólodisponede3000 para invertirenpollosypatos,sepide: a.determinaelnúmerodepollosypatosquesepuedencriarparaobtenerunbeneficio máximo. b. Cuál será dicho beneficio máximo? Justifica las respuestas. 10.Senecesitaunadietaqueproporcioneaunanimal3000caloriasy80unidadesde proteínas diarias. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para prepararladieta.elalimentoacuesta20céntimos/kg,ycontiene600caloríasy2-22-

23 unidadesdeproteínas.yelalimentobcuesta10céntimos/kg,ycontiene50caloríasy8 unidades de proteínas. Determina la combinación de alimentos más económica quesatisfaga las necesidades de la dieta. 11.Meofrecenlaposibilidaddevenderhastaunmáximode24toneladasdedos productosayb,dándomeunacomisiónde150 portoneladavendidadeay100 portoneladavendidadeb.averiguacuántastoneladasdebovenderdeaydebpara maximizar la ganancia. 12. Los alumnos y alumnas de primero de Bachillerato, con el objetivo de recaudar fondos para el viaje de fin de curso, deciden vender paquetes de dulces navideños. Disponen de 10kgdepolvoronesy8kgdemantecados.Acuerdanhacer2tiposdepaquetes:uno,a unpreciode3euros,formadopor100gdepolvoronesy150gdemantecados,yotro,a unpreciode4,quecontiene200gdepolvoronesy100gdemantecados. Cuántos paquetes de cada tipo les interesa vender? 13. Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Se obtiene un beneficiode4 porcadabrochesencilloy6 porcadabrochedefiesta.enundíano sepuedenfabricarmásde400brochessencillosnimásde300defiesta,ytampoco pueden producirse más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la produccióndeundía, cuáleselnúmerodebrochesdecadaclasequeconvienefabricar para obtener el máximo beneficio? Calcula la producción necesaria para conseguir el máximobeneficiosiseobtienen6eurosporcadabrochesencilloy4,50eurosporcada broche de fiesta. 14. Doscientas personas quieren organizar una excursión con una empresa que dispone de cuatroautobusesde40plazascadaunoycincoautobusesde50plazascadauno.el alquilerdeunautobúsgrandeesde180,yelalquilerdeunopequeñoesde120. Qué combinación de autobuses minimiza el coste de la excursión si la empresa dispone de cinco conductores? 15.Unaempresaconstructoradisponedeuntotalde93000m 2 deterrenourbanizable. Decideconstruirdostiposdeviviendasunifamiliares:unas,enparcelasde400m 2,que albergaránafamiliasdeunamediade5miembros,ycuyopreciodeventaseráde ;yotras,enparcelasde300m 2,endondeviviránfamiliasdeunamediade4 miembros, y costarán Las autoridades del municipio le imponen dos condiciones:(1)elnºdecasasnopuedesuperarlas275;(2)elnºdehabitantesesperado no puede ser superior a 1200 personas. Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para maximizar los ingresos por ventas? 16.Sevaaorganizarunaplantadeuntallerdeautomóvilesdondevanatrabajar electricistas y mecánicos; por necesidades del mercado, esnecesario que haya mayor o igualnºdemecánicosquedeelectricistas,yqueelnºdemecánicosnosuperealdoble del nº de electricistas. En total, hay disponoibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficiodelaempresaporjornadaes250 porelectricistay200 pormecánico. -23-

24 Cuántos trabajadoresde cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? Soluciones: 5.(9,2) 6.(0,4)f(0,4) 8 7. x:nºprendasa y:nºprendasb x 2y 180(lana) 2x y 240(fibra) x 0;y 0 f x,y 15x 10y Sol:100prendasAy40prendasB x:nºpastelesp y:nºpastelesp 3x 6y 150(harina) x 0 5y 22(azúcar) x y 27 5(mantequilla) x 0;y 0 f x,y 20x 30y Sol:5docenasdePy22 5docenasdeP 9. x: nº pollos y:nºpatos 10. x:kgdea y:kgdeb x y 2000(cap.granja) x 2y 3000(dineroinv.) x 0;y 0 600x 50y 3000(cal.) 2x 8y 80(prot.) x 0;y 0 f x,y 0 8x 0 3y Sol: 2000 pollos y ningún pato. Beneficio f x,y 20x 10y (Min.) Sol:8 936kgdeAy4 255kgdeB 11. x:ton.dea y:ton.deb x y 24 x 0;y 0 f x,y 150x 100y (Max.) Sol:24ton.deA 12. x:nºpaqa3 y:nºpaqa4 13. x:nºbrochessenc. y: nº broches fiesta 14. x:nºautob.peq. y:nºautob.gran. 0 1x 0 2y x 0 1y 8 x 0;y 0 x 400 y 300 x y 500 x 0;y 0 x y 5 40x 50y 200 x 0;y 0 f x,y 3x 4y (Max.) Sol:30paq.de3 y35paq.de4. f x,y 4x 6y (Max.) g x 6x 4 5y (Max) Sol1:200senc.y300defiesta. Sol2:400senc.y100defiesta. f x,y 120x 180y (Mín.) Sol:5autob.peq. 15. x:nºviv.de5. y:nºviv.de4. 400x 300y x y 275 5x 4y 1200 x 0;y 0 f x,y x y (Max.) Sol:Todoslospuntosdelarecta5x 4y 1200 comprendidos entre(100,175) y(120,150). 16. x:nºelect. y:nºmecán. x y 2x y x 20 y 30 x 0;y 0 f x,y 250x 200y (Max.) Sol:20elect.y30mecán. -24-

25 PROBLEMASAÑADIDOS.(Problemasdetransporte:1 5,detantoporuno:6,7) 1.Dosyacimientosdeoro,AyB,producenalaño2000kgy3000kgdemineraldeoro, respectivamente, que deben distribuirse a tres puntos de elaboración: C, D y E, que admiten500kg,3500kgy1000kgdemineral,respectivamente,alaño.elcostedel -25-

26 transporte,eneurosporkilogramo,eselquevemosenlatabla: Cómo ha de distribuirse el mineral para que el transporte sea lo más económico posible? Sol:(500,1500) Coste C D E A B 15 17, Unaempresacompra26locomotorasatresfábricas:9aA,10aBy7aC.Las locomotoras deben prestar servicio en dos estaciones distintas: 11 de ellas en la estación Ny15enlaS.Loscostesdetrasladoson,porcadauna,losqueseindicanenlatabla (en miles de euros): queelcosteseamínimo. A B C N S Averigua cómo conviene hacer el reparto para 3.DosalmacenesAyBdistribuyenfrutaatresmercados.ElalmacénAdisponede15 toneladasdefrutadiariasyelbde20toneladas,querepartenensutotalidad.lostres mercados necesitan diariamente 12, 13 y 10 toneladas de fruta, respectivamente. Si el coste del transporte desde cada almacén a los mercados está representado en la tabla Almacén Mercado1º Mercado2º Mercado3º A B deformaqueelcosteseamínimo?, cómo planificarías el transporte 4.Unaempresaposeedosfábricas,F 1 yf 2,queproducen80y100unidades respectivamentedeundeterminadoproducto.debenabasteceratrescentrosc 1,C 2 y C 3,quenecesitanasuvez50,70y60unidades.Elcostedeltransportedecadafábrica acadacentro,eneurosporunidad,vienedadoporlasiguientetabla: C 1 C 2 C 3 F F Cómo ha de organizarse el transporte para que sea lo más económico posible? Sol:(50,0) 5.DosfábricasdemotocicletasF 1 yf 2 producen,respectivamente,5000y8000 motocicletas,quedebendistribuirseatrescentrosdeventasc 1,C 2 yc 3,encantidades de 4500, 3000 y 5500, respectivamente. El coste del transporte, en euros, a los puntos deventavienedadoenlatabla: C 1 C 2 C 3 F F Calcula las motocicletas que habrá que transportar desde cada fábrica a cada centro para que el transporte resulte lo más económico posible. 6.Paraabonarunaparceladehuertasenecesitanporlomenos8kgdenitrógenoy12kg defósforo.sedisponedeunproductoacuyoprecioes30céntimos/kgyquecontiene un10%denitrógenoyun30%defósforo.existeenelmercadootroproductobque -26-

27 contieneun20%denitrógenoyotro20%defósforo,ycuyoprecioes40céntimos/kg. QuécantidadessedebentomardeAyBparaabonarlaparcelaconelmenorgasto posible? Sol:(20,30) 7.DonElpidiodecideemplearhasta30000 desupatrimonioenlaadquisiciónde accionesdedossociedadesdeinversión:blleissa.elpreciodecadaacciónesde10 cadauna,yenamboscasos. BLLdedicael35%desuactividadalsectorseguros,el45%alsectorinmobiliarioyel 20%alsectorindustrial.ISSAdedicael30%desusrecursosalsectorseguros,el25% alinmobiliarioyel45%alindustrial. D.Elpidionoquiereinvertirmásdel40%desucapitalenelsectorindustrialnimás del35%enelinmobiliario. CuántasaccionesdebeadquirirdecadasociedadsiBLL prevé entregar un dividendo de 1 2 /acción e ISSA de 1 /acción? -27-

28 TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN:Requisitosprevios. Función: Esunarelaciónentre2variables,deformaqueaunvalordela1ªvariable(x:variableindependiente) le asocia un único valor de la 2ª variable(y: variable dependiente). La relación entre las dos variables(la función) se puede expresar de 3 formas diferentes: Formas de expresar una función: Fórmula Tabla de valores Gráfica f x x 2 4 x y g x 2 x 2 x y Dominio de una función: Eselconjuntodevaloresquepuedetomar la variable independiente(x). Recorrido o conjunto imagen de una función: Eselconjuntodevaloresquepuedetomar la variable dependiente(y) Monotonía(Crecimiento y decrecimiento): Unafunciónescrecienteenunintervalocuandoaunaumentodelaxlecorrespondeun aumentodelay. Unafunciónesdecrecienteenunintervalocuandoaunaumentodelaxlecorrspondeuna disminución de la y. Extremos(Máximos y mínimos): Unmáximorelativoesunpuntomásaltoquelosquehayasualrededor.Esdecir,asu. -28-

29 izquierda la función es creciente y a su derecha la función es decreciente. Unmáximoabsolutoeselpuntomásaltodetodalagráfica(silohay). Asíntotas(Verticales, horizontales y oblicuas): Unaasíntotaesunarectaimaginaria(notieneporquéestardibujada)alacuallagráficade la función se"acerca infinitamente". Unaasíntotaverticalseescribex k(nºfijo),unahorizontalseráy kyunaoblicua y mx n 1.a)Observandolasgráficasdelasdosfuncionesanteriores(f,g,señalaeldominioy recorrido de cada una. b)vuelveaobtenereldominio,peroestavezapartirdesusfórmulas. c)enlaconstruccióndelagráfica,explicacómosehanunidolospuntosycomo continuarían las ramas inacabadas. d) Analiza la monotonía e indica todas las asíntotas. e)calculaestoslímitesparacadaunadelasfunciones: lim lim x 2 f x lim x 2 f x x f x 2. A partir de la siguiente gráfica, responde a las cuestiones planteadas: lim x f x a)calculalim x f x ylim x f x b)calculaloslímiteslateralesenx -5;x -3;x 0;x 3yx 4, c)determinaf 5,f 3,f 0,f 3 yf 4 d) Determina el dominio, el recorrido, la monotonía, los extremos, las asíntotas.y la continuidad. 3.Lasiguientegráficaperteneceaunaciertafuncióng x.respondealascuestiones: Calcula los siguientes límites: lim f x lim f x x x lim x 0 f x lim x 0 f x lim x 6 f x lim x 3 f x lim x 6 f x lim x 3 f x lim x 6 f x Determina el dominio, el recorrido, la monotonía, los extremos, las asíntotas y la -29-

30 continuidad. CÁLCULODELÍMITES. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. Si lim x a f x L y lim x a g x M,entonces: 1. lim x a f x g x lim x a f x lim x a g x L M 2. lim x a f x g x lim x a f x lim x a g x L M 3. lim x a 4.SiM 0, lim f x g x lim x a f x g x x a f x lim lim x a lim x a x a f x g x g x L M L M (donde"a"puedeserun 5.Sikesunaconstante, lim númeroreal, o ) x a k f x k lim x a f x 4.Calculalossiguienteslímitescuandox : a) lim x 3x 4 6x 1 5x 3 3x 2 b) lim x 3x 4 6x 1 5x 3 3x 2 c) lim x 6x 2 3x x 3 1 d) lim x 5x 4 6x 2 3x 4 x 1 e) lim x 3x 1 2 x 1 x x 3 x 3 3 f) lim x 3x 1 2 x x 3 10x g) lim x x 3 5x 3 x 2 2x h) lim x 3 8x 3 5x 3x 5.Yahoraéstos: a) lim x 4x 2 1 2x b) lim x 3x 3 5 x 2 4x3 x x 2 c) lim x x 3 2x 2 1 x 2 d) lim x x 2 2 x 2 2 e) lim x x x 2 4x 5-30-

31 f) lim x 3x 5 2 x2 2 x 6.Resuelveéstoslímitescuandox : a) lim x 5x 4 6x 2 3x 4 x 1 b) lim x x 3 5x 3 x 2 2x c) lim x 3x 3 5 x 2 4x3 x x 2 d) lim x x 2 5x 3 3x 2 7. Calcula los siguientes límites en un punto: a) lim x 0 2 5x 2 b) lim x 2 x 2 x 2 4 c) lim x x x d) lim x 1 x 3 2x 2 2x 5 x 2 6x 7 e) lim x 4 x 3 5x 1 x 3 2x 2 3x f) lim x 0 x 2 5x 2 x 2 2x x3 2x 1 x 3 x g) lim x 1 1 x 1 x 2 x 2 1 h) lim x 1 f x,dondef x x 2 1 six 1 x 1 1 six 1 g) lim x 1 f x,donde f x 2x 5 six 1 1 six 1 x 1 CONTINUIDAD (P.A.U.) 8. Representa gráficamente las siguientes funciónes y estudia su continuidad: a) f x x 2 5x si0 x 5 x 5 si5 x 10 b) g x x 2 2x 1 six 1 2x 2 si 1 x 2 x 2 8x si x 2 9.Representalafunciónf x puntos? x 2 1 si0 x 2 x 1 si2 x 3. Escontinua? Enqué 10. Estudia razonadamente la continuidad de las funciónes: a) f x x 2 1 si x 2 2x 1 si2 x 4 5 si 4 x 11. Representa y estudia la continuidad de: b)g x x 2 six 1 x 2 si 1 x 1 2x 1 si x 1-31-

32 a) f x 1 x 5 si x 2 2 x si 2 x 1 x 2 3 si1 x b)h x e x si x 0 1 si0 x 3 x 2 3x 2 six Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a: a)f x x 2 ax six 2 a x 2 six 2 13.Dadalafunciónf x b)f x eax si x 0 x 2a six 0 1 b si x 1 2 x 3x 2 4 si 1 x 1 x 3 8 si x 1 Calculaelvalordebparaquef x seacontinuaen x 1. Escontinuaenx 1? 14.Representa,estudialacontinuidadyhallaloslímitesparax y x dela función: f x 2 x si x 1 2 si 1 x 2 x 2 4x si x Representa gráficamente y estudia la continuidad de: x 2 a)f x 1 b)g x x x 1 x Dada la función: f x x 1 si x 2 2 x si 2 x 4 a si4 x a)obténlagráficadelamisma. b)estudiasucontinuidadyhalla"a"paraqueseacontinuaenx 4. c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 17.Lacalificaciónobtenidaporunestudianteenunexamendependedelashorasde preparación(x) a través de la función: f x x si 0 x x si 15 x 0,2x 3 a.estudiaelconjuntodevalorespositivosdexparalosquef x escreciente. Tiene sentido afirmar que a mayor tiempo de preparación corresponde mayor calificación? b.contestarazonadamentesihayalgúnpuntoenqueestudiarunpocomáspuedeser -32-

33 muy rentable. c. Se puede obtener la calificación 10? Jusifica la respuesta. 18.Sehainvestigadoeltiempo(T,enminutos)quesetardaenrealizarciertapruebade atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas(x, en días), obteniéndose que: T x 300 si 0 x 30 x si x 30 x 5 x 15 a.justificaquelafunciónt x escontinuaentodosudominio. b. Sepuedeafirmarquecuántomásseentreneundeportista,menorseráeltiempo empleado en realizar la prueba? Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba? c.pormuchoqueseentreneundeportista, serácapazdehacerlapruebaenmenosde 1minuto? Yde2minutos? 19. Calcula lim x f x paralassiguientesfunciones:a)f x 2x 3 4x 5 f x x c)f x e x 1 x 2 5 e x 1 20.Enciertocolectivodefamiliasespañolas,elgastomensualenocioenelaño2000, G(x), estuvo relacionado con sus ingresos mensuales, x, ambos en miles de unidades monetarias(u.m.), a través de la siguiente expresión: G x 0,02x 1 si 0 x x si 100 x 2x 2300 a.estudialadiscontinuidaddelgasto. Elgastoenociodeunafamiliaes sensiblemente distinto si sus ingresos son"ligeramente" inferiores o superiores a u.m.? b.justificaqueelgastoenocioessiemprecrecienteconlosingresos. c.justificaqueningunafamiliarealizaungastoenociosuperiora15000u.m. 21. El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la función: P t 15 t2 t 1 2,dondetsemideenañostranscurridosdesdet 0.Calculala poblacióninicialyeltamañodelapoblaciónalargoplazo. 22. Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo(en cientos de euros) en relaciónconelvalorx(encientosdeeuros)delovendidoporcadauno.dicho incentivo sigue la función: b) -33-

34 f x 0,01x si 0 x x si x 100 2x 2300 a.estudiarlacontinuidaddef x.indicarsielincentivorecibidoporunempleadoes sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a b. Cuáleslacantidadmáximaqueunempleadopodríarecibircomoincentivosisus ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta. 23. Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años,porlafunción f t 15000t 10000, siendo t el número de años transcurridos. 2t 2 Se pide: a. Tamaño actual de la población. b. Cómoevolucionaráeltamañodelapoblaciónentrelosaños4y9? c. Si esta función fuese válida indefinidamente, se estabilizaría el tamaño de la población? Justifica la respuesta. SOLUCIONES: 4. ; ;0; 5 3 ; ;3; ; 2 5.0; ;0;0;2; ;0; ; 3 3 ; y ; 1 4 ; 9 8 ; 45 ; 5; y ;2; 1y a)Enx 2yenx 4haydisc.inev.desaltofin.(-2unid)b)Escont.enx -1yenx 1disc.inevsaltofin.(2unid) a)fcont.enx 2cuandoa -8 b)fcontenx 0cuandoa 1/2 fcont.enx -1cuandob 6 fcont.enx

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36 TEMA 6. DERIVADAS. 1.TASADEVARIACIÓNMEDIA. 1.UnapiscinasevacíasegúnlafunciónV t 2 10tdondeVeselvolumenexpresadoen m 3 yteltiempoenminutos.hallalavelocidadmediadevaciadodelapiscinaenel intervalodetiempo 2,10. (sol:22m 3 /min) 2.DERIVADADEUNAFUNCIÓNENUNPUNTO. 1.Encuentra,utilizandoladefinicióndederivada,ladelafunciónf x 4 x enx 2. (sol: f Estudialaderivabilidaddef x x 2 six 0 x 1 six 0,2 x 2 4x 2 six 2 Sol:Noesderivablenienx 0nienx 2 (ni siquiera es continua en esos puntos) Síesderivableen 0,2 3. Dada la función: f x 1 x 5 six 2 2 x si 2 x 1 x 2 3 si 1 x estudia su derivabilidad. Sol:Noesderivableenx -2yenx 1tampocopq no es continua. 4. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función: f x e x six 0 1 si 0 x 3 x 2 3x 1 si 3 x Sol:Enx 0escont.yderiv.,yenx 3escont.peronoderiv. 5. Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de la función f x 2x 2 5x 1(sol:y 4x 5) 3.FUNCIÓNDERIVADA(Tablasyoperaciones). 1. Calcula las siguientes derivadas potenciales(las raíces pásalas primero a forma de potencia): a)y 5x 3 b)y 2 x c)y 5 x 3 d)y x 2 3 e)y x f)y 3 x 5 g)y 7 3 x 7-36-

37 j)y 8 k)y 2 Soluciónes:y 15x 2 ; 5 x 2 x 3 y 2 x 2 ;y 15 x 4 ;y x ;y 1 2 x ;y 15 x 2 3 ;y x 4 ; y 3 h)y 4x 3 4 i)y 1 x x 7 4 ;y 1 2 x 3 ;y x 5 ;y 3 x 5 2. Calcula las derivadas de las siguientes funciones polinómicas, simplificando al máximo: a)y 4x 3 11x 2 3x 5 b)y 5x 4 6x c)y x 5 8x 2 2 d)y 2x 2 1 4x 6 e)y x2 2x f)y 4x3 Soluciones: x 2 1 x 2 y 12x 2 22x 3;y 20x 3 6;y 5x 4 16x;y 24x 2 24x 4; y 2x2 2x 2 ;y 8x3 24x 2 x x Aplica la regla de la cadena para derivar las siguientes funciones: a)y x 3 2 b)y 1 c)y 3 d)y e x2 e)y sin 2x 1 4x x 3 x f)y cos 2 x g)y sin e x h)y ln 2x 3 x i)y cos 2 4x 3 2x j)y 2 sin x k)y 6e 3x2 x Soluciones:y 2x 6; y 16x 4x ;y 18x2 3 2x 3 x ; 2 y 2xe x2 ;y 2cos 2x 1 ;y 2cosxsinx;y e x cos e x ;y 6x2 1 2x 3 x ; y 24x 2 4 cos 2x 4x 3 sin 2x 4x 3 ;y 2 cosx sin 2 x ;y 36x 6 e 3x2 x 4. Calcula las siguientes derivadas, simplificando al máximo: a)y x 2 e x b)y 3x 4 6x lnx c)y cosx sinx d)y lnx x e)y x 3 4x 2 f)y 1 cosx g)y e 1 cosx sinx h)y sin x i)y x 2 cosx j)y sin 2 x cos 2 x k)y lnx l)y sinx cosx Soluciones:y 2xe x x 2 e x ; y lnx 12x x 3 ;y 1 cos 2 x ;y 1 lnx x 2 y ;y 3x 2 8x 2 4x 2 x 3 ; 2sinx 1 cosx 2 ;y cosx e sinx ;y 1 2 x cos x ;y 2xcosx x2 sinx cos 2 x y 0;y 1 2x lnx ;y cos 2 x sin 2 x 5. Calcula y simplifica las siguientes derivadas: a)y 1 sinx 1 sinx b)y ln arctgx 2 c)y tan x 1 x e)y 2 x x2 a 2 a2 2 ln x x2 a 2 Soluciones: cosx y ; y 2x 1 sinx 1 sinx x 4 arctanx ; 2 y 1 1 x 2 d)y ln cos x2 2 cos 2 x 1 x 1 tan2 x 1 x 1 1 x2 ; y xtan 2 x 2 ; y x2 a 2 ; -37-

38 6. Ahora éstas: a)f x ln 1 sinx 1 sinx b)f x x x 1 c)f x 1 tanx 1 tanx 3x 2 d)f x ln e tanx Soluciones:y 2 cosx ;y y 2 1 tan2 x 1 tanx 2 2 cosx sinx ;y 1 tan2 x x 1 x x 1 1 2cos 2 x 7.Calculabparaquelatasadevariaciónmediadelafunciónf x ln x b enel intervalo[0,2] valga ln 2. Calcula a continuación la tasa de variación instantánea en los extremosdedichointervalo. (Sol:b 2 e 4 1,f 0 1 b,f 2 1 ) 2 b 8.Calculaelvalordemparaqueladerivadadelafuncióny mx2 1 2x m enx 1 2 valga 1.(Sol:m -2) 9.Calculaaybparaquelasiguientefunciónseaderivableentodo : f x ax 2 3x si x 2 x 2 bx 4 si x 2 (sol:a 2,b -7) 10. Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones, simplificando su expresión cuando sea posible: a)f x 1 3x parax 0 b)g x 1 ln 4x parax 0 c) x 3 3 h x cosx senxparax (sol:f x 6x 3 ; x 4 g x 1 ; h x cos 2 x sin 2 x) 3x 11. Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: a)f x 2x3 cosx b)g x 2 3 ln 5x c)h x 1 2 e5x 3 d)i x ln 3tg 2 x (sol: f x 2x2 3 x tanx cosx ; g x 2 3x ; h x 5 2 e5x 3 ; i x 2 1 tg2 x tgx 2 cosx sinx ; 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. RECTA TANGENTE. 1.Hallaunpuntodelagráficadey x 2 x 5enelcuallarectatangenteseaparalelaa larectay 3x 8(sol:x 1) 2.Dadalaparáboladeecuacióny x 2 2x 5ylarectasecanteaellaporlospuntosde abcisasx 1 1yx 2 3,hallalaecuacióndelarectatangentealaparábolaquesea paralelaalarectasecantedada.(sol:y 2x 1,(rectatgenelptox 2)) 3.Dadalafunciónf x 1 x x 2 a.mediantelímites,calculaf 2. (sol:f 2 3 b. Quésignificadotienef 2?Deduceelpuntodecortedelarectatangentealacurva enx 2,conelejeOX.(sol:(1,0),(larectaesy 3x 3 ) -38-