Relación 2: Regresión Lineal.

Transcripción

1 Relacón 2: Regresón Lneal. 1. Se llevó a cabo un estudo acerca de la cantdad de azúcar refnada (Y ) medante un certo proceso a varas temperaturas dferentes (X). Los datos se codfcan y regstraron en el sguente cuadro: x y (a) Estma la recta de regresón. (b) Calcula la cantdad de azúcar refnada que se produce cuando la temperatura codfcada es (c) Prueba a nvel de sgnfcacón de 0.05 s el modelo lneal es adecuado. 2. Se estuda la relacón entre el tempo de reparacón (mnutos) de ordenadores personales (Y ) y el número de undades reparadas (X) en ese tempo por un equpo de mantenmento con los resultados mostrados en la tabla. x y (a) Construr la recta de regresón para prever el tempo de reparacón. (b) Construr un ntervalo de confanza para la pendente de la recta de regresón. (c) Construr un ntervalo de predccón (α = 0.01) del tempo de reparacón para un lote de 14 undades. 3. Para establecer la relacón entre el alargamento en mm (Y ) producdo en un certo materal plástco sometdo a traccón y la fuerza aplcada en toneladas por cm 2 (X) se realzaron 10 expermentos cuyos resultados se muestran en la tabla: x y (a) Ajustar el modelo de regresón lneal Y = β 0 + β 1 x + u y contrastar la hpótess de que por cada Tm/cm 2 de fuerza aplcada es de esperar un alargamento de 50mm. (b) S el límte de elastcdad se alcanza cuando x = 2.2 Tm/cm 2 construr un ntervalo de confanza para la estmacón del alargamento en ese punto. 4. En un modelo de regresón lneal smple estmado con n = 20 la varabldad explcada es 10 y la varabldad no explcada es 18. Hay evdenca de relacón entre ambas varables? 1

2 5. La ecuacón de regresón entre las ventas de un producto (Y ) y su preco (X) es ŷ = x Sabendo que el número de datos ha sdo n = 50, que la varanza resdual es 4 y que σ y = 4, contrastar la hpótess H 0 : β 1 1 frente a la alternatva H 1 : β 1 < Dada la recta de regresón ŷ = 3 + 5(x 2) con r = 0.8 y varanza resdual 1. Construr un ntervalo de confanza para la pendente s n = La presón (P, en Kg/cm 2 ) de un gas correspondente a dferentes volúmenes (V, en cm 3 ) se regstró de la sguente manera: V P La ley de los gases deales vene dada por la ecuacón donde γ y C son constantes. P V γ = C (a) Encuentre las estmacones de mínmos cuadrados de γ y C a partr de los datos de la tabla. (b) Estme P cuando V = 80cm Un ngenero realzó un estudo a fn de ver s exste una relacón lneal entre la resstenca a la ruptura (Y ) de vgas de madera y el peso específco relatvo (X) de la madera. Dez vgas selecconadas al azar, con las msmas dmensones de seccón trasversal, se someteron a esfuerzo hasta romperse. En la tabla se muestra la resstenca a la ruptura y el peso específco relatvo de la madera para cada una de las vgas. (a) Determnar la recta de regresón. Vga Y X (b) Dar un ntervalo de confanza para la resstenca a la ruptura de una vga con un peso específco de

3 9. Los datos sguentes relaconan la temperatura de ebullcón (T) del agua en grados Fahrenhet, con la presón barométrca (P), y fueron tomados por el físco escocés Forbes en 1857 en los Alpes y en Escoca. Se pde: P T (a) Construr la recta de regresón para prever la temperatura en funcón de la presón. (b) Construr ntervalos de confanza para los parámetros. (c) Calcular la varanza resdual y el coefcente de correlacón. 10. En un estudo para relaconar la longtud de la línea de la vda en la mano zquerda y la vda de una persona, se han obtendo datos de 50 personas con los sguentes resultados x=longtud de la línea (en cm); y=edad al morr (en años): y = 3333; y 2 = x = 459.9; x 2 = ; x y = Construr una recta de regresón y analzar s exste relacón lneal entre x e y. 11. La estatura de un bebé al nacer (y, en cm) y el período de embarazo (x, en días) son: y x Ajustar una recta de regresón y construr ntervalos de confanza para sus coefcentes. Es adecuada la relacón lneal? 12. La sguente tabla muestra los mejores tempos en Juegos Olímpcos hasta 1976 en dstntas pruebas masculnas de atletsmo. y x y=tempo (en segundos); x=dstanca (en metros) (a) Estmar la regresón lneal de y sobre x y calcular la varanza resdual y el coefcente de correlacón. (b) Obtener ntervalos de confanza para la pendente y varanza resdual. (c) Analzar s la relacón lneal es adecuada. (d) Supóngase que hubese una carrera de 500 metros. Estmar el tempo prevsto para el récord olímpco, dando un ntervalo de confanza. 3

4 13. Se han examnado una sere de solucones patrón de fluorescena en un espectrómetro de fluorescenca, y han conducdo a las sguentes ntensdades de fluorescenca (en undades arbtraras): y x y=ntensdades de fluorescenca; x=concentracón (en pg/ml) (a) Obtener la recta de regresón. (b) Determnar ntervalos de confanza para los parámetros del modelo. 14. En un laboratoro provsto de equpamento polarográfco se tomaron ses muestras de polvo a varas dstancas del polarógrafo y se determnó el contendo de mercuro de cada muestra. Se obtuveron los sguentes resultados: x y x=dstanca al polarógrafo (en m); x=concentracón de mercuro (en ng/g) (a) Determnar la recta de regresón. (b) Analzar s la relacón lneal es adecuada. 15. Se obtuveron los resultados sguentes en un expermento para determnar espermna medante cromatografía de capa fna de alta resolucón de uno de sus dervados fluorecentes. x y x=ntensdad de fluorescenca; y=espermna (en ng) (a) Determna la recta de regresón. (b) Establece un ntervalo de confanza del 90% para la cantdad de espermna que le correspondería a una ntensdad de fluorescenca de Se consdera que la energía eléctrca que consume una planta químca cada mes está relaconada con la temperatura ambente promedo x 1, el número de días al mes, x 2, la pureza promedo del producto, x 3, y las toneladas de producto fabrcadas, x 4. Se dspone de los datos hstórcos del año pasado y se presentan en la sguente tabla: 4

5 y x 1 x 2 x 3 x (a) Ajuste un modelo de regresón lneal múltple con el uso del conjunto anteror de datos. (b) Pronostque el conjunto de energía para un mes en el que x 1 = 75 o F, x 2 = 24 días, x 3 = 92 y x 4 = 98 toneladas. 17. El departamento de personal de certa empresa ndustral utlza 12 sujetos en un estudo para determnar la relacón entre la clasfcacón de rendmento en el trabajo (y) y las calfcacones de cuatro pruebas. Los datos son los sguentes: y x 1 x 2 x 3 x (a) Ajuste un modelo de regresón lneal múltple. (b) Estudar la bondad del modelo ajustado. (c) Obtener ntervalos de confanza para los parámetros. (d) Contrastar la hpótess de que β 2 = La tabla proporcona la velocdad máxma (V), la potenca en CV (P), la clndrada en CC (C) y el número de clndros de una muestra de 32 motos dstntas que pueden 5

6 adqurrse en España: V P C N (a) Ajuste un modelo de regresón lneal múltple. (b) Estudar la bondad del modelo ajustado. (c) Obtener ntervalos de confanza para los parámetros. (d) Examnar s el coefcente β 3 es sgnfcatvo. 19. Se realza un expermento para determnar la duracón de vda de certos crcutos electróncos (y) en funcón de dos varables de fabrcacón (x 1, x 2 ) con los resultados 6

7 sguentes: y x 1 x (a) Ajuste un modelo de regresón lneal múltple. (b) Estudar la bondad del modelo ajustado. (c) Determnar la varanza resdual. (d) Obtener ntervalos de confanza para la predccón en el punto (0,0). 20. Para establecer la relacón entre el voltaje de unas baterías (V ) y la temperatura (T ) de funconamento se han hecho unos expermentos cuyos resultados se recogen en la tabla sguente: Batería Temperatura Voltaje (a) Estmar por mínmos cuadrados el modelo lneal V = β 0 + β 1 T + e Es adecuado? (b) Las baterías 1, 3, 5 y 7 son baterías de Cadmo y las 2, 4, 6 y 8 son de Znc. Introducr en el análss anteror una varable cualtatva que tenga en cuenta los dos tpos de batería (dcha varable la cuantfcamos asgnando el valor 1 para las baterías de Cadmo y 0 para las baterías de Znc). Estmar los parámetros del modelo de regresón lneal múltple correspondente. Contrastar s es sgnfcatva dcha varable al 95%. (c) Dar un ntervalo de confanza para el voltaje de una batería de Cadmo que va a trabajar a 35 o C. 21. Se realzó un expermento en el que se hceron 2 observacones y para cada uno de cnco valores de x, como se ndca en la tabla x y (a) Estmar un modelo de regresón smple con y como varable dependente y x como regresor. Indcar s el modelo es apropado, justfcando la respuesta. (b) Estma el modelo (c) Realza el contraste H 0 : β 2 = 0. y = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 + u. 7

8 22. Para 11 provncas españolas se dspone de la sguente nformacón relatva a las v.a. Y : número de mujeres conductoras / número de hombres conductores X 1 : Porcentaje de mujeres que trabajan sobre el total de personas que trabajan en la provnca X 2 : Porcentaje de poblacón que trabaja en el sector agrícola s X = (1, X 1, X 2 ) se sabe que Ŝ R = 0.03, (X t X) 1 = (y y) 2 = (a) Estmar el modelo de regresón múltple. X t Y = (b) Realza los contrastes ndvduales de las hpótess β = 0 = 0, 1, (c) Calcula el valor del coefcente de determnacón múltple así como el coefcente de determnacón múltple ajustado. 23. Se lleva a cabo un estudo sobre el desgaste de un cojnete (Y ) y su relacón con la vscosdad del acete (X 1 ) y la carga (X 2 ) y x x (a) Estma los parámetros desconocdos de la ecuacón de regresón múltple y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + u. (b) Pronostca el desgaste cuando la vscosdad del acete es 2 y la carga 120. (c) Estmar σ 2. (d) Calcula un ntervalo de predccón del 95% para el desgaste observado s x 1 = 2 y x 2 = 120. (e) Examna s hay evdencas de que el parámetro β 2 es sgnfcatvo. 24. Dados los datos x y (a) Ajustar el modelo cúbco y = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 + β 3 x 3 + u. (b) Pronostca y cuando x = 2. (c) Dar un ntervalo de predccón al 95% para ŷ x=2. (d) Obtener un ntervalo de confanza para β 1 y β 2. 8