Regresión con errores autocorrelacionados
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- Alberto Iglesias Maidana
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1 Series de tiempo Gerardo Ortega Miguel Pluma Luis Osorio Johnatan García 09 de diciembre de 2013
2 Contenido 1 Introducción Idea intuitiva 2 Algoritmo 3 Propiedades de los estimadores 4 Estadístico de Durbin-Watson 5 6 Muertes por daño cardiovascular 7
3 Introducción Idea intuitiva En el análisis de mínimos cuadrados, el modelo usual de regresión es r Y t = β 0 + β i X it + ɛ t, t = 1, 2,..., n. i=1
4 Idea intuitiva , Fuller,pág
5 Idea intuitiva
6 Idea intuitiva Considere el modelo y t = m β i x it + e t,, t = 1, 2,..., n, i=1 donde los errores no son independientes. En forma matricial, y = X β + e.
7 Idea intuitiva Introducción Idea intuitiva Se quiere encontrar matriz de transformación A, tal que AY = A(X β + e) = AX β + Ae = Uβ + w donde U = AX, AΓA = σ 2 I y W WN(0, σ 2 ).
8 Idea intuitiva Aplicando mínimos cuadrados o máxima verosimilitud al vector Ay se obtiene ˆβ w = (U U) 1 U y = (X A AX ) 1 X A Ay = (X Γ 1 X ) 1 X Γ 1 y.
9 Idea intuitiva Si {e t } son un proceso AR(p), entonces φ(b)e t = w t. De esta manera u t = φ(b)y t = β φ(b)x t + w t = β v t + w t.
10 Supuestos Introducción Algoritmo Si {e t } son ARMA(p,q), entonces e t = p q φ j e t j θ k w t k + w t, w t WN(0, σ 2 ). j=1 k=1 Con el operador de retardo, B, se puede escribir como φ(b)e t = θ(b)w t o e t = φ 1 (B)θ(B)w t = θ(b) φ(b) w t, donde φ(b) = 1 φ j B j, θ(b) = 1 θ k B k, son los polinomios en B de grado p y q, respectivamente.
11 Algoritmo Por lo tanto, y t = = m β i x it + e t i=1 m i=1 β i x it + θ(b) φ(b) w t.
12 Algoritmo Introducción Algoritmo Paso 1 Aplica una regresión ordinaria de y t con e t.
13 Algoritmo Introducción Algoritmo Paso 1 Aplica una regresión ordinaria de y t con e t. Paso 2 Ajustar un modelo ARMA a los residuales ê t = y t ˆβ x t y ˆΦ(B)ê t = ˆθ(B)w t.
14 Algoritmo Paso 3 Aplicar la transformación ARMA a si y t = β x t + e t, u t = ˆΦ(B) ˆθ(B) y t y v t = ˆΦ(B) ˆθ(B) x t, se obtiene el modelo de regresión transformado U = V β + w.
15 Algoritmo Paso 4 Aplicando mínimos cuadrados en una regresión ordinaria, asumiendo errores no correlacionados al modelo transformado, obteniendo ˆβ w = ( V V ) 1 V U, donde V = [v 1,..., v n ] y U = [U 1,..., U n ] son los correspondientes componentes transformados.
16 Algoritmo Paso 4 Aplicando mínimos cuadrados en una regresión ordinaria, asumiendo errores no correlacionados al modelo transformado, obteniendo ˆβ w = ( V V ) 1 V U, donde V = [v 1,..., v n ] y U = [U 1,..., U n ] son los correspondientes componentes transformados. Paso 5 El procedimiento se repite hasta convergencia y se aproxima al EMV bajo normalidad de los errores.
17 Introducción Propiedades de los estimadores Dado el modelo queremos estimar los parámetros. Existen varios métodos de estimación: OLS,GLS, EGLS,Least Square Residuals Estimación ˆβ OLS = (X X ) 1 X ỹ, ˆβ G = (X V 1 X ) 1 X V 1 ỹ, ˆβ E = (X ˆV 1 X ) 1 X ˆV 1 ỹ, donde V es la matriz de varianzas y covarianzas de ẽ.
18 Propiedades Introducción Propiedades de los estimadores Propiedad 1 Los estimadores OLS son consistentes, asintóticamente normales. Pueden no ser eficientes o tener tasas de convergencia distintas. Puede no ser insesgado. Las coordenadas de ˆβ puede converger a diferentes tasas. Se subestima la verdadera varianza.
19 Propiedades Introducción Propiedades de los estimadores Propiedad 1 Los estimadores OLS son consistentes, asintóticamente normales. Pueden no ser eficientes o tener tasas de convergencia distintas. Puede no ser insesgado. Las coordenadas de ˆβ puede converger a diferentes tasas. Se subestima la verdadera varianza. Propiedad 2 El mejor estimador lineal insesgado es ˆβ G, ademas de consistente y asintóticamente normal. Aunque se requiere conocer V.
20 Propiedades de los estimadores Propiedad 3 Los residuales de OLS se pueden usar para estimar Y t X t ˆβ = ê t.
21 Propiedades de los estimadores Propiedad 3 Los residuales de OLS se pueden usar para estimar Y t X t ˆβ = ê t. Propiedad 4 Un estimador de GLS de β se obtiene reemplazando V por ˆV = V (α). El estimador es consistente, asintóticamente normal y asintóticamente equivalente a GLS.
22 Estimador de la ACF Introducción Estadístico de Durbin-Watson Se puede demostrar que γêt (h) = γ et (h) + O p (n 1 ), es decir γêt (h) y γ et (h) son asintóticamente equivalentes y como γ et (h) γ et (h) h 1, entonces γêt (h) γ et (h) h 1.
23 Estadístico de Durbin Watson Estadístico de Durbin-Watson Para investigar la naturaleza del sesgo en γêt (h) se definió el estadístico de Durbin Watson n 1 i=1 d = (ê i+1 ê i ) 2 n i=1 ê2 i = 2(1 ρêt (1)) ê2 1 + ê2 n n. i=1 ê2 t Se espera que d 2, si no es así, se sospecha que e t no es ruido blanco.
24 Estadístico de Durbin-Watson El estadístico d está probando ρ et (1) = 0, es posible que se cumpla ρ et (1) = 0 pero no necesariamente e t es ruido blanco, por ejemplo e t = αe t 2 + w t w t WN(0, σ 2 ). H 0 : e t es ruido blanco vs H 1 ρ et (1) > 0, H 0 : e t es ruido blanco vs H 2 ρ et (1) < 0. Bajo H 0 se tiene que n(d 2) = 2 γêt (1) n + O p (n 1 2 ) N(0, 4).
25 Estadístico de Durbin-Watson La distribución exacta de d depende de X, sin embargo Durbin y Watson encontraron dos variables d L,α d d U,α que no dependen de X y tabularon sus percentiles.
26 Estadístico de Durbin-Watson H 0 : e t es ruido blanco vs H 1 : ρ et (1) > 0 Si d < d L,α, rechazar H 0 a favor de H 1. Si d > d U,α, no rechazar H 0. Si d L,α d d U,α la prueba no puede concluir.
27 Estadístico de Durbin-Watson H 0 : e t es ruido blanco vs H 2 : ρ et (1) < 0 Si 4 d < d L,α, rechazar H 0 a favor de H 1. Si 4 d > d U,α, no rechazar H 0. Si d L,α 4 d d U,α la prueba no puede concluir.
28 Introducción Si tenemos Y t = X t β+ e t con e t estacionaria de media 0 y función de autocovarianza Γ e (h) conocida y β desconocida, queremos además de estimar β, predecir Y n+1,..., Y n+s dados Y 1,..., Y n, X n+1,..., X n+s y Γ e (h).
29 Sabemos que: V = E[ẽẽ ] = Γ(0) Γ(1),..., Γ(n 1) Γ(1) Γ(0),.., Γ(n 2)..... Γ(n 1) Γ(n 2),.., Γ(0), ẽ = (e 1,..., e n ).
30 Usando el modelo Y = X β+ ẽ t, ẽ t (0, V ), y el mejor estimador lineal insesgado para β, el cual esta dado por, ˆβ = (X V 1 X ) 1 X V 1 ỹ, (Estimador de minimos cuadrados generalizados), encontraremos es mejor predictor lineal insesgado.
31 Consideremos a c i ỹ como dicho predictor de Y n+i, veamos que es insesgado: E( c i ỹ) = E( c i = c i X β = X n+i β = c i X = X n+í. ( X β + ẽ t ) ) = c i X β = E[Y n+i ] = X n+i β β
32 Ahora, para que quede determinado el predictor, debemos de decir quien es c i, y para ello debe cumplir ( min E [ Y n+1 c i ỹ ] ) 2, sujeto a c i x = x n+i.
33 Entonces para Y n+i, Ŷ n+i = c i Ỹ = b iỹ + [ X n+i X b i ] (X V 1 X ) 1 X V 1 ỹ [ = b iỹ + X n+i X b ] i ˆβ = b i [Ỹ X ˆβ] + X n+i ˆβ.
34 Y por tanto, el error de predicción esta dado por, y n+i ŷ n+i = X n+i( β ˆβ) b [ i ỹ x ˆβ ] + e n+i = X n+i( β ˆβ) b iẽ b i X ( β ˆβ) + e n+i = [ b i X X n+i] ( β ˆβ) + (e n+i ê n+i ).
35 Regresión con errores corelacionados Muertes por daño cardiovascular Analizaremos datos de muertes por daños cardiovasculares. Variables regresoras: tiempo, temperatura, nivel de partículas de contaminantes. Dichos datos se encuentran en el libro de Shumway
36 Datos Introducción Muertes por daño cardiovascular
37 Graficos de dispersión Introducción Muertes por daño cardiovascular
38 Gráficos de dispersión Introducción Muertes por daño cardiovascular Las graficás anteriores sugieren el siguiente modelo de regresión: M t = β 1 + β 2 t + β 3 T t + β 4 Tt 2 + β 5 P t + Z t (1) donde T t : es la temperatura al tiempo t, P t : es el nivel de particulas contaminantes al tiempo t, Z t : son los errores (los cuales resultan ser correlacionados) β i : son los coeficientes a determinar en la regresión.
39 Errores estimados Introducción Muertes por daño cardiovascular Los errores estimados, que son los residuales con el modelo clásico de regresión, se muestran en la siguiente figura. Es claro que no es ruido blanco. Además de la prueba de Durbin Watson obtenemos el estadístico d = DW = , con p valor = 1.523e 15
40 Muertes por daño cardiovascular
41 ACF de los errores estimados Muertes por daño cardiovascular
42 PACF de los errores estimados Muertes por daño cardiovascular
43 Muertes por daño cardiovascular Modelo propuesto para los errores Z t Los gráficos anteriores sugieren que los errores son un modelo AR(2). Estimando los coeficientes del AR(2) y de la regresión se tiene β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 α 1 α
44 Residuales finales Introducción Muertes por daño cardiovascular
45 ACF de los residuales finales Muertes por daño cardiovascular
46 PACF de los residuales finales Muertes por daño cardiovascular
47 PACF de los residuales finales Muertes por daño cardiovascular Además de la prueba de Durbin Watson obtenemos el estadístico d = , con p valor = Dicho valor, junto con las gráficas, muestran que hay un buen ajuste.
48 Muertes por daño cardiovascular Ejercicio:Les enviaremos un archivo con datos de consumo bebidas alcohólicas en el Reino Unido de 1870 a La primera variable Y t (primera columna) corresponde al consumo anual percápita, las variables explicativas son: φ 1,t (segunda columna) y φ 2,t (tercera columna) las cuales representan el ingreso percápita y el precio de las bebidas, respectivamente. que utilizaremos es: Y t = β 0 + β 1 φ 1,t + β 2 φ 2,t + β 3 φ 3,t + β 4 φ 4,t + Z t donde φ 3,t = 10 2 t, φ 4,t = 10 4 (t 35) 2, los valores para t son a partir de 1870, y asumimos Z t es una serie de tiempo estacionaria. Deben estimar los parámetros de β 0, β 1, β 2, β 3, β 4, siguiendo el ejemplo mostrado en clase.
49 I Introducción R. L. Anderson. The problem of autocorrelation in regression analysis. American Statistical Association, 49:113 29, Frantisek atulajter. Predictions in Time Series using Regression models. Springer New York, M.S. Bartlett. On the theoretical specification and sampling properties of autocorrelated time series. Royal Statistical Society, B 8:27 41, 1946.
50 II Introducción J. Durbin. Estimation of parameters in time-series regression model. Royal Statitistal Society, B 22:139 53, Dra. Graciela González Farías. Notas. W. A. Fuller. Introduction to Statistical Time Series. Wiley & Sons Inc, 2 edition, 1996.
51 III Introducción D. A. Pierce. Distribution of residual autocorrelations in the regression model with auto-regressive-moving average errors. Royal Statistical Society, B 23, Dr. Joaquín Ortega Sánchez. Notas del curso. Robert H. Shumway & David S. Stoffer. Time series analysis and its applications. Springer, 2000.
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