Capítulo 2 Cinemática
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- Alicia Olivera González
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1 Capíulo 2 Cinemáica 32 Problemas de selección - página 29 (soluciones en la página 104) 17 Problemas de desarrollo - página 40 (soluciones en la página 105) 27
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3 2.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN Sección 2.A Problemas de selección 48. Una parícula iene velocidad v = 2i + 4 j 5 2 k donde es el iempo (odas las unidades esán en el SI). Su aceleración a los 2 segundos es A) i + 4j 10k B) 4j 20k C) 4i + 16j 40k D) 4i + 8j (40/3)k E) 2i + 8j 20k 49. Una parícula iene vecor posición r = 4 3 i 5j k donde es el iempo (odas las unidades perenecen al SI). Su velocidad al insane = 1ses A) i 5j +(2/5)k B) 4i 5j + 2k C) 12i 5j + 8k D) 4i + 2k E) 12i + 8k C. Di Barolo 29
4 2CINEMÁTICA 50. Una parícula iene, en unidades del SI, una velocidad en función del iempo dada por v = 3 2 û x + 2û y 6 û z. En qué insanes son perpendiculares su velocidad y su aceleración? A) = 0 B) Nunca C) = ± 2 D) = ± 2y = 0 E) = ±(2/3) 1/3 51. La velocidad de una parícula es v() =2π cos(π) ˆx 3π sen(π)ŷ + 4ẑ y su posición al insane = 1esr(1) =2ˆx + 3ẑ (odas las unidades son del SI). La posición de la parícula en función del iempo es A) r()=2[sen(π)+1] ˆx + 3[cos(π) 1]ŷ +(4 + 3)ẑ. B) r()=[2π cos(π)+2] ˆx 3π sen(π)ŷ +(4 + 3)ẑ. C) r()=[2π cos(π)+2 + 2π] ˆx 3π sen(π)ŷ +(4 1)ẑ. D) r()= 2π 2 sen(π) ˆx 3π 2 cos(π)]ŷ. E) r() = 2[sen(π)+1] ˆx + 3[cos(π)+1]ŷ +(4 1)ẑ. 52. Sea v la velocidad de una parícula, v su rapidez (v 2 = v v)ya su aceleración. Si la parícula se mueve con rapidez consane (dv/d = 0) y a 0 enonces necesariamene A) ninguna de las oras 4 opciones es correca. B) a es perpendicular a la rayecoria. C) a = 0. D) da d = 0. E) a es angene a la rayecoria. 30 C. Di Barolo
5 2.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN 53. Una parícula con aceleración a = 3 û x m/s 3 iene en el insane inicial, = 0, velocidad v 0 = 5û z m/s y posición r 0 = 0. Cuál de las siguienes afirmaciones es correca? A) En odo insane su posición viene dada por r = a 2 /2 + v 0 + r 0. B) La rayecoria descria por el objeo es una parábola. C) En odo insane su velocidad es v = a + v 0. D) Su movimieno ranscurre en el plano xz. E) Ninguna de las oras 4 opciones es correca. 54. La gráfica de la derecha muesra, para una parícula, v x en función del iempo. Cuál de los gráficos de abajo muesra mejor la función a x ()? v x a x A) a x B) a x C) a x D) a x E) 55. Una parícula pare del origen y se mueve sobre el eje x con una velocidad cuya componene v x en función del iempo se muesra en la gráfica (las unidades perenecen al SI). El desplazamieno en meros de la parícula luego de los primeros 2 segundos es A) 4 v x B) 16 8 C) 1 D) 8 E) ninguno de los aneriores 0 4 C. Di Barolo 31
6 2CINEMÁTICA 56. La gráfica de la derecha muesra, para una parícula, v x en función del iempo. Cuál de los gráficos de abajo muesra mejor la función x()? v x x A) x B) x C) x D) x E) 57. Una parícula pare del reposo y se mueve sobre el eje x con una aceleración cuya componene a x en función del iempo se muesra en la gráfica (en unidades del SI). La velocidad de la parícula, en meros/segundo, al insane = 2 segundos es A) 12 B) -3 C) 6 12 a x D) 18 E) ninguna de las aneriores Una parícula pare del origen y se mueve sobre el eje x con una velocidad cuya componene v x en función del iempo se muesra en la gráfica (unidades del SI). El desplazamieno en meros de la parícula luego de los primeros 5 segundos es A) 24 B) 26 C) v x D) 50 E) ninguno de los aneriores C. Di Barolo
7 2.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN 59. La componene x() =r() i de la posición de una parícula se represena en la gráfica. En el lapso [ 1, 2 ] la componene v x = v() i de su velocidad A) oma valores ano negaivos como posiivos. B) es negaiva y no consane. x C) es posiiva y no consane. D) es negaiva y consane. E) es posiiva y consane La gráfica represena la componene v x () =v() û x de la velocidad de una parícula. Al insane = 8 s la componene a x = a û x de la aceleración de la parícula en m/s 2 es A) +2. v x [m/s] B) 1. C) 2. D) [s] E) Se lanza una piedra vericalmene hacia arriba. Cuando la piedra llega a su alura máxima, enonces su vecor aceleración A) no saisface ninguna de las oras 4 opciones. B) es cero. C) cambia de senido. D) apuna hacia arriba. E) es el mismo que cuando esá subiendo. C. Di Barolo 33
8 2CINEMÁTICA 62. Se lanza una piedra vericalmene hacia arriba con rapidez inicial de 20 m/s. Luego de 3 s la velocidad de la piedra en m/s es (ome el eje y apunando vericalmene hacia arriba) A) +10ŷ B) +30ŷ C) 10ŷ D) +50ŷ E) 30ŷ 63. La figura muesra dos peloas bajo la influencia de la gravedad erresre. La #1 cae y su aceleración es a 1, la #2 esá subiendo y su aceleración es a 2. Se ha llamado k al vecor uniario que apuna hacia arriba y g a la aceleración de gravedad. Se cumple que A) a 1 = a 2 = gk. B) a 1 = gk y a 2 = gk. 1 C) a 1 = a 2 = gk. D) a 1 = gk y a 2 =+gk. k 2 E) ninguna de las oras 4 opciones es ciera. Tierra 64. Un joven nada durane un iempo 1 = 60 seg a favor de la corriene de un río y luego regresa al puno de parida nadando a conracorriene durane un iempo 2. Si la rapidez de la corriene respeco a la orilla es de 30 cm/seg y el joven siempre nada con una rapidez de 50 cm/seg respeco al agua, se cumple que: A) 2 = 96 seg B) 2 = 100 seg C) 2 = 60 seg D) 2 = 15 seg E) 2 = 240 seg 34 C. Di Barolo
9 2.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN 65. Diga cuál de las siguienes afirmaciones, referidas a una parícula, es correca. A) En un movimieno unidimensional las direcciones de sus vecores aceleración y velocidad no pueden ser opuesas. B) Puede ener velocidad nula en un insane aún cuando esé acelerada. C) Si su aceleración es cero, la parícula no puede esar moviéndose. D) Si su velocidad es cero en un ciero insane, su aceleración es cero en ese insane. E) Su velocidad no puede aumenar si su aceleración esá disminuyendo. 66. En el movimieno de parículas con aceleración consane A) la rapidez siempre es proporcional al módulo de la aceleración. B) la rayecoria siempre es recilínea. C) la velocidad nunca se anula. D) el movimieno ocurre en un plano. E) la aceleración es angene a la rayecoria. 67. Diga cuál de las siguienes afirmaciones referidas al movimieno de parículas es correca. A) La velocidad no siempre es angene a la rayecoria. B) Ninguna de las oras 4 opciones es correca. C) Si el vecor aceleración es consane enonces necesariamene la rayecoria es recilínea. D) Si en un insane dado la aceleración es nula enonces en ese insane la parícula esá en reposo. E) Si en un insane dado la velocidad es nula enonces en ese insane la aceleración es nula ambién. C. Di Barolo 35
10 2CINEMÁTICA 68. Desde lo alo de un edificio se lanza una piedra con una dirección inicial de 45 por encima de la horizonal. Si nada enorpece el movimieno de la piedra, cuando ésa alcanza su máxima alura se cumple que A) ninguna de las oras 4 opciones es correca. B) su rapidez es nula. C) el iempo ranscurrido desde el lanzamieno es la miad del iempo de vuelo. D) los vecores velocidad y aceleración son perpendiculares. E) su aceleración es cero. 69. La figura muesra la rayecoria de una peloa de golf sobre un campo inclinado un ángulo α respeco a la horizonal. El eje z es perpendicular al campo. La aceleración de la peloa mienras esá en el aire es A) gcos(α)û z B) g[sen(α)û x + cos(α)û z ] C) gû z D) g[cos(α)û x + sen(α)û z ] E) g[sen(α)û x cos(α)û z ] û z û x α 70. La figura muesra la rayecoria de una peloa de golf sobre un campo inclinado un ángulo de 30 respeco a la horizonal. El eje z es perpendicular al campo. Al ser golpeada la peloa sale con una velocidad de (6û x + 5 3û z ) m/s. El iempo, en segundos, que arda en caer de nuevo al campo es A) 2 B) 12/(5 3) C) 12/5 D) 3 E) 6/5 û z û x C. Di Barolo
11 2.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN 71. Una joven, en reposo respeco a Tierra, observa que un ren se mueve horizonalmene con aceleración consane. Denro del ren un niño lanza una peloa vericalmene hacia arriba respeco a sí mismo. La rayecoria de la peloa visa por la joven es A) necesariamene una línea reca verical. B) necesariamene una línea reca horizonal. C) necesariamene una parábola. D) necesariamene una línea reca ni horizonal ni verical. E) ninguna de las oras 4 opciones. 72. Un barco se deja llevar por un río a velocidad consane hacia el Ese respeco a un aldeano en la orilla. En ciero puno P de su rayecoria el barco enciende los moores que le proporcionan una aceleración consane hacia el Nore respeco al aldeano. Tome el Ese hacia la derecha de esa hoja y el Nore hacia la pare superior de la misma y diga cuál de las siguienes curvas represena mejor la rayecoria del barco visa por el aldeano. A) B) C) D) E) P P P P P 73. Un joven, en reposo respeco a Tierra, observa que un ciclisa se aleja de él en línea reca, horizonal y con rapidez de 20 km/h. El ciclisa lanza una peloa (sin que ésa roe) y el joven la observa moverse en línea reca perpendicular al piso. Diga cuál de las siguienes afirmaciones es verdadera. A) Desde su propio sisema de referencia el ciclisa lanzó la peloa vericalmene. B) La disancia horizonal enre la peloa y el joven aumena a 20 km/h. C) En el puno más alo de su rayecoria la peloa se aleja del ciclisa a 20 km/h. D) La rayecoria de la peloa visa por el ciclisa no es una parábola. E) La rayecoria del ciclisa visa por la peloa no es una parábola. C. Di Barolo 37
12 2CINEMÁTICA 74. Se escoge el plano xy de forma al que un río reco iene aguas que fluyen con velocidad 5i m/s según un aldeano en la orilla. Un pescador, que cruza el río, observa que la velocidad de las aguas es (4i 3j) m/s. La velocidad, en m/s, del aldeano según el pescador es A) 9i 3j B) +i + 3j C) 5i D) 9i + 3j E) i 3j 75. A las 12 del día las agujas que indican la hora y los minuos de un reloj pulsera coinciden. La próxima vez que coincidan, la hora, cumplirá con A) 1 : 05pm < 1 : 06pm. B) 1 : 03pm < 1 : 05pm. C) = 12 de la noche. D) 1 : 06pm < 1 : 07pm. E) 1 : 07pm 1 : 09pm. 76. Diga cuál de las siguienes afirmaciones, referidas al movimieno circular de una parícula, es correca. A) Para un movimieno circular en ningún insane los vecores velocidad y aceleración pueden ser paralelos. B) En un movimieno circular uniforme el vecor velocidad permanece consane. C) La aceleración radial iene módulo v 2 /R, sólo si la rapidez es consane. D) Una parícula puede ener movimieno circular sin esar acelerada. E) Si una parícula se mueve en un círculo su vecor aceleración es siempre paralelo a la línea radial. 38 C. Di Barolo
13 2.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN 77. Una parícula describe un círculo de radio 16 m en el plano xz. En ciero insane su velocidad es paralela al eje x y su aceleración es (4i 9k) m/s 2. Su rapidez en ese insane, en m/s, es A) 8 B) 12 C) 3/4 D) 4 97 E) disina de las indicadas en las opciones aneriores. 78. Una parícula describe un círculo en el plano xy con cenro en el origen. En ciero insane su velocidad es 6i m/s y su aceleración (3i + 4j) m/s 2. Cuáles son las coordenadas (x,y) de la parícula en ese insane? A) (+9, 0) B) (+12,0) C) (0, 9) D) (0, +9) E) (0, 12) 79. La rayecoria de una parícula es una circunferencia de radio 6 m. Ella pare del reposo al insane = 0 y aumena su rapidez consanemene a razón de 8 m/s 2. Luego de (3/4) s la magniud de su aceleración, en m/s 2,es A) 12 B) 14 C) 6 D) 10 E) 8 C. Di Barolo 39
14 2CINEMÁTICA Sección 2.B Problemas de desarrollo 80. El vecor de posición de una parícula de masa m es r()=[rsen(w) A]i +[B Rcos(w)]j donde A, B, w y R son consanes posiivas y es el iempo. a. Halle los vecores velocidad y aceleración de la parícula. Encuenre ambién la rapidez de la misma. b. Encuenre y describa la rayecoria de la parícula. c. Haga un dibujo de la rayecoria e indique sobre la misma la posición de la parícula y la dirección de su velocidad para el insane = 0. Suponga que R < A y R < B. 81. Desde un ciero sisema de referencia caresiano se observa que la velocidad de una parícula en función del iempo es v() =3 2 û x 4û y, siendo su posición al insane = 1 r(1) =û x + û y + 4û z. Las unidades de odas las canidades perenecen al sisema Inernacional de unidades (SI). a. Halle los vecores posición y aceleración de la parícula. b. Encuenre para el insane = 3 la posición, velocidad, aceleración y rapidez de la parícula. c. Para el inervalo [0, 3] encuenre los vecores: desplazamieno, velocidad media y aceleración media. d. Para qué insanes se cumple que los vecores posición y aceleración son perpendiculares enre sí? 82. La rayecoria de ciera parícula esá dada por la ecuación y = 3x 3 + 4x 2 + x + 1. a. Halle para qué valores de x el vecor velocidad de la parícula es paralelo al eje x. b. Halle para qué valores de x son iguales las componenes x y y del vecor velocidad. 40 C. Di Barolo
15 2.B PROBLEMAS DE DESARROLLO 83. La figura muesra la componene x de la velocidad, v x (), para una parícula que se mueve sobre el eje x. Suponga que en = 0 la parícula se encuenra en x = 2. Todas las unidades perenecen al sisema Inernacional de unidades (SI). a. Halle la función v x () en el inervalo [0,6]. b. Encuenre la componene x de la aceleración, a x (), ylacoordenada x() en el inervalo [0,6]. c. Grafique las funciones a x () y x(). 3 v x Dos parículas se mueven sobre el eje x con aceleración consane. En el insane = 0la parícula A se encuenra en x = 3 y la parícula B en x = 9. La gráfica muesra las velocidades de las parículas en función del iempo. Todas las unidades perenecen al SI. a. Halle las funciones a x (), v x () y x() para ambas parículas, v x ome 0. A b. Encuenre en qué momeno ( = ch )ylugar(x = x ch )las 1 parículas chocan. B c. En un gráfico dibuje la posición de ambas parículas en función del iempo, desde = 0hasa = ch d. Describa cualiaivamene el movimieno de cada parícula. e. Halle la disancia recorrida por la parícula B y su desplazamieno desde el inicio hasa el momeno del encuenro La figura muesra una cuena p que desliza por un alambre plano en forma de parábola. La ecuación de la parábola es y = x 2 /b, donde b es una consane posiiva con dimensiones de longiud. Llamaremos α al ángulo enre la angene a la curva y el eje x, en el puno donde se encuenra la cuena. y = x 2 /b y p α a. Halle g(α) en función de la coordenada x de p. b. Suponga que la cuena iene rapidez v y se mueve hacia la derecha. Halle las componenes x y y de la velocidad de la cuena en función de v y de la coordenada x de p. Ayuda: recuerde que el vecor velocidad es angene a la rayecoria. x C. Di Barolo 41
16 2CINEMÁTICA 86. La figura muesra una colina inclinada un ángulo α z θ v respeco a la verical y la rayecoria de un proyecil. El 0 proyecil se lanza desde el origen 0 con una velocidad 0 inicial v 0 de módulo v 0 y que forma un ángulo θ con el x eje z (perpendicular al plano). El eje x se oma angene α al plano apunando hacia abajo. a. Tome el sisema de referencia indicado en la figura y halle las componenes de los vecores aceleración, velocidad y posición del proyecil en función del iempo. Verical b. Halle la máxima separación enre el proyecil y la colina. c. Halle la disancia enre el origen y el puno de caída del proyecil sobre la colina. Demuesre que esa disancia es máxima si θ = α/ Al insane = 0 una piedra (la # 1) se deja caer desde la azoea de un edificio de alura h. Al mismo iempo y desde la calle se lanza hacia arriba una segunda piedra. Las piedras chocan a una alura h/4 respeco a la calle. a. Deermine el insane en el cual chocan las parículas y la rapidez inicial de la parícula #2. b. Encuenre la velocidad de las parículas en el insane del choque (observe sus direcciones). c. Muesre en un gráfico las posiciones de las parículas en función del iempo. Represene en un dibujo las rayecorias de las parículas. 88. Un ascensor pare del reposo y desciende con aceleración consane de 1 m/s 2 respeco a Tierra. Dos segundos después de iniciarse el descenso se cae la lámpara del echo del ascensor. La disancia del echo al piso del ascensor es de 2 m. Definimos el referencial del ascensor como aquél con origen en su echo y dirección y posiiva apunando hacia abajo. a. Halle los vecores aceleración, velocidad y posición de la lámpara respeco al ascensor. b. Deermine el iempo que arda la lámpara en caer. c. Encuenre la disancia recorrida por el ascensor mienras cae la lámpara. 89. Los insrumenos de un aeroplano en vuelo horizonal indican que se dirige hacia el Ese con una rapidez de 300 km/h respeco al aire. En Tierra se observa que el aeroplano se encuenra en medio de una corriene de aire que sopla hacia el Nore con rapidez de 60 km/h. Halle la velocidad y rapidez del avión respeco a Tierra. 90. Unhombre guía suauomóvil bajo lluvia a una velocidad consane respeco a Tierra de módulo v y dirección ˆx. Mienras conduce el hombre observa que la rayecoria de cada goa es una línea reca que se apara un ángulo α de la verical y al deenerse observa que la lluvia cae vericalmene y prácicamene con velocidad consane. Halle el vecor velocidad de las goas de lluvia respeco al auo en movimieno y respeco a Tierra (ome ŷ verical hacia arriba). 91. Un vagón de ferrocarril moorizado va cuesa abajo sobre un plano inclinado un ángulo α. La 42 C. Di Barolo
17 2.B PROBLEMAS DE DESARROLLO disancia enre el echo y el piso del vagón es H y su aceleración respeco a Tierra es consane y vale a = ai, ver figura. Un pasajero del vagón observa que una lámpara, siuada en el cenro del echo del vagón, se desprende y choca con el piso en el puno o (en el exremo inferior del vagón). a. Halle la aceleración de la lámpara respeco a Tierra y respeco al pasajero del vagón. Exprese sus resulados en érminos de los vecores uniarios i y j. b. Escriba las componenes caresianas de la velocidad y posición de la lámpara según el pasajero. Tome el origen en el puno o solidario al vagón y llame L a la longiud del vagón. c. Halle el iempo que arda la lámpara en caer y la longiud L del vagón. d. Deermine la ecuación de la rayecoria de la lámpara, y = y(x), según el pasajero. Qué clase de curva es la rayecoria de la lámpara visa por el pasajero y visa desde Tierra? 92. La corriene de un río fluye de Ese a Oese con rapidez consane v c = 2 m/s respeco a Tierra. Un boe araviesa el río y de acuerdo a sus insrumenos de a bordo se mueve respeco al río dirigiéndose al Nore con rapidez consane v b = 10 m/s. Respeco al boe un pasajero se desplaza sobre la cubiera en línea reca desde el puno A hasa el puno C con una rapidez consane v p = 10 m/s. Suponga que BA = 4 m y apuna hacia el Nore y BC = 3 m y apuna hacia el Ese. Orilla a. Halle el vecor uniario û que apuna de A a C y las velocidades del boe y del pasajero respeco a Tierra. b. Halle el iempo que arda el pasajero en ir de A hasa C. Qué disancia recorre el boe en ese iempo según un observador en Tierra? 93. La figura muesra las coordenadas polares (r, θ) y los vecores polares (û r,û θ ) para un puno p que se mueve en el plano. La disancia de p al origen es r y el ángulo enre su vecor posición y el eje x es θ. Nóese que el vecor û θ es perpendicular al vecor û r y apuna en la dirección en que θ aumena. a. Escriba los vecores uniarios (û r,û θ ) en función de los vecores uniarios (û x,û y ) y del ángulo θ. H O û y o α A B o N S û θ C a j r() p θ() b. Tome como observador uno fijo respeco a los ejes caresianos. Derive respeco al iempo las expresiones obenidas en la pare a y demuesre que se cumple û r = θ û θ y û θ = θ û r. i ŷ û r ˆx E û x C. Di Barolo 43
18 2CINEMÁTICA c. Uilizando los resulados de la preguna anerior derive el vecor posición del puno p, r = rû r, y halle sus vecores velocidad y aceleración en coordenadas polares, eso es, debe hallarlos en función de las canidades r, θ, sus derivadas y de los vecores polares. d. Aplique el resulado anerior al caso de un movimieno circular (r = R consane) y deermine las componenes polares de la velocidad y la aceleración. Defina la rapidez angular w = θ y escriba en érminos de R y w la rapidez de p y la componene radial (cenrípea) de su aceleración. Realice un dibujo mosrando el puno p y los vecores polares. 94. Una parícula se desplaza sobre un riel circular, con cenro en el origen de coordenadas y siuado en un plano horizonal, ver figura. El móvil pare del puno A, iene rapidez consane, su movimieno es en senido anihorario y al cabo de 6 segundos se halla por primera vez en el puno de coordenadas caresianas ( 4,0) m. a. Halle el radio de la circunferencia, la velocidad angular w y el ángulo θ() que exise enre el vecor posición de la parícula y el semieje x posiivo para cualquier insane. b. Exprese en la base caresiana los vecores velocidad v y aceleración a de la parícula cuando se encuenra en el puno B. Calcule qué longiud de riel le fala recorrer para regresar al puno A. B y 210 o x A 95. El aro de la figura iene radio R y rueda sobre una superficie horizonal fija a Tierra. El aro gira en senido horario mienras su cenro c se mueve hacia la derecha con rapidez V respeco a la superficie. Considere un observador con origen en c (se raslada con el aro) y que no roa respeco a Tierra. Suponga que odos los punos del aro ienen rapidez V respeco al observador (se dice enonces que el aro rueda sin deslizar). En la figura se han marcado 4 punos para un ciero insane. El puno A es el puno más alo del aro, el B el más bajo, el D el puno del exremo izquierdo y el E con un radio vecor que forma un ángulo β con la verical. a. Halle la velocidad angular ω del aro. b. Halle los vecores velocidad de los punos A, B y D respeco a la superficie. c. Halle el vecor velocidad del puno E respeco a la superficie y diga para qué ángulo β su módulo es igual a V. 44 C. Di Barolo j i D E β A B c ω V
19 2.B PROBLEMAS DE DESARROLLO 96. Una parícula describe una circunferencia moviéndose en senido anihorario con una rapidez v = , donde 0 es el iempo y odas las unidades son del Sisema Inernacional. a. Halle la longiud de arco recorrida por la parícula en el lapso [0,]. b. Suponga que al insane = 2 s la aceleración de la parícula iene módulo 20 m/s 2. Calcule el radio de la circunferencia. C. Di Barolo 45
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21 7RESPUESTAS Sección 7.C Cinemáica (Selección) 48 B 49 E 50 A 51 E 52 B 53 D 54 D 55 A 56 C 57 D 58 C 59 B 60 C 61 E 62 C 63 A 64 E 65 B 66 D 67 B 68 D 69 B 70 A 71 C 72 E 73 C 74 E 75 A 76 A 77 B 78 C 79 D 104 C. Di Barolo
22 7.D CINEMÁTICA (DESARROLLO) Sección 7.D Cinemáica (Desarrollo) 80. a. v = Rw[cos(w)i + sen(w)j], a()=rw 2 [ sen(w)i + cos(w)j], v = Rw b. Tenemos que x =[Rsen(w) A] y y =[B Rcos(w)]. Luego la ecuación de la rayecoria es (x + A) 2 +(y B) 2 = R 2. Se raa de una circunferencia de radio R con cenro en el puno ( A,B). c. R r(0)=[ Ai +(B R)j] y v 0 v(0)=rwi. y B = 0 v 0 B R 81. a. r()= 3 û x +( )û y + 4û z, a()=6û x 4û y A 0 x b. r(3)=27û x 15û y + 4û z, v(3)=27û x 12û y a(3)=18û x 4û y, v(3)=3 97 c. D = r(3) r(0)=27û x 18û y, v media = 1 3 D = 9û x 6û y a media = 1 3 (v(3) v(0)) = 9û x 4û y C. Di Barolo 105
23 7RESPUESTAS d = ± a. b. x 1 = 1, x 2 = 1/9 x 1 = 0, x 2 = 8/9 83. a. + 1 si [0,2] v x ()= 3 si [2,3] si [3,6] b. c. 1 si (0,2) a x ()= 0 si (2,3) 2 si (3,6) si [0,2] 2 x()= 3 si [2,3] si [3,6] a x x a. Parícula A: a x = 1 v x = + 1 x = Parícula B: a x = 1 2 v x = x = b. ch = 4, x ch = C. Di Barolo
24 7.D CINEMÁTICA (DESARROLLO) c. x B d. La parícula A pare de x = 3 ysemueveen dirección del eje x posiivo acelerando (con aceleración consane) hasa el lugar del choque. La parícula B pare de x = 9 y se mueve inicialmene en dirección A i desacelerando hasa x = 10 ( = 2) donde se deiene, luego regresa acelerando hasa el puno del choque en x = 9. e. La disancia recorrida por B es 2 y su desplazamieno es nulo. 85. a. b. v x = g(α)=2x/b. bv b 2 + 4x, v 2xv 2 y = b 2 + 4x a. ẍ = gcos(α), ẋ = gcos(α) + v 0 sen(θ), x = g 2 cos(α)2 + v 0 sen(θ), z = gsen(α), ż = gsen(α) + v 0 cos(θ), z = g 2 sen(α)2 + v 0 cos(θ), b. La máxima separación ocurre para ż = 0yvale z = v2 0 cos2 (θ) 2gsen(α). c. El puno de caída ocurre para z = 0 y la disancia vale v 2 [ cos(2θ) x(θ)= gsen(α) g(α) La disancia máxima ocurre para dx(θ)/dθ = 0. ] + sen(2θ). 87. Tomaremos el origen en la base del edificio y el eje y posiivo hacia arriba. a. 3h 2gh cho = 2g, v 0 = 3. b. 3hg hg v 1 = 2 j, v 2 = 6 j. c. La figura siguiene a la izquierda muesra las aluras de las parículas (en unidades de h) en función del iempo (en unidades de cho ). La figura siguiene a la derecha muesra las rayecorias; C. Di Barolo 107
25 7RESPUESTAS aunque odo el movimieno ocurre en la misma reca verical se dibujan las rayecorias sobre disinas vericales para apreciar mejor el movimieno. 1 y/h #1 h #1 1/3 1/4 #2 #2 h 4 h 3 2/3 1 / cho 88. Las unidades (no indicadas) perenecen al Sisema Inernacional. L indica lámpara, A ascensor y T Tierra. a. Tomaremos como = 0 el insane para el cual se desprende la lámpara. a L,A = a L,T a A,T = 9û y, v L,A = 9 û y, r L,A = û y. b. c. y L,A = = 2 = 2 3. D = Llamaremos Ê y ˆN a los vecores uniarios en dirección Ese y Nore respecivamene. v =(300Ê + 60 ˆN)km/h, v = km/h. 90. v goa,tierra = v g(α) ŷ, v goa,auo = v g(α) ŷ v ˆx. 91. Los subíndices L, P y T hacen referencia a la lámpara, al pasajero y al referencial inercial de Tierra respecivamene. a. a L,T = g[sen(α)i cos(α)j], a L,P =[gsen(α) a]i gcos(α)j. b. v x =[gsen(α) a], x =[gsen(α) a] 2 2 L 2, v y = gcos(α) y = gcos(α) H 108 C. Di Barolo
26 7.D CINEMÁTICA (DESARROLLO) c. = 2H gcos(α) 2H [gsen(α) a], L =. gcos(α) d. Visa por el pasajero la rayecoria es una línea reca de ecuación Visa desde Tierra la rayecoria es una parábola. y = gcos(α) gsen(α) a x. 92. Las leras b, p y T designarán respecivamene el boe, pasajero y Tierra. a. 3ˆx + 4ŷ û =, v b,t =( 2 ˆx 10ŷ)m/s, v p,t =(4ˆx 2ŷ)m/s. 5 b. = 1 2 s, d = 26 m. 93. a. b. û r = cos[θ()]û x + sen[θ()]û y, û θ = sen[θ()]û x + cos[θ()]û y. û r = θ[ sen(θ)û x + cos(θ)û y ]= θ û θ, û θ = θ[ cos(θ)û x sen(θ)û y ]= θ û r. c. v = ṙ = ṙû r + r θû θ, a = r =( r r θ 2 )û r +(2ṙ θ + r θ)û θ. d. v = R θû θ, a = R θ 2 û r + R θû θ, v = Rw a radial = Rw 2 = v2 R û θ û r p R θ() 0 Eje de referencia fijo 94. a. b. R = 4m, w = π 4 rad s, v B = π 2 (û x 3û y ) m s, θ()=π 4 π 2 (con en segundos y θ en radianes). a B = π2 8 ( 3û x + û y ) m s 2, l = 4π 3 m. C. Di Barolo 109
27 7RESPUESTAS 95. a. La rapidez de cualquier puno del aro respeco a c es V = Rω, luego ω = V /R. b. V A = 2Vi, V B = 0, V D = V i +Vj. c. V E = V (1 cos(β))i +Vsen(β)j, V E = V β = ± Las unidades (no indicadas) perenecen al Sisema Inernacional. a. l = b. R = 100/ C. Di Barolo
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