TRANSFORMACIONES LINEALES. Qué significa

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1 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM RANSFORMACIONES LINEALES Qué significa : A B es función (o transformación? a cada a de A único (a (aimagen de a por medio de A dominio de B codominio de Im( Espacio Imagen de conjunto de las imágenes de los elementos de A

2 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 2 V y W espacios vectoriales, : V W, tal que. (v + v 2 (v + (v 2, para todo v,v 2 V. (Propiedad aditiva 2. (λv λ(v, para todo v V y todo λ R. (Propiedad homogénea es transformación lineal Sea : R 2 P, tal que ( a 3a x. Es transformación lineal? (( ( a a2 + 2 ( ( a λ ( a + a (a + a 2 ( + 2 x (3a x + (3a 2 2 x ( ( a a2 + ( λa λ 3λa λx λ(3a x ( a λ 2

3 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 3 Sea : R 3 R 2, tal que x y z ( x y x + z. Es transformación lineal? x x 2 y + y 2 z z 2 x y z + x 2 y 2 z 2 x + x 2 y + y 2 z + z 2 ( (x + x 2 (y + y 2 (x + x 2 + (z + z 2 ( ( x y x2 y + 2 x + z x 2 + z 2 λ λ x y z x y z λ λx λy λz ( (λx (λy (λx + (λz ( x y x + z

4 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 4 Sea : R 2 R 2, tal que ( a ( a. Es una transformación lineal? y Asi, que (( a ( a + + (( a + ( a2 2 ( a2 2 ( a2 ( a + a ( (a + a 2 ( ( ( a a2 + 2 ( (a + a 2 ( ( a + ( a2 2. Por tanto, no es transformación lineal.

5 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 5 Ejemplos especiales: : V W tal que (v para todo v V. ransformación Nula. : V V tal que (v v para todo v V. ransformación Idéntica. : R n R m tal que (v Av ( A matriz m n Es una transformación lineal? Por el eorema 2 del Capítulo 2, dados x,y R n y λ R, A(x + y Ax + Ay y A(λx λax, es transformación lineal. ransformación Matricial

6 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 6 Sea : R 3 R 2, tal que a c ( a + 3c 2a + c. Es una transformación lineal?

7 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 7 La reflexión a través del Eje Y en R 2 es una transformación lineal. y ( 2, (2, * * x (x, y ( x, y * * Reflexión en el plano a través del Eje Y

8 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 8 : V W transformación lineal, v,v 2,...,v n V y λ, λ 2,..., λ n R (λ v +λ 2 v λ n v n λ (v +λ 2 (v λ n (v n. En particular, ( : V W, S : V W S si y solo si (v S(v, para todo v V : V W, S : V W, V Gen{v,v 2,...,v n } S si y solo si (v i S(v i, para i, 2,..., n

9 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 9 Una transformación lineal queda completamente determinada por las imágenes de los elementos de una ase del dominio. B {v,v 2,...,v n } ase de V y w,w 2,...,w n vectores de W Existe única transformación lineal : V W tal que w (v,w 2 (v 2,...,w n (v n Existe una transformación lineal : R 2 R 3 tal que ( y ( 2? ( x y x ( + y ( ( x y x ( +y ( x +y 2 x 2y y

10 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM ESPACIOS VECORIALES ASOCIADOS A UNA RANSFORMACION LINEAL : V W transformación lineal, Nu( {v V : (v } ( Núcleo de Im( {w W : existe v V tal que (v w} ( Imagen de Nu( es suespacio vectorial de V Im( es suespacio vectorial de W

11 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM Calculemos Nu( e Im( para : P 2 R 2, tal que (a + x + cx 2 ( a c (a + x + cx 2 ( a c ( a, c Nu( { a + x + cx 2 : a, c } {a + ax, a R} {a( + x, a R} Gen {( + x} Como cualquier vector de R 2 puede ser imagen de un polinomio ajo, Im( R 2

12 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 2 MARIZ ASOCIADA A UNA RANSFORMACIÓN LINEAL : V W transformación lineal B {v,v 2,,v n ase de V y B ase de W [A ] BB [[(v ] B [(v 2 ] B [(v n ] B ] matriz asociada a respecto a las ases B y B

13 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 3 Dadas : R 2 P 2 tal que B {(, ( } ( a (a + ax + x 2 y B {, + x, x 2 } ases de R 2 y P 2, encontremos la matriz asociada a respecto a las ases B y B ( + x, ( + x 2 + x +.( + x +.( x 2 + x 2 +.( + x + -.( x 2 [ [ ( ( ] ] B B A.

14 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 4 A [[(v ] B [(v n ] B ] es la única matriz tal que [(v] B A [v] B, para todo v V : R 2 P 2 tal que B {(, ( } ( a (a + ax + x 2 y B {, + x, x 2 } ases de R 2 y P 2, A (a + ax + x 2 + a.( + x + (.( x 2 [ ( ] a [ (a + ax + x 2] a B B [( ] ( a a B [ ( ] ( a Verifiquemos a a B

15 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 5 : V W transformación lineal, B y B ases de V y W, respectivamente. A matriz asociada a respecto a las ases dadas, v Nu(, si y solo si, [v] B N A w Im(, si y solo si, [w] B C A dimnu( dimn A y dimim( dimc A y por consiguiente, dim(nu( + dim(im( dim(v.

16 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 6 : V V transformación lineal, B y B ases de V P es la matriz de transición de B a B, A es la matriz asociada a respecto a B y A es la matriz asociada a respecto a B, entonces A P PA V V R n A R n [v] B [(v] B A [v] B P P [v] B P[v] B [(v] B P[(v] B PA [v] B R n A R n [v] B [(v] B A [v] B A P[v] B

17 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 7 ISOMORFISMOS : V W es una transformación lineal inyectiva, si y solo si, para cada w de Im(, existe un único v V tal que (v w. ((v (v 2 v v 2 : M 2 2 P 3, tal que ( a (a + cx + dx 2 + (a x 3 c d ( 2 3 ( 2 3, entonces...

18 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 8 : M 2 2 P 3, tal que ( a (a + cx + dx 2 + ax 3 c d ( a c d ( a2 2 c 2 d 2 (a + c x + d x 2 + a x 3 (a c 2 x + d 2 x 2 + a 2 x 3 a a 2, 2, c c 2 y d d 2 Entonces, : V W es una transformación lineal soreyectiva, si y solo si, Im( W

19 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 9 : P 2 P 2, tal que (a + x + cx 2 (a + cx 2 p + rx + sx 2 Im( r no puede ser soreyectiva. Sea : M 2 2 R 2 tal que ( a c d ( a + c + d Para ( u v R 2, existe ( u α β α v β M 2 2, α y β R ( u α β α v β ( u v es soreyectiva.

20 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 2 : V W es un isomorfismo si y solo si, es inyectiva y soreyectiva. (V y W son isomorfos.

21 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 2 Si : R 4 M 2 2 tal que a c d ( a c d a c d a c d a 2 2 c 2 d 2 a 2 2 c 2 d 2 ( a c d ( a2 2 c 2 d 2 Si ( p q r s es inyectiva. M 2 2, existe p q r s p q r s ( p q r s R4 tal que es soreyectiva.

22 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 22 : V W transformación lineal inyectiva {v,,v n } es l.i. {(v,, (v n } es l.i. : V W transformación lineal es inyectiva Nu( {} {(, ( 2 } es l.i. { ( x 2, ( 2 32 } + 2x2 es l.i.

23 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 23 Es : R 2 P 2 con ( a a 2 + x 2 inyectiva? Nu( es inyectiva. {( a {( a {( a : a 2 : a 2 : a, } + x 2 }, } {( }

24 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 24 : V W transformación lineal {v,,v n } conjunto generador de V {(v,, (v n } es conjunto generador de Im( : V W transformación lineal soreyectiva {v,,v n } generador de V {(v,, (v n } es generador de W

25 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 25 : V W isomorfismo {v,,v n } es ase de V {(v,, (v n } es ase de W : V W isomorfismo dimv dimw

26 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 26 Ejemplos: Son R 3 y V {(x y z w : z } isomorfos? Son los planos P de R 3 y P 2 de R 4 isomorfos? P : x 3t + 2s x 2 5t x 3 2s y P 2 : y 5r y 2 2r 2p y 3 r + 3p y 4 p Son los hiperplanos H de R 3 y H 2 de R 4 isomorfos? H : 3x 2y + z y H 2 : x 5y + 2w.

27 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 27 : V W transformación lineal, dim(v dim(w(finita entonces si es inyectiva es soreyectiva. si es soreyectiva es inyectiva. Es : R 2 P con ( a a + ( ax un isomorfismo? R 2 y P tienen igual dimensión. Es fácil ver que es inyectiva es un isomorfismo.

28 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 28 : V W transformación lineal, A matriz m n asociada a, respecto a dos ases dadas. es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de A tiene n pivotes. es soreyectiva, si y solo si, la forma escalonada de A tiene m pivotes. es un isomorfismo, si y solo si, A es invertile. Si es la idéntica y la ase de V W es la canónica, A I Si es la idéntica y la ase de V W es otra, A

29 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 29 ALGEBRA DE RANSFORMACIONES, S : V W transformaciones lineales y λ R, ( + S : V W, tal que ( + S(v (v + S(v, (λ : V W, tal que (λ(v λ[(v]., S : R 3 R 2, tal que a ( a + c y c ( + S 3 ( 2 3 ( 5 4 S ( 3 a c + S ( 4 ( a + + c 3 ( 5 ( 3

30 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 3 S, : V W transformaciones lineales y µ R ( + S : V W (µ : V W son transformaciones lineales. El conjunto de las transformaciones lineales, de V en W, es un espacio vectorial R, S, : V W transformaciones lineales y λ, µ R entonces. R + (S + (R + S + 2. S + + S ( ( + 5. λ(s + λs + λ 6. (λ + µ λ + µ 7. (λµ λ(µ µ(λ 8. 9.

31 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 3 : U V, S : V W transformaciones lineales. (S : U W (S (u S((u, para todo u U (S tamién es una transformación lineal. : R 3 R 2, S : R 2 P 2, a c ( a + c, S ( α β αx + βx 2, (S (S ? S S ( 3 2 3

32 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 32 R, S y transformaciones lineales, λ R ( S R (S R ( + S R ( R + (S R λ( S (λ S (λs. I I.,.

33 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 33 Sean B, B y B ases de U, V y W, : V W, S : V W y R : U V transformaciones lineales A, A S y A R matrices asociadas a, S y R, respecto a las ases dadas, A +S A + A S A S A A S A A A λ λa A R A A R

34 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 34 : V W es invertile, si existe S : W V transformación lineal tal que ( S I W y (S I V A la transformación S la llamaremos inversa de, S. : R 2 P, ( a ax es una transformación invertile. Veamos que si S : P R 2, S(α + βx ( S I P y (S I R 2. ( β α, entonces ( S(α + βx (S(α + βx ( β α (α + βx (S ( a S ( ( a S ( ax ( a

35 Semestre -28, Álgera Lineal - AMS-HJM 35 : V W una transformación lineal, es invertile, si y solo si, es un isomorfismo. Si es invertile, entonces es única. B y B ases de V y W, : V W transformación lineal y A la matriz asociada a la transformación respecto a las ases B y B. es invertile, si y solo si, A es invertile. Si es invertile, entonces A es la matriz asociada a la transformación lineal, respecto a las ases B y B.