Introducción a la derivación

Transcripción

1 Introducción a la derivación Concepto de derivada En mucas situaciones interesa conocer cómo es la evolución de los valores de una unción; si crece o decrece, y si lo ace rápida o lentamente. También es importante conocer si la unción tiene máximos o mínimos y en qué lugar se alcanzan. Todas estas inormaciones se pueden obtener aciendo la gráica de la unción, pero a veces esto es complicado o no sabemos que valores tomar. Existe un modo de averiguar inormación acerca de una unción calculando la unción derivada. La unción derivada se deine del siguiente modo: '(x) = d(x) dx = lim 0 ( x + ) ( x) es decir, se realiza el cociente entre lo que varía la unción [(x)] y el incremento en la variable independiente [x] en un intervalo de tiempo, y después se calcula el límite cuando ese incremento tiende a 0. (x) (x+) (x+) (x) x x+ Figura 1. Interpretación de la derivada. x x+ Como se puede apreciar en la igura, en una unción creciente el cociente será positivo mientras que en una unción decreciente será negativo, por lo que con el valor de la derivada en un punto sabemos si la unción crece o decrece. Función creciente Función decreciente (x+) (x) > 0 (x+) (x) < 0 Si una unción crece a un ritmo muy elevado, la pendiente será mayor y la derivada aumentará. Lo mismo se puede interpretar para el decrecimiento. Si (x) crece más rápido que g(x) se cumplirá que: (x+) (x) > g(x+) g(x) ( x + ) ( x) g( x + ) g( x) >

2 lim 0 ( x + ) ( x) g( x + ) g( x) ' > lim 0 ( x) > g' ( x) La interpretación geométrica de la derivada es que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto en el que se calcula. Figura 2. Interpretación geométrica de la derivada. De este modo también se entiende que la derivada positiva supone rectas tangentes de pendiente positiva mayores cuanto mayor sea el crecimiento, que en valores decrecientes la pendiente de la recta es negativa y que en máximos, mínimos y puntos de inlexión la recta tangente sea orizontal. Si en un punto la derivada de una unción vale cero, signiica que la unción ni crece ni decrece en ese punto. En ese caso pueden ocurrir tres cosas: que la unción tenga un máximo, que tenga un mínimo o que tenga un punto de inlexión. Figura 3. Derivada en mínimos (x 1 ), puntos de inlexión (x 2 ) y máximos (x 3 )

3 Cálculo práctico de la unción derivada En la práctica la unción derivada no se calcula como el límite, sino mediante tablas de equivalencia de las unciones. Aquí sólo vamos a calcular la derivada de unciones polinómicas, y para ello vamos a usar dos propiedades, la derivada de un monomio y la derivada de la suma. Derivada de un monomio: La derivada de un monomio se calcula multiplicando el exponente por el coeiciente y restando 1 al exponente. (x) = k x m Ejemplo: (x) = mk x m-1 (x) = 5x 7 (x) = 35x 6 Derivada de la suma: La derivada de una suma es la suma de las derivadas (x) = g(x) + p(x) (x) = g (x) + p (x) Ejemplo: (x) = 3x x 2 (x) = 30x x Con esto resulta ácil derivar cualquier polinomio: Ejercicios para practicar 1) Deriva los siguientes polinomios a) p(x) = 5x 4 + x 2 3x b) q(x) = 8x 3 5x 2 20x c) r(x) = x 9 + 3x 6 + x 4 d) s(x)=x 17 2) Cuál sería la derivada de la siguiente unción? (x) = 5 Explica razonadamente el resultado obtenido en el apartado anterior en términos del crecimiento y decrecimiento de una unción. 3) Calcula la derivada de la siguiente unción. (x) = 3x + 5 Esboza la gráica de la unción construyendo una tabla y relaciona el resultado obtenido con lo que indica la gráica. 5) Averigua si la siguiente unción crece o decrece en los puntos (x= 1, x= 6) que se indican. (x) = 3x 3 + 5x 2 10x + 6

4 Máximos, mínimos y puntos de inlexión Uno de los usos más importantes de las derivadas es el análisis de una unción, es decir donde crece o decrece y donde tiene máximos y mínimos. Para averiguar si un punto en el que la derivada se anula ay un máximo, un mínimo o un punto de inlexión se acude a la segunda derivada, que consiste en derivar dos veces una unción. Después se sustituyen los puntos en los que se anula la 1ª derivada en la 2ª derivada. Casos posibles: la segunda derivada es positiva la unción tiene un mínimo, la segunda derivada es negativa la unción tiene un máximo, la segunda derivada se anula ay un punto de inlexión. Ejemplo Averiguar los máximos, mínimos y puntos de inlexión de la siguiente unción: (x) = 2x 3 + 3x 2 12x 5 En primer lugar se averiguan los lugares en los que esto puede ocurrir, es decir, en los puntos que anulen a la derivada. (x) = 6x 2 + 6x 12 6x 2 + 6x 12 = 0 Esta ecuación de segundo grado tiene dos soluciones: x 1 = 2 x 2 = 1 Luego en esos dos valores puede aber máximos, mínimos o puntos de inlexión. Para averiguar de qué se trata se calcula la segunda derivada y se sustituyen los puntos. (x) = 12x + 6 ( 2) = 18 en x = 2 ay un máximo (1) = 18 en x = 1 ay un mínimo La representación gráica de la unción conirma los resultados (x) = 2x 3 + 3x 2 12x

5 Ejercicios para practicar 1) Averigua los máximos y mínimo de las siguientes unciones. Representa las unciones y comprueba los resultados. a) (x) = 2x + 5 (Interpreta el resultado) b) (x) = x 2 + 3x 6 c) (x) = 3x d) (x) = 3x 4 8x 3 30x 2 +24x 5 e) (x) = x 3 9x x 3 2) Emplea una oja de cálculo para representar las unciones anteriores y comprueba los resultados obtenidos. 3) Plantea una unción que tenga un máximo en x=4. 4) Plantea una unción que tenga un mínimo en x= 2. 5) Plantea una unción que tenga un punto de inlexión x=1. 6) Representa las unciones obtenidas en los ejercicios 3, 4 y 5 y comprueba el resultado.