La evaluación de competencias matemáticas: una apuesta de aprendizaje desde la elección de situaciones-problemas. Philippe R.

Transcripción

1 La evaluación de competencias matemáticas: una apuesta de aprendizaje desde la elección de situaciones-problemas Philippe R. Richard

2 Introducción 1. Identidad de una situación-problema 2. Evaluacion de competencias 3. Conclusion Anexo Bibliografía La mise au point d activité et de matériel pédagogique est une activité quotidienne des enseignants. Cependant, elle procède souvent de manière intuitive et artisanale, parant au plus pressé et sans grande planification: la production est efficace pour le lendemain, mais son usage reste local et temporaire. Dès lors, lorsque les enseignants souhaitent réaliser une production ou une intervention dont l usage serait plus large, ils ont besoin d une démarche plus organisée. Jean-Marie Van der Maren. 181

3 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales INTRODUCCIÓN En clase de matemáticas, la preparación de material didáctico suele variar desde el diseño de situaciones de modelización muy abiertas, hasta la planificación de secuencias de problemas a resolver de forma más tradicional. Se supone que este material se destina al quehacer matemático, pero hay quien lo elabora de manera que cada actividad es evaluable. Como si la docencia tuviera que organizarse más para evaluar a los alumnos que para el propio desarrollo de sus competencias matemáticas. La cita que proponemos en el epígrafe parece criticar al docente poco planificador que suele trabajar, a corto plazo, con apresuramiento, pero en realidad hay otra lectura. De hecho, el extracto proviene de un tratado de metodología en ciencias de la educación en la que se contrastan dos niveles de exigencia: las del mundo educativo, que tiene que componer eficazmente a diario con las contradicciones de la institución; y las del mundo de la investigación, que considera rigurosa y paulatinamente el fenómeno de enseñanza-aprendizaje para ofrecer resultados fuera del ámbito escolar. Entre estos dos niveles se puede interpretar la idea de une production ou une intervention dont l usage serait plus large en términos de una eventual evaluación, tomando en cuenta aquello que está en juego al proponer una actividad y aceptando de antemano que ya se verá la respuesta de los alumnos. Dicho de otro modo, la evaluación es una consecuencia del estímulo de las competencias matemáticas provocadas por las situaciones-problemas. La independencia relativa entre la intención que conllevan y la realización por los alumnos sitúa el proceso evaluativo en una dialéctica clásica de análisis a priori y a posteriori. Así, en esta perspectiva, un problema es una oportunidad de aprendizaje que crea un espacio de lo posible, según las costumbre del contrato didáctico y del cómo el docente ha podido devolver el problema al alumno. Si de forma general es el docente que determina las condiciones de resolución, éste no puede controlar cómo se desarrollarán las competencias matemáticas de sus alumnos. Es la razón por la cual al docente le hace falta contrastar su intención con la producción 182

4 Philippe R. Richard de su clase, es decir, con lo que los alumnos supieron hacer. Aunque pueda utilizar su intención como sistema de referencia, el docente tiene que enmarcarla en un enfoque más organizado. Es precisamente lo que proponemos a continuación, en base a estudios recientes, pero de forma modesta en un texto corto. Aun así, se trata de un enfoque pragmático que pusimos en práctica estos últimos años en clases de formación. 1. IDENTIDAD DE UNA SITUACIÓN-PROBLEMA El análisis a priori supone que, al plantear una situación-problema en clase, el docente se sabe adelantar al tipo de solución de sus alumnos. Así, en torno a la pareja problema-solución, se pueden reconocer varios elementos que la caracterizan (Diagrama 1), como si fueran variables didácticas de control, cada una tomando valores que resumimos en la tabla La cultura matemática del Anexo I. Estos valores se inspiran esencialmente de tres fuentes, fácilmente asequibles, que crean de facto un sistema de referencia a partir del cual se evalúan las competencias matemáticas: Marco de evaluación - Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemáticas y Lectura del Programme for International Student Assessment (PISA, 2006), disponible en pdf; Niveaux de référence en mathématiques à 16 ans en Europe - Propositions de questions de référence, 2 e partie de la Société mathématique européenne (SME, 2001), disponible en < 183

5 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales Programme de formation de l école québécoise - Enseignement secondaire 1 er et 2 e cycle del Ministère de l Éducation, du Loisir et du Sport du Québec (MÉLS, 2006, 2007), disponible en qc.ca/dgfj/dp/menusec.htm 1. En lugar de emprender una descripción de cada variable, como se puede encontrar en estos documentos, ilustramos nuestro propósito con un problema tradicional de hipótesis incompatibles, llamado problema de las bisectrices, que presentamos en versiones diferentes para contrastar dos intenciones. En particular resaltamos que el grupo de competencias ambicionado influye directamente en el formato del problema (ver Diagrama 1). Sin embargo, la caracterización de la pareja problema-solución sería incompleta si no consideramos igualmente unos heurísticos de resolución de problemas para reflejar el ejercicio de anticipación del docente. Estos heurísticos, que resumimos en el Anexo I y que son habituales en la docencia actual, se inspiran de las obras de George Pólya y Miguel de Guzmán. Aun así, el poder de anticipación heurística depende bastante de la experiencia del docente y de las costumbres vehiculadas en clase. Por lo tanto, en vez de simular qué heurísticos podrían intervenir con el problema, presentaremos dos soluciones reales de alumnos, como si el ejercicio de anticipación procediera ya de la experiencia docente. Puesto que estas soluciones están en francés, hemos dejado en versión original cada formulación del problema (ilustraciones 2 y 3). Asimismo, para enmarcar el proceso evaluativo en un sistema institucional integramos las competencias matemáticas y el contenido matemático (conceptos y procesos) del programa de formación quebequés, entendiendo que se podría sustituir por cualquier equivalente autonómico constituido por competencias. 1 Para encontrar directamente la parte que corresponde a las matemáticas, el «1 er cycle» es la etapa años: DGFJ/dp/programme_de_formation/secondaire/pdf/prform2004/chapitre061v2.pdf; y el «2 e cycle», la etapa años: qc.ca/sections/programmeformation/secondaire2/medias/6b-pfeq_math.pdf. 184

6 Philippe R. Richard DIAGRAMA 1. Elementos relativos a la pareja problema-solución según PISA (2006) Aunque las ideas matemáticas claves, el modelo matemático habitual, la situación y la población a quien se dirige el problema de las bisectrices sean prácticamente las mismas (ver Tabla 4), se aprecia a simple vista una diferencia en el formato del problema. Si bien cada versión plantea una pregunta abierta, con respuesta construida, el hecho de pedir est-ce possible en A (Ilustración 2) indica de antemano al alumno que hay que dudar. En cambio, la versión B es algo capciosa (Ilustración 3). Con un estilo que no sugiere que la información textual (la situation al principio) tenga preferencia sobre la información gráfica (el dessin siguiente que se muestra posible), el alumno tiene que emprender su explicación (pregunta B2, que empieza con on veut que vous expliquiez ) a partir de una conjetura que proviene de su primera intuición (pregunta B1, que empieza con on veut déterminer ). Además, se pide al alumno que su explicación sea convincente para un compañero de clase, lo que le obliga a simular un proceso de comunicación durante la redacción. Por tanto, está versión es bastante más difícil que la versión A y no hay que extrañarse, según el estudio del que proviene (Richard, 2004) 2, que más de las dos terceras partes de los alumnos eligieron triangle rectangle hízosele. Dicho de otro modo, el grupo de competencias desa - rrolladas alcanza el nivel de reflexión, mientras que en la primera versión se queda en conexiones. 2 Richard, P.R. (2004). Raisonnement et stratégies de preuve dans l enseignement des mathématiques. Berne: Peter Lang. 185

7 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales Independientemente del grupo de competencias, puede sorprender en ambas versiones que el abanico de las competencias desarrolladas sea amplio. Aunque hay pequeñas diferencias que se recopilan en la Tabla 4, tanto por la tipología PISA como por la del MÉLS, prácticamente todas las competencias (o sus respectivos componentes) se ejercitan con este problema. Es porque tiene algo especial? En realidad, la mayoría de los problemas que van más allá del grupo reproducción comparten una amplitud semejante, como se puede averiguar indirectamente con las situaciones-problemas de nuestra ponencia (ver texto La geometría dinámica como herramienta para desarrollar competencias de modelización en el ILUSTRACIÓN 2. Problema de la bisectrices, versión A (SME, 2001) Bachillerato ) al producir sus carnés de identidad. Es decir, con situaciones que no se limitan a la representación de definiciones o propiedades estándares, o en los cálculos, procedimientos o soluciones de problemas rutinarios. Asimismo, la variedad del contenido matemático involucrado, cuando no interviene únicamente en la aplicación de un método conocido previamente por el alumno, y la diversidad de los heurísticos movilizados en el proceso de resolución, suelen acompañar el desarrollo de grupos de competencias de nivel alto. Aun así, apuntar hacia la riqueza de las situaciones-problemas no garantiza que las competencias matemáticas prosperen, de aquí la idea de apuesta de aprendizaje en el título de nuestro texto. 186

8 Philippe R. Richard ILUSTRACIÓN 3. Problema de la bisectrices, versión B (Richard, 2004) 187

9 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales Competencias PISA Ideas matemáticas claves Modelo matemático habitual Pensamiento y razonamiento Espacio y forma Geometría (sintética) Argumentación (A & B2) Comunicación Construcción de modelos (A) Planteamiento y solución de problemas Representación Utilización de operaciones y lenguaje técnico, formal y simbólico Empleo de material y herramientas de apoyo Grupos de competencias Población Situaciones 2. Grupo de conexiones (A) 3. Grupo de reflexión (B) Formato del problema Pregunta de elección múltiple simple (B1) Pregunta abierta con respuesta construida (A & B2) Comunicar con el lenguaje matemático Desplegar un razonamiento matemático Resolver una situación-problema a. Todos (tronco común, etapa años) Tipo de uso 2. Educativa, profesional (vida escolar) Contextos a. Trabajo individual (A) Extramatemático virtual (A) b. Trabajo colectivo (B) Intramatemático (B) Competencias y componentes MÉLS Analizar una situación de comunicación de naturaleza matemática (B) Interpretar o transmitir mensajes de naturaleza matemática Producir mensajes de naturaleza matemática Hacer conjeturas Elaborar y aplicar redes de conceptos y procesos matemáticos Realizar demostraciones o pruebas (explícito en B) Descifrar los elementos que se prestan a tratamiento matemático Desarrollar una solución matemática Compartir información sobre la solución 188

10 Philippe R. Richard Conceptos (1 er cycle) Figuras planas Triángulos Segmentos y rectas notables: bisectriz Medición Ángulo en grados (B) Ángulos Complementarios, suplementarios Representar la situación-problema con un modelo matemático (A) Validar la solución (explícito en B) Sentido espacial y figuras geométricas Procesos (1 er cycle) Construcciones geométricas Transformaciones geométricas Reflexión (B) Búsqueda de mediciones no establecidas Ángulos Mediciones no establecidas en diferentes contextos Procesos (2 e cycle) Análisis de situaciones que invocan propiedades de la figuras Descripción y construcción de objetos TABLA 4. Carné de identidad del problema de la bisectrices, versión A y B Las soluciones de alumnos que presentamos en las Ilustraciones 4 y 5 responden a la pregunta de la versión B2. En el primer caso el alumno conjeturó triangle rectangle hízosele y en el segundo caso avec ce qui est donné dans la situation il est impossible de construire un tel triangle. Sin entrar aún en la cuestión de la evaluación de competencias (sección siguiente), subrayamos que los heurísticos se movilizan conjunta o sucesivamente en función de la estrategia empleada. De la resolución como proceso de descubrimiento, hace falta distinguir la solución como proceso de escritura y la prueba como proceso de validación. Si comparamos cada proceso con las competencias matemáticas del MÉLS, asociamos fácilmente el descubrimiento a la resolución de una situación-problema, la escritura a la comunicación con el lenguaje matemático y la validación al despliegue de un razonamiento matemático. De modo que resolver un problema de demos- 189

11 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales tración, sobre todo cuando la conjetura no se precisa en el enunciado, es una situación rica para el desarrollo de competencias matemáticas. ILUSTRACIÓN 5. Primera solución al problema de la bisectrices (Richard, 2004) y reparto de los heurísticos de resolución 190

12 Philippe R. Richard ILUSTRACIÓN 6. Segunda solución al problema de la bisectrices (Richard, 2004) y reparto de los heurísticos de resolución 2. EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS La práctica evaluativa se fundamenta en una paradoja: el desarrollo de las competencias es un trabajo de larga duración, mientras que su ejercicio se produce diariamente a pinceladas y rectificaciones. Al haber controlado, con el carné de identidad, lo que está en juego con las situaciones-problemas, el docente ya puede dar cuenta hasta qué punto su intención se ha realizado. Para empezar, dispone del conjunto de las respuestas de sus alumnos, así que conoce el espacio de lo posible en las condiciones reales de lo que saben hacer sus alumnos. Dicho de otro modo, contrariamente a las tareas de evaluación cuya finalidad es 191

13 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales sancionar el aprendizaje con una nota o un título, el docente tiene el privilegio de plantear situaciones nuevas o más difíciles que de lo habitual, distinguiendo el aprobar con los mínimos de los toques de calidad en función del talento de su clase: La signification d une épreuve donnée diffère selon la conception que l enseignant se fait de l enseignement qu il entend donner à ce niveau, dans cette classe et en fonction du contrat dans lequel il envisage de traduire cette conception. Elle diffère aussi selon l état de la négociation au moment où l épreuve intervient. (Chevallard, 1986) 3 Por tanto, el docente juega con dos sistemas de referencia: uno de mínimos para determinar quiénes son los aprobados (en principio, al alcance de todos), y otro que resulta ser una palanca para la proyección de las competencias matemáticas de sus alumnos. En la literatura clásica esta palanca se llama el contrato didáctico. De modo que la evaluación de competencias en clase consistiría tanto en dar cuenta de una realidad a posteriori como en un medio para gobernar el desarrollo de las competencias: Les notes distribuées en classe ne doivent pas être exagérément basses, ce qui mettrait en péril la crédibilité de l enseignement. Mais elles ne doivent pas davantage être trop hautes, indice que la négociation a été menée par l enseignant à la baisse, que celui-ci a cédé aux sourdes pressions des élèves, et hypothéqué le futur de son enseignement. (Dupin et Johsua, 1999)4 3 Chevallard, Y. (1986). Vers une analyse didactique des faits d évaluation. In De Ketele, J.M. (Éd.). L évaluation: approche descriptive ou prescriptive?, Bruxelles: De Boeck-Wesmael. 4 Dupin, J.-J. et johsua, S. (1999). Introduction à la didactique des sciences et des mathématiques. Paris: PUF. 192

14 Philippe R. Richard Para apoyar al delicado papel de juez y parte del docente, los documentos oficiales suelen enmarcar, aguas arriba, el proceso de evaluación. En Quebec por ejemplo, se dispone de: un texto de orientación general titulado L évaluation des apprentissages au secondaire: cadre de référence, disponible en y un texto más específico a las competencias disciplinares titulado Échelles des niveaux de compétence, disponible en Sin entrar en el detalle de estos textos, podemos subrayar que cada competencia matemática se califica técnicamente en una escala quintenaria, desde competencia muy poco desarrollada (nivel 1), pasando por «poco desarrollada» (2), aceptable (3), asegurada (4) y marcada (5). Estos niveles se trasladan finalmente en los boletines anuales 5 y cíclicos (1 er y 2 e cycle) 6, resumiendo así el conjunto del proceso evaluativo. A pesar de la descripción que se proporciona por cada nivel, es la competencia profesional del docente que regula, aguas abajo, la evaluación. Terminamos está sección con un ejemplo a partir de las soluciones al problema de las bisectrices. De forma general, es legítimo pensar que la evaluación de las competencias matemáticas tiene que considerar una distancia entre la producción de los alumnos y una solución que podemos calificar de ideal. Esto es, por cierto, la técnica que utiliza esencialmente PISA para comparar el estado de los conocimientos y habilidades entre regiones del mundo. Sin embargo, no se puede aplicar como tal en situación de clase porque no considera los efectos del contrato didáctico. Así, la solución de la Ilustración 6 aparece como resultado idóneo 5 Ejemplo disponible en 6 Ídem en 193

15 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales de alto nivel, aunque resulte ser poco frecuente en el alumnado. Habría que apartar el problema de antemano o, si no, ajustar la evaluación en consecuencia, sabiendo que tiene mucho valor para el desarrollo de las competencias matemáticas? Puesto que no es su papel, PISA no puede responder favorablemente a nuestra ultima sugerencia. Por tanto, cómo evaluar a posteriori la solución de la Ilustración 5? Respondemos a esta pregunta a partir de una experimentación que realizamos en un cursillo de formación continuada donde presentamos la versión B del problema 7. Empezamos por distribuir a cada asistente una copia de la Ilustración 5. Sin diferenciar entre evaluar y cualificar, les pedimos poner una nota en una escala de A a E A representa una nota sobresaliente y E el suspenso, como si fuera necesario evaluar la solución para devolverla al alumno. Registramos el conjunto de las calificaciones y, con sorpresa, constatamos que los resultados obtenidos siguieron más o menos una distribución normal. A pesar de realizarse sin contrato didáctico, les pedimos explicaciones a cada uno. Los que pusieron notas bajas alegaron sobre todo la falsedad de la conjetura, mientras que los que pusieron notas elevadas destacaron la dificultad de la situación-problema. Durante un debate que animábamos, no nos costó relativizar cualquier nota en función de un supuesto contrato didáctico. Así, ya que la conjetura es falsa, se puede fácilmente condenar la solución del alumno a un D o a un E. Pero si se considera que su razonamiento está estructurado, que comienza a partir de las hipótesis de la situación, que construye lógicamente la conjetura elegida en B1, que justifica explícitamente sus argumentos a partir de una propiedad descrita (la simetría en un triángulo isósceles) o de una definición alegada (la del triángulo rectángulo), que llega hasta el final de su razonamiento y que su expresión es especialmente clara y eficaz, entonces se la podría calificar perfectamente con una 7 Procede de RICHARD, P.R. (2005). Évaluation des compétences en classe de mathématique: une activité complexe. Actes du Colloque 2004 du Groupe de didactique des mathématiques du Québec (GDM 2004), pp Longueuil. Disponible en 194

16 Philippe R. Richard C o una B. Se podría poner una A, como si fuera una muestra del desarrollo marcado de competencias matemáticas? Respecto a las soluciones de los compañeros de clase y en la particularidad de un contrato didáctico dado, se puede considerar temporalmente que esta solución es excelente, explicando al alumno cuáles son los puntos que se deben mejorar y por qué toda calificación posterior podría resultar menor. 3. CONCLUSIÓN La idea del carné de identidad no significa que haga falta producirlo en cada problema. A lo largo de su carrera profesional el docente posee suficiente experiencia para anticipar aquello que está en juego al proponer sus situaciones-problemas. No obstante, el sistema de referencia que constituyen los carnés de identidad le ayudan a controlar sus secuencias de actividades más allá de los conocimientos matemáticos involucrados, y le permite contrastar a posteriori su intención con la realización efectiva en su clase. La evaluación de las competencias matemáticas ya no se realiza exclusivamente en términos absolutos, como en el estudio PISA, sino que se ajusta igualmente en función de dónde el docente quiere proyectar las competencias matemáticas de sus alumnos. Si, durante un curso escolar, se instala progresivamente un equilibrio sutil entre el ser y el devenir de las competencias matemáticas, es porque se entiende que no hay una comprensión inmediata del aprendizaje y que es necesario tratar constantemente con una incertidumbre que se nos escapa. Asimismo, es necesario admitir que el alumno compone también con la incertidumbre y que cuando se equivoca hace falta cuestionar el conjunto de las relaciones didácticas (entre el docente, el alumno y las matemáticas). En consecuencia, la mejor inversión que se puede hacer para evaluar las competencias matemáticas consistiría en cuidar la calidad de las actividades propuestas, tanto como prestar una gran atención en reconocer la legitimidad matemática de lo que saben hacer los alumnos. Así que cuando se pide al docente que se adapte a sus alumnos es para que el desarrollo de las competencias matemáticas alcance esta ciencia. 195

17 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales ANEXO I ÁREA DE LAS MATEMÁTICAS, LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA (MÉLS) Competencias y componentes Comunicar con el lenguaje matemático Desplegar un razonamiento matemático Resolver una situación-problema Analizar una situación de comunicación de naturaleza matemática Interpretar o transmitir mensajes de naturaleza matemática Producir mensajes de naturaleza matemática Hacer conjeturas Elaborar y aplicar redes de conceptos y procesos matemáticos Realizar demostraciones o pruebas Descifrar los elementos que se prestan a tratamiento matemático Desarrollar una solución matemática Compartir información sobre la solución Representar la situación-problema con un modelo matemático Validar la solución HEURÍSTICOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (PÓLYA-DE-GÚZMAN ADAPTADO) Resolución gráfica Descomposición del problema Búsqueda de un problema similar resuelto Ensayo-error Simplificación y búsqueda de regularidades Modificación del enunciado Razonamiento inverso Particularización del problema Búsqueda de un contraejemplo Organización de la información Experimentación con la posible solución Reducción al absurdo 196

18 Philippe R. Richard LA CULTURA MATEMÁTICA (PISA-SME-MÉLS) Competencias matemáticas Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Utilización de operaciones y lenguaje técnico, formal y simbólico Empleo de material y herramientas de apoyo Grupos de competencias 1. Grupo de reproducción 2. Grupo de conexiones 3. Grupo de reflexión Formato del problema Pregunta de elección múltiple simple o compleja Pregunta cerrada con respuesta construida Pregunta abierta con respuesta construida Cantidad Espacio y forma Cambio y relaciones Incertidumbre a. Todos (tronco común) b. Secuencia cultura, sociedad y tecnología c. Secuencia ciencias técnicas d. Secuencia ciencias naturales a. Trabajo individual b. Trabajo colectivo Ideas matemáticas claves Población Tipo de uso Modelo matemático habitual Álgebra Análisis Aritmética Estadística Geometría Probabilidades Situaciones 1. Personal (vida privada) 2. Educativa, profesional (vida escolar, trabajo, deportes y ocio) 3. Pública (comunidad local y sociedad) 4. Científico (contextos científicos) Contextos Contexto intra o extramatemático Contexto real, virtual o artificial Nota. La numeración con letras significa que se puede hacer una elección única y, con los números, una ordenación jerarquizada (nivel de exigencia en grupo de competencias, distancia relativa con la vida del alumno en situaciones). 197

19 Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales BIBLIOGRAFÍA CHEVALLARD, Y. (1986). Vers une analyse didactique des faits d évaluation. In De Ketele, J.M. (Éd.). L évaluation: approche descriptive ou prescriptive?, Bruxelles: De Boeck-Wesmael. DUPIN, J.-J. et JOHSUA, S. (1999). Introduction à la didactique des sciences et des mathématiques. Paris: PUF. RICHARD, P.R. (2004). Raisonnement et stratégies de preuve dans l enseignement des mathématiques. Berne: Peter Lang. (2005). Évaluation des compétences en classe de mathématique: une activité complexe. Actes du Colloque 2004 du Groupe de didactique des mathématiques du Québec (GDM 2004), pp Longueuil. Disponible en: 198