Valoración de opciones sobre acciones: el modelo Black-Scholes. Capítulo 10

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1 Valoración de opciones sobre acciones: el modelo Black-Scholes Capítulo 0

2 Modelo de valuación de Black-Sholes El supuesto subyacente al modelo BS es que el precio de las acciones sigue un recorrido aleatorio (random walk). Los cambios en el precio de las acciones se distribuye normalmente. El precio de las acciones tiene una distribución lognormal (sólo puede ser positiva).

3 El supuesto del (random walk) modelo Black- Scholes Consideremos una acción cuyo precio es S. En un período corto de tiempo de duración δt se asume que es normal la variación en el precio de la acción con: μδt σ δt μ es el rendimiento esperado de las acciones y σ la volatilidad del precio de las acciones.

4 La propiedad lognormal El supuesto de Black-Scholes implica que lns T se distribuye normalmente con la media: lns 0 + (μ - σ /)T y desviación estándar: σ T Como el logaritmo de S T es normal, S T tiene una distribución lognormal.

5 La propiedad lognormal ln S T ~ [ln S 0 + (μ - σ /)T, σ T ] o ln S T S 0 [ ] ( μ - σ ) T, σ T donde [m,s] es una distribución normal con media m y desviación estándar s.

6 La distribución lognormal E(S T ) S 0 e μt var(s T ) S 0 e μt (e σt - )

7 Tasa de rentabilidad esperada El valor esperado del precio de las acciones es S 0 e μt. La rentabilidad esperada de las acciones con compuesto continuo es μ - σ /. La media aritmética de los rendimientos durante periodos cortos de tiempo δt es μ. La media geométrica de los rendimientos es μ - σ /.

8 La volatilidad La volatilidad es la desviación estándar del rendimiento proporcionado por compuesto continuo en un año. La desviación estándar del rendimiento en tiempo δt es σ δt. Si el precio de una acción es de 50 dólares y su volatilidad es del 30 por ciento anual, cuál es la desviación estándar de la variación del precio en una semana? 30 x 5 4,6%

9 Estimación de la volatilidad mediante datos históricos. Tomamos las observaciones S 0, S,..., S n en intervalos de años.. Definimos la rentabilidad del compuesto continuo como: S i u i ln S 3. Calculamos la desviación estándar, s, de u i s. 4. La estimación de la volatilidad histórica es: s s ˆ i -

10 Supuestos subyacentes al modelo Black- Scholes El precio de las acciones se distribuye lognormalmente con y s constantes. No hay costos de transacción e impuestos. Los activos financieros son perfectamente divisibles. Las acciones no pagan dividendos durante la vida de la opción. No hay oportunidades de arbitraje. La negocición de valores es continua. Los inversores pueden prestar y pedir prestado al mismo interés libre de riesgo. La tasa permanece constante.

11 Supuestos subyacentes al modelo Black- Scholes Se establece una cartera libre de riesgo consistente en una posición en la opción y otra en las acciones subyacentes. En ausencia de oportunidades de arbitraje, la rentabilidad de la cartera debe ser el interés libre de riesgo. Cuando se establece una cartera apropiada con las acciones y la opción, el beneficio (pérdida) de la posición en acciones siempre compensa el beneficio (pérdida) de la posición en la opción y por lo tanto el valor de la cartera se conoce con presición.

12 Las fórmulas de valoración del modelo Black-Scholes c S 0 N(d ) - Xe -rt N(d ) p Xe -rt N(-d ) - S 0 N(-d ) ln(s donde d 0 /X) + (r + σ /)T σ T d ln(s 0 /X) + (r - σ /)T σ T d - T σ

13 La función N(x) N(x) es la probabilidad de que una variable distribuida normalmente φ(0,) con media cero y desviación estándar sea menor que x.

14 Propiedades de las fórmulas de Black-scholes Cuando S 0 es muy grande, c tiende a S Xe -rt y p tiende a cero, ya que d y d aumentan mucho y N(d ) y N(d ) se aproximan a Cuando S 0 es muy pequeño, c tiende a cero y p tiende a Xe -rt S. d y d aumentan mucho y se vuelven engativos y N(d ) y N(d ) se aproximan a 0

15 Ejemplo Supongamos que el precio de las acciones seis meses antes del vencimiento de una opción es $4, el precio de ejercicio de la opción es $40, el tipo de interés libre de riesgo es el 0% y la volatilidad es el 0% anual. (S 0 4, X 40, r 0,, s 0, y T 0,5) ln(4 / 40) (0, 0, / ) x0,5 d 0,7693 0, 0,5 ln(4 / 40) (0, - 0, / ) x0,5 d 0,678 0, 0,5 0, x0,5 p 40e N( -0,678) - 4N( -0,7693) N(0,7693) 0,779 N(-0,7693) 0,09 N(0,678) 0,7349 N(-0,678) 0,65 C 4,76 y p 0,8

16 Tabla de valores de N(x) cuando x >0 N(0,678) N(0,6) + 0,78[N(0,63)-N(0,6)] 0, ,78 x (0,7357 0,734) 0,7349

17 Dividendos Las opciones europeas sobre acciones que pagan dividendos se valoran sustituyendo de la fórmula de Black-Scholes el precio de las acciones menos el valor actual de los dividendos. Solamente se deberían incluir los dividendos con fechas ex-dividendo durante la vida de las opciones. El dividendo debería ser la reducción esperada en el precio esperado de las acciones.

18 Dividendos c S e -qt N(d ) - K e -rt N(d ) p d d K e -rt N( -d S e ln(s /K) (r - q s s T ln(s /K) (r - q s s T ) - -qt N( -d ) / )T / )T d - s T

19 Ejemplo Considere una opción Europea de compra sobre una acción con fecha ex dividendo en y 5 meses. Se espera un dividendo de $0,50. El valor actual de la acción es de $40, el precio de ejercicio de $40, el tipo de interés libre de riesgo es el 9% anual, la volatilidad del precio de la acción del 30% anual y el tiempo al vencimiento es de seis meses. Valor presente de los dividendos: 0,09 x / 0,5 e 0,5 e d d - -0,09 x5 / ln(39,059/ 40) (0,09 N(d ) 0,5800 y N(d ) 0, ,059x0, e 0,3 / ) x0,5 0,3 0,5 ln(39,059/ 40) (0,09-0,3 0,3 0,5-0,09 x0,5 0,974 / ) x0,5 x0,4959 0,07-0,004 3,67

20 Ejemplo Considere una opción Europea de compra sobre el índice S&P 500 que está a dos meses del vencimiento. El valor actual del índice es de 930, el precio de ejercicio de 900, el tipo de interés libre de riesgo es del 8% anual y la volatilidad del índice del 0% anual. Se esperan rentabilidades por dividendos del 0, y 0,3 % en el primer y segundo mes respectivamente. Rendimiento de los dividendos: q 0,03 d d ln(930/ 900) (0,08 N(d ) 0,7069 y N(d ) 0,678 0,03 x / c 930x0,7069e - - 0,03 0, / ) x / ln(930/ 900) 0, / 0, / (0,08-0,03-0, 900x0,678e / ) x / - -0,08 x / 0,5444 0,468 5,83

21 Opciones de compra Americanas Una opción de compra Americana sobre una acción que no paga dividendos no debería ejercerse anticipadamente. Una opción de compra Americana sobre una acción que paga dividendos sólo debería ejercerse inmediatamente antes de una fecha ex-dividendo.

22 Aproximación de Black para tratar con dividendos en opciones de compra Americanas Calcular el precio de las opciones Americanas para que sea igual al máximo de los precios de dos opciones Europeas:. El primer precio Europeo es para una opción que vence al mismo tiempo que la opción Americana.. El segundo precio Europeo es para una opción que vence justo antes de la última fecha ex-dividendo.

23 Ejemplo Considere la opción del ejemplo anterior que es americana en lugar de Europea Valor presente del primer dividendo: 0,5 e -0,09 x / 0,496 S ,496 39,5074, X 40, r 9%, σ 30% y T 0,467 C 3 $3,5 C 6 $3,67 De estos dos valores se toma el mayor

24 B-S para opciones sobre futuros Se puede deducir que un futuro equivale a una acción que paga un dividendo continuo igual a la tasa libre de riesgo r. Luego reemplazando S con F, y q con r obtenemos: c p d d e e -rt -rt F K ln(f ln(f N(d N( -d /K) s /K) s ) T s T / T - ) K N(d - S 0 s T / ) N( -d d ) - s T

25 Ejemplo Considere una opción europea de venta sobre un contrato de futuros sobre petróleo crudo. El vencimiento es a 4 meses, el precio del futuro actual es 0 dólares, el precio de ejercicio es 0 dólares, el tipo de interés libre de riesgo es el 9% anual y la volatilidad del precio del futuro es del 5% anual. F$0, X$0, r9%, σ5%, T0,333 y ln F/x0 N(-d ) 0,47 N(-d ) 0,588 d d s T s T - p e - rt 0,5 0,33 0,076 0,5 0,33-0,076 - [ XN( -d ) - SN( -d )] p 0,09 - x e 0,33 [0x0,588-0x0,47],

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