A VOLATILITY SMILE MODEL FOR PRICING COMMODITIES DERIVATIVES

Transcripción

1 A VOLATILITY SMILE MODEL FOR PRICING COMMODITIES DERIVATIVES Autor: Lage Enriquez, Carlos Julio. Directores: Baíllo Moreno, Álvaro. Cerisola López de Haro, Santiago. Entidad Colaboradora: ICAI Universidad Pontificia Comillas. Banco Santander. RESUMEN DEL PROYECTO Los mercados financieros han experimentado un crecimiento espectacular en las últimas décadas. El volumen y número de operaciones que se realizan en torno a productos y derivados financieros crece de forma incesante, provocando la ampliación de la oferta de dichos productos en complejidad y en sofisticación. Esto ha dado lugar al desarrollo de avanzados modelos cuantitativos de valoración de derivados que actualmente juegan un papel central en el funcionamiento de los mercados financieros. Uno de los datos de entrada que más impacto tiene a la hora de valorar un derivado financiero es la volatilidad del subyacente. Por esta razón, la volatilidad es un parámetro que debe ser estimado con cautela. La utilización de valores históricos no es adecuada porque arroja una valoración de los derivados más líquidos que no se corresponde con su valor de mercado. Negociar con derivados utilizando volatilidades históricas daría lugar a pérdidas incalculables. Debido a la forma en que los modelos de valoración se utilizan en los mercados financieros, la volatilidad es un parámetro íntimamente ligado al modelo de valoración utilizado. La volatilidad estimada debe ser la adecuada para que, con el modelo elegido, se obtengan los precios de mercado para los derivados más líquidos. Por ello, el proceso de calibración, por el cual se estima la volatilidad adecuada para que el modelo proporcione una valoración en línea con los precios de mercado, es de suma importancia. En el mundo de la valoración de derivados, es obligado referirse al modelo desarrollado por los matemáticos Black y Scholes en Este famoso modelo de valoración, base de muchos de los modelos utilizados en la actualidad, y referencia en la valoración de opciones vanilla (u opciones sencillas), se basa en la utilización de varios parámetros, entre los cuales la volatilidad juega el papel más relevante. Sin embargo, este modelo, así como muchas de sus variantes, se basa en la hipótesis de que la volatilidad es un

2 parámetro constante y único inherente a la valoración de un determinado subyacente. Hasta la crisis financiera de 1987, estos modelos permitían explicar razonablemente bien el precio de las opciones negociadas, pero con posterioridad a tal evento dejó de ser posible explicar los precios de mercado con el modelo de Black Scholes bajo la hipótesis de una volatilidad única y constante. Así pues, desde la crisis financiera de 1987 y como consecuencia del incremento de complejidad de los mercados, aparece la necesidad de utilizar modelos más sofisticados. Estos modelos, en lugar de utilizar un único valor de volatilidad para obtener el precio de los derivados más líquidos sobre un subyacente, utilizan valores de volatilidad diferentes que permiten alcanzar la valoración correcta para cada derivado líquido. En este contexto, la volatilidad pierde parcialmente su significado puramente físico, y pasa a convertirse en un parámetro dependiente del modelo de valoración utilizado. Como consecuencia de esto, nace el concepto de superficie de volatilidad. Esta superficie representa una matriz de valores de volatilidad para diferentes niveles de strike y diferentes plazos de maduración. Debido al aspecto que tiene la representación gráfica bidimensional de los valores de la volatilidad en función del strike para un momento puntual se ha acuñado el término volatility smile (sonrisa de la volatilidad). A raíz de esta nueva visión, son muchos los métodos que se han propuesto para valorar derivados exóticos que intentan incorporar con mayor o menor éxito este modelado de la volatilidad. Hasta ahora, se han obtenido buenos resultados en la valoración de derivados sobre acciones o tipos de interés, pero el desarrollo de este tipo de modelos en derivados sobre materias primas (commodities) es menor. En ello reside el interés de este proyecto, en el cual se investiga la aplicación a los derivados sobre commodities de los enfoques que más valor han aportado en el estudio de derivados sobre otros tipos de subyacentes. A lo largo del proyecto se evalúan distintas técnicas de valoración de derivados de commodities basadas en árboles. El estudio comienza en primer lugar con el análisis de los árboles binomiales y trinomiales de volatilidad constante que pueden considerarse clásicos y que fueron originalmente concebidos para la valoración de opciones sobre acciones. Posteriormente, el estudio evoluciona hacia árboles que incorporan volatilidad dependiente del plazo y del strike con el objetivo de incorporar la citada volatility smile y hacer las valoraciones consistentes con la superficie de volatilidad asociada al activo subyacente en cuestión. Los árboles que cumplen esta característica y que se describen

3 en el proyecto son los implied trees o árboles implícitos, tanto binomiales como trinomiales. El siguiente punto de interés consiste en adaptar estos desarrollos a la valoración de derivados sobre commodities. Las commodities tienen, debido a su naturaleza, algunas características especiales que exigen algunos cambios en el modelo de valoración para que el precio que se obtenga de la misma sea coherente con la información del mercado. Dado que las commodities llevan asociados unos tiempos de entrega, tienen precios distintos para las distintas fechas de entrega, con una estructura temporal que se conoce como curva forward. La incorporación de los datos de la curva forward como datos de entrada del modelo, y el ajuste del mismo a dichos datos supone la creación de un árbol de valoración, el denominado fitted tree, que es consistente con los precios forward de una commodity. El resultado final de este proyecto consiste en la incorporación conjunta de la superficie de volatilidad y de la curva forward en un árbol de valoración para opciones sobre commodities, de forma que los precios dados por el mismo sean a la vez consistentes con la superficie de volatilidad y con la curva forward de la commodity en cuestión. Este árbol se ha denominado implied fitted tree, o árbol implícito ajustado a la curva forward. El estudio y análisis de estos métodos se ha llevado a cabo a través de su implantación informática en el lenguaje de programación C++. La herramienta de trabajo diseñada lee los datos de entrada desde una hoja de Microsoft Excel y llama a la librería de valoración a través de un add-in incorporado en la hoja de cálculo. Posteriormente, el programa obtiene un resultado y éste es exportado de nuevo a la hoja de cálculo de Microsoft Excel. La herramienta de valoración programada en el proyecto permite probar los distintos árboles para valorar derivados financieros. En este documento se presentan además algunos ejemplos de valoración de opciones con barrera sobre commodities, que muestran la complejidad de las valoraciones de opciones exóticas, y al mismo tiempo el adecuado comportamiento de los modelos utilizados y de la herramienta de valoración creada. Finalmente, en la aplicación de la herramienta para valorar opciones con barrera se pueden además comprobar algunos problemas que supone la valoración de opciones exóticas que presentan características variables o dependientes del tiempo con modelos

4 discretos como es el caso de los árboles, y como deben interpretarse los resultados obtenidos. A VOLATILITY SMILE MODEL FOR PRICING COMMODITIES DERIVATIVES Financial markets have experienced an important development during the last decades. The volumes and number of operations traded have dramatically increased, as well as the variety of derivatives, which have gained in complexity and sophistication. The development of different techniques and models for the valuation of these derivatives has become a key issue for trading in these markets. One of the parameters with more impact on the valuation of derivatives is the volatility of the underlying asset. Therefore, volatility must be estimated with care. Historic values of volatility are not suitable for pricing the most liquid products, as they would yield a price different from the market value of these derivatives. Due to the manner in which mathematical models are used for pricing derivatives, volatility is a parameter which is directly bound to the valuation model. The volatility must be chosen so that the model yields the right market prices for the most liquid products. Hence the importance of the calibration process, through which the right volatility is estimated so that the model yields a valuation consistent with the market prices. In the field of derivatives valuation, it is unavoidable to refer to the model created by the mathematicians Black and Scholes in This famous valuation model, which is the base of many of the currently used models, is formulated in terms of several parameters, one of which is the volatility, which plays a central role. However, this model and its variants are based on the assumption that the volatility is a constant parameter inherent to a certain underlying. Actually, this was true until the crisis of 1987, and these models could explain fairly well the price of traded option. After the crisis it became impossible to explain the market prices with the Black Scholes model under the assumption of a constant and unique volatility for each underlying. As a consequence of an increase of the markets complexity more sophisticated models are required which make use of different values of volatility, instead of using a constant volatility, so as to reflect the market prices of the most liquid derivatives. In this context, the volatility loses its mathematical meaning and becomes an implied parameter which depends on the model used. A new concept arises as a result of this

5 approach: the volatility surface. This surface takes the form of a matrix which contains the volatilities for different levels of strike price and different maturities. The graph representing the values of volatility depending on the strike for a specific moment in time is what is known as the volatility smile. In recent years a variety of approaches have been proposed in order to price exotic options which incorporate the volatility surface with greater or lesser success. Some of these valuation techniques have yielded fairly good results for derivatives on stocks or interest rates. However, the experience and development of these techniques in the field of derivatives on commodities is rather limited. The main aim of this project is to investigate some of the techniques that have yielded the best results for other types of underlyings and to apply them to the problem of pricing derivatives on commodities. In this project we have studied several different valuation techniques based on trees to price derivatives on commodities. This study starts with the description and analysis of the classical binomial and trinomial tree structures, all of which consider a constant volatility parameter and were originally devised to price stock options. Afterwards, we study the binomial and trinomial implied trees, which incorporate the above mentioned volatility smile and produce valuations which are consistent with the volatility surface of the underlying asset. The next stage of the project explores the problem of fitting the tree to the term structure of the price of the underlying commodity. Indeed, the price of a commodity typically depends on the delivery date, which leads to a series of market prices for different maturities. The resulting price curve is known as the forward curve. We use the term fitted tree to refer to a tree that correctly reflects the forward curve of the underlying commodity. The logical evolution of the project takes us to the simultaneous incorporation of the volatility surface and the forward curve together in a tree in order to price exotic options on commodities. The objective is to guarantee that the prices obtained with this tree are consistent with the volatilities and forward prices of the underlying asset. We refer to this tree as a fitted implied tree. The study and analysis of these methods has been carried out by implementing them in C++. The resulting valuation tool reads the input data from a Microsoft Excel datasheet and calls the valuation libraries through an Excel add-in.

6 The valuation tool provides a framework for testing different tree structures to price financial derivatives. In particular, we present some examples relative to the valuation of barrier options on commodities, which illustrate the complexity of valuing exotic options and highlight the adequate behaviour of our implementation.