TEORIA DE LOS NUMEROS

Transcripción

1 TEORIA DE LOS NUMEROS Introduccón La teoría de los números es, dentro de las matemátcas, la encargada de estudar las roedades de los enteros, es decr, la ardad, adtvdad, rmaldad, multlcdad dvsbldad En este aartado nos dedcaremos a estudar algunas de las roedades teoremas más mortantes de este camo, que nos serán de mucha utldad en el camo de la crtografía Defncones báscas A contnuacón resentamos algunas defncones resultados matemátcos que nos serán de utldad Pardad Se defne la ardad como la roedad de que un número sea dvsble or dos, en cuo caso decmos que tene ardad ar o que es un número ar, o no, en cuo caso decmos generalmente que se trata de un número mar S en lugar de utlzar la reresentacón decmal utlzamos la bnara es mu fácl decdr s un número es ar o mar, solo tenemos que fjarnos en el bt de la derecha, s el bt es un uno el número es mar, en caso contraro se trata de un número ar Las roedades más mortantes relatvas a la ardad son: Proedad La suma de dos números es ar s ambos tenen la msma ardad Generalzando, s sumamos n números enteros, s n es ar, el resultado será ar s todos los números tenen la msma ardad S n es mar, el resultado será ar s todos los números son ares e mar s son mares Proedad La dferenca de dos números es ar s ambos tenen la msma ardad Generalzando, s restamos n números enteros, s n es ar, el resultado será ar s todos los números tenen la msma ardad S n es mar, el resultado será ar s todos los números son ares e mar s son mares Proedad El roducto de dos números es ar s uno de ellos es ar Generalzando, el roducto de n números es ar su al menos uno de ellos es ar Prmaldad Se defne un número rmo como todo aquel número entero que cumle que solo es dvsble or él msmo or la undad Inversamente defnmos un número comuesto como todo número entero n maor que tal que n = ab con a > b > A los números a b según la defncón anteror se les denomna dvsores roos, con lo que odemos defnr de forma equvalente un número comuesto como aquel que tene dvsores roos Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes)

2 Determnar s un número es rmo o comuesto no es dfícl, smlemente ha que r dvdendo or los números ostvos (asumremos semre que el número es ostvo) nferores a él, o mejor hasta su raíz cuadrada (s es comuesto uno de los elementos será maor o gual el otro menor o gual), ecluendo el cero el uno El sguente ejemlo hecho en freebasc uede audaros a ver el roceso: ' Programa ara determnar s un número es rmo o no Dm As LongInt numero, dvsor, lmte, Resto Dm As Double numerof Dm As Integer I, salto(4) Cls() Inut "Entra el numero:", numero 'Solo es necesaro mrar hasta la raz cuadrada a que s es comuesto uno de los números estará or encma otro or debajo numerof = numero * 0 numerof=sqr(numerof) lmte=numerof ' comrobamos s es dvsble or Resto=numero Mod If numero > And Resto = 0 Then Prnt "Numero dvsble or " slee End End If Resto=numero Mod 5 If numero > 5 And Resto = 0 Then Prnt "Numero dvsble or 5" slee End End If ' No hace falta que mremos los ares n los multlos de 5 salto()= salto()=4 salto(3)= salto(4)= I=0 dvsor= Whle dvsor <= lmte If I<4 Then I=I+ Else I= dvsor=dvsor+salto(i) Resto=numero Mod dvsor If Resto=0 Then If numero > dvsor Then Prnt "Numero dvsble or", dvsor Slee End Else Prnt "Numero rmo", numero Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes)

3 Slee End EndIf End If Wend Prnt "Numero rmo:", numero Slee End Veamos a contnuacón unas cuantas roedades de la dvsbldad de enteros S un número n dvde a otro m utlzaremos la convencón n m El conjunto Z de los números enteros forma un anllo resecto de la suma el roducto Proedad Sean n, m, r números enteros S n m m r n r Demostracón: Sea r mq m nq Tenemos ues que r n qq, con lo cual r es un múltlo de n este últmo lo dvde Proedad Sean n, m, r números enteros S n m n r n r m Demostracón: Sea r nq m nq Tenemos ues que r m n( q q ), con lo cual r m es un múltlo de n, este últmo lo dvde Proedad Sean n, m números enteros S n m n m Demostracón: Sea m nq Tenemos ues que m n q n m Proedad Sea un número rmo S dvde a n q n q n Mámo común dvsor (mcd) Se denomna así al maor de los dvsores comunes a todos los números a que se alca Formalmente, se defne el mcd de dos números n n, al número d 0 tal que d n d n se cumle además que d es el maor número de todos los que cumlen esta condcón Proedad S es rmo entonces el mcd(, = semre que dvda a n en cualquer otro caso Como consecuenca de esto se dce que dos números son rmos entre sí, s cumlen que su mcd es la undad Proedad Sea un número rmo n un número entero, s no dvde a n se cumle que mcd( m, = ara todo n maor o gual a Proedad Sean n, m, r números enteros con mcd(n,m) =, s se cumle que n dvde al Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 3

4 roducto mr, se cumle que n dvde a r Proedad Sean n, m, r números enteros, s el mcd(n,m) = r, entonces se cumle que n m mcd, r r Proedad Sea un número rmo tal que n dvde a mr tal que no dvde al mcd(m,r), se cumle que o ben n dvde a m o n dvde a r Nótese que esta rooscón es falsa s no se cumle la roedad de que no dvde al mcd(m,r), sn embargo, s m r son relatvamente rmos no es necesaro el cumlmento de esta roedad Proedad S mcd(n,m) = mcd(n,r) =, se cumle que mcd(n,mr) = Proedad Los dvsores comunes a dos números son los comunes al menor de ellos al resto de la dvsón de ambos Es decr, sean dos números a b con a > b, sean q el cocente r el resto, tenemos que a = bq ± r todo dvsor de a b lo es de bq or lo tanto de r Por lo tanto se cumle que el mcd(a,b)=mcd(b,r) De lo anteror se deduce que a que el mcd(a,b)=mcd(b,r), dos números a b son rmos entre sí cuando lo son b r Proedad S un número n es dvsor de un roducto de varos factores de or lo menos uno de estos factores n,,, n nr, es dvsor Demostracón: S n no es dvsor de nnguno de estos factores, será rmo con todos ellos, con lo cual su mcd será, sendo tambén el mcd del roducto de ellos con resecto al número n, lo que contradce nuestra afrmacón ncal de que n es dvsor del roducto Con lo cual deducmos que debe ser dvsor de alguno de sus membros Teorema fundamental de la artmétca Todo número está formado or una descomoscón en factores rmos que es únca n n nk Formalmente, sea n >, n admte una descomoscón únca del to n con n, n,, n k enteros maores que cero,,, k rmos Decmos que un número rmo es un factor de n, s se cumle que es uno de los defndos en el teorema anteror Demostracón Suongamos que este más de una descomoscón canónca del número n Tenemos e ek r rs ues que n k q qs con k q qs rmos e,, ek, r,, rs k Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 4

5 números enteros ostvos S tomamos la arte zquerda de la gualdad tenemos que n, r rs ero n q qs, con lo cual debe dvdr a alguno de los q, ero esto no es osble a que los q son rmos Con lo cual es gual a algún q Sguendo con este razonamento odemos susttur todos los j or algún q con lo que tenemos la gualdad de j en ambos lados, ero con dstntos eonentes Sn embargo, ara que se cumla la gualdad los eonentes de ambas artes deben ser guales, con lo que se cumle que la factorzacón debe ser únca Teorema Sea n n n cumle que todos los dvsores de n son de la forma nk k la descomoscón canónca de un número n Entonces se d 0 n m m con Proedad S es rmo ab a o b o dvde a ambos Demostracón: Sea a a a a a ak b b b b m k q q qm a q j con j, m b b bm b q q q tenemos ues que ak k m ab k con lo que obtenemos que con, Defncón Sea n un número cua descomoscón canónca es de la forma n n n se defne ( ( n )( nk ) como el número de dvsores de n ( como la suma de los dvsores de n Teorema S el mcd(n,m)=, entonces ( a b) ( a) ( b) Calculo del mámo común dvsor El cálculo del mámo común dvsor de dos números es una tarea relatvamente senclla Para calcular el mcd solo tenemos que escoger el menor de los dos números e r robando con todos los números ostvos nferores a él hasta encontrar uno que dvda a ambos números Este algortmo evdentemente funcona, sn embargo dsta mucho de ser efcente Un algortmo mucho más efcente es el algortmo de Eucldes, que resentamos a contnuacón Algortmo de Eucldes Este algortmo ermte determnar el mcd de dos números a b, suonemos que a>b>0 En este caso or la roedad anteror sabemos que a = bq ± r, s el resto r es maor que cero, hacemos b =q r ± r, s el resto sgue sendo maor que cero, se sgue el roceso hasta que se obtenga un dvsón eacta Cuando esto se roduce, el resto de la oeracón anteror es el mcd de los números a b Esquemátcamente hacemos: o nk k a = bq ± r Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 5

6 b =q r ± r r- = q r - + r r n- = q n r n- + r n r n- = q n+ r n En este momento sabemos que r n es el mcd Veamos un ejemlo Suongamos que queremos encontrar el mcd entre a b, sendo a=534 b=653 Hacemos: 534 = * = 3* = 98 * + 4 = * = * = * = 3 * + 0 Con lo que tenemos que el mcd(534, 653) = Una versón del msmo obtenda de [BRA90] es la que resentamos a contnuacón Este algortmo emlea un temo del orden del logartmo de sus argumentos Algortmo Eucldes(entrada: a salda:b) nco Mentras a > 0 hacer t b mod a b a a t Fn Mentras Devolver (b) Fn Eucldes Algortmo etenddo de Eucldes El sguente algortmo se utlza ara calcular el mcd de dos números a b, así como de los valores e tales que a b c, sendo c el mcd(a,b) Algortmo Eucldeset(entrada: a,b salda: c,,) nco d a S b = 0 entonces 0 devolver ( d,, ) Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 6

7 Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) Mentras b > 0 hacer Inco q q q b a r b a q r b b a Fn Mentras ),, devolver( d a d Fn Eucldeset Una versón esecalzada del algortmo resentado en [DEN83] uede alcarse al calculo de nversos modulo n Es decr, resolver la ecuacón mod n a Algortmo nv(entrada: a salda: Inco v u v u a g n g Mentras 0 g hacer Inco

8 g g g g u v u v g u v Fn mentras v S 0 entonces devolver( ) sno devolver( Crtero general de dvsbldad La condcón necesara sufcente ara que un número m sea múltlo de otro n, es que contenga todos los factores rmos de éste, con guales o maores eonentes Proedad Todo número comuesto n es dvsble or otro, rmo absoluto, cuo cuadrado no le ecede Congruencas Se dce que a es congruente con b modulo n, s se cumle que la dvsón de ambos or n da el msmo resto como resultado Es decr s a b son congruentes modulo n, quere decr que ara algún entero k se cumle que a b kn se reresenta or a n b, a b(mod o smlemente a b(mod La relacón a b(mod es una relacón de equvalenca en Z Además se cumle que el conjunto de los enteros modulo n forman un anllo conmutatvo con resecto a la suma multlcacón Formalmente, sea a Z odemos defnr la clase de equvalenca de a como a a kn : k Z Proedad Todo número es congruente consgo msmo, resecto de cualquer módulo Proedad Dos números congruentes con un tercero, resecto de un msmo módulo, son congruentes entre sí resecto al msmo módulo Proedad Todos los números múltlos de m son congruentes con cero resecto de dcho módulo Proedad Sea a un número rmo con m, todo número b congruente con a modulo m es rmo con m Proedad La condcón necesara sufcente ara que dos números sean congruentes entre sí resecto de un msmo módulo, es que su dferenca sea un múltlo de ese módulo Proedad Se uede multlcar o dvdr los membros el módulo or un dvsor común, que el resultado se mantene nalterado Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 8

9 Proedad S dos números son congruentes resecto de varos módulos, son congruentes resecto del mcm de éstos Proedad S el mcd(a, =, se cumle que a (mod a j(mod, j tales que 0 j n Demostracón Suongamos que n dvde a a( - j)tenemos ues que ( - j) debe ser un múltlo de n, a que el mcd(a, =, ero eso es mosble a que, j son menores que n Una consecuenca mortante de la roedad anteror es que a (mod es una ermutacón del conjunto comleto de resduos 0,, n Teorema de nvertbldad Sean a, n números enteros tales que se cumle que el mcd(a,= Este un únco entero, con 0 < < n, tal que a (mod Demostracón Por la roedad anteror tenemos que el conjunto formado or todos los elementos de la oeracón a (mod, con =0,,,,n es una ermutacón del conjunto 0,, n, or lo tanto estrá un elemento que hará que a (mod = Oeracones con congruencas Proedad La suma o resta de varas congruencas modulo m da como resultado otra congruenca resecto del msmo modulo Proedad El roducto de varas congruencas resecto de un módulo común m da como resultado otra congruenca resecto del msmo módulo Como consecuenca de esto tenemos que s anb mod m entonces a n n b nmod m Proedad S en un olnomo a 0 n +a n- ++a n- +a n se susttuen dos valores, a b, de, congruentes modulo m, los valores obtendos son congruentes resecto al msmo módulo Como consecuenca tenemos: S un número a satsface la congruenca a 0 n +a n- ++an-+a n n0 todo número congruente con a módulo m cumle la msma condcón Los cocentes de dvdr dos números congruentes modulo m or un dvsor común, rmo con m, son congruentes resecto del msmo módulo Se uede dvdr los dos membros de una congruenca or cualquer dvsor común, dvdendo tambén el módulo or su mcd con el dvsor Sean dos números h k rmos resecto a m, se cumle semre que dados cualesquera a b, a h b k mod m es equvalente a h k mod m Calculo de los restos otencales n Sean r,,, r r n los restos modulo m de las otencas a, a,, an r basta con hallar el resto de r r n modm Indcador de un número ara hallar el resto Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 9

10 Dado un número n, defnmos el ndcador de n lo denotamos or ( como el número de números rmos resecto a n menores que él Al conjunto formado or estos números se le denomna conjunto reducdo de restos Consderamos () = Proedad Sea un número rmo, su ndcador es -, es decr () = - Proedad Sean m n números enteros con m relatvamente rmo resecto a n Se cumle que m es congruente modulo n con alguno de los elementos del conjunto reducdo de restos modulo n Demostracón Al ser m n relatvamente rmos, se cumle que mcd( m, con lo que tenemos que ara cada numero q con (, se cumle que el mcd( mq, que m q mod n q ara algún q j ertenecente al conjunto reducdo de restos Con lo que j tenemos que el conjunto m q mod n q es una ermutacón del conjunto reducdo de restos j Proedad El ndcador del roducto de dos números rmos entre sí, es el roducto de sus ndcadores Es decr, sea n el roducto de dos número rmos q cualesquera Se cumle semre que ( = ()(q) = ( - )(q - ) Esta roedad se uede generalzar de la sguente manera, dado un número n cualquera, la funcón ( vene dada or la sguente eresón: ( n e ( ) e e e Se consdera el número n como n t Proedad Sea un número rmo, se cumle que ( ) = ( - ) Lema Sea un número rmo tal que > 0 sean a b enteros se cumle semre que ( a b) a b mod Demostracón Por la formula bnomal tenemos que ( a b) a b a b, con lo que robando que a b 0mod tenemos demostrado el lema Por la defncón de ( )( ) bnomal tenemos que, al ser < tenemos que es un! múltlo de con los que se cumle que a b 0mod La verdad es que no ha que asustarse mucho al ver las formulas anterores Podemos resumr el cálculo de ( de la sguente manera [RAM99]: t Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 0

11 n es rmo entonces ( = n Por ejemlo s n = 7 entonces (7) =7 - = 6 n es del to Pequeño teorema de Fermat (Congruenca de Fermat) Sea un número rmo a un número entero, se cumle semre que a a mod Demostracón La demostracón la realzaremos or nduccón Evdentemente se cumle que mod, suonemos ues que n n mod debemos demostrar que ( n ) n mod Por el lema anteror tenemos que ( n ) ( n ) ( n ) mod or la hótess de nduccón tenemos que ( n ) n ( n ) mod como queríamos robar n n mod Susttuendo tenemos que S ben el teorema de Fermat es el anteror, se suele conocer más frecuentemente con el enuncado sguente, que es smlemente una versón del que acabamos de enuncar Teorema de Fermat a Sean a dos números rmos entre sí, sendo un número rmo, se cumle que mod Una alcacón mu mortante del teorema de Fermat es la osbldad de reduccón del roblema de calcular el resduo de un número a k con un k mu grande tal que k > - Para hacerlo, smlemente artmos del suuesto de que no es un factor de a, a que s lo fuera el resduo sería 0 Dvdmos ues k or - con lo que odemos reresentar k como k ( ) q r 0 r q, r 0 ( ) Tenemos ues que a k a q r a q a r mod, ero or el teorema de Fermat k r a mod con lo que tenemos que a a mod Es decr odemos reducr el cálculo de los resduos de una manera drástca Generalzacón de Euler Sean n m dos números rmos entre sí, se verfca que s m es rmo tenemos la congruenca de Fermat ( n m ) mod m, en artcular Demostracón Sea, r,, r ( n ) 0 r n con ( En este caso n r mod m,, nr mod ( m) m conjunto r r ( m) ( n r mod m) r el conjunto reducdo de restos módulo n, con es una ermutacón del r,,, ( n ) Con lo cual tenemos que ( m) r ( n ( m) mod ( m) r mod n Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) ( m) r n ( m)

12 La generalzacón de Euler nos da un método ara resolver ecuacones del to a mod n, en las cuales los números a n son relatvamente rmos La solucón en este ( caso vene dada or a mod n, que en el caso de que n sea rmo se reduce a n a mod n Algortmo ecuacones(entrada: a,n salda: b) Inco g Eucldes( a, S b mod g 0 entonces Inco Imrmr ( Solucón :, g) n n0 g 0 a nv(, n g b g 0 0 ) mod n Desde t 0 hasta t n hacer Inco ( t n0 ) mod mrme() Fn Desde Sno mrme ( No ha solucones) Fn S Fn ecuacones Teorema chno del resto Sean,, n, k números rmos entre sí, es decr, mcd(, j ) n k Se cumle que el sstema mod con,, k 0, n ara j, sea tene solucón únca Demostracón: Se defnen P,, Pk como n k P P k Pk Ya que n mcd( P, ) mcd, k sabemos que este una solucón únca de la ecuacón P mod Suongamos que la solucón a esa ecuacón es P j, s creamos el número j j k ' P P, tenemos que ' P P mod es una solucón ara cada, a Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes)

13 que or defncón P P mod solucón general del sstema P P 0 mod j Con lo que tenemos que ' es la El sguente rograma calcula la solucón a un sstema de ecuacones medante teorema chno del resto Para hacerlo utlza la rutna ara calcular nversos modulo n defnda anterormente Algortmo chno(entrada: n,,, t,,t salda: ) Inco Desde hasta t hacer n mod, nv d d d 0 n Desde hasta t hacer mod n d Devolver() Fn chno Teorema de Wlson Este teorema atrbudo a Wlson, aunque arece ser que a había sdo ublcado or Warng, afrma que ( )! (mod ) Un ar de consecuencas nteresantes del teorema de Wlson son las sguentes: a) Un entero n > es rmo ( n )! (mod O lo que es lo msmo n es rmo s dvde eactamente a (( n )! ) b) S es rmo tal que (mod 4), se cumle que la congruenca (mod ) tene como solucones (( ( )))! Algortmo de eonencacón ráda Prouesto or Dennng en [DEN88] Se trata de un algortmo basado en la alcacón de sucesvos asos de obtencón de raíces cuadradas multlcacones El temo de ejecucón T está acotado or log z T log z El rograma devuelve el valor de a z mod n Funcón rade (entrada: a, z, n salda: ) Inco a a z z Mentras z 0 hacer Inco Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 3

14 Mentras z mod 0 hacer Inco z z a ( a a) mod n Fn mentras z z ( a ) mod n Fn mentras Devolver () Fn rade Proedades de los números rmos La rmera roedad mortante referente a los números rmos es la estenca de nfntos de ellos Es decr el conjunto de los números rmos es nfnto La demostracón de esta afrmacón es de Eucldes es más o menos como sgue Suongamos que el conjunto de números rmos es fnto está formado or los números,, n, formamos un número P= n +, este número o ben es rmo con lo cual contradce nuestra afrmacón ncal de que el conjunto de rmos es fnto o ben admte un dvsor rmo q dferente de a que el resto de dvdr P or cualquera de ellos es Esten algunos resultados nteresantes relatvos a los números rmos Por ejemlo se n sabe que n, es más se sabe tambén que n ~ nlog n cuando n El Teorema del número rmo afrma que ara cualquer valor el número de rmos ( ) ~ cuando Los números del to n que son rmos se denomnan log rmos de Mersenne en honor a Marn Mersenne un clérgo del sglo XVII afconado a las matemátcas Estos son mu útles ara roorconar números rmos grandes, es más el maor número rmo que se conoce hasta el momento es el número de Mersenne M(30377) Un conjunto de números con roedades smlares son los números de Fermat Estos son los números de la forma n Fermat consderaba que todos los números de esta forma eran rmos, sn embargo más tarde se demostró que F(5) era comuesto Otro conjunto de números nteresantes es el de los denomnados erfectos Estos son todos aquellos números tales que la suma de sus factores anterores a él dan como resultado el msmo número Evdentemente nngún número rmo uede ser erfecto, sn embargo, Eucldes sabía que los números de la forma n ( n )) eran erfectos s n era rmo Fue sn embargo Euler en el sglo XVIII el que robó que todos los números erfectos ares tenían esa forma Otra forma senclla de encontrar números rmos es la de utlzar la denomnada # formula rmoral Se defne como rmoral de un número se dentfca como al roducto de todos los números rmos menores o guales que Un número rmo de la forma # se denomna un número rmo rmoral Por el momento solo se han consegudo encontrar 6 rmos de este to, sendo el maor de ellos corresondente a 407 con,, n Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 4

15 0387 dígtos[cou99] Otra nteresante roedad es la de que esten nfntos números rmos de la forma 4r- La demostracón es smle, arte del hecho de que todos los números rmos, ecetuando el tenen la forma 4r- o 4r+ Sean,,, k rmos de la forma 4r-, nnguno de ellos gual a 3 Sea n 4 k 3 Entonces n factorza en rmos, nnguno de los cuales uede ser a que el número es mar Suongamos que todos los son de la forma 4r+, entonces n tendría tambén esa forma, sn embargo or la defncón anteror vemos que eso no es certo, debe ues haber algún rmo de la forma 4r- Este no uede ser nnguno de los, con lo cual queda demostrada la nfndad de los números de la forma 4r- La conjetura de Goldbach dce que cada entero ar maor que dos es la suma de dos números rmos Otra famosa conjetura es la de que esten nfntos ares de rmos cua dferenca es dos Nnguna de ellas ha oddo ser robada hasta el momento Un teorema mortante es el de Vnogradov que dce que cada entero mar sufcentemente grande es la suma de tres rmos En cuanto a su dstrbucón, ctemos el ostulado de Bertrand que dce que ara cada número n >, este semre un número rmo entre n n Esten algunos olnomos que nos ermten generar números rmos Entre ellas odemos ctar las sguentes dadas or Euler: 7 da 9 números rmos en el ntervalo da números rmos en el ntervalo 4da números rmos en el ntervalo Estas funcones odrían hacer ensar en la estenca de olnomos caaces de generar los números rmos Sn embargo, esto no es certo, tal como muestra el sguente teorema: Teorema Dado un olnomo f() con coefcentes enteros, esten nfntos números ostvos c tales que f(c) es un número comuesto Una demostracón lmtada ara olnomos cuadrátcos uede encontrarse en [COU99] Determnacón del número de rmos en un ntervalo dado Se defne la funcón () como el número de rmos menores o guales a Ha que hacer notar que se consdera como rmer número rmo el, con lo cual ( ) La forma más senclla de calcular () es smlemente contando el número de rmos hasta el número dado Evdentemente esta manera de calcular () no es ráctca Afortunadamente esten otras maneras de calcularlo medante formulas que dan una aromacón lo sufcentemente eacta de (), una de ellas fue enuncada or Legendre es como sgue: ( ) ( ) j j j k j k Desgracadamente esta formula no mejora mucho el esfuerzo de cálculo necesaro ara 0,6 0,8 0,40 Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 5

16 calcular () con resecto a la smle enumeracón, lo que la hace mractcable ara tamaños grandes de Una mejora sustancal fue dada or Messel, cua formula es una modfcacón de la de Legendre ara hacerla más efcente En la tabla sguente se esecfcan el número de rmos en ntervalos de hasta Para calcularlos se ha utlzado el rograma I esecfcado en el aéndce de rogramas La tabla se lee de la sguente manera, la celda esecfcada or la nterseccón de la fla columna marcada como 0 5 resectvamente ndcará el número de rmos en el ntervalo [ , ] Mllones Teorema de los números rmos Este teorema, conjeturado or Gauss aunque generalmente atrbudo a Remann, dce que cuando es mu grande, () se aroma a Más formalmente log ( )log lm Números de Carmchael Un número n se dce que es un número de Carmchael s se cumle que: ) n > 0 es un numero comuesto, mar Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 6

17 ) b n b mod n ara todos los enteros b Esten nfntos números de Carmchael, sendo el más equeño de ellos el 56 Una caracterzacón más comleta de los números de Carmchael vene dada or el teorema de Korselt Teorema de Korselt Un entero n > 0 mar es un número de Carmchael s solo s se cumlen las sguentes condcones ara cada, factor rmo de n: ) no dvde a n ) dvde a n Restos cuadrátcos Sea un número rmo un entero tal que, se dce que es un resto cuadrátco módulo s la congruenca contraro se llama no-resto cuadrátco Crtero de Euler ( ) / mod tene una solucón Z En caso Sea un número rmo, es un resto cuadrátco módulo s solo s mod Demostracón Suongamos que es un número rmo dstnto de cero, entonces or el teorema de Fermat sabemos que mod, con lo que tenemos que ( ) / ( ) ( ) / mod mod mod Inversamente, s módulo Tenemos que ( ) / mod, suonemos que b sea un elemento rmtvo b mod ara algún Tenemos entonces que ( ) / ( b ) ( ) / mod b ( ) / mod Como tenemos que b debe tener orden -, debe ser ar, con lo que las raíces / cuadradas de son del to b Test de rmaldad El método más smle ara determnar s un número es rmo o no es la crba de Erastotenes Este método consstía en oner en una tabla todos los números en el ntervalo en el que se retendía encontrar los rmos luego se ban tachando or orden todos los números Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 7

18 que fueran múltlos de cada uno de los números no tachados de la tabla Los números que ermanecían sn tachar eran los rmos de ese ntervalo La funcón de este algortmo no es en sí la determnacón de s un número es rmo o no, sno, más ben la de determnar todos los números rmos de un ntervalo Sn embargo la dea de dvdr un número or todos los rmos nferores a él ara determnar la rmaldad del msmo es un método sencllo, aunque no efcente Generalmente se suele utlzar unas equeñas roedades sulementaras ara dar más velocdad a la crba de Erastotenes La rmera consste en dvdr el número or todos los rmos anterores a él en el ntervalo, n, a que s este la factorzacón estará formada or un número maor uno menor a n a no ser que el número sea un cuadrado, en cuo caso los dos factores son guales a n Otra ventaja la odemos obtener s nos fjamos en que, como consecuenca de la roedad anteror, s es rmo, el rmer número comuesto que no sea dvsble or los rmos anterores a debe ser maor que Con estas dos mejoras uede mlementarse un algortmo que nos ermta decdr s un número n es rmo o no En el caso de no encontrar nnguno de ellos que sea dvsor de n odemos deducr que n es rmo Evdentemente este método no srve ara números grandes como los utlzados en los sstemas de clave úblca Test de Fermat Por el teorema de Fermat sabemos que s a son números rmos entre sí, sendo un número rmo, se cumle que a mod Suongamos que n es un número mar comuesto que satsface la ecuacón a n mod n ara algún entero a tal que a n, este número no tene or que ser rmo, aunque la maoría de las veces se cumle que s lo es Estos números son denomnados seudormos de la base a Una osble forma de determnar la rmaldad de un número sería ues alcar el teorema de Fermat a todas las bases entre n, sn embargo, el esfuerzo comutaconal es ncluso maor que en el caso anteror La maoría de los métodos actuales son robablístcos determnan la rmaldad de un número en funcón de una robabldad tan equeña como se quera de que éste sea comuesto Test de Solova-Strassen Se trata de un método robablístco en el que lo que se determna es que un determnado número n es rmo con una robabldad mu alta Se escoge un número n aleatoramente de forma que no sea ar n dvsble or 3, or 5 n or Esto últmo se sabe comrobando que la suma de los dígtos ares los mares no sea gual modulo La comrobacón de que el número es rmo es como sgue: ) Se escogen cen números a,, a 00 aleatoramente en el ntervalo [, - ] Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 8

19 a ( ) / a ) S ara cada número a, el mcd(, a ) mod a mod donde es el b símbolo de Jacob ara el ar a, b defndo como el símbolo de Legendre s b es rmo: a s a es un resduo cuadratco de b b en caso contraro Y, s b no es rmo, ero tene una factorzacón en rmos b k, entonces a a a a a b 3 k Un número que asa el test tendrá una robabldad de no ser rmo de 00 aromadamente entre Esto es así a que s es rmo, los valores del símbolo de ( a ) / Jacob ara a concdrán semre con, or defncón de resduo cuadrátco del símbolo de Jacob Por otra arte, s no es rmo, la robabldad de que el símbolo de Jacob el eonente concdan es de Consecuentemente, la robabldad de que un número no sea rmo ase el test es de la robabldad de que un número que no es rmo uede asar el test es de 00 Test de Lehmann Peralta Se trata de un test mucho más sencllo que el anteror Fue desarrollado or Lehmann osterormente de forma ndeendente or Peralta En este caso los asos a segur son: ) Se escogen 00 números aleatoros a, con =,,00 en el ntervalo [, - ] ( ) / ) S a ara todos los =,,00 entonces es comuesto ( ) / 3) S a o ara algún =,,00 entonces es comuesto ( ) / ( ) / 4) S a o ara todos los =,,00, a ara algún =,,00 entonces es rmo Test de rmaldad de Mller S ben no se trata de un algortmo robablístco, s que es la base del algortmo robablístco más amlamente utlzado, el de Mller-Rabn El test de Mller es un algortmo mu sencllo ntroducdo or G L Mller en 976 Báscamente el algortmo trata de encontrar la maor otenca de dos que dvde a n su factor m S n es un número rmo, entonces se cumle: a) a n mod n or el teorema de Fermat n m b) S a es rmo, entonces sabemos que a a modn k a que n es ar, Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 9

20 con lo que a que s mod n mod n cuando n es rmo, entonces no uede haber nngún resduo que sea dferente de o ( mod n n mod Basándonos en las anterores roedades odemos deducr que o ben el rmer elemento es o alguno de los resduos restantes será gual a n En el caso de que no se cumla nnguno de los dos casos, n es sn duda comuesto, es ues un algortmo ara determnar s un número es comuesto S el algortmo no determna que el número es comuesto no odemos garantzar con absoluta fabldad que sea rmo El algortmo es ues como sgue: ) Selecconar un número mar n > un entero aleatoro b relatvamente rmo a n, que denomnaremos la base, tal que b n ) Calcular k n r b k mod n 3) S r (mod contnuamos, en caso contraro el test falla acabamos el roceso 4) Ejecutar mentras k sea ar, r (mod Calcular k k, r b k mod n 5) S r = o r = n - entonces n falla el test, en caso contraro el número es comuesto S el test falla el número es comuesto, sn embargo, que el número suere el test no es una garantía de rmaldad, uede ocurrr que un número comuesto suere el test Estos números se denomnan seudormos fuertes ara la base b Test de rmaldad de Mller-Rabn Se trata de un algortmo robablstco basado en el test anteror en el teorema de Rabn, que dce: Teorema de Rabn Sea n > 0 un entero mar S el test de Mller alcado a n falla el test en más de 4 n bases entre n, el número n es rmo Basándonos en el teorema anteror odemos deducr que la robabldad de que un número mar que no es rmo ueda asar el test es de 4, con lo que s alcamos el test a k bases dferentes la robabldad de que un número no rmo ueda asar el test es de 4 Este resultado no ermte determnar con una robabldad tan alta como queramos que un número no es comuesto En general se suele utlzar como bases los rmeros números 0 rmos, con 40 bases la robabldad de error es nferor a 0 [COU99] El algortmo sería el sguente: ) Selecconar un número mar n > 0 un entero aleatoro b, que denomnaremos la base, tal que b n k Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 0

21 k ) Calcular or dvsón reterada de n or los números k m tales que se cumle n m, donde m es mar 3) Calcular r b m mod n 4) S r (mod el número es rmo acabamos el roceso 5) Ejecutar k- veces 6) S r (mod el número es rmo acabamos el roceso, en caso contraro calculamos r r mod n 7) El número es comuesto Debemos hacer notar que aunque escojamos una robabldad de error mu baja, esten números, artcularmente los de Carmchael, que asan el test sn ser rmos Un resultado de los trabajos de Alford, Granvlle Pomerance es que: Dado cualquer número de bases fnto, esten nfntos número de Carmchael que son seudormos fuertes ara todas esas bases Métodos de factorzacón En el aartado anteror determnamos s un número era rmo o no con una robabldad tan elevada como sea necesaro Pasamos ahora a estudar los métodos ara determnar los números cuo roducto es el número buscado La determnacón de s un número era comuesto tal como la habíamos defndo era smle Un número n era comuesto s estían dos números q tales que n q Evdentemente or defncón de números rmos comuestos, un número es comuesto s no es rmo, con lo que, ara determnar s un número es comuesto, basta con determnar que no es rmo Otra defncón de número comuesto basada en el teorema de Fermat es como sgue[cou99]: Sea n > 0 un número entero rmo S este un entero b tal que ) b n, ) b n mod n, se cumle que n es comuesto Los roblemas de este método son dos, rmero, encontrar el número b, que se suele denomnar testgo, que nos ermtrá determnar s el número es comuesto, fnalmente que la determnacón del testgo no nos dará nnguna ndcacón de los factores que lo forman Factorzacón or dvsón Se trata de un método mu sencllo que uede ser adecuado en la factorzacón de números de hasta dígtos Consste en la dvsón del número n or todos los números mares hasta n N que decr tene que no es útl en la factorzacón de grandes números Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes)

22 Algortmo de factorzacón de Fermat Al gual que en el caso anteror se trata de un método mu sencllo ero otente desarrollado or Fermat Este método funcona ben cuando n tene un factor, no necesaramente rmo, no mucho maor que n Se basa en la dea de ntentar consegur números enteros ostvos e tales que n ( )( ) El algortmos es como sgue: Algortmo Fermat(entrada: n salda: factor, factor) Inco factor 0 factor 0 n S es un entero arar, es un factor de n Bucle: S n arar, n es rmo n S es un entero arar, + son factores de n Sno r al Bucle Fn Fermat El método - de Pollard Se trata de un algortmo sencllo, ero de gran otenca Fue desarrollado en 974 or ln n Pollard tene un temo romedo de ejecucón de O B Báscamente se trata de ln B selecconar una cota B suave Se dce que un entero n es suave con resecto una cota B, s todos sus factores rmos son menores o guales a B El algortmo es como sgue: ) Selecconar la cota B ) a= 3) Desde que j= hasta B hacer a a j mod n 4) d mcd( a, 5) S <d<n entonces d es un factor de n en caso contraro no se ha encontrado nngún factor de n Métodos de factorzacón modernos Los trabajos sobre factorzacón han sdo contnuos en los últmos años acrecentados or su osble alcacón al crtoanálss Los métodos que se han demostrado más útles son la crba cuadrátca, la crba de camos numércos el método de las curvas elítcas Una elcacón detallada de los msmos está fuera del ámbto del sguente trabajo, una ecelente referenca ara el tema es [RIE94] El método de las curvas elítcas da Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes)

23 mejores resultados con números de mu dferente tamaño La crba cuadrátca es el algortmo más rádo conocdo ara factorzar números de hasta 50 dígtos, esten varas versones del algortmo las más conocdas son la crba cuadrátca olnomal múltle sus varacones La crba de camos numércos es el más recente de los tres su temo de ejecucón asntótco es el mejor de los tres, sn embargo, ara números menores de entre 0 35 dígtos es más rádo la crba cuadrátca olnomnal múltle Los temos de ejecucón asntótcos de los tres algortmos obtendos de [STI95] son: Crba cuadrátca ( O()) O( e ln n ln ln n ) Curvas elítcas ( O()) O( e ln ln ln ) Crba de camos numércos (,9 O())(ln 3 (ln ln O( e 3 El maor número factorzado hasta el momento es el noveno número de Fermat 9 5 F9 de 55 dígtos que fue factorzado utlzando el método de la crba cuadrátca con 700 ordenadores en aralelo un suercomutador en las etaas fnales del roceso En total cuatro meses de trabajo [LEN93] CONTINUARÁ Obtendo de la web de Crtohstora (wwwcrtohstoraes) 3