Ejercicios de Cinemática para 4º de E.S.O.

Transcripción

1 Ejercicios de Cineática para 4º de E.S.O. 1. En la figura se uestra la gráfica posición-tiepo para un deterinado oviiento: a) Deterinar el desplazaiento entre los instantes t = 2 s y t = 8 s; b) Calcular la distancia recorrida entre los instantes t = 8 s y t = 12 s; c) Qué distancia ha recorrido en los 6 prieros segundos? d) Qué velocidad lleva entre los instantes t = 2 s y t = 6 s? Antes de resolver el ejercicio, vaos a analizar la gráfica. En los traos en los que el óvil está en oviiento, lo hace con M.R.U puesto que en todo oento la gráfica es recta. Para entenderlo ejor representaos el oviiento en el plano. A y B son la isa posición C 0 entre t = 0 s a t = 2 s Origen: x = 0 Cuando epezaos a contar el tiepo (t = 0 s) el óvil se encuentra en el punto A a 10 del origen (x A = 10 ) TRAMO A-B: Entre el punto A y el punto B, el óvil no ha cabiado su posición, en todo oento (ira los puntos interedios entre A y B) se encuentra a 10 del origen, no se ha ovido, ha estado parado durante 2 s. TRAMO B-C: Entre B y C, el óvil se va acercando al origen (x = 0 ), lo pasa y se aleja de él hasta la posición C, que está a 10 a la izquierda del origen. La flecha roja representa el oviiento. TRAMO C-D: Entre C y D, el óvil se dirige hacia el origen, hacia la derecha, lo pasa y continua hasta que se encuentra a 30 del origen. Flecha roja en el esquea. C 0 D 10 30

2 TRAMO D-E-F: Peranece durante 4 s a 30 del origen, en la isa posición, no se ueve. a) Pregunta cuál es el desplazaiento entre t = 2 s y t = 8 s. Para t = 2 s, el óvil está en el punto B a 10 a la derecha del origen según el esquea, en t = 8 s, el óvil se encuentra en un punto interedio entre C y D a 10 a la derecha del origen (arcado con un punto negro). Ha ido de B a C y ha vuelto al iso punto B. C 0 Las posiciones A, B y esta coinciden El desplazaiento es la diferencia entre la posición final e inicial del óvil, coo en este caso estas dos posiciones coinciden, el desplazaiento es 0. Desplazaiento = x final x inicial = = 0 Aunque el óvil se ha ovido y ha recorrido un espacio, la distancia recorrida ha sido de 40 : 10 desde B al origen hacia la izquierda, sigue otros 10 a la izquierda hasta C, vuelve pasando por el origen (10 ) hasta encontrarse a 10 a la derecha del iso. b) Distancia recorrida entre t = 8 s y t = 12 s, va del punto x = 10 a E (x = 30 ) 0 E Coo el oviiento es en línea recta y en un solo sentido, en este caso el desplazaiento y la distancia recorrida coinciden, ha recorrido 20. c) Distancia recorrida en los 6 prieros segundos: Entre t = 0 s y t = 6 s, el óvil ha estado parado 2 s (trao A-B), y luego ha recorrido el trao B-C, una distancia de 20. A C 0 A-B d) Coo lleva.r.u: v = espacio tiepo = 20 = 3,3 /s 6 s

3 2. Un vehículo se encuentra a 40 a la derecha de una gasolinera oviéndose constanteente a 60 k/h hacia ella. a) cuánto tiepo tarda en llegar a la gasolinera? b) Cuánto tiepo tarda es llegar a un punto situado a 10 a la derecha de la gasolinera? si continua oviéndose en el iso sentido cuánto tiepo tarda en llegar a un punto a 10 pasada la gasolinera?; c) Dónde se encuentra el vehículo a los 20 s? a) Es conveniente antes de epezar a resolver el ejercicio hacer un esquea del oviiento. 40 coo el coche se ueve con.r.u y recorre 40 hasta la gasolinera a 60 k/h: v = 60 k 1 h k 1 h = 16,67 /s 3600 s v = e t t = 40 16,67 /s = 2,4 s b) En el esquea el punto al que quereos llegar es el rojo. Coo puedes ver, el coche recorre t = 30 16,67 /s = 1,8 s 40 En este caso el punto se encuentra a 10 a la izquierda de la gasolinera, el coche ha recorrido 50 : t = 30 16,67 /s = 3 s

4 c) El vehículo tarda 2,4 s en llegar a la gasolinera, luego si continua en línea recta sin cabiar el sentido, a los 20 s habrá pasado la gasolinera y se encontrará en un punto a la izquierda de la isa. e = 16,67 s 20 s = 333,4 El coche ha recorrido 333,4, Coo hasta la gasolinera había 40, se encontrará en un punto situado a 333,4 40 = 293,4 a la izquierda de la gasolinera. 293, ,4 3. Un tren de ercancías circula constanteente a 72 k/h en dirección a una estación, cuando estando a 1400 antes de llegar a ella, se le suelta el últio vagón, que poco a poco va frenando hasta que terina deteniéndose justo en la isa estación. Cuando el vagón soltado llega a la estación, dónde está ya el tren? El tren circula con velocidad constante, lleva.r.u, ientras que el vagón, al soltarse, se va frenando, lleva MRUA con aceleración negativa. Ecuaciones para el VAGÓN (MRUA): v = v 0 a.t e = v 0 t 1 2 a t2 calculaos el tiepo que tarda el vagón en pararse en la estación (v = 0 /s), la velocidad inicial del vagón (en el instante en el que se suelta) es la isa que la del tren: v 0 = 72 k 1 h k 1 h 3600 s = 20 /s Sustituyendo en las ecuaciones anteriores: 0 = 20 a t 1400 = 20 t 1 2 a t2 Despejaos la aceleración de la priera ecuación y sustituios en la segunda:

5 a = 20 t 1400 = 20 t t t = 20 t 1 20 t 2 y despejando t: 1400 = 20 t 10 t = 10 t t = 140 s En este tiepo el tren ha continuado con MRU a 20 /s, habrá recorrido: e = v. t = 20 /s. 140 s = 2800 luego ha pasado la estación y se encuentra a 1400 a su izquierda. 4. Durante un safari fotográfico en África, un turista se baja y se aleja 25 del autobús para sacar unas fotos. A 320 del turista y en la isa línea autobús-turista, un león lo ve e inicia su persecución a 90 k/h ientras que el intrépido turista sale corriendo hacia el autobús a 13 k/h. Si las velocidades de abos son constantes desde el inicio del oviiento, se salva el turista de las fauces del león? Una fora de resolverlo es calcular el tiepo que tarda cada uno en llegar al autobús, si el turista tarda enos que el león, se salvará: TURISTA: Tiene que recorrer 25 con MRU y velocidad 13 k/h = 3,6 /s e = v. t 25 = 3,6. t t = 25 3,6 /s = 6,94 s LEÓN: Tiene que recorrer 345 hasta el autobús con MRU y velocidad 90 k/h = 25 /s e = v. t 345 = 25. t t = /s = 13,8 s El león tarda ás y el turista se salva. Tabién podríaos haber calculado el espacio que recorre el león en 6,94 s (lo que tarda el turista en llegar al autobús: e = 25. 6,94 = 173,5, no llega al turista.

6 5. En la recta final de una etapa de la vuelta ciclista a España. Un corredor (A) circula a 28 K/h seguido a 2,5 de otro corredor (B) que se ovía a 22 K/h. La eta está a 290 del corredor A. Siultáneaente abos inician el sprint. El corredor A lo hace con una aceleración de 0,82 /s 2 y el corredor B con una aceleración de 1,24 /s 2. Quién gana la etapa? Cuando inician el sprint, la velocidad inicial de los corredores son: Corredor A: v 0 = 28 k/h = 7,78 /s Corredor B: v 0 = 22 k/h = 6,11 /s Esquea del oviiento, en el instante del sprint: B A 2,5 290 ganará la etapa el que llegue antes a la eta, el que tarde enos tiepo en recorrer la distancia que le separa de ella. Corredor A (MRUA): e = v 0 t + ½ a. t = 7,78 + ½ 0,82. t 290-7,78 = ½ 0,82. t 282,22 = 0,41. t t = 688,34 s Corredor B (MRUA): e = v 0 t + ½ a. t 2 292,5 = 6,11 + ½ 1,24. t 292,5 6,11 = ½ 1,24. t 286,39 = 0,62. t t = 461,92 s El corredor B tarda enos, gana la etapa. 6. Un autobús de línea hace el recorrido Madrid-Málaga saliendo de Madrid a las 10:00 horas con una rapidez constante de 80 K/h. De repente se da cuenta de que se ha dejado un paquete que tenía que entregar en Málaga y llaa a Madrid para que se lo lleve un otorista. Si el otorista sale edia hora después que el autobús y lleva una rapidez constante de 110 K/h. En que kilóetro alcanza el otorista al autobús. El autobús se ueve con MRU con v = 80 k/h El otorista lleva tabién MRU con v = 110 k/h Madrid Punto encuentro Málaga e

7 Coo el autobús y el otorista salen del iso sitio, cuando se encuentran habrán recorrido la isa distancia (e). Planteaos las ecuaciones correspondientes para cada uno de los óviles, si consideraos que el autobús tarda un tiepo t en llegar al punto de encuentro, el otorista habrá tardado (t - 0,5) horas, ya que ha salido edia hora ás tarde. Autobús: e = 80 k/h. t Motorista: e = 110 k/h. (t 0,5) Igualando las dos ecuaciones: 80. t = 110 t t 80 t = 55 t = 1,8 h sustituios el tiepo en cualquiera de las dos ecuaciones: se encuentran a 144 k de Madrid. e = 80. 1,8 = 144 k 7. Un otorista va a 72 k/h, y, accionando el acelerador, consigue en un tercio de inuto la velocidad de 108 k/h. Averigua: a) Cuál ha sido la aceleración durante ese tiepo? b) Qué espacio ha recorrido durante el tiepo que ha estado acelerando? a) Velocidad inicial del otorista: v 0 = 72 k/h = 20 /s Velocidad final del otorista: v = 108 k/h = 30 /s Tiepo que tarda en alcanzar la velocidad final: t = 20 s Ecuaciones del MRUA: v = v 0 + a. t e = v 0 t + ½ a. t 2 Sustituios los datos en la ecuación de velocidad: 30 = 20 + a. 20 a = 0,5 /s 2 b) Sustituyendo en la ecuación del espacio recorrido: e = ½ 0,5. (20) 2 = Se denoina tiepo de reacción al que transcurre desde que un conductor observa un obstáculo hasta que aplica el freno. Noralente este tiepo de reacción es de algunas décias de segundo. Suponiendo que la aceleración de frenado de un coche es de 3 /s 2, deterina la distancia ínia a la que debe antenerse un coche del que le precede, si circula a 108 k/h y el tiepo de reacción del conductor es de 0,4 s. El oviiento teneos que dividirlo en dos partes. Priero el coche circula a 108 k/h = 30 /s con velocidad constante (MRU) y tarda 0,4 s en apretar el freno, en ese tiepo habrá recorrido: e = v. t = 30. 0,4 = 12 En el segundo trao el conductor pisa el freno y epieza a disinuir la velocidad hasta que se para, su velocidad final es 0 (MRUA), la aceleración es negativa:

8 v = v 0 - a. t e = v 0 t - ½ a. t 2 Sustituyendo en abas ecuaciones: 0 = t t = 10 s e = 30 t - ½ 3. t 2 e = ½ = 150 Tiene que antenerse a 162 del coche que le precede. 9. Se lanza verticalente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30 /s, calcular: a) Tiepo que tarda en alcanzar su altura áxia. b) Altura áxia. c) Posición y velocidad de la pelota a los 2 s de haberse lanzado. d) Velocidad y posición de la pelota a los 5 s de haber sido lanzada. e) Tiepo que la pelota estuvo en el aire desde que se lanza hasta que retorna a tierra. a) La pelota asciende disinuyendo su velocidad hasta alcanzar la altura áxia (h). En ese punto su velocidad es 0 para volver a caer al punto de partida. Ecuaciones: h = v 0 t - ½ g t 2 v = v 0 - g t En el punto de altura áxia v = 0, sustituyendo en la ecuación de velocidad se obtiene el tiepo que tarda en alcanzar esa altura: 0 = t t = 3 s b ) Altura áxia (h): h = ½ = 45 c) Velocidad a los 2 s: v = = 10 /s hacia arriba Posición: h = ½ = 40 del suelo d) La pelota tarda lo iso en subir que en volver a bajar, ha estado en el aire: t = 6 s 10. Desde lo alto de un tejado situado a 4,5 del suelo, se deja caer una teja. En ese oento una persona que está a 12 del lugar de caída va cainando tranquilaente por la acera con velocidad constante de 5 k/h y se dirige a ese sitio. Caerá la teja sobre la persona? 12 h = 4,5 Priero vaos a calcular el tiepo que tarda la teja en llegar al suelo, coo se trata de caída libre, v 0 = 0. Ecuaciones:

9 h = v 0 t + ½ g t 2 4,5 = ½ 9,8. t 2 t = 0,96 s v = v 0 + g t En 0,96 s el peatón, que se ueve con MRU, habrá recorrido: e = v. t e = 1,39 /s. 0,96 s = 1,33 No cae sobre la persona. 11. Dos aigos lanzan a la vez dos pelotas. El priero la lanza desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 10 /s. El otro deja caer la segunda pelota desde la terraza de su casa situada a 15 del suelo. Dónde y cuando se cruzan las dos pelotas? h 1 A v 0 = 0 /s h 2 h = 15 Suponeos que las pelotas se cruzan en el punto A. En un tiepo t, la pelota 1 habrá recorrido una distancia h 1 con MRUA y con aceleración g negativa (su velocidad va disinuyendo a edida que asciende). La pelota 2 habrá recorrido una distancia h 2 con MRUA con aceleración positiva (va auentando su velocidad) y con velocidad inicial 0. Las ecuaciones para cada una de las pelotas será: v 0 = 10 /s Pelota 1: h 1 = v 0 t ½ g t 2 Pelota 2: h 2 = ½ g t 2 Pelota 1: h 1 = 10 t ½ 10 t 2 Pelota 2: h 2 = ½ 10 t 2 Si te fijas en el esquea h 1 + h 2 = 15 h 2 = 15 h 1 Pelota 1: h 1 = 10 t ½ 10 t 2 Pelota 2: 15 h 1 = ½ 10 t 2 h 1 = 15 ½ 10 t 2 Igualando: 10 t ½ 10 t 2 = 15 ½ 10 t 2 10 t = 15 t = 1,5 s Sustituios el tiepo en cualquiera de las dos ecuaciones: h 2 = ½ 10 t 2 h 2 = ½ 10 (1,5) 2 = 11,25 Se encuentran a 11,25 desde el tejado, a 3,73 del suelo.

10 12. Con qué velocidad entrará en el agua de una piscina un nadador que se deja caer sobre ella desde una altura de 5, si se desprecia el rozaiento con el aire? Moviiento de caída libre con v 0 = 0 /s h = ½ g t 2 5 = ½ 9,8 t 2 t = 1,01 s v = g t v = 9,8. 1,01 = 9,9 /s 13. La aceleración de la gravedad en la superficie lunar es de 1,16 /s 2. Si lanzaos desde allí verticalente y hacia arriba una piedra a 12 /s y repitiéseos el experiento en la Tierra Hasta qué altura áxia llegaría en cada caso? Si la piedra se lanza hacia arriba, su velocidad va disinuyendo hasta que se hace 0 al llegar a la altura áxia para volver a caer. En la Luna: h = v 0 t ½ g t 2 h = 12 t ½ 1,16 t 2 v = v 0 g t 0 = 12 1,16 t t = 10,34 s h = ,34 ½ 1,16 (10,34) 2 = 124,08 62,01 = 62,07 En la Tierra: h = v 0 t ½ g t 2 h = 12 t ½ 9,8 t 2 v = v 0 g t 0 = 12 9,8 t t = 1,22 s h = 12. 1,22 ½ 9,8 (1,22) 2 = 14,64 7,29 = 7, Un punto aterial describe una trayectoria circular de 1 de radio, a 30 r.p.. Calcula, el período, la frecuencia, la velocidad angular y la velocidad lineal. Velocidad angular: ω = 30 rev 1 in 2 π rad 1 rev 1 in = 3,14 rad/s 60 s El periodo es el tiepo que tarda en recorrer toda la circunferencia. T = 2 π ω = 2 π 3,14 = 2 s Frecuencia: f = 1 T = 1 = 0,5 s-1 2

11 Velocidad lineal: v = ω. r = 3,14 1 = 3,14 /s 15. Calcula la rapidez angular, la rapidez lineal y la aceleración centrípeta de la Luna. La Luna realiza una revolución copleta cada 28 días y la distancia proedio desde la Tierra a la Luna es de 3, Rapidez angular: Una revolución = 2 π radianes ω = 2 π 28 días 1 día 24 horas 1 hora 60 in 1 in 60 s = 2, rad/s Rapidez lineal: v = ω R = 2, , = 998,4 s Aceleración centrípeta: a c = v2 R = 998,4 3, = 2, /s a) Calcula la velocidad angular de un disco que rota con oviiento unifore describiendo 13,2 rad cada 6 s. b) Calcula el período y la frecuencia de rotación. Cuánto tardará el disco en rotar un ángulo de 720º? c) Cuánto tardará en realizar 12 revoluciones? a) Velocidad angular: ω = ángulo (rad) tiepo (s) = 13,2 rad = 0,2 rad/s 6 s b) Periodo: T = 2π ω = 2π 0,2 = 31,4 s Frecuencia: f = 1 T = 1 31,4 = 0,03 s-1 Tiepo que tarda en rotar 720º, pasaos los grados a radianes: π rad = 4 π rad

12 t = c) 12 revoluciones son 24 π radianes t = ω = α (rad) t (s) α rad ω rad/s = 4π 0,2 = 62,83 s α rad ω rad/s = 24π 0,2 = 377 s 17. Un disco de 15 c de radio gira con un oviiento circular alrededor de un eje que pasa por su centro. Si el disco tarda 5 segundos en dar una vuelta copleta, calcula a) su rapidez angular, lineal de un punto situado a 9 c del centro; b) el núero de vueltas que ha dado el disco en 2 inutos. a) rapidez angular: ω = α (rad) t (s) = 2π rad = 1,26 rad/s 5 s velocidad lineal del punto situado a 9 c del centro: v = ω r = 1,26. 0,09 = 0,11 /s b) núero de vueltas en 2 inutos: α = ω t = 1, = 151,2 rad 1 vuelta son 2 π radianes: 151,2 rad 1 vuelta 2π rad = 24,1 vueltas