Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2014/15

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1 Ejercicios de Álgebra Básica. Curso 2014/15 Tema 1: Conjuntos Conjuntos. Operaciones básicas Ejercicio 1. Describir las relaciones de inclusión o pertenencia entre los siguientes conjuntos: A =, B = { }, C = {a, b}, D = {{a}, b}, E = {a}, F = {{a}}. Ejercicio 2. ( ) Probar: (1). A A =. (2). Si A B entonces B A (3). Si A C y B C entonces A B C (4). Si C A y C B entonces C A B (5). Si A B y C D entonces A C B D y A C B D (6). A B = si y sólo si A B. Ejercicio 3. Sean A, B, C X tres subconjuntos de un conjunto universal X. (1). Suponiendo que A C, probar que A (B C) = (A B) C. (2). Es cierto en general que A (B C) = (A B) C? Probarlo o dar un contraejemplo. Ejercicio 4. Sean A, B, C conjuntos. Probar: (1). A \ B A. (2). (A \ B) B =. (3). A \ B = si y sólo si A B. (4). B \ (B \ A) = A si y sólo si A B. (5). Si A B, entonces A \ C = A (B \ C). (6). Si A B, entonces C \ B C \ A. Ejercicio 5. Sean A, B, C X tres subconjuntos de un conjunto universal X. (1). Suponiendo que A C =, probar que (A B)\C = A (B\C). (2). Es cierto en general que (A B)\C = A (B\C)? Probarlo o dar un contraejemplo. Ejercicio 6. Sea X un conjunto. Denotaremos por P(X) al conjunto formado por todos los subconjuntos de X. A P(X) lo denominaremos el conjunto de las partes de X. Calcular P(X) cuando X es: (1). X = {1, 2} (2). X = {a, b, c} (3). X = {1, 2, 3, 4} 1

2 Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia Ejercicio 7. Sean A, B, C, D conjuntos. Probar que (1). Si A B y C D, entonces A C B D. (2). A (B C) = (A B) (A C). Idem para. (3). (B C) A = (B A) (C A). Idem para. (4). (A B) (C D) = (A C) (B D). Ejercicio 8. Sean A, B, C conjuntos. Probar: (1). A C si y sólo si A (B C) = (A B) C. (2). A (B \ C) = (A B) \ (A C). (3). (A C) \ B = (A \ B) (C \ B). Ejercicio 9. Probar que dados tres conjuntos A, B y C se tiene que: (A B) C = (A C) (B C). Ejercicio 10. Son las siguientes relaciones de equivalencia? (1). En R, x R y xy > 0. (2). En Z, x R y xy 0. (3). En R 2, (x, y) R (x y ) existe un λ R tal que x = λx e y = λy (4). En Z, x R y x y es múltiplo de 6. (5). En P(X), A R B A B, siendo X un conjunto dado. (6). En R 2, (x 1, y 1 )R(x 2, y 2 ) x y2 1 = (x y 2 2). (7). En R 2, (x 1, y 1 )R(x 2, y 2 ) y 1 = y 2. (8). En R 2, (x 1, y 1 ) R (x 2, y 2 ) y 2 y 1 = 2(x 2 x 1 ). (9). En R 2, (x 1, y 1 )R(x 2, y 2 ) (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 0. En los casos afirmativos, describir el conjunto cociente. Ejercicio 11. En cada uno de los siguientes casos, definir una relación de equivalencia en el conjunto A de forma que B sea el conjunto cociente asociado, o demostrar que no es posible. (1). A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}}. (2). A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1}, {2}, {3, 4}}. (3). A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}}. (4). A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1}, {3, 4}}. (5). A = R 2, B = {Rectas verticales de R 2 }. (6). A = R 2, B = {Elipses de R 2 centradas en (0, 0)}. (7). A = R 2 \{(0, 0)}, B = {Semirrectas abiertas de R 2 con vértice el origen}. 2

3 (8). A = R, B = {[n, n + 1); n Z}. (9). A = Z, B = {{Subconjuntos de Z de cardinal par}, {Subconjuntos de Z de cardinal impar}}. Ejercicio 12. Sea A un conjunto, sea B el conjunto cociente de A por una relación de equivalencia, y sea P(A) el conjunto formado por los subconjuntos de A. Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas. (1). A P(A). (2). A P(A). (3). B P(A). (4). B P(A). (5). A B. (6). A B. Ejercicio 13. En el conjunto A = N de números naturales positivos, se considera la relación arb a b es un cuadrado perfecto Se pide: (1). Demostrar que R es una relación de equivalencia. (2). Describir la clase de equivalencia de 2 A. (3). Demostrar que el conjunto cociente A/R es infinito. Ejercicio 14. En el conjunto A = Q de números racionales, se considera la relación arb a b Z Se pide: (1). Demostrar que R es una relación de equivalencia. (2). Describir las clases de equivalencia de 2 y de 1 2. (3). Demostrar que el conjunto cociente A/R es infinito. Ejercicio 15. Sea M el conjunto de matrices 2 2 con coeficientes en Z, y definamos la siguiente relación en M: A B A B tiene todas sus entradas pares. (1). Pruebe que es una relación de equivalencia. (2). Demuestre que ( ) ( ). Calcule la clase de equivalencia de la matriz ( ). (3). Calcule el cardinal del conjunto cociente M/. 3

4 Aplicaciones Ejercicio 16. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f, g}. (1). Dar ejemplos de correspondencias (no aplicaciones) entre A y B y entre B y A. (2). Dar ejemplos de aplicaciones entre A y B y entre B y A. (3). Si es posible, dar ejemplos de aplicaciones inyectivas entre A y B y entre B y A. (4). Si es posible, dar ejemplos de aplicaciones sobreyectivas entre A y B y entre B y A. Ejercicio 17. ( ) Sean A, B conjuntos finitos, A = n, B = m y f : A B una aplicación. Probar que: (1). Si f es inyectiva, entonces n m. (2). Si f es sobreyectiva, entonces n m. (3). Si f es biyectiva, entonces n = m. Ejercicio 18. ( ) Sean A, B conjuntos finitos, A = n = B y f : A B una aplicación. Probar que f es inyectiva si y sólo si f es sobreyectiva. Probar, con un ejemplo, que el resultado es falso si los conjuntos no son finitos. Ejercicio 19. Decir cuales de las siguientes correspondencias son aplicaciones: (1). f : R + R, definida por f(x) = y con y 2 = x. (2). f : Q Z, definida por f(p/q) = p, para todo p/q Q, con p y q primos entre sí. (3). f : R R, definida por f(x) = x 2 1. (4). f : Z Z, definida por f(x) = 3x + 1. Estudiar la inyectividad y sobreyectividad de las aplicaciones anteriores. Ejercicio 20. Sean las aplicaciones f : R R g : R C h : Z R x (x + 1) 2 x + x x 1 x Calcular todas las composiciones posibles de las aplicaciones anteriores. Ejercicio 21. ( ) Sean f : X Y y g : Y Z dos aplicaciones. (1). Probar que si f y g son inyectivas, entonces g f es inyectiva. (2). Probar que si f y g son sobreyectivas, entonces g f es sobreyectiva. (3). Si g f es sobreyectiva, probar que g es sobreyectiva. (4). Si g f es inyectiva, probar que f es inyectiva. Ejercicio 22. ( ) Sea f : X Y una aplicación. Demostrar que (1). f es inyectiva si y sólo si existe una aplicación g : Im(f) X tal que g f = id X. (Esto se conoce como una inversa a izquierda.) (2). f es sobreyectiva si y sólo si existe una aplicación h: Y X tal que f h = id Y. (Esto se conoce como una inversa a derecha.) 4

5 Ejercicio 23. ( ) Sean f : A B una aplicación, A 1 A 2 A, B 1 B 2 B. Probar que: (1). f(a 1 ) f(a 2 ). (2). f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (3). f(a 1 ) B 1 si y sólo si A 1 f 1 (B 1 ). Ejercicio 24. Sea f : R R, la aplicación definida por f(x) = x 2 + x 2. Consideremos los conjuntos A = {1, 1, 0, 2}, B = {0, 2}. Calcular f(a) y f 1 (B). Ejercicio 25. Sean f : X Y, g : Y Z dos aplicaciones, C Z. Probar que (g f) 1 (C) = f 1 (g 1 (C)). Ejercicio 26. Sea f : X Y una aplicación, A, B X, C, D Y. Probar que (1). f(a) \ f(b) f(a \ B). (2). f 1 (C \ D) = f 1 (C) \ f 1 (D). Probar con un ejemplo que la contención contraria de (1) no es cierta. Determinar qué condición debe cumplir f para que (1) sea cierta para todo A, B X. Ejercicio 27. Determinar qué condición debe cumplir una aplicación f : X Y para que se cumpla f(a B) = f(a) f(b) para todo A, B X. Ejercicio 28. Sea f : Z Z la aplicación { n si n es par f(n) = 0 si n es impar Calcular las restricciones de f a los números pares y a los números impares. Ejercicio 29. ( ) Sea f : X Y una aplicación, y sean A X y B Y. (1). Si f es inyectiva, probar que A = f 1( f(a) ). (2). Si f es sobreyectiva, probar que f ( f 1 (B) ) = B. Ejercicio 30. Sea f : A B una aplicación. En el conjunto A se considera la relación xry f(x) = f(y) (1). Demostrar que R es una relación de equivalencia. (2). Si f : R R viene dada por f(x) = x 2, describir las clases de equivalencia de 0, 1 y 1. (3). Describir el conjunto cociente A/R para la f del apartado anterior. Ejercicio 31. Sea f : R 2 R la aplicación dada por f(x, y) = x + y. (1). Si A = {(x, 0) x R} es el eje x, calcular f(a). (2). Hallar f 1 ([0, 1]). (3). Existe algún subconjunto B R 2 tal que f B sea biyectiva? En caso afirmativo, hallar su inversa. 5

6 Ejercicio 32. Sea f : Z 2 Z la aplicación dada por f(a, b) = a b. (1). Sea A = {1, 3} {1, 2} Z 2. Dé todos los elementos de A. Calcule f(a). (2). Sea B = {0, 2} Z. Describa, lo más concretamente posible, f 1 (B). (3). Existe algún subconjunto A Z 2 tal que f A sea biyectiva? En caso afirmativo, hallar su inversa. 6