Julio Deride Silva. 6 de agosto de 2010

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1 Repaso Matemático Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 6 de agosto de 2010

2 Tabla de Contenidos Repaso Matemático Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 6 de agosto de 2010

3 Tabla de Contenidos Tabla de Contenidos 1 Conjuntos

4 Tabla de Contenidos Tabla de Contenidos 1 Conjuntos 2 Funciones

5 Tabla de Contenidos Tabla de Contenidos 1 Conjuntos 2 Funciones 3 Sucesiones

6 Tabla de Contenidos Tabla de Contenidos 1 Conjuntos 2 Funciones 3 Sucesiones 4 Derivadas

7 Tabla de Contenidos Tabla de Contenidos 1 Conjuntos 2 Funciones 3 Sucesiones 4 Derivadas 5 Integrales

8 Conjuntos Outline 1 Conjuntos 2 Funciones 3 Sucesiones 4 Derivadas 5 Integrales

9 Conjuntos Definciones Definición (Conjunto) Un conjunto X, es una colección de elementos. Un conjunto puede ser definido por extensión (listando cada uno de sus elementos) o por comprensión (dando una propiedad que cumple cada elemento en el conjunto). Ejemplos: A = {1, a, w, 3,, t,, 10}. N, números naturales. R, números reales. I = {x R : a x b}. Γ = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}.

10 Conjuntos Definiciones Definición (Conjunto Potencia) Dado un conjunto X, se define el conjunto de la partes de X o conjunto potencia, como el conjunto que contiene todos los subconjuntos dex. Se suele denotar por P(X). Ejemplo: Sea X = {,, }. P(X) = {φ, X, { }, { }, { }, {, }, {, }, {, }}.

11 Conjuntos Operaciones entre conjuntos Definición Dados los conjuntos A y B se definen los conjuntos: A B = {x : (x A) (x B)} Intersección A B = {x : (x A) (x B)} Unión A c = {x : x A} Complemento Definición (Cardinal) Dado un conjunto X, el cardinal del conjunto es la cantidad de elementos que contiene. Puede ser finito, infinito numerable o infinito no-numerable. Se denota por X.

12 Funciones Outline 1 Conjuntos 2 Funciones 3 Sucesiones 4 Derivadas 5 Integrales

13 Funciones Funciones Definición (Función) Una función entre dos conjuntos X e Y es una asignación tal que a cada elemento de X le asigna un único elemento en Y. X se llama dominio e Y recorrido. Si a x le corresponde el elemento y, se dice que y es la imágen de x. Se denota por f : X Y la la función dada por la asignación y = f (x). Definición (Composición de funciones) Dadas dos funciones f : Y Z y g : X Y, se define la función composición como (f g) : X Z, dada por (f g)(x) = f (g(x)).

14 Funciones Función lineal f (x) = a + bx. a es el punto de intersección con el eje Y y el b es la pendiente de la recta. La interección con el eje X ocurre en el punto x = a b.

15 Funciones Función Cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c. El coeficiente a indica la convexidad de la función. El coeficiente c es el punto de intersección con el eje Y. Se llama discriminante al término = b 2 4ac. Cuando el discriminante es positivo, ocurren a lo más dos intersecciones con el eje X dadas por x 1 = b+ 2a y x 2 = b 2a. Cuando el discriminante es menor que cero, no existen intersecciones con el eje X.

16 Funciones Figura: Ejemplos de parábolas

17 Funciones Logaritmo natural La función logaritmo natural denotada por f (x) = ln(x) es una función muy usada y tiene dos propiedades importantes: ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a b ) = b ln(a)

18 Funciones Función exponencial La inversa de la función logaritmo es la función exponencial, denotada por f (x) = e x. Se desprenden las propiedades (e a ) b = e ab e a e b = e a+ b

19 Funciones Funciones trigonométricas: Seno Figura: Función Seno

20 Funciones Funciones trigonométricas: Coseno Figura: Función Coseno

21 Sucesiones Outline 1 Conjuntos 2 Funciones 3 Sucesiones 4 Derivadas 5 Integrales

22 a n = n 2 + 4, que corresponde a 4, 5, 8, 13, 20,... Repaso Matemático Sucesiones Definición (Sucesión) Una sucesión de números reales es una función de N a R. Típicamente se denota f (n) = a n. También una sucesión se denota por {a n } n N Ejemplos: a n = 2n + 1, que corresponde a 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,....

23 Sucesiones Sumatorias Definición (Sumatoria) Una sumatoria consiste en sumar elementos de una sucesión. m Para esto, dada la sucesión a n, el símbolo a n, representa la n=p suma de todos los elementos del conjunto {a n : p n m}. Ejemplos: a n = 2n + 1, a n = n 2 + 4, 4 a n = a 2 + a 3 + a 4 = = 21. n=2 3 a n = a 3 = 13. n=3

24 Sucesiones Propiedades Dadas dos sucesiones {a n } n N, {b n } n N y un número real c (constante), entonces m m m 1 a n + b n = a n + b n n=p m c a n = c m a n. n=p n=p n=p n=p m c = c(m p + 1). n=p m a n+1 a n = a m+1 a p. n=p

25 Derivadas Outline 1 Conjuntos 2 Funciones 3 Sucesiones 4 Derivadas 5 Integrales

26 Derivadas Derivada Definición (Derivada en un punto) Dada una función real f : R R y dado un punto x 0 R, se define la Derivada de f (x) en el punto x 0 por f (x 0 ) = lím h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h pendiente Recta Tangente a f (x) en x 0 Definición (Función Derivada) f : R R x f (x)

27 Derivadas Propiedades Dadas dos funciones f y g, se cumple 1 (f + g) (x) = f (x) + g (x). 2 (f g) (x) = f (x)g(x) + g (x)f (x). 3 ( f g ) (x) = f (x)g(x) g (x)f (x) g 2 (x). 4 (f g) (x) = f (g(x))g (x).

28 Derivadas Derivadas importantes: 1 (x a ) = ax a 1. 2 (ln x) = 1 x. 3 (e ax ) = ae ax. 4 (sin x) = cos x. 5 (cos x) = sin x.

29 Integrales Outline 1 Conjuntos 2 Funciones 3 Sucesiones 4 Derivadas 5 Integrales

30 Integrales Área Bajo una curva Definición (Integral) Dada una función real, es decir, f : R R, para calcular el área bajo la curva f (x) entre los puntos x = a y x = b con a < b, entonces utilizamos integrales. Se denota por: b a f (x)dx = Área bajo la curva f (x) encerrada entre a y b

31 Integrales Integrales Algunas primitivas comunes son: 1 x a dx = xa+1 a + 1, 1 a 1. 2 dx = ln(x). x Si F es primitiva de f entonces F = f.

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