Más sobre límites de sucesiones Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas.

Transcripción

1 Más sobre límites de sucesioes Sucesioes parciales. Sucesioes moótoas. E u artículo aterior habíamos hablado de las sucesioes de úmeros reales y del cocepto de límite de ua sucesió. Tambié, e otro artículo, estuvimos viedo el cocepto de sucesió acotada y alguas propiedades de las sucesioes covergetes. E este artículo vamos a completar uestro estudio de las sucesioes. Diremos lo que es ua sucesió parcial de ua sucesió, defiiremos las sucesioes moótoas y veremos su relació co el cocepto de covergecia de ua sucesió. Sucesioes parciales Para defiir co rigor cuádo ua sucesió es sucesió parcial de otra dada es ecesario utilizar el cocepto de aplicació estrictamete creciete. Así, se dice que ua aplicació σ : N N es estrictamete creciete si verifica que σ() < σ( + 1), N Es imediato comprobar que σ : N N es estrictamete creciete si y sólo si, m N, < m σ() < σ(m) Defiició 1. Dadas dos sucesioes de úmeros reales {x } e {y }, se dice que {y } es ua sucesió parcial de {x } cuado existe ua aplicació σ : N N estrictamete creciete tal que y = x σ(), N A título de ejemplo, la sucesió {1} (costatemete igual a 1) es ua sucesió parcial de la sucesió {( 1) } (tómese σ() = 2). E geeral las sucesioes parciales de ua sucesió {x } so de la forma {x σ() } e que σ es ua aplicació estrictamete creciete de N e N. Así, {x 2 }, {x 2 1 }, {x 2} so sucesioes parciales de {x }. A veces a ua sucesió parcial de ua sucesió {x } tambié se la llama subsucesió de la sucesió {x }, la cual a meudo se suele escribir {x k }, e vez de {x σ() }. Obsérvese que, e el fodo, es lo mismo asigar a u úmero atural k el úmero σ(k) que el úmero k : so dos formas equivaletes de expresar la misma idea. Es imediato comprobar las siguietes afirmacioes: 1

2 Toda sucesió es ua sucesió parcial de sí misma. Si {y } es ua sucesió parcial de {x } y {z } es ua sucesió parcial de {y }, etoces {z } es ua sucesió parcial de {x }. (Piésese que la composició de dos aplicacioes estrictamete crecietes de N e N es a su vez estrictamete creciete). Hay algo que os parecerá obvio: que ua sucesió parcial de ua sucesió covergete tambié es covergete y tiee el mismo límite. Pero esto hay que demostrarlo. Para hacerlo demostraremos previamete u lema. Lema 1. Sea σ ua aplicació de N e N estrictamete creciete. Etoces σ(), N. Demostració. Obviamete σ(1) 1. Supuesto que σ(), luego σ( + 1) > σ() y por tato se tiee σ( + 1) + 1, lo que demuestra el lema por iducció. E la demostració de este lema se ha hecho uso de que si m y so aturales verificado < m, etoces + 1 m, propiedad demostrada e el artículo El cojuto de los úmeros aturales: ua defiició rigurosa y alguas propiedades. Proposició. Toda sucesió parcial de ua sucesió de úmeros reales covergete es covergete y tiee el mismo límite. Demostració. Sea {x } x, sea {y } cualquier sucesió parcial de {x } y sea σ : N N estrictamete creciete tal que y = x σ(), N. Dado ε > 0, por ser {x } x teemos m N : m x x < ε Etoces, si m teemos, por el lema aterior, σ() m y por tato y x = x σ() x < ɛ lo que prueba que {y } x como queríamos demostrar. Obsérvese que si {x } es ua sucesió covergete de úmeros reales, el hecho de que ua sucesió parcial suya, {x σ() }, coverja se expresa de la siguiete forma: ε > 0, m N : m x σ() x < ε 2

3 Corolario. Si ua sucesió de úmeros reales admite dos sucesioes parciales covergetes a límites distitos, dicha sucesió o es covergete. El corolario aterior (cuya demostració es imediata) es útil a la hora de probar que ua sucesió o es covergete. Por ejemplo, la sucesió {x } = {( 1) } o es covergete porque admite dos sucesioes parciales covergetes a límites distitos: por u lado, la sucesió parcial {x 2 } = {( 1) 2 } = {1} 1, y por otro, la parcial {x 2 1 } = {( 1) 2 1 } = { 1} 1. Euciamos a cotiuació cuatro propiedades e las que aparece sucesioes parciales cuya demostració se deja como ejercicio para el lector. 1. Sea {x } ua sucesió de úmeros reales tal que = m x = x m, y sea p y q dos úmeros aturales. Probar que {x p } es ua sucesió parcial de {x q } si y sólo si p es múltiplo de q. Observemos e primer lugar que {x p } y {x q } so sucesioes parciales de {x }. Es decir, existe aplicacioes estrictamete crecietes σ 1, σ 2 : N N defiidas por σ 1 () = p, σ 2 () = q, N, tales que {x p } = {x σ1 ()} y {x q } = {x σ2 ()}. ) Si supoemos que {x p } es ua sucesió parcial de {x q } es porque existe ua aplicació estrictamete creciete σ : Im σ 2 N, defiida por σ(σ 2 ()) = σ(q) = p. Pero σ(q) es atural, luego ha de existir k N tal que σ(q) = kq = p, co lo que kq = p y p es múltiplo de q. ) Si p es múltiplo de q, k N tal que p = kq, co lo que p = kq, N, es decir, σ 1 () = kσ 2 (), N. Sea σ : N N defiida por σ() = k, N. σ es co claridad estrictamete creciete y además σ 1 () = σ(σ 2 ()), co lo que {x p } = {x σ1 ()} es ua parcial de {x q } = {x σ2 ()}. 2. Sea {x } ua sucesió de úmeros reales y x u úmero real. Probar que si {x 2 } x y {x 2+1 } x, etoces {x } x. Itétese dar u euciado más geeral de este tipo. Como {x 2 } x teemos que ε > 0, p N : 2 p x 2 x < ε. De igual modo, como {x 2+1 } x, ε > 0, q N : q x 2 1 x < ε. Sea ε > 0. Si es par, k N : = 2k x x = x 2k x < ε, siempre que p. Ahora bie, si es impar, r N : = 2r + 1 x x = x 2r+1 x < ε. Tomado m = máx{p, q} se tiee que si m x x < ε y, por tato, {x } x. El euciado geeral es que si {x σi ()} i=1,...,p, es ua colecció de parciales covergetes a 3

4 u úmero real x y además p i=1 Imσ i = N, etoces {x } x. 3. Sea {x } ua sucesió de úmeros reales, p u úmero atural, y defiamos ua sucesió de úmeros reales {z } e la forma z = x +p N ({z } = {x +p }; ótese que {z } es ua sucesió parcial de {x }). Probar que {x } es covergete si y sólo si los es {z }, e cuyo caso lím x = lím z = lím x +p. ) Toda sucesió parcial de ua sucesió covergete es covergete y tiee el mismo límites. Por tato, {z } es covergete y lím x = lím z = lím x +p. ) Dado ε > 0, por ser {z } x, m 1 N : m 1 z x = x +p x < ε. Sea m = m 1 + p. Si m = m 1 + p p m 1, y etoces z p x = x x < ε. Por tato, {x } es covergete y {x } x. 4. Sea {x } e {y } dos sucesioes de úmeros reales. Supogamos que existe u atural p tal que para N, p se tiee x = y. Probar que {x } es covergete si y solo si lo es {y }, e cuyo caso se tiee lím x = lím y. (El carácter de covergecia de ua sucesió y su límite cuado exista, o se altera si se modifica arbitrariamete u cojuto fiito de térmios de la sucesió). Si supoemos que {x } es covergete, dado ε > 0, 0 N : 0 x x < ε. Tomemos ahora m = máx{p, 0 }. Si m x x = y x < ε. Por tato, {y } es covergete y tiee el mismo límite que {x }. De igual forma, y por simetría, si {y } es covergete tambié lo es {x } y coverge al mismo límite. Sucesioes moótoas Defiició 2. Diremos que ua sucesió {x } de úmeros reales es creciete si x x +1 para todo atural. Diremos que x es decreciete si x x +1 para todo atural. Diremos que ua sucesió de úmeros reales el moótoa si es creciete o decreciete. Es fácil comprobar por iducció que si {x } es ua sucesió de úmeros reales creciete (respectivamete, decreciete), se tiee:, m N, m x x m (respectivamete, x x m ) Es coveiete hacer otar que existe sucesioes que so a la vez crecietes o decrecietes (a saber, las costates) y que existe sucesioes que o so crecietes i decreciete, es decir, que 4

5 o so moótoas (por ejemplo la sucesió {( 1) }). Sabemos que toda toda sucesió de úmeros reales covergete es acotada (ver la Proposició 1 del artículo Sucesioes acotadas. Propiedades de las sucesioes covergetes ). Si embargo, el recíproco o es cierto e geeral (tómese como ejemplo, otra vez, la sucesió {( 1) }). A cotiuació probaremos que el recíproco sí que es cierto para sucesioes moótoas. La demostració de este importate resultado vuelve a hacer uso del axioma del supremo. Teorema 1. Toda sucesió de úmeros reales moótoa y acotada es covergete. Demostració. Sea {x } ua sucesió de úmeros reales creciete y mayorada; sea x = sup{x : N}. Dado ε > 0, x ε o puede ser u mayorate del cojuto {x : N} y por tato existe u úmero atural m tal que x ε < x m. Etoces, para m teemos x ε < x m x x < x + ε de dode x x < ε. Esto demuestra que {x } es covergete y hemos obteido además que lím x = sup{x : N}. Si {x } es decreciete y miorada, etoces { x } es creciete y mayorada ( sabrías explicar por qué?), luego covergete, co lo que {x } es covergete y se tiee además lím x = lím( x ) = sup{ x : N} = íf{x : N} La importacia del resultado aterior radica e que se usa e la demostració del siguiete teorema, el teorema de Bolzao-Weierstrass, segú el cual toda sucesió de úmeros reales acotada admite ua sucesió parcial covergete. E dicha demostració tambié se usa otro resultado, que euciaremos e forma de lema. Lema 2. Toda sucesió de úmeros reales admite ua sucesió parcial moótoa. Demostració. Esta demostració hace uso de u cocepto muy especial que os ayudará a costruir la sucesió parcial que se afirma e el euciado del lema. Llamemos puto cumbre de ua sucesió {x } a u úmero atural tal que x m < x para todo m >. Para hacerse ua idea de lo que es u puto cumbre podemos observar la siguiete figura dode se ha represetado ua sucesió co oce térmios y e la que 2 y 6 so putos cumbre. 5

6 Ahora distiguiremos dos casos. Caso 1. La sucesió tiee ifiitos putos cumbre. E este caso, si 1 < 2 < 3 <... so los putos cumbre, etoces x 1 > x 2 > x 3 >..., de modo que {x k } es la sucesió parcial (decreciete) deseada. Caso 2. La sucesió tiee solamete u úmero fiito de putos cumbre. E este caso, sea 1 mayor que todos los putos cumbre. Puesto que 1 o es puto cumbre, existe algú 2 > 1 tal que x 2 x 1. Puesto que 2 o es puto cumbre (es mayor que 1, y por lo tato mayor que todos los putos cumbre) existe algú 3 > 2 tal que x 3 a x2. Cotiuado de esta forma obteemos la sucesió parcial {x k } deseada (e este caso creciete). Teorema 2 (Bolzao-Weierstrass). Toda sucesió de úmeros reales acotada admite ua sucesió parcial covergete. Demostració. Sea {x } ua sucesió de úmeros reales acotada, sea {x σ() } ua sucesió parcial de {x } moótoa, que existe por el lema aterior. Como {x σ() } está tambié acotada el Teorema 1 os asegura que {x σ() } es covergete. Propoemos a cotiuació ua pequeña colecció de ejercicios. Itetar hacerlos usado todo lo que hasta ahora se cooce sobre las sucesioes es ua tarea fudametal para alguie que quiera acercarse a las matemáticas superiores si temor de perderse ada posterior. 1. Probar que toda sucesió de úmeros reales moótoa, que admita ua sucesió parcial covergete, es covergete. Sea {x } moótoa. Supogamos que es creciete: x x +1, N. Sea {x σ() } la parcial de {x } covergete. Demostraremos que {x } es covergete por reducció al ab- 6

7 surdo. Si {x } o fuera covergete etoces, como es creciete, o estaría mayorada, es decir, M > 0, m N : x m > M. Puesto que σ(), N, etoces σ(m) m y por ser {x } creciete se tiee x σ(m) x m > M, y esto sea quie sea M R +, lo que demuestra que {x σ() } o está mayorada. Esto cotradice que {x σ() } sea covergete. Por tato, la sucesió {x } deber ser covergete. 2. Dar u ejemplo de ua sucesió de úmeros reales positivos, covergete a cero, que o sea moótoa. Sea {x } la sucesió de úmeros reales defiida de la siguiete forma: 1 si = 2k x = 2 si = 2k 1 dode k es u úmero atural. Es claro que {x } 0, pero {x } o es moótoa pues, por ejemplo, x 1 = 2 > x 2 = 1 2 y x 2 = 1 2 < x 3 = Dar u ejemplo de ua sucesió de úmeros reales, o acotada, que admita ua sucesió parcial covergete. Sea la sucesió {x } defiida del siguiete modo: si = 2k x = 1 si = 2k 1 dode k es u úmero atural. {x } o está mayorada pues dado u úmero real y positivo M cualquiera, sea k = E(M) + 1 y m = 2k. Etoces x m = m = 2k = 2(E(M) + 1) > 2M > M Pero la parcial dada por la aplicació σ : N N defiida por σ() = 2 1, N: {x σ() } = {x 2 1 } = { 1 }, coverge a cero. 4. Probar que si x es u úmero real co x < 1, etoces la sucesió {x } coverge a cero, mietras que si x > 1 dicha sucesió o está acotada. Supogamos e primer lugar que x < 1. Si x = 0, teemos {x } = {0} 0. Si 0 < x < 1 y m, N, < m x > x m y etoces { x } es decreciete. Además, como 0 < x, N, { x } está acotada iferiormete por cero. Así pues { x } es covergete. 7

8 Sea L = lím x. Como x +1 = x x, etoces lím x +1 = x lím x, es decir, L = x L L(1 x ) = 0. Como x < 1, etoces 1 x = 0 co lo que L = 0. De este modo { x } 0 { x } 0 y, por tato, {x } 0. Por otro lado, si x > 1, etoces 1 x < 1 {( 1 x ) } = { 1 x } 0. De aquí deducimos que {x } o está acotada y, por tato, tampoco es covergete. 5. Probar que si x < 1, etoces la sucesió {1 + x + x x } coverge a 1 1 x. (Utilícese que (x 1)(1 + x + x x ) = x +1 1, para todo atural ). La igualdad (x 1)(1 + x + x x ) = x +1 1, para todo atural ) se puede demostrar co facilidad por iducció. Utilizado esta igualdad se tiee lím((x 1)(1 + x + x x )) = lím(x +1 1) lím(1 + x + x x ) = lím(x+1 1) x 1 Como x < 1, etoces {x } 0 (ejercicio aterior) y por tato, tal y como queríamos demostrar. lím(1 + x + x x ) = 6. Estudiar la covergecia de las siguietes sucesioes: { } { 2 } + 2 ; 3 1 x 1 = 1 1 x Estudiemos e primer lugar la covergecia de la sucesió { 2 }. Observemos que, para todo N: > 1 2 > + 1 > > Lo aterior demuestra que la sucesió { 2 } es decreciete. Demostremos ahora por iducció que 2 < El resultado es cierto para = 1 pues claramete 2 < 3. Supogamos el resultado cierto para y demostrémoslo para + 1: 2 +1 = 2 2 < (2 +1 1) 2 =) < =

9 Por el pricipio de iducció 2 < , N. Demostremos ahora, tambié por iducció, que < 2. Claramete el resultado es cierto para = 1, pues 1 < 2. Supogamos el resultado cierto para y demostrémoslo para + 1: + 1 < < = 2 +1 dode se ha usado la desigualdad demostrada ateriormete. Por el pricipio de iducció < 2, N. Etoces 0 < 2 < 1, N, lo que demuestra que la sucesió { 2 } está acotada. Hemos demostrado que la sucesió { 2 } es decreciete y acotada (e particular miorada por cero). Además, íf{ 2 : N} = 0, lo que demuestra que { 2 } 0. Estudiemos ahora la covergecia de la sucesió { }. Descompogamos la sucesió e suma de otras dos: { } = { 3 2 } + { 3 }. Ambas está acotadas iferiormete por cero pues es fácilmete demostrable por iducció que 3 >. Demostraremos ahora que ambas so decrecietes. Es claro que, dado N, 1 < 3 +. Etoces: 0 < < (3 ) < 2 (3 +1 1) ( + 1) < 2 3 Esto ocurre N, lo que demuestra que la sucesió { 3 2 } es decreciete. Por otro lado, es claro que, sea quie sea el úmero atural, + 1 < 3. Etoces: 3 ( + 1) < < < (3 )( + 1) < ( ) 3 +1 ( + 1) < 3 Como lo aterior ocurre N, hemos demostrado que la sucesió { } es decreciete. Por tato, la sucesió es ua sucesió decreciete de úmeros reales positivos acotada iferiormete por cero, co lo que { } 0. 3 Podríamos haber demostrado que { } 0 tambié del siguiete modo: { 2 } {( + 23 ) } + 3 = Esta última sucesió coverge a cero porque { 3 } 0 (resultado que se puede demostrar prácticamete igual a como se demostró e el puto aterior que { 2 } 0), y porque tambié {( 2 3 ) } 0, pues 0 < 2 3 < 1. 9

10 7. Sea a u úmero real y positivo y defiamos Probar que la sucesió {x } coverge a cero. x 1 = a ; x +1 = x 1 + x, N Veamos e primer lugar que {x } es creciete. Por u lado teemos: x +1 x = x 1 + x = x x x x = x2 1 + x Probemos ahora por iducció que x 0, N. x 1 = a 0, pues a es u úmero real positivo. Sea el resultado cierto para y demostrémoslo para + 1: x +1 = x 1+x 0, pues por hipótesis de iducció x 0. Así, al ser x 0, N, se tiee que x x 0, N x +1 x 0, N x +1 x, N Lo aterior demuestra que x es decreciete. Además, como {x } está acotada iferiormete por cero, {x } es covergete. Calculemos su límite. Supogamos que x x. Etoces: { } x {x +1 } = x = x 1 + x 1 + x x + x2 = x x = 0 8. Sea a u úmero real positivo y cosideremos la sucesió {x } defiida por: x 1 = a ; x +1 = 1 ( x + a ), N 2 x Pruébese que {x } es covergete y que su límite, x, verifica que x 2 = a. (Se prueba así que todo úmero real positivo tiee ua raíz cuadrada positiva). Probemos por iducció que x > 0, ( N. ) Por hipótesis, x 1 = a > 0. Supogamos que x > 0. Etoces claramete x +1 = 1 2 x + x a > 0. Esto demuestra que {x } está acotada iferiormete por cero. Veamos tambié por iducció que es decreciete. Probemos que x a, N. Para = 1 es cierto si, y solo si, a 1 pues x 2 1 = a2 a. Caso de que a < 1 decrecerá a partir del segudo térmio. Vamos a comprobarlo. Supogamos el resultado cierto para y demostrémoslo para + 1: a x 2 +1 = a 1 4 ( x + a ) 2 = a 1 ) (x 2 + a2 x 4 x 2 + 2a = 10

11 4ax 2 x 4 a 2 2ax 2 4x 2 = 2ax2 x 4 a 2 4x 2 = (x2 a) 2 4x 2 0 Etoces a x x2 +1 a y, por tato, queda demostrado que x2 a, N. Así: x +1 x = 1 2 ( x + a ) x = x2 + a 2x 2 x 2x 2 = a x2 2x 2 precisamete porque x 2 a, N. Esto demuestra que x +1 x, N, co lo que {x } es decreciete. Hemos demostrado que {x } está acotada iferiormete por cero y que es decreciete. Por tato, {x } es covergete. ( Calculemos su límite. Supogamos que {x } x. Etoces, como x +1 = 1 2 x + x a ), se tiee que x = 1 2 ( x + a ) 2x 2 = x 2 + a x 2 = a x = a x 0 E u próximo artículo, para fializar todo lo relacioado co las sucesioes de úmeros reales, hablaremos sobre las sucesioes de Cauchy y euciaremos el teorema de complitud de R. 11