Matemática Financiera. Econ. Marcelo Andrés Rodríguez Vera Mail: Cel:

Transcripción

1 Matemática Financiera Econ. Marcelo Andrés Rodríguez Vera Mail: Cel:

2 N Descripción del Tema AGENDA Fecha Prevista en que se desarrollará Día de la semana 1 Operaciones Financieras. Valor del dinero en el tiempo. Intereses Simples. Concepto. Valor presente y futuro. Monto y plazo. Ejercicios. 11/05/2016 Miércoles 2 El Descuento. Clasificación. Ejercicios. Interés Compuesto 12/05/2016 Jueves 3 Intereses compuesto. Capitalizaciones. Tasas nominales y efectivas. Valor presente y futuro. Ejercicios. 17/05/2016 Martes 4 Anualidades: Clasificación. Simples. Ciertas. Vencidas. Inmediatas. Valor Futuro y Valor Presente. Ejercicios. 18/05/2016 Miércoles 5 6 Anualidades: Anticipadas. Diferidas Perpetuas. Generales. Ciertas. Valor Futuro y Valor Presente. Ejercicios. Amortización de préstamos : a. Pago único 19/05/2016 Jueves b. Sistema Francés 24/05/2016 Martes c. Sistema Alemán d. Sistema Americano Ejercicios EXAMEN 31/05/2016 Martes

3 OPERACIÓN FINANCIERA Cualquier operación financiera es un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que ocurren en el TIEMPO. EGRESOS INGRESOS

4 OPERACIÓN FINANCIERA La realización de una operación financiera implica, el cumplimiento de tres puntos: 1º. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital(es) por otro(s). 2º. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicación del interés simple o compuesto. 3º. Aplicación del interés simple o compuesto. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que conforman la operación.

5 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Desde que existe el dinero, existe el interés, un porcentaje que marca su precio. San Buenaventura decía que con el cobro de intereses se vendía el tiempo. Bajo Carlomagno la usura fue declarada delito.hagamos una prueba

6 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Una operación financiera es el intercambio de capitales equivalentes en diferentes momentos de tiempo de acuerdo a ciertas leyes financieras, EL DINERO DEBE VALER LO MISMO Gs AHORA Gs DENTRO DE 1 AÑO INTERES Gs Gs meses El interés es el precio del dinero en el tiempo. Interés = f (capital, tiempo, riesgo, inflación )

7 TASA DE INTERÉS Cuáles pueden ser las diferencias en tasas de interés? MEDICION Anual Mensual Diaria Etc. BASE Base Act./ 365 Base Act./ 360 Base 30/ 360 Etc. COMPOSICION Y FRECUENCIA DE COMPOSICION Interés Simple (Lineal) Interés Compuesto Anual, mensual, trimestral, semestral etc. Contínua.De qué dependen? Tasa Pasiva Inflación Riesgo Etc.

8 TASA DE INTERÉS MN Prof. Marcelo A. Rodríguez

9 BASE La BASE en que se considera la tasa de interés determina la forma en que se contabilizan los días transcurridos entre una fecha y otra. Hay distintos tipos de bases: Base Act./ 365: Año de 365 días, y se consideran los días efectivamente transcurridos entre dos fechas. Base Act./ 360: Año de 360 días, y se consideran los días efectivamente transcurridos entre dos fechas. Base 30/365 : Todos los meses se computan como si tuvieran 30 días y los años como si tuvieran 365 días. Base 30/ 360: Años de 360 días, y se consideran meses de 30 días. Base ACT/ACT: Todos los meses se computan por los días reales que tienen y los años por los días reales que tienen. Los períodos inferiores a un mes siempre se cuentan por los días reales de calendario que han pasado.

10 GENERALIDADES LA IMPORTANCIA DE LA CONSISTENCIA!!! CUOTAS: C ANUALES, SEMESTRALES, MENSUALES, ETC. TASAS: r ANUALES, SEMESTRALES, MENSUALES, ETC. PLAZOS: n ANUALES, SEMESTRALES, MENSUALES, ETC.

11 MATEMÁTICA FINANCIERA La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica.

12 CLASIFICACIÓN Según la Ley Financiera Aplicada: Operaciones a interés simple Los intereses no producen intereses, solo el capital inicial produce intereses Operaciones a interés compuesto Los intereses se añaden al capital y producen intereses, se capitalizan

13 CLASIFICACIÓN Según el momento de valoración: Operaciones de capitalización Valora en el futuro capitales colocados hoy Operaciones de actualización y de descuento Valora en el presente capitales que se recibirán en el futuro Según la duración: A corto plazo: la duración de la operación no supera el año. A largo plazo: aquellas con una duración superior al año.

14 CLASIFICACIÓN Tipos de interés Interés ordinario, comercial o bancario: Este presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días. Interés Exacto. Basado en el calendario natural: 1 año 365 o 366 días, y el mes entre 28, 29, 30 o 31 días. Año base 360 ayuda a simplificar los cálculos peroo.cómo contamos los días? La normatividad vigente establece que un depósito o inversión generan interés siempre y cuando éstos permanezcan como mínimo un día en la entidad financiera desde el momento del abono o retiro.

15 NOTACIÓN C (o P o VA): Capital inicial, capital invertido o cantidad de dinero que se toma o se da en préstamo. I: Intereses generados M (o F o VF): Monto o capital final Por definición los intereses son: I = M C = F P n o t: Tiempo o plazo que transcurre entre las fechas inicial y final de una operación financiera. Se mide en unidades de tiempo (meses, años, días, etc) i: Tasa de interés, es decir, la razón entre los intereses y el capital inicial por unidad de tiempo.

16 Características INTERÉS SIMPLE Solo el Capital inicial devenga intereses Los intereses no devengan intereses En periodos de tiempo de la misma amplitud, los intereses son los mismos Aplicado generalmente en operaciones de corto plazo Fórmulas M = C (1 + n.i) M = C + I I = C.n.i Equivalencia Dos tasas de interés cualesquiera, expresadas en distintas unidades de tiempo, se dice que son tasas equivalentes cuando aplicadas a un mismo capital inicial durante un mismo periodo de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o monto.

17 Valor Presente Simple El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que, a una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida: I=Cni (1) El monto final del período correspondería al capital inicial más los intereses M=C+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: M=C+Cin (3) Factorizando la expresión anterior: M=C(1+in) (4) De la fórmula de monto simple despejamos C para obtener el valor presente simple C= M/ (1+ni)

18 Valor Futuro Simple El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. I=Cni (1) El monto final del período correspondería al capital inicial más los intereses M=C+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: M=C+I (3) Factorizando la expresión anterior: se obtiene la fórmula de monto simple M=C+I = C+Cin=C(1+in)

19 EJEMPLOS

20 EJEMPLOS 1. Si se invierte un capital de Gs y al cabo de un mes nos entregan Gs , cual es la tasa de interés de la operación? R: 25,1 % 2. Calcule los intereses que producirá un capital de Gs colocados a interés simple durante dos años, 5 meses y 20 días, si la tasa es 20 % anual durante el primer año y 36 % anual durante el resto de la operación. R: Gs Se invierte un capital al 30 % anual de interés simple. Transcurridos dos años y tres meses se retira la mitad del capital invertido inicialmente. Ocho meses más tarde de esa fecha se retira una cantidad equivalente a la cuarta parte del capital invertido inicialmente. Si después de 10 meses, contados a partir del último retiro, comprobamos que el total de intereses ganados es de Gs , cuál fue el capital invertido inicialmente? R: Gs

21 EJEMPLOS 4. Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de , , y con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés simple fuera de 15% anual. R: Dos capitales cuya suma es Gs producen intereses simples iguales. Determinar los capitales, sabiendo que la razón de las tasas es igual a ¾ y la de los tiempos 2/3 R: C1 = Gs C2 = Gs Se coloca un capital por dos años. El primer año al 20% anual de interés simple y el segundo año al 30% anual de interés simple. A los nueve meses se aporta una cantidad de dinero igual a los intereses ganados hasta esa fecha. Determine el capital inicial si el monto final a los dos años es de R: Gs

22 EL DESCUENTO

23 DESCUENTO El descuento es la disminución que experimenta un capital cuando se anticipa su disponibilidad. Es la deducción que se efectúa sobre un documento pagado antes de su vencimiento. Es una operación financiera que consiste en calcular la diferencia entre el valor actual y el valor futuro de una cantidad.

24 GENERALIDADES El punto de partida siempre es un valor futuro conocido La operación de descontar forma parte de las actividades normales de los bancos. Los documentos de crédito más comunes descontados son: Factura Crédito, el Pagaré y la Letra de Cambio (Cheque). Los bancos comerciales, a su vez, necesitan descontar documentos, en este caso, son tomados por el banco central, tal operación es denominada, redescuento.

25 TIPOS DE DESCUENTO DESCUENTO COMPUESTO SIMPLE RACIONAL COMERCIAL

26 NOTACIÓN N: Monto Nominal d: Tasa de descuento D: Descuento (Valor) V: Valor Actual n: periodos descontados Por Definición V = N - D Comercial V = N x (1 n x d) D = N x d x n Descuento Simple Racional V x (1 + n x i)= N D = V x i x n Descuento Compuesto N = V x (1 + i) n D = N [1-1 ] 1+i n

27 DESCUENTO COMERCIAL PAGARÉ Descuento Valor Actual Monto Nominal Valor Actual = Monto Nominal Descuento

28 DESCUENTO COMERCIAL Características: D = N x d x n Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (N) Por esta razón, debemos determinar primero el descuento (D) y posteriormente el valor actual (V) o capital inicial El valor actual (V) es obtenido por diferencia entre el Nominal (N) y el descuento (D) Es mayor que el descuento racional porque se calcula sobre el Valor Final

29 DESCUENTO COMERCIAL

30 DESCUENTO RACIONAL Características: D = V x i x n Los intereses generados en la operación se calculan sobre el Valor Actual (V) empleando una tasa de interés (i) El descuento racional es el interés simple. La incógnita buscada es el valor actual. El descuento racional es igual a la cantidad a pagar (N) menos el valor actual [V] del capital.

31 DESCUENTO COMPUESTO D = N [1-1 ] 1+i n Características: Valor Actual del documento de crédito Es equivalente a un crédito vencido de los intereses compuesto

32 EJEMPLOS

33 EJEMPLOS Una empresa descuenta hoy en un banco un pagaré y recibe por eso la suma de Gs ,67. Si la tasa de descuento anual es de 60% comercial y el vencimiento es dentro de cuatro meses. Cuál es el valor nominal de la deuda? R: ,34

34 EJEMPLOS Determinar el descuento que sufre un documento de Gs , 3 años antes de su vencimiento, al 18% de interés anual compuesto. R:

35 EJEMPLOS Calcular el descuento racional que sufre un pagaré de $ , descontado al 12% de interés anual, 75 días antes de su vencimiento. Convención Act/360. R: 500

36 EJEMPLOS Una empresa descuenta hoy un documento a descuento comercial por el cual recibe Gs Si la tasa de descuento es de 55% anual y el valor nominal es de Gs Cuánto tiempo (en días) falta para el vencimiento de la obligación? R: 79

37 EJEMPLOS Se descuentan comercialmente dos documentos de valores nominales: Gs y Gs respectivamente, al 6% de interés anual; el segundo vence en 12 días más tarde que el primero y la suma de descuentos ascienden a Gs Determinar el tiempo que falta para el vencimiento de cada documento. R: 60 y 72

38 EJEMPLOS Juan le debe hoy $ a María y acuerdan firmar un documento a 90 días. Si María descuenta el documento en un Banco que aplica descuento comercial del 50% anual. Cuál debe ser el valor del documento para que María reciba hoy $ del Banco. R: 5.714,29

39 Resumen La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo. Vimos que la consistencia en nuestras variables nos garantizan un buen resultado. La base en que se considera la tasa de interés determina la forma en que se contabilizan los días transcurridos. En operaciones de interés simple, los intereses no producen intereses, solo el capital inicial produce intereses. En operaciones de interés compuesto, los intereses si generan intereses (son productivos). Dos tasas de interés son equivalentes cuando un mismo capital inicial durante un mismo periodo de tiempo producen el mismo interés. El descuento es la disminución que experimenta un capital cuando se anticipa su disponibilidad.

40 PROPUESTOS 1. Colocamos Gs al 30% anual, a interés simple. A los 5 meses la tasa sube a 35 % anual con lo cual decidimos incrementar en Gs el capital. Determine el monto final que podremos retirar 6 meses después de haber efectuado la colocación. R: Necesitamos saber el monto que retiraríamos dentro de 4 años, sí hoy invertimos USD 2,000 al 8% para el primer año con incrementos del 1% para los próximos tres años. R: Qué capital (C), con tasa de interés del 12% anual produce intereses de USD 15,000 en 10 meses. R: Un pagaré de Gs fue descontado 90 días antes de su vencimiento. Determinar la tasa de descuento anual, sabiendo que ha sufrido un descuento comercial de Gs Un pagaré de Gs fue descontado 120 días antes de su vencimiento. Determinar la tasa de interés anual, sabiendo que ha sufrido un descuento de Gs