Unidad III. Perímetro, diámetro y área

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1 Perímetro, diámetro y área Unidad III En esta unidad usted aprenderá a: Calcular la longitud del contorno de una figura, lo que se llama perímetro. Medir terrenos y planos. Calcular la cantidad de material que necesita para fabricar objetos. Para aprender esta lección usted debe: Conocer las figuras, las líneas, sumar, restar, multiplicar y dividir con enteros y decimales. Tema 1 Perímetro de triángulos y rectángulos Tema Perímetro de un círculo Tema 3 Área o superficie

2 Geometría y medición Tema 1 Perímetro de triángulos y rectángulos Unidad III La señora Ernestina desea poner zoclo a su cocina. Cuánto debe comprar si tiene las siguientes dimensiones? 3 m 3.1 m 0.9 m puerta m NOTA: Zoclo es un hule que se pone en la parte baja de los muros para protegerlos de los golpes. 3 m 84

3 Unidad III: Perímetro, diámetro y área Para saber cuánto zoclo va a comprar debe sumar las medidas de cada uno de los lados de la cocina y restarle la dimensión de la puerta, observe: Primero Suma los lados 3 m + 4 m + 3 m + 4 m = 14 m Segundo Resta el ancho de la puerta 14 m 0.9 m = 13.1 m Por lo que de acuerdo a sus cálculos, la señora Ernestina comprará 13.1 m de zoclo de hule. La suma de todos los lados de una figura se le llama perímetro y nos permite conocer cuánto mide su contorno. Ejemplo El señor Jiménez tiene un terreno con la forma que se muestra en el siguiente plano, y va a rodearlo con una malla para que no se lo invadan. Cuánto tendrá que comprar de malla? 18 m Para calcular cuánto necesita de malla, el señor Jiménez obtiene el perímetro de su terreno. 10 m 14 m El perímetro es la suma de las 8 m dimensiones de todos los lados de la figura, por lo que: = 50 m 50 m es el perímetro del terreno y, por lo tanto, esa es la cantidad de malla que tiene que comprar. 85

4 Geometría y medición Ejercicios 1. Obtenga el perímetro del siguiente cuadro. 45 cm 45 cm 45 cm a) El perímetro del cuadro es 45 cm =. El terreno de la casa de la señora Meche es como se muestra a continuación. 8.0 m 4.0 m 1.0 m Jardín 4.0 m 1.0 m a) El perímetro del jardín de la señora Meche será: = b) El perímetro del terreno de la señora Meche será: = Casa c) Calcule el perímetro de uno de los cuartos de su casa. R: m d) Calcule el perímetro de una puerta o ventana de su casa. R: m 8.0 m 86

5 Unidad III: Perímetro, diámetro y área 3. Obtenga el perímetro en cm de esta hoja. R: cm 4. Podría usted calcular el perímetro de las siguientes figuras? Recuerde que el perímetro es la suma de los lados de una figura geométrica. a) 5 m + + = b) = 35.4 m.3 m c) 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m = d) = e) 0.4 m = f) 8 m 10 m 8 m = 15 m 87

6 Geometría y medición 5. Juan quiere hacer unos marcos para enmarcar dos fotografías de las siguientes medidas: 55 cm 50 cm 40 cm 65 cm Cuántos metros de madera ocupará para hacer estos marcos? 6. Jacinto quiere poner barda a un terreno con las siguientes medidas: 30 m 50 m El albañil le dice a Jacinto que cobra $50.00 por cada metro de barda. a) Cuánto mide el perímetro del terreno? b) Cuánto tiene que pagar Jacinto al albañil? 88

7 Unidad III: Perímetro, diámetro y área Unidad III Tema Perímetro de un círculo La señora Amelia desea poner encaje en la base del vestido de 15 años de su hija. La base del vestido tiene forma circular como se muestra en el dibujo. La señora Amelia quiere saber cuánto de encaje requerirá para la base del vestido. Para resolver este problema, la señora Amelia midió el contorno de la base del vestido utilizando una cinta métrica. Le dio más o menos 3.75 m m Hacer la medición le costó mucho trabajo porque el vestido tiene muchos pliegues, con lo que se equivocaba mucho. En qué otra forma la señora Amelia puede calcular la cantidad de encaje? 89

8 Geometría y medición Para lo anterior es necesario saber que: Al contorno de una figura circular se le llama circunferencia. El perímetro o contorno de una figura circular es igual a la medida de su circunferencia. El diámetro es la línea recta que divide al círculo en dos partes iguales pasando por el centro. En el dibujo de la base del vestido, el diámetro mide 1.0 m. También es importante saber que hace mucho tiempo los griegos encontraron que siempre que se divide el perímetro (P) de un círculo entre su diámetro (D) se obtiene el mismo número, ; número al que se le ha llamado p (pi) y se toma como Esto quiere decir que, perímetro diámetro = p perímetro = P diámetro = D Si a esta fórmula la multiplicamos en sus dos lados por D no se altera, observe: P D x = p x D D D Como = 1, tenemos que 1 x P = p D D Lo que se conoce como la fórmula del perímetro del círculo. P = p D Ahora, la señora Amelia calcula el perímetro de la base del vestido de una manera fácil y rápida, usando la fórmula. P= p X diámetro (Recuerde que p = 3.14) P = 3.14 x 1.0 Ella realiza la operación x

9 Unidad III: Perímetro, diámetro y área Para calcular el valor de una circunferencia (su perímetro), se debe conocer la medida de su diámetro. Al realizar la operación, la señora Amelia ya sabe que necesitará m de encaje; como es difícil medir tantos decimales redondea el número a 3.80 m Ejercicios Haga las operaciones con su calculadora. Calcule el perímetro de los siguientes círculos. Recuerde utilizar la fórmula P = p x D, donde p= a) Diámetro: Circunferencia: b) Diámetro: Circunferencia: c) d) e) Diámetro: Circunferencia: Diámetro: Circunferencia: Diámetro: Circunferencia: 91

10 Geometría y medición Problemas 1. Adriana tiene que adornar con encaje un mantel circular cuyo diámetro mide 1.7 m y desea saber cuántos metros de encaje utilizará. Ayude usted a Adriana a resolver el problema. 1.7 m Recuerde utilizar la fórmula P = p X D; valor de p = El señor Jaime va a construir en su jardín una fuente circular con un diámetro de.5 m, el albañil le pregunta que para cuántos metros compra material. Qué debe contestar el señor Jaime al albañil? 3. La señora Rosa necesita poner mástique en una ventana con la forma que se indica en el dibujo. Cuántos metros de mástique aplicará? r Observe que la ventana está compuesta por tres figuras: dos rectángulos y ½ círculo, por lo que deberá: 1.0 m a) Obtener el perímetro de cada hoja de la ventana. b) Obtener el perímetro del círculo superior y dividirlo entre (porque es la mitad). A esto debe sumar el diámetro del círculo. c) Sumar los tres perímetros m 0.55 m 1.10 m 9

11 Unidad III: Perímetro, diámetro y área Unidad III Tema 3 Área o superficie La señora Balvina quiere pintar el techo de su sala comedor, para lo que va a la tienda de pintura y pide que le vendan pintura vinílica. El encargado le pregunta que cuánta pintura necesita, a lo que la señora Balvina dice que no sabe. Por lo que el encargado le explica que a dos manos, un litro le alcanza para diez metros cuadrados, que cuántos metros cuadrados va a pintar. Como tampoco supo, el encargado le pidió que tomara las medidas del techo y se las llevara para que le ayudara. La señora Balvina hizo un croquis como este: 4.5 m Recámara Sala comedor 4.0 m Recámara Baño Cocina Jardín

12 Geometría y medición El encargado de la tienda le explica que el área es la superficie que se encuentra dentro de una figura y que su sala comedor es un rectángulo de 4.5 m de largo por 4.0 m de ancho. L1 = 4.5 m L1 = 4.5 m 1 m L = 4.0 m 1 m 1 m L = 4.0 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 0.5 m En el caso caso de un rectángulo, el área es la multiplicación del largo por el ancho. A = L 1 (largo) x L (ancho) A = 4.5 m x 4 m = 18 m Como está multiplicando metros de un lado por metros del otro, entonces tendrá metros cuadrados, lo cual se indica con un pequeño sobre la m. m x m = m Esto quiere decir que el área de su sala comedor es de: 18 m Entonces, con un bote de dos litros le alcanza para pintarlo; porque si dividimos 18 m entre los 10 m que rinde un litro, se obtiene que con litros de pintura le alcanza: = 1.8 Conviene comprar dos litros, porque no siempre venden fracciones de litro. 94

13 Unidad III: Perímetro, diámetro y área Como se vio en el problema de la pintura de la señora Balvina, en las actividades cotidianas, se utilizarán diferentes tipos de figuras de las que constantemente se necesita calcular su área; por ello, se han deducido fórmulas para calcular el área de estas figuras. A continuación, se presentan algunas de las más comunes. FIGURA FORMA FÓRMULA OBSERVACIONES Cuadrado L1 L1 x L = A L1 = L L b h b x h = A b = base h = altura (Distancia de la base al vértice.) Triángulo b x h = A b = base h = altura b x h = A b = base h = altura Círculo r D p x r² = A D = r radio = 1/ D D = diámetro r = radio p = La fórmula del triángulo se obtiene al partir un cuadrado a la mitad, porque: un cuadrado dividido en dos da dos triángulos. El área de este cuadrado es b x h = A (cuadrado), porque L 1 = b y L = h Pero si sólo tenemos uno de los dos triángulos, se debe dividir el área del cuadrado entre : b x h = A (triángulo) 95

14 Geometría y medición En el caso del círculo, para la obtención de su área imagine lo siguiente. Primero. En un círculo trace todas las líneas que pueda del centro a su contorno, estas líneas tienen la misma longitud y se llaman radio (r); miden la mitad del diámetro, por lo que radios = diámetro. Segundo. Extienda las mitades del círculo de la siguiente manera. p x D = medio perímetro Mitad de abajo Mitad de arriba Tercero.Haga lo mismo con la otra mitad del círculo y ponga una mitad sobre la otra. p x D p x D Cuarto. Habrá que obtener el área de ese rectángulo que tiene un lado de p x D y otro de r, por lo que su área será: p x D p x D L 1 = ; L = r x r = área del rectángulo pero como D = r, sustituyendo tendremos: p x r A = x r ; r A = p x r x r ; como r x r = r, se tendrá: A = p x r Fórmula para obtener el área de un círculo. En donde, A = área del círculo p = 3.14 r = radio r = radio x radio 96

15 Unidad III: Perímetro, diámetro y área Algunos ejemplos: 1. El área de una mesa (cuadrada) que mide 0.9 m x 0.9 m. L1 = 0.9, L = 0.9; A = L1 x L = 0.9 x 0.9 = 0.81 m². El área de una ventana rectangular de dos hojas. A = 1 m x 1.50 m = 1.50 m² 1m Área de cada hoja: 1 m x 0.75 m = 0.75 m² Como son dos hojas: 0.75 m² m² = 1.50 m² Igual que el de toda la ventana Área de puerta que cierra una bodega con techo inclinado A Se tienen dos figuras. 1. A 1 a) Un rectángulo: A1 = L1 x L =.3 m x 1. m =.76 m b x h 1. m x 0.4 m b) Un triángulo: A = = = 0.4 m El área total es la suma de las dos áreas: A 1 + A =.76 m m = 3.0 m ; Área total = 3 m 97

16 Geometría y medición 4. Se va a cubrir con alfombra un cuarto que tiene la forma que se indica en el croquis. Qué cantidad de alfombra se necesita? Son dos áreas 1 Un rectángulo La mitad de un círculo 5 m m.5 m 1 Área del rectángulo: L1 x L = A 5 m x 4.5 m =.5 m² Área del medio círculo (recuerde que r es la mitad de D). p x r² = (3.14) (.5)² = 3.14 x.5 x.5= (3.14) (6.5) = El círculo completo tiene m. Como el área es de la mitad, entonces se divide entre : m = 9.81 m El área a cubrir con alfombra será:.5 m² m² = 3.31 m² 98

17 Unidad III: Perímetro, diámetro y área Ejercicios 1. Don José desea barnizar algunos de sus muebles de madera; si sus muebles tienen las siguientes formas, podría usted ayudarle a saber el área o superficie de cada una de las figuras siguientes para que conozca la cantidad de barniz que debe comprar? a) Ejemplo m e) 10 cm 0 cm m A = 10 cm x 0 cm = cm A = m x m = 4 m f) b) 1.5 m 40 cm 1.5 m A = 40 cm x cm = 1,00 cm c) 70 cm 100 cm A = cm x cm = 7,000 cm d) 1 m 1.0 m 30 cm A = 1.0 m x m = m g) h) i) A = m x 1.5 m = m 1 m m A = m x m = m 0.5 m 0.7 m A = m x m = m 0.6 m 1.5 m A = x = 99

18 Geometría y medición. Jaime tiene un zaguán como el que se muestra en el croquis. Podría usted decir la cantidad de pintura que utilizará al pintar el zaguán por dentro y por fuera, si el rendimiento del esmalte es de 11.5 m por cada litro, a dos manos? 3. El señor Víctor quiere pintar la pared de su recámara. Ésta tiene una ventana triangular, como se muestra en el croquis. Podría usted ayudar a don Víctor a determinar el área de esta pared que va a pintar? 100

19 Unidad III: Perímetro, diámetro y área En las unidades para medir el área también existen múltiplos, submúltiplos y medidas en el sistema inglés. Para hacer las conversiones de las unidades de área existen tablas de equivalencias, con las que, utilizando la regla de tres, fácilmente se convierten a diferentes unidades. Observe la siguiente tabla y su uso. TABLA DE EQUIVALENCIAS DE ÁREAS Nombre Abreviatura Equivalencia Kilómetro cuadrado km = 1,000,000 m Múltiplos Hectómetro cuadrado = hectárea hm = ha = 100 dam = 10,000 m Decámetro cuadrado dam = 100 m Unidad principal Metro cuadrado m = 100 dm = 10,000 cm = 1,000,000 mm Decímetro cuadrado dm = 100 cm = 10,000 mm Submúltiplos Centímetro cuadrado cm = 100 mm Milímetro cuadrado mm = 1 mm TABLA DE EQUIVALENCIAS DE ÁREAS EN EL SISTEMA INGLÉS m cm ft in La tabla se lee por renglones; por ejemplo, 1 ft es igual a m ó cm 101

20 Geometría y medición 10 Ejemplos del uso de las tablas. 1. Para conocer a cuánto equivalen 4,500 m (metros cuadrados) en hm (hectómetros cuadrados o hectáreas), se recomienda utilizar la regla de tres, siguiendo estos pasos. I. Identifique, en la tabla de equivalencias, la equivalencia de las unidades que tiene y que va a convertir. En este caso, se tienen metros cuadrados y se quieren convertir a hectómetros cuadrados o hectáreas, por lo que se busca a cuánto equivale 1 hm en m. 1 hm = 10,000 m II. Se plantea la regla de tres estableciendo que si 1 hm es igual a 10,000 m, a qué equivaldrán 4,500 m. 1 hm = 10,000 m? hm = 4,500 m III. Se resuelve la regla de tres multiplicando en cruz y dejando sola a la interrogación. 4,500 m x 1 hm =? hm x 10,000 m Los 10,000 que están multiplicando en la derecha pueden pasar dividiendo a la izquierda. 4,500 m x 1 hm =? hm 4,500 x 1 hm 10,000 m = 0.45 hm 10,000 Lo que indica que 4,500 m equivalen 0.45 hm.. Cuántos m son 345 ft? I. Se localizan las equivalencias en la tabla de los m y los ft. 1 ft = m II. Se plantea la regla de tres; si 1 ft equivale a m, a cuánto equivaldrán 345 ft. 1 ft = m 345 ft =? m III. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz y dejando sola a la?. 345 ft 345 ft x m = 1 ft x m? x m =? m 1 ft Esto quiere decir que 345 ft son igual que m.

21 Unidad III: Perímetro, diámetro y área También existen tablas que nos indican directamente la cantidad por la que se debe multiplicar una unidad para obtener otra. A continuación, encontrará una tabla de este tipo. TABLA PARA CONVERSIÓN DE UNIDADES DE ÁREA Cuando Tenga km hm = ha dam m m m m dm cm cm cm mm Multiplique por 1,000,000 10, , ,1 10, Para obtener m m m km hm = ha cm dam cm m dm mm cm Medidas inglesas TABLA PARA CONVERSIÓN DE UNIDADES DE ÁREA Cuando tenga Multiplique por Para obtener ft in m cm Ejemplos para el uso de la tabla m cm ft in Si quiero convertir 5 ha a metros, la tabla indica que tengo que multiplicar las 5 ha por 10,000: 5 ha = 5 x 10,000 m = 50,000 m Si necesito convertir 4,500 m a hm o ha, tengo que multiplicar los 4,500 m por 0.000,1: 4,500 m = 4,500 x 0.000,1 hm = 0.45 hm (ha). Recuerde que hm = ha 103

22 Geometría y medición Ejercicios Convierta las siguientes áreas a las unidades que se indican. a) 37 ft = m b) 78 m = ft c) 40 ha = m d) 30,000 m = ha e) 4 cm = mm f) 48 cm = in Problemas 1. Don Víctor va a pintar una pared que tiene 16.5 m de largo y 4 m de altura; necesita conocer el área, para comprar la cantidad adecuada de pintura. Podría usted ayudar a don Víctor a obtener la superficie o área que va a pintar? 16.5 m 4 m. Don Isidro tiene un terreno que mide 10 m de frente y 0 de fondo; y su construcción está como se ilustraen el siguiente croquis. Podría usted ayudar a don Isidro a calcular el área que tiene construida en su terreno? 5 m 5 m Área construida Patio m 10 m 3. La señora Rocío ha solicitado a un albañil que le ponga piso a una de las recámaras de sus hijos, el albañil le dice que cobra $3.00 pesos por m sin material. Cuánto pagará la señora Rocío por la mano de obra al albañil? Estas son las medidas de la recámara: 4.0 m 3.5 m 104

23 Unidad III: Perímetro, diámetro y área 4. La señora Francisca va a pintar la fachada de su casa; para que el pintor le diga cuánta pintura necesita, le pregunta, cuántos metros tiene?. Qué contestaría a la señora Francisca si la fachada tiene las dimensiones 5.0 m 1.0 m señaladas en el croquis? 1.0 m 5.60 m 4.0 m.3 m 1.0 m 1.0 m 3.0 m NOTA: 10.0 m Obtenga primero el área total de la fachada y luego reste el área de las ventanas y puertas. 5. La señora Inés va a comprar un terreno para construir su casa; si el metro de terreno vale $300.00, cuánto debe pagar, si el terreno tiene la forma que a continuación se muestra? 3.0 m 5.60 m 3.0 m 10 m 5.0 m 105

24 Autoevaluación Instrucciones: Lea cuidadosamente la siguiente información y conteste las preguntas utilizando los datos de la misma. Tere vende manteles, trapos de cocina, cortinas y juguetes que ella misma hace. La semana pasada se dedicó a hacer trapos de cocina y tortilleros como los de los dibujos de abajo A los trapos de cocina y a los tortilleros les cosió encaje en todo el contorno. 1. Cuánto encaje necesitó para cada trapo de cocina si miden 50 cm de largo por 30 cm de ancho? Perímetro = lado + lado + lado + lado. Cuánto encaje necesitó para hacer 70 trapos de cocina? En centímetros: A cuántos metros equivale la cantidad anterior de encaje? 3. Cuánto encaje necesitó para cada tortillero que mide 5 cm de diámetro? 106 Perímetro = p x diámetro. p = 3.14

25 4. Cuánto encaje necesitó para los 10 tortilleros que hizo? A cuántos metros equivale la cantidad anterior de encaje? 5. Juntando el bies de los tortilleros y los trapos de cocina, cuántos metros utilizó en total? Lea la siguiente información, observe el dibujo y conteste las preguntas 6, 7, 8 y 9. Rosario va a hacer una fiesta de cumpleaños a su hijo y decidió hacer unos muñecos con tela, como los del dibujo de abajo. 6. Si las piernas del muñeco son de tela color azul, cuánta tela azul necesita Rosario para hacer las de un muñeco? Área = b x h 1.5 cm 10 cm 10 cm 7. El círculo de la cara tiene 3 centímetros de radio. Cuánta tela color rosa necesita para hacer la cara? 8 cm Área = p x r p = 3.14 cm 107

26 8. El triángulo del sombrero mide 5 cm de base y 6 cm de altura. Cuánta tela color anaranjado necesita Rosario para hacer el sombrero? Área= b x h 9. Si el rectángulo del cuello mide cm por 1 cm, el rectángulo del tronco mide 5 cm por 10 cm y cada brazo mide 10 cm por 1.5 cm, cuánta tela necesita Rosario para hacer las siguientes partes del muñeco? a) Cuello b) Tronco c) Brazos 10. Cuánta tela va a necesitar en total Rosario para cada muñeco? Partes del muñeco Cuello Tronco Brazos Cara Sombrero Piernas Total 108

27 HOJA DE RESPUESTAS Unidad III: Perímetro, diámetro y área Instrucciones: Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntas correctamente, identifique sus aciertos y fallas y vuelva a leer los temas que le parecen difíciles de comprender. Pregunta Respuesta correcta 160 cm En centímetros: 11,00 en metros: cm En centímetros: 785 en metros: metros 16 cm x = 3 cm 8.6 cm 15 cm a) cm b) 50 cm 10 c) 15 cm x = 30 cm Cuello = cm Tronco = 50 cm Brazos = 15 cm x = 30 cm Sombrero = 15 cm Piernas = 3 cm Cara = 8.6 cm Total de tela = cm 109

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