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1 CONTENIDO 5 Métodos teratvos para la resolucón de ecuacones algebracas lneales Método de Gauss-Jacob Método de Gauss-Sedel Método de sobrerrelaacón sucesva Convergenca de los métodos teratvos estaconaros Método del descenso más rápdo Método del gradente conugado y precondconamento Bblografía de octubre de 2001 c Francsco R. Vllatoro, Carmen M. García, Juan I. Ramos. Estas notas están protegdas por derechos de copyrght y pueden ser dstrbudas lbremente sólo con propóstos educatvos sn ánmo de lucro. These notes are copyrght-protected but may be freely dstrbuted for nstructonal nonproft purposes.

2 2 CONTENIDO

3 CAPÍTULO 5 MÉTODOS ITERATIVOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 5.1 Método de Gauss-Jacob Los métodos teratvos para la resolucón de un sstema lneal A x = b parten de una aproxmacón ncal x (0) a la solucón del sstema lneal y obtenen una sucesón de solucones x (k) que, bao determnadas hpótess, converge a la solucón del sstema lneal. El método de Gauss-Jacob o de Jacob para la resolucón del sstema lneal consste en obtener una nueva aproxmacón a la solucón a partr de una preva x (k) medante el sguente proceso 1 = 1 a 11 (b 1 a 12 x (k) 2 a 1n x (k) n ), 2 = 1 a 22 (b 2 a 21 x (k) 1 a 23 x (k) 3 a 2n x (k) n ), n = 1 a nn (b n a n1 x (k) 1 a 2(n 1) x (k) n 1 ). Este proceso teratvo se puede representar matrcalmente s descomponemos la matrz A = L + D + U, a = l + d + u, donde L y U son matrces trangulares estrctas nferor y superor, respectvamente, y D es una matrz dagonal tales que D = (d ), d = δ a,

4 96 Capítulo 5. Métodos teratvos para la resolucón de ecuacones algebracas lneales L = (l ), l = a, < 0,, U = (u ), u = a, > 0,. De esta forma podemos escrbr el sstema lneal como (L + D + U) x = b o, lo que es lo msmo, D x = b (L + U) x, (5.1) y vemos que la teracón de Gauss-Jacob consste en resolver en cada teracón los sstemas dagonales sguentes D = b (L + U) x (k). (5.2) Para estudar la condcón de convergenca del método de Gauss-Jacob, defnremos el error e (k) = x x (k), con lo que, restando las ecuacones (5.1) y (5.2), obtenemos la sguente ecuacón para el error D e (k+1) = (L + U) e (k), cuya solucón es muy fácl de obtener, e (k+1) = D 1 (L + U) e (k). Aplcando normas a esta expresón e (k+1) = D 1 (L + U) e (k) D 1 (L + U) e (k), obtenemos que la condcón de convergenca es D 1 (L + U) < 1, para cualquer norma. Como el rado espectral es el ínfmo de todas las normas, es condcón necesara y sufcente para la convergenca del método de Jacob que ρ(d 1 (L + U)) < 1.

5 5.2. Método de Gauss-Sedel 97 Podemos obtener una condcón sufcente para la convergenca del método de Jacob s utlzamos la norma 1, con lo que D 1 (L + U) 1 = max 1 1 n (l + u ) d y obtenemos a 1 n a =1 = max =1, < 1, a < a, 1 n, es decr, que la matrz A ha de ser dagonalmente domnante por flas. S se toma norma nfnto se obtene que A ha de ser dagonalmente domnante por columnas. Estas condcones son sufcentes para la convergenca del método de Jacob, pero no son necesaras. Por eemplo, para la matrz no es dagonalmente domnante y sn embargo el método de Jacob converge / /2 A =, (5.3) 1/ /2 0 1/2 1/2 1 ρ(d 1 (L + U)) = 1 sqrt2 < 1, 5.2 Método de Gauss-Sedel El método de Gauss-Sedel para la resolucón del sstema lneal consste en obtener una nueva aproxmacón a la solucón a partr de una preva x (k) medante el sguente proceso 1 = 1 a 11 (b 1 a 12 x (k) 2 a 1n x (k) n ), 2 = 1 a 22 (b 2 a 21 1 a 23 x (k) 3 a 2n x (k) n ), n = 1 a nn (b n a n1 1 a 2(n 1) n 1 ).

6 98 Capítulo 5. Métodos teratvos para la resolucón de ecuacones algebracas lneales El sstema de ecuacones se puede escrbr como (D + L) x = b U x, (5.4) y vemos que la teracón de Gauss-Sedel consste en resolver los sstemas (D + L) = b U x (k). (5.5) La ecuacón para el error se obtene restando las ecuacones (5.4) y (5.5), (D + L) e (k+1) = U e (k), e (k) = x x (k), cuya solucón es e (k+1) = (D + L) 1 U e (k). (5.6) Aplcando normas a esta expresón e (k+1) (D + L) 1 U e (k) (D + L) 1 U e (k). La condcón necesara y sufcente para la convergenca del método de Gauss es ρ((d + L) 1 U) < 1. Vamos a obtener una condcón sufcente (pero no necesara) para la convergenca que sea más maneable que la del rado espectral, y que evte su cálculo. Escrbendo la ecuacón (5.6) con subíndces e (k+1) 1 a = e (k+1) a =1 =+1 a a e (k), y buscando la norma nfnto ntroducendo valores absolutos, obtenemos e (k+1) 1 a a e(k+1) =1 1 =1 a a + e(k+1) + = α e (k+1) + β e (k). a a e(k) =+1 a a e(k) =+1 donde α 0 y β 0 son números reales postvos. Sea m el índce de la mayor componente del vector e (k+1), de forma que e (k+1) = e (k+1) m,

7 5.2. Método de Gauss-Sedel 99 y, por tanto, de donde despeando con S notamos podemos escrbr e (k+1) α m e (k+1) + β m e (k), e (k+1) β m 1 α m e (k) η e (k), η = max β 1 α. µ = max(α + β ) = max a 1 n a, =1 α + β β 1 α = α 1 α (1 (α + β )) α 1 α (1 µ) 0, con lo que observamos que s µ < 1, es decr, la matrz es dagonalmente domnante por flas, entonces α + β β 1 α, y por tanto 1 > µ η, por lo que el método de Gauss-Sedel converge en dcho caso. La domnanca dagonal es una condcón sufcente que no es necesara, por eemplo, para la matrz (5.3), y el método de Sedel converge. ρ((l + D) 1 (U)) = 1 2 < 1, Podemos relaconar la convergenca de los métodos de Jacob y Sedel. Como en el método de Gauss-Jacob teníamos e (k+1) a a e(k) =1, a a =1, e(k) = µ e (k), entonces e (k) µ e (k), con lo que tenemos que, s el método de Gauss-Jacob converge entonces tambén converge el de Gauss-Sedel (1 > µ η) y además converge lnealmente con mayor rapdez que la del de Gauss-Jacob. En resumen, una condcón sufcente para que el método de Sedel convera es que la matrz A sea dagonalmente domnante, y en ese caso ya sabemos que tambén convergerá el método de Jacob. Además, s el método de Jacob converge, aunque la matrz no sea dagonalmente

8 100 Capítulo 5. Métodos teratvos para la resolucón de ecuacones algebracas lneales domnante, tambén lo hará el de Sedel, que lo hará más rápdo, algo que hemos vsto con la matrz (5.3) de los eemplos anterores. Aunque los métodos teratvos requeren un número nfnto de teracones para converger, en la práctca se realza solamente un número fnto de teracones hasta que se alcanza alguna toleranca de error. Exsten muchos procedmentos para aplcar dcha toleranca de error, por eemplo, 1. utlzando el error absoluto entre terados (recuerde que se s x (k) converge es una sucesón de Cauchy), x (k) TOL abs, 2. utlzando el error relatvo, x (k) TOL rel, 3. acotando el resduo en cada teracón, A b = r (k+1) TOL abs, 4. una cota muy utlzada es acotar el resduo de forma relatva al vector no homogéneo, r b TOL rel. La ventaa fundamental de los métodos teratvos es que mnmzan el efecto de los errores de redondeo ya que su propagacón se puede controlar medante la determnacón teratva de la solucón. 5.3 Método de sobrerrelaacón sucesva El método de sobrerrelaacón sucesva se puede nterpretar como un método predctor-corrector, cuyo predctor es un método teratvo como el de Gauss-Jacob o Gauss-Sedel y como correccón realza un promedo entre la solucón en la teracón anteror y la obtenda por el predctor. Para obtener un método de sobrerrelaacón sucesva a partr de la expresón teratva del método de Gauss-Jacob, escrbmos este método de la sguente forma J = 1 1 b a x (k) a x (k) a =1 =+1

9 5.3. Método de sobrerrelaacón sucesva 101 = 1 b a 1 =1 = x (k) + 1 b a a x (k) a x (k) a x (k). =1 =+1 a x (k) + a x (k) El método de sobrerrelaacón sucesva ntroduce un coefcente w de sobrerrelaacón = w J + (1 w) x (k). De esta forma, se obtene la sguente teracón = (1 w) x (k) + w 1 b a x (k) a =1 Matrcalmente se puede escrbr como (A = L + D + U) =+1 a x (k) D = (1 w) D x (k) + w (b (L + U) x (k) ) = D x (k) + w (b (L + D + U) x (k) ) = D x (k) + w (b A x (k) ).. El parámetro de relaacón nos permte controlar el método utlzado w < 1 w = 1 subrelaacón método predctor w > 1 sobrerrelaacón Se puede obtener otro método de sobrerrelaacón sucesva a partr de la expresón teratva del método de Gauss-Sedel, S = 1 1 b a a = 1 b a =1 1 =1 = x (k) + 1 b a a 1 =1 =+1 =+1 a a x (k) a x (k) + a x (k) a x (k), = a x (k)

10 102 Capítulo 5. Métodos teratvos para la resolucón de ecuacones algebracas lneales para el que la expresón conduce al sguente método = (1 w) x (k) = w S + w 1 b a Este método se escrbe en forma matrcal como =1 + (1 w) x (k). a =+1 a x (k). D = (1 w) D x (k) + w (b L U x (k) ), (D + w L) = (1 w) D x (k) + w (b U x (k) ) La ecuacón del error para este método, se escrbe y tomando normas, = ((1 w) D w U) x (k) + w b. (D + w L) e (k+1) = ((1 w) D w U) e (k), (I + w D 1 L) e (k+1) = ((1 w) I w D 1 U) e (k), e (k+1) = (I + w D 1 L) 1 ((1 w) I w D 1 U) e (k), e (k+1) (I + w D 1 L) 1 ((1 w) I w D 1 U) e (k). Se debe elegr w de tal forma que mnmce el error, es decr, w debe mnmzar la norma de la matrz (I + w D 1 L) 1 ((1 w) I w D 1 U). Los métodos teratvos son más útles que los drectos sempre y cuando su coste sea menor. Sea m el número de teracones necesaras para alcanzar una toleranca dada de error, como el número de operacones artmétcas por teracón es del orden de O ( n 2), el número total de operacones es O ( m n 2), que deberá ser menor que el coste de los métodos drectos, por eemplo, O ( 2 n 3 /3 ) para la elmnacón de Gauss. Para los métodos de sobrerrelaacón que hemos presentado su convergenca es lneal, por tanto, tras m teracones el error está acotado por x x (k) c m x x (0), y s se requere una toleranca de error absoluto ɛ, entonces el número de teracones debe ser mayor que m ln ɛ c.

11 5.4. Convergenca de los métodos teratvos estaconaros Convergenca de los métodos teratvos estaconaros Los métodos de Gauss-Jacob, Gauss-Sedel y de sobrerrelaacón son casos partculares de los métodos teratvos estaconaros, que tenen la forma = B x (k) + c. Se debe aclarar que se denomnan métodos teratvos no estaconaros a los métodos en los que la matrz B y el vector c camban en cada teracón, es decr, se susttuyen por B (k) y c (k). La condcón de consstenca requere que el punto fo de esta teracón sea solucón del sstema lneal a resolver, es decr, x = B x + c A x = b, lo que fa el valor de c como funcón de B, (I B) x = c, x = A 1 b, c = (I B) A 1 b. S escrbmos el método teratvo estaconaro como = B x (k) + E b, la condcón de consstenca es E = (I B) A 1 I = B + E A. El método teratvo estaconaro más smple es el de Pcard (I + A) x = x + b = (I + A) x (k) b. Para estudar la convergenca de los métodos teratvos estaconaros, como el error cumple se dará la convergenca s e (k+1) = x = B x (k) + E b B x E b = B e (k), lm k e(k+1) = lm B k e(k) = 0, y como e (k+1) B e (k), el crtero de Cauchy para la convergenca de una sucesón nos dce que e (k+1) e (k) B < 1, para alguna norma. Esta es la condcón necesara y sufcente para la convergenca, que se suele escrbr en la forma equvalente como ρ(b) < 1.

12 104 Capítulo 5. Métodos teratvos para la resolucón de ecuacones algebracas lneales 5.5 Método del descenso más rápdo Para matrces smétrcas defndas postvas A = A IR n n, y para matrces hermítcas A = A IC n n, se puede nterpretar la resolucón del sstema lneal de ecuacones A x = b como la solucón de un problema de optmzacón cuadrátco. En concreto, consderaremos el caso real (matrz smétrca), para el que A x = b x = mn f(y), y R n, donde f(x) = 1 2 x A x b x = 1 x, A x b, x. 2 La demostracón es senclla s consderamos la funcón aplcada a un rayo x + t y, con x e y dos vectores cualesquera y t un escalar real. Como 2 f(x + t y) = x + t y, A (x + t y) 2 b, x + t y = x, A x + t x, A y + t y, A x + t 2 y, A y 2 b, x + t y = 2 f(x) + 2 t y, A x 2 t y, b + t 2 y, A y = 2 f(x) + 2 t y, A x b + t 2 y, A y, donde se ha aplcado que A = A. Como y, A y es postvo por ser A defnda postva, la funcón cuadrátca tene un mínmo sobre el rayo y no un máxmo, cqd. El valor de t que nos da el mínmo sobre el rayo se obtene de la condcón de que la dervada sea nula, por lo que el mínmo se obtene para ˆt, d f(x + t y) = y, A x b + t y, A y = 0, dt ˆt = Susttuyendo este valor mínmo obtenemos y, A x b. y, A y 2 f(x + ˆt y) = 2 f(x) + ˆt (2 y, A x b + ˆt y, A y ) = 2 f(x) + ˆt y, A x b = 2 f(x) y, A x b 2. y, A y

13 5.6. Método del gradente conugado y precondconamento 105 Este cálculo demuestra que f(x + ˆt y) es más pequeño que f(x) a menos que y, A x b = 0. S A x b, entonces exsten vectores y que no son ortogonales al resduo y, A x b 0, por lo que ˆt no es el mínmo. Por tanto, debe ser A x b = 0, como se quería demostrar. El método del descenso más rápdo es un algortmo teratvo que se basa en la demostracón precedente. Se basa en la sguente ecuacón teratva donde = x (k) + t k y (k), t k = y(k), A x (k) b y (k), A y (k) y y (k) es la dreccón del gradente negatvo de f en x (k), que se puede calcular fáclmente como f = 1 x a x x b x k x k 2, = 1 2 a x δ k + 1 2, x a δ k, b δ k =,k a k x k b k = A x b, ya que A es smétrca, por lo que y (k) = (A x (k) b). El método del descenso más rápdo es un método teratvo que se puede aplcar para mnmzar una funcón no lneal f(x) cualquera. Consste en elegr un camno x (0), x (1),... de búsqueda del mínmo mrando en la dreccón en la que f decrece más rápdamente (de ahí el nombre). Esta dreccón es la del gradente negatvo de f, es decr, n = f f. El nconvenente fundamental del método del descenso más rápdo es su lenta convergenca. En problemas no lneales en los que f tene mínmos locales, este método puede converger a un mínmo local que no sea el mínmo global que se desea como solucón. 5.6 Método del gradente conugado y precondconamento Asumamos que x 0 = 0. S no lo es, defnmos A z = b A x 0,

14 106 Capítulo 5. Métodos teratvos para la resolucón de ecuacones algebracas lneales cuya solucón z defne x = x 0 + z, y por tanto, la estmacón ncal x 0 corresponde a z 0 = 0. Dos vectores p y p se denomnan vectores A-conugados s p, A p = p A p = 0, para. Los vectores conugados defnen dreccones conugadas. Sea la norma-a de un vector x, x A = x, x A = x A x. Sea A x e = b y defnamos el error de una aproxmacón x E(x) = 1 2 x e x 2 A. como Como n vectores conugados defnen una base de IR n, podemos escrbr la solucón exacta x e = α 1 p α n p n donde α n = p k, x e A p k, p k A = p k A x e p k A p k = p k b p k A p. k El método de la teracón en las dreccones conugadas consste en terar a partr de x 0 = 0, en la forma x k = x k 1 + α k p k, x k = α 1 p α k p n, y como r k = b A x k = f(x k ), r 0 = b, r k = b A x k 1 α k A p k = r k 1 α k A p k. De esta forma, en el k-ésmo paso k = n tendremos x n = x e y r n = 0. El método del gradente conugado parte de x 0 = 0, y opera como sgue p 1 = f(x k ) = r 0 = b, p k+1 = r k + β k+1 p k, que s mponemos que p k y p k+1 son conugados, p k A p k+1 = 0 β k+1 = p k A r k p k A p. k

15 5.6. Método del gradente conugado y precondconamento 107 De esta forma, defnmos la teracón x k = x k 1 + α k p k, donde exgendo x e = α 1 p α n p n, obtenemos, como antes, α k = p k b p k A p. k El método del gradente conugado tene la ventaa de que determna la solucón en m n teracones. La velocdad de convergenca de todos los métodos teratvos que hemos presentado y, en partcular, el método del gradente conugado, dependen del número de condconamento de la matrz de coefcentes. Con obeto de reducr este número, se puede utlzar la técnca de precondconamento. Sea Q una matrz cuya nversa Q 1 exsta y sea fácl de calcular, entonces A x = b Q 1 A Q 1 Q x = Q 1 b, y x se puede determnar resolvendo los sguentes problemas Q x = y, B y = Q 1 b, donde B = Q 1 A Q 1 y Q se debe elegr de tal forma que cond(b) cond(a). Apéndce A: Teorema de Householder-John Sea una matrz A smétrca (real), no sngular, y una descomposcón A = M N, donde M es no sngular tal que Q = M + M A = N + M, sea defnda postva. Entonces ρ(m 1 N) < 1, s y sólo s A es defnda postva. Demostracón. Llamemos B = M 1 N. Como M 1 A = I M 1 N = I B,

16 108 Capítulo 5. Métodos teratvos para la resolucón de ecuacones algebracas lneales B = I M 1 A y A = M M B. Supongamos que A es defnda postva (en IR), es decr, para todo vector x, x, A x = x A x > 0. Coamos un autovalor y un autovector de B, sean B x = λ x, con lo que A x = (1 λ) M x. Como A es defnda postva, λ 1, sno sería x = 0. Aplcando el producto nteror (real) tenemos x, A x = x A x = (1 λ) x, M x, y su compleo conugado x, A x = x, A x = (1 λ) x, M x, ya que M es una matrz real. Sumando las dos expresones anterores obtenemos ( 1 1 λ + 1 ) x, A x = x, (M + M ) x, 1 λ es decr, ( ) 1 2 Re { } = x, (M + M ) x x, Q x = λ x, A x x, A x,

17 BIBLIOGRAFÍA [1] Granero Rodríguez, Francsco, Álgebra y geometría analítca, McGraw-Hll / Interamercana de España, [FTM-4-c/GRA/alg (5)] [2] Hernández Rodríguez, Eugeno, Álgebra y geometría, (2a ed.), Addson-Wesley Iberoamercana España, [FTM-4/HER (5)] [3] Burgos Román, Juan de, Álgebra lneal, McGraw-Hll / Interamercana de España, [FTM-4-c/B (9)]

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