Matemáticas II en Biotecnología

Transcripción

1 Carmen Armero 7 de febrero de 2012

2 Variables y muestras Tipos de variables Muestras Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos

3 Tipos de variables Muestras VARIABLES Y MUESTRAS Variable: Característica de una persona, animal o cosa a la que se le puede asignar un número o una categoría. E.1: Grupo sanguíneo. Categorías A, B, AB y O. E.2: Número de colonias bacterianas en una placa de Petri. Valores 0, 1, 2, 3,... Tipos de variables: Variables categóricas: Variables cualitativas Variables ordinales Variables cuantitativas: Variables discretas Variables continuas

4 Tipos de variables Muestras Tipos de variables: Variables categóricas cualitativas: E.3: Grupo sanguíneo (Categorías A, B, AB y O). E.4: Sexo de un pez (Categorías macho, hembra) E.5: Tipo de superficie de una semilla (Categorías lisa, rugosa) Variables categóricas ordinales: E.6: Respuesta de un paciente a una terapia (ninguna, parcial, completa). E.7: Ternura de la carne de vaca (dura, ligeramente dura, tierna, muy tierna) Variables cuantitativas discretas: E.8: Número de colonias bacterianas en una placa de Petri (0, 1, 2,...). E.9: Número de nodos cancerosos en un enfermo (1, 2, 3,...). Variables cuantitativas contínuas: E.10: Concentración de colesterol en una muestra de sangre (200 mg/dl, mg/dl, mg/dl,...) E.11: Densidad óptica de una solución

5 Tipos de variables Muestras Muestras: Muestra 1: A O AB AB O B B A O O B A AB O A O Variable observada: Grupo sanguíneo (Categórica cualitativa) Unidad observacional: persona Tamaño muestral n = 16 Muestra 2: Un paleontólogo mide la anchura (en mm) del último molar superior en 36 especímenes del mamífero extinguido Acropithecus rigidus. Los resultados son: Variable observada: Anchura en mm. (Cuantitativa contínua) Unidad observacional: molar superior de Acropithecus rigidus Tamaño muestral n = 36

6 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: Tablas de frecuencias Muestra 1: Grupo sanguíneo, n = 16 A O AB AB O B B A O O B A AB O A O Tabla de frecuencias: Grupo Frecuencia Frecuencia Porcentaje sanguíneo relativa A 4 (4/16)= B 3 (3/16)= AB 3 (3/16)= O 6 (6/16)= Total

7 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.12 Las poinsetias pueden ser de color rojo, rosa o blancas. En un estudio sobre el mecanismo hereditario del color se observó el color de 182 descendientes de un determinado cruce parental. Tabla de frecuencias: Color Frecuencia Frecuencia relativa Rojo Rosa Blanco Diagrama de barras:

8 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.13 La intensidad de la reacción de una muestra de sangre a un cierto antígeno se describe en seis grupos dependiendo del grado (en orden ascendente) de agrupación de las células rojas. Tabla de frecuencias de la intensidad de reacción al antígeno en 70 personas de grupo sanguíneo tipo B: Intensidad Frecuencia Intensidad Frecuencia I 6 IV 3 II 35 V 3 III 15 VI 8 Diagrama de barras:

9 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.14 Diagrama de barras correspondiente a la tasa de mortalidad infantil (niños muertos por cada 1000 nacidos vivos) en 1999 en los 12 países de Sudamérica

10 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: Tablas de frecuencias agrupadas Muestra 2: Anchura (en mm) del último molar superior en 36 especímenes del mamífero extinguido Acropithecus rigidus Una de las posibles tablas de frecuencias agrupadas: Anchura Frecuencia Frecuencia relativa / / / / /36 Total 36 1

11 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.14 La creatina fosfoquinasa (CK) es una enzima relacionada con los músculos y la función cerebral. Los siguientes datos corresponden a la concentración (en u/l) de CK en un grupo de 36 hombres y son parte de un proyecto diseñado para estudiar la variabilidad natural de la concentración de CK Tabla de frecuencias agrupadas: CK Frecuencia CK Frecuencia

12 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.14 (continuación) Datos de la concentración (en u/l) de CK en un grupo de 36 hombres. Tabla de frecuencias agrupadas: CK Frecuencia CK Frecuencia Histograma de frecuencias:

13 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.14 (continuación) Datos de la concentración (en u/l) de CK en un grupo de 36 hombres. Histograma de porcentajes: Porcentaje de valores de la concentración de CK entre 40 y 79? Porcentaje de valores de la concentración de CK superiores a 140?

14 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.15 Los grillos Mormón machos (Anabrus simplex) cantan para atraer a las hembras. En un estudio sobre su comportamiento se registró la duración, en minutos, de 51 cantos infructuosos (tiempo transcurrido hasta que el grillo macho abandona su objetivo). Histograma:

15 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos Diagramas de tallo y hojas Es una representación gráfica de la distribución de los datos que, a diferencia del histograma, conserva los valores originales del banco de datos. E.16 En un estudio sobre el crecimiento de las hojas de rábano un grupo de estudiantes plantó semillas de rábano que cultivaron en total oscuridad durante tres días seguidos. Los siguientes datos corresponden a la longitud, en mm., de los 14 brotes obtenidos Una forma natural de organizar y ordenar los datos sería clasificar las observaciones como: Decenas

16 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.16 (continuación) Longitud, en mm., de 14 brotes de plantas de rábanos cultivados durante tres días en total oscuridad. Decenas Diagrama de tallo y hojas: Crecimiento Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 1, , , , Stem width: 10

17 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos E.16 (continuación) Otra experiencia similar sobre el crecimiento de las plantas de rábano consistió en cultivarlas también durante tres días pero alternando 12 horas de oscuridad con 12 horas de luz. Los resultados fueron los siguientes: Diagrama de tallo y hojas conjunto: siendo oscuridad/luz el grupo de la izquierda y total oscuridad el de la derecha y representando 1 3 una longitud de 13 mm. Es interesante comparar ambas distribuciones: datos oscuridad/luz menores y menos dispersos que los del grupo total oscuridad.

18 Tablas de frecuencias Tablas de frecuencias agrupadas Diagramas de tallo y hojas Formas de las distribuciones de los datos Formas de las distribuciones de los datos. Simétrica, acampanada o no. Asimétrica a la izquierda (joroba a la derecha) o asimétrica a la derecha (joroba a la izquierda). Exponencial Uniforme Gráficas en pizarra

19 ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS: Un estadístico es una característica de la muestra. Variables categóricas: la tabla de frecuencias es suficiente para describir los datos de la muestra. Variables cuantitativas: Además de la tabla de frecuencias puede complementarse su descripción con otros estadísticos. Estadísticos de localización: proporcionan información diversa sobre el centro de la distribución de los datos. más populares: la media y la mediana.

20 Media y mediana E.17 Una investigadora aplica el compuesto cancerígeno benzopireno sobre la piel de cinco cobayas. Transcurridas 48 horas registra su concentración en el hígado. Los resultados (en nmoles/gr.) son los siguientes: Notación: y 1 = 6.2, y 2 = 5.9, y 3 = 7.0, y 4 = 6.5, y 5 = 5.9. Definición: Media muestral, ȳ = n i=1 y i/n, siendo n el tamaño de la muestra. La media es el centro de gravedad de la distribución. Siempre se encuentra entre la observación más pequeña (mínimo de la distribución) y la mayor (máximo de la distribución). No tiene necesariamente que coincidir con ninguna de las observaciones de la muestra. Conserva las mismas unidades que los datos. Para los datos del ejemplo E.17 la media muestral es 5 i=1 ȳ = y i 5 = = = 6.3 nmoles/gr.

21 Mediana La mediana es el valor que más se aproxima al punto central de la distribución de los datos. Para calcularla debemos ordenar previamente los datos de menor a mayor. Definición: mediana muestral es el valor que ocupa la posición (n + 1)/2 en la muestra ordenada cuando el tamaño muestral, n, es impar. Cuando n es par la mediana se define como la semisuma de las observaciones que ocupan las posiciones n/2 y (n + 2)/2 de la muestra ordenada. E.17 (cont.) La muestra ordenada será: por lo que como n = 5 la mediana será la observación que ocupa la posición (5 + 1)/2 = 3, es decir, 6.2 nmoles/gr. E.18 La mediana de los datos 5.9, 5.9, 6.2, 6.5, 7.0 y 11.1 es 6.35, que es la semisuma de los valores 6.2 y 6.5 (ocupan la posición 3 y 4, resp.) Al igual que la media, la mediana siempre se encuentra entre el máximo y el mínimo de la distribución y también conserva las mismas unidades que los datos. No tiene necesariamente que coincidir con ninguna de las observaciones de la muestra.

22 Mediana (continuación) Robustez: La mediana es un estadístico robusto porque no cambia excesivamente con una pequeña modificación de los datos. La media, en cambio, no lo es. Volvemos a los datos de los ejemplos E.17 y E.18 y nos fijamos en su media y mediana. Ejemplo Datos ordenados Media Mediana E E Cuando la distribución de los datos es simétrica la media y la mediana coinciden. Pero cuando la forma de la distribución es asimétrica con la joroba a la izquierda (derecha) la mediana es, en general, menor (mayor) que la media.

23 . La mediana muestral divide la distribución de la muestra ordenada en dos partes. Los cuartiles dividen cada una de esas partes en dos. El primer cuartil, que representaremos por Q 1, es la mediana de los valores situados en la primera media parte de los datos. El tercer cuartil, Q 3, es la mediana de las observaciones situadas en la segunda media parte. E.19: En un estudio sobre la producción de leche en ovejas un investigador registró la cantidad de leche, en litros, de 7 ovejas durante tres meses con los siguientes resultados: Lo primero que haremos es ordenar la muestra:

24 (cont) E.19 (cont.): La muestra ordenada de la cantidad de leche, en litros, de 7 ovejas. Mediana= Como la primera media parte de los datos es, , el primer cuartil, que es la mediana de la primera parte de los datos, es Q 1=63.7 Como la segunda media parte de los datos es, , el tercer cuartil, que es la mediana de la segunda parte de los datos, es Q 3=89.8 Definición: Rango intercuartílico, IQR = Q 3 Q 1 = =26.1.

25 (cont.) E.20: Los siguientes datos corresponden al pulso (ordenado de menor a mayor) de 12 estudiantes. La linea en color rojo indica la posición de la mediana Mediana=(74+74)/2=74 Como la primera media parte de los datos es, , el primer cuartil, que es la mediana de la primera parte de los datos, es Q 1=(68+70)/2=69 Como la segunda media parte de los datos es , el tercer cuartil, que es la mediana de la segunda parte de los datos, es Q 3=(76+78)/2=77 Rango intercuartílico, IQR = Q 3 Q 1 =77-69=8

26 Diagramas de cajas E.20 (cont.): Los siguientes datos corresponden al pulso (ordenado de menor a mayor) de 12 estudiantes. La linea en color rojo indica la posición de la mediana (Mínimo=62, Q 1=69, Mediana=74, Q 3=77, Máximo=80) Diagrama de cajas Mín Q 1 Med Q 3 Máx

27 Diagramas de cajas (cont.) Volvemos al diagrama de tallo y hojas del ejemplo E.16 en el que un grupo de estudiantes cultivaban plantas de rábano durante tres días en dos condiciones distintas: alternando periodos de luz y ocuridad y en total oscuridad. Oscuridad/luz Total oscuridad Vamos a calcular a partir de esta información el diagrama de cajas para cada muestra.

28 Diagramas de cajas

29 Outliers u observaciones aberrantes Un outlier es una observación tan alejada del cuerpo principal de los datos que es cuestionable su pertenencia a la población considerada. Pueden producirse por errores en las mediciones o transcripciones de los datos, por fallos de los aparatos de medida, etc. Son observaciones muy interesantes porque pueden producir informaciones muy valiosas (persona con un determinado marcador de salud completamente disparado puede alertar de una enfermedad) Definición de outlier: Cualquier observación que sea: Menor que Q IQR o Mayor que Q IQR

30 E.16 (continuación) Volvemos a la experiencia realizada por un grupo de estudiantes sobre el crecimiento de las plantas de rábano. También cultivaron las plantas durante un periodo de tres días pero con luz constante. Los resultados (ordenados de menor a mayor) obtenidos fueron los siguientes: (Mínimo= 3, Q 1= 7, Mediana= 9.5, Q 3= 10, Máximo= 21) IQR=10-7=3; Q IQR= 2.5; Q IQR=14.5 Considereremos que las observaciones menores que 2.5 y mayores que 14.5 son outliers. Por tanto, en este caso las dos últimas observaciones, 20 y 21, serán outliers.

31 Diagramas de cajas modificados Un diagrama de cajas modificado es un diagrama de cajas en el que los outliers, si los hay, son representados como puntos aislados. Si la muestra no tiene ningún outlier el diagrama de cajas apropiado es el diagrama de cajas estándard. Si la muestra contiene algún outlier deberemos: 1. Representar los outliers como puntos aislados en el diagrama. 2. Construir la caja del diagrama como en los diagramas de cajas estándares. 3. Si tenemos algún outlier en la parte superior de los datos construiremos el ala superior empezando en Q 3 y acabando en la máxima observación de la muestra que no sea un outlier. 4. Si la muestra tiene algún outlier en la parte inferior de los datos el ala inferior tiene como extremos Q 1 y la mínima observación de la muestra que no sea un outlier.

32 Diagramas de cajas modificados

33 : Caracterizan la variabilidad de los datos de la muestra. Las más utilizadas son: rango intercuartílico (IQR), rango, desviación típica y coeficiente de variación. Definición de rango: Es la diferencia, en valor absoluto, entre el máximo y el mínimo de la distribución. E.16 (continuación) Volvemos a la experiencia realizada por un grupo de estudiantes sobre el crecimiento en condiciones de luz constante de las plantas de rábano (Mínimo= 3, Q 1= 7, Mediana= 9.5, Q 3= 10, Máximo= 21) Rango = Máximo - Mínimo = 21-3 = 18 El rango es muy fácil de calcular pero, a diferencia del rango intercuartílico, es muy sensible (poco robusto) a la presencia de outliers.

34 (cont.) Definición de desviación típica, DT: s = n i=1 (y i ȳ) 2, n 1 representando {y 1, y 2,..., y n} las observaciones de la muestra e ȳ la media muestral. Es una medida de la distancia de las observaciones a su media y nunca es negativa. Conserva las mismas unidades que los datos. Para distribuciones unimodales, no muy asimétricas y sin outliers: 1. Alrededor del 68 % de las observaciones están a ±1 DT de la media. 2. Alrededor del 95 % de las observaciones están a ±2 DT de la media 3. Más del 99 % de las observaciones están a ±3 DT de la media. Definición de varianza muestral: Es el cuadrado de la desviación típica, s 2.

35 (cont.) E.21: En una primera experiencia sobre las plantas de crisantemos se midió, en mm., el crecimiento semanal de las ramas de cinco plantas con los siguientes resultados: Calculamos la media muestral de los datos, ȳ = 365/5 = 73 mm. Procedimiento conceptual para s = ni=1 (y i ȳ) 2 Observación Desviación Cuadrado de la desviación y i y i ȳ (y i ȳ) Suma s = 164/4 =6.4 mm n 1

36 (cont.) E.21 (cont.): En una segunda experiencia sobre las plantas de crisantemos se midió también, en mm., el crecimiento semanal de las ramas de cinco plantas. En la siguiente tabla se presentan los resultados de ambas experiencias: Observaciones ȳ s Experiencia Experiencia ȳ

37 (cont.) Definición de coeficiente de variación: Es la desviación típica expresada como un porcentaje de la media, CV = s ȳ 100 % Independiente de las unidades de medida: muy apropiado para comparar la dispersión de dos o más variables medidas en diferentes escalas. E.22 (Problema 14): Se ha realizado un experimento para estudiar los efectos de una nueva dieta en dos grupos de cachorros de perro, uno de cachorros de Gran Danés y el segundo de Chihuahua. La media, desviación típica y coeficiente de variación del aumento de peso, en libras, en ambos grupos fue: ȳ s CV Gran Danés % Chihuahua % cual de los dos grupos tiene mayor variabilidad?, es equívoca una comparación directa entre las desviaciones típicas?, cual sería ahora el coeficiente de variación si los datos se expresaran en kilogramos?