Métodos Numéricos (SC 854) Interpolación

Transcripción

1 Interpolación c M. Valenzuela (26 de febrero de 2008) 1. Definición del problema de interpolación Dada una tabla de valores (x i,f i ) se desea estimar f(x) para valores de x que no se encuentran en la tabla. 2. Interpolación directa En el caso más usual, se desea pasar un polinomio por los datos. En el ejemplo mostrado en la figura 1, debemos pasar un polinomio de orden 4 por estos puntos. Este polinomio es de la siguiente forma: P 4 (x) =c 1 x 4 + c 2 x 3 + c 3 x 2 + c 4 x + c 5. (1) El problema de interpolación es encontrar los valores de las constantes c i que hagan que el polinomio pase por los datos, es decir, que P 4 (x i )=f i. Sustituyendo los cinco valores de x i se genera el siguiente sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas: (0.4) 4 (0.4) 3 (0.4) (2.5) 4 (2.5) 3 (2.5) (4.3) 4 (4.3) 3 (4.3) (5.0) 4 (5.0) 3 (5.0) (6.0) 4 (6.0) 3 (6.0) c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 = (2) Resolviendo obtenemos los valores de los coeficientes c i : c = (3) Una vez que se tiene el vector c se puede escribir el polinomio de interpolación, P 4 (x) =0.0323x x x x , (4) y se puede interpolar para cualquier valor de x. En general, dados unos datos de la forma x f x 1 f 1 x 2 f 2.. x n+1 f n+1

2 Interpolación f(x) x i f i f(x 0 ) x 0 x Figura 1: Dado un conjunto de datos (x i,f i ), se desea encontrar para cualquiera x 0 el valor correspondiente f(x o ) El polinomio de orden n está dadopor P n (x) =c 1 x n + c 2 x n c n x + c n+1 donde los coeficientes c i se obtienen de resolver el sistema de ecuaciones dado por x n 1 x n 1 1 x 1 1 c 1 f 1 x n 2 x n 1 2 x 2 1 c = f 2. x n n+1 x n 1 n+1 x n+1 1 c n+1 f n+1 A la forma anterior de obtener directamente los coeficientes c i generando un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se le denomina interpolación directa. El método de interpolación directa tiene el problema de que las ecuaciones que se generan están mal condicionadas en el caso general a medida que se incrementa el orden del polinomio de interpolación debido a que se tienen valores de x n i. Debido a lo anterior, se han ideado otros métodos de interpolación. El polinomio de interpolación es único, es decir, existe solamente un polinomio de orden n que pase por n +1 datos. Los demás métodos de interpolación escriben este polinomio de formas que resultan más sencillas de evaluar. 3. Polinomio de Lagrange El polinomio de Lagrange de orden n tiene la siguiente forma general: P n (x) = n+1 i=1 n+1 f i j=1 j i x x j x i x j. (5) Es fácil demostrar que los polinomios de Lagrange pasan por todos lo puntos evaluándolos para valores x i n =1, 2,...Paran = 1, es decir, para dos datos, el polinomio tiene la siguiente forma: x x 2 x x 1 P 1 (x) =f 1 + f 2 (6) x 1 x 2 x 2 x 1 c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 2

3 x i f i Figura 2: Datos para interpolar para x = 5.2 mediante el polinomio de Lagrange y el polinomio de Newton. Sustituyendo los valores de x i,esfácil demostrar que P 1 (x 1 )=f 1,yqueP 1 (x 2 )=f 2. Los polinomios de Lagrange de órdenes 2 y 3 se presentan a continuación: (x x 2 )(x x 3 ) P 2 (x) =f 1 (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) + f (x x 1 )(x x 3 ) 2 (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) + f (x x 1 )(x x 2 ) 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) (7) (x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) P 3 (x) = f 1 (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 1 x 4 ) + f (x x 1 )(x x 3 )(x x 4 ) 2 (x 2 x 1 )(x 2 x 3 )(x 2 x 4 ) + (8) (x x 1 )(x x 2 )(x x 4 ) f 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 )(x 3 x 4 ) + f (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) 4 (x 4 x 1 )(x 4 x 2 )(x 4 x 3 ) De nuevo, es fácil demostrar que P 3 (x 1 )=f 1, P 3 (x 2 )=f 2,yP 3 (x 3 )=f 3.Engeneral se puede demostrar que P n (x i )=f i para i =1, 2,...,n+ 1, es decir que el polinomio de Lagrange es efectivamente igual al polinomio de interpolación. Cuando se utiliza el polinomio de Lagrange para interpolación se debe evaluar la ecuación 5 para cada valor que se vaya a interpolar. 4. Ejemplo de interpolación mediante el polinomio de Lagrange Dados los datos mostrados en la figura 2 se desea interpolar para el valor x =5.2, (9) P 4 (x) = f 1 (x x 2 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 1 x 4 )(x 1 x 5 ) + f 2 (x x 1 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 )(x 2 x 4 )(x 2 x 5 ) + f 3 (x x 1 )(x x 2 )(x x 4 )(x x 5 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 )(x 3 x 4 )(x 3 x 5 ) + f 4 (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 5 ) (x 4 x 1 )(x 4 x 2 )(x 4 x 3 )(x 4 x 5 ) + (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) f 5 (x 5 x 1 )(x 5 x 2 )(x 5 x 3 )(x 5 x 4 ) P 4 (5.2) = ( )( )( )( ) 1.00 ( )( )( )( ) + ( )( )( )( ) 0.50 ( )( )( )( ) + c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 3

4 ( )( )( )( ) 2.00 ( )( )( )( ) + ( )( )( )( ) 2.55 ( )( )( )( ) + ( )( )( )( ) 4.00 ( )( )( )( ) P 4 (5.2) = = Polinomio de Newton y diferencias divididas El polinomio de Newton es una forma más eficiente de evaluar el polinomio de interpolación. En este método, se calcula una tabla de diferencias dividas una vez, y éstas son utlizadas para cada dato que se vaya a interpolar. Las diferencias divididas se definen de la siguiente manera: Diferencia dividida de orden 0: f[x i ]=f i (10) Diferencia dividida de orden 1: f[x i,x j ]= f j f i x j x i (11) Diferencia dividida de orden 2: Diferencia dividida de orden más alto: f[x i,x j,x k ]= f[x j,x k ] f[x i,x j ] x k x i (12) f[x 1,x 2,...,x l ]= f[x 2,x 3,...,x l ] f[x 1,x 2,...,x l 1 ] x l x 1 (13) Las diferencias divididas se suelen calcular en forma tabular como se muestra en la figura 3. El polinomio de Newton tiene la siguiente forma general: P n (x) = a 1 + a 2 (x x 1 )+a 3 (x x 1 )(x x 2 )+ + a n+1 (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) (14) = n+1 i 1 a i i=1 j=1 (x x j ) (15) c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 4

5 i f[x i ] f[x i,x i+1 ] f[x i,...,x i+2 ] f[x i,...,x i+3 ] f[x i,...,x i+4 ] f[x i,...,x i+5 ] 1 f 1 f[x 1,x 2 ] f[x 1,x 2,x 3 ] f[x 1,x 2,x 3,x 4 ] f[x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ] f[x 1,...,x 6 ] 2 f 2 f[x 2,x 3 ] f[x 2,x 3,x 4 ] f[x 2,x 3,x 4,x 5 ] f[x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ] 3 f 3 f[x 3,x 4 ] f[x 3,x 4,x 5 ] f[x 3,x 4,x 5,x 6 ] 4 f 4 f[x 4,x 5 ] f[x x,x 5,x 6 ] 5 f 5 f[x 5,x 6 ] 6 f 6 Figura 3: Forma tabular de las diferencias divididas donde a i = f[x 1,x 2,...,x i ] (16) Podemos probar que P n (x) es un polinomio de interpolación. Primero, probamos que P n (x 1 )=f 1 : Ahora, probamos que P n (x 2 )=f 2 : Finalmente, probamos que P n (x 3 )=f 3 : P n (x) = f[x 1 ]=f 1 (17) P n (x 1 ) = f 1 (18) P n (x) = f[x 1 ]+f[x 1,x 2 ](x x 1 ) (19) P n (x 2 ) = f[x 1 ]+f[x 1,x 2 ](x 2 x 1 ) (20) = f 1 + f 2 f 1 (x 2 x 1 ) x 2 x 1 (21) = f 2 (22) P n (x) = f[x 1 ]+f[x 1,x 2 ](x x 1 )+f[x 1,x 2,x 3 ](x x 1 )(x x 2 ) (23) P n (x 3 ) = f[x 1 ]+f[x 1,x 2 ](x 3 x 1 )+f[x 1,x 2,x 3 ](x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) (24) = f 1 + f 2 f 1 (x 3 x 1 )+ f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) (25) x 2 x 1 x 3 x 1 = f 1 + f ( 2 f 1 f3 f 2 (x 3 x 1 )+ f ) 2 f 1 (x 3 x 2 ) (26) x 2 x 1 x 3 x 2 x 2 x 1 = f 1 + f 2 f 1 x 2 x 1 (x 3 x 1 )+(f 3 f 2 ) f 2 f 1 x 2 x 1 (x 3 x 2 ) (27) = f 1 +(f 3 f 2 )+ (f 2 f 1 )(x 3 x 1 ) (f 2 f 1 )(x 3 x 2 ) x 2 x 1 (28) = f 1 +(f 3 f 2 )+ f 2x 1 + f 1 x 1 + f 2 x 2 f 1 x 2 x 2 x 1 (29) = f 1 +(f 3 f 2 )+ f 2(x 2 x 1 ) f 1 (x 2 x 1 ) x 2 x 1 = f 3 (30) c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 5

6 De la misma forma se puede probar que P n (x i )=f i, por lo tanto, el polinomio de Newton es efectivamente un polinomio de interpolación. 6. Ejemplo de interpolación mediante el polinomio de Newton Se desea interpolar los datos de la figura 2 mediante el polinomio de Newton para x = 5.2. Primero, calculamos la tabla de diferencias divididas: i f[x i ] f[x i,x i+1 ] f[x i,x i+1,x i+2 ] f[x i,...,x i+3 ] f[x i,...,x i+4 ] Ahora evaluamos el polinomio de Newton: P 4 (x) = a 1 + a 2 (x x 1 )+a 3 (x x 1 )(x x 2 )+ a 4 (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )+ a 5 (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) (31) P 4 (5.2) = ( )( ) ( )( ) + ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) (32) P 4 (5.2) = (33) 7. Polinomio de Newton-Gregory y diferencias Se dice que los datos estén uniformemente espaciados si x i+1 x i =Δx es constante para i = 1, 2, 3,... Para el caso particular de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una forma más sencilla del polinomio de Newton. Esta forma más sencilla se basa en diferencias que se definen de la siguiente manera: Diferencia de orden 0: Diferencia de orden 1: Δ 0 f i = f i (34) Δ 1 f i = f i+1 f i (35) Diferencia de orden 2: Δ 2 f i =Δ(Δf i )=Δ(f i+1 f i )=Δf i+1 Δf i = f i+2 2f i+1 + f i (36) Diferencia de orden 3: Δ 3 f i =Δ(Δ 2 f i )=Δ 2 f i+1 Δ 2 f i = f i+3 3f i+2 +3f i+1 f i (37) c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 6

7 Diferencia de orden k: Δ k f i = f i+k kf i+k 1 + k(k 1) f i+k 2 2! k(k 1)(k 2) f i+k 3 + (38) 3! El polinomio de Newton-Gregory de orden n tiene la siguiente forma general: k(k 1) P n (x k+1 ) = f 1 + kδf 1 + Δ 2 k(k 1)(k 2) f 1 + Δ 3 f 1 + 2! 3! ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k = Δ 0 f 1 + Δ 1 f 1 + Δ 2 f 1 + Δ 3 f ( ) k k = Δ i f 1 (39) i i=0 para k =1, 2,...,n. Se puede demostrar que el polinomio de Newton-Gregory es el polinomio de interpolación evaluándolo para los valores x i : P n (x 1 ) = f 1 (40) P n (x 2 ) = f 1 +Δf 1 = f 1 + f 2 f 1 = f 2 (41) ( ) ( ) 2 2 P n (x 3 ) = f 1 + Δf 1 + Δ 2 f 1 (42) 1 2 = f 1 +2(f 2 f 1 )+(f 3 2f 2 + f 1 )=f 3 (43). P n (x k+1 ) = f k+1 (44) Para para interpolar mediante el polinomio de Newton-Gregory se calcula un índice no entero s mediante la siguiente fórmula: s = x x 1 Δx (45) El valor de s se sustituye en el polinomio: P n (x) = 7.1. Ejemplo del polinomio de Newton-Gregory n i=0 ( ) s Δ i f 1 (46) i Suponga que se desea interpolar para el valor de x =0.73 mediante el polinomio de Newton-Gregory para los valores mostrados en la figura 4. Como primer paso se calculan todas las diferencias de orden 3 o menor: i x i Δ 0 f i Δ 1 f i Δ 2 f i Δ 3 f i c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 7

8 Interpolación x i f i Figura 4: Datos para interpolar mediante el polinomio de Newton-Gregory. f(x) i x i f i n =4 S 1 (x) S 2 (x) S 4 (x) S 3 (x) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x Figura 5: Un ejemplo del uso de splines para interpolación. Se calcula el valor de s mediante la fórmula 45: s = x x 1 Δx = =1.65 (47) Finalmente, se sustituye el valor de s en el polinomio de Newton-Gregory (ecuación 39): s(s 1) f(0.73) = f 1 + sδf 1 + Δ 2 s(s 1)(s 2) f 1 + Δ 3 f 1 (48) 2! 3! f(0.73) = (0.261) (0.65) (0.65)( 0.35) (49) 6 f(0.73) = (50) 8. Splines cúbicos Splines cúbicos sigue una idea diferente al polinomio de interpolación visto en las secciones anteriores; en lugar de pasar un polinomio único por todos los puntos, pasa un polinomio cúbico, llamado spline cúbico, por cada dos datos. Este spline cúbico tiene la siguiente forma: S i (x) =a i (x x i ) 3 + b i (x x i ) 2 + c i (x x i )+d i. (51) Debido que cada spline cúbico tiene 4 coeficientes, y que se utilizan dos puntos para generarlo, se tienen que definir otras restricciones para encontrar los demás coeficientes. Se c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 8

9 impone la restricción de que en los puntos de unión, llamados knots, la primera y la segunda derivada de los splines que se unen sean iguales. Dado que por el primer punto y por el último solamente pasa un spline es necesario definir condiciones frontera para encontrar los restantes dos coeficientes. En seguida se describen todas las restricciones, y la forma en que estas restricciones generan ecuaciones de las cuales es posible encontrar los coeficientes de los splines. 1. La curva debe pasar por todos los puntos para i =1, 2,...n. S i (x i ) = f i (52) S i (x i+1 ) = f i+1 (53) 2. En los puntos de unión (knots), las primeras derivadas de los splines que se unen deben ser iguales: S i (x i+1) =S i+1 (x i+1) (54) para i =1, 2,...n. 3. En los puntos de unión (knots) de los segmentos cúbicos, las segundas derivadas de los splines que se unen deben ser iguales: para i =1, 2,...n. 4. Se escoge una de las siguientes condiciones frontera: S i (x i+1) =S i+1 (x i+1) (55) Frontera libre o natural S 1 (x 1)=S n (x n+1) = 0 (56) Esta es la más utilizada, y la que se empleará en este apunte. Frontera sujeta S 1 (x 1 ) = f (x 1 ) (57) S n(x n+1 ) = f (x n+1 ) (58) En este caso el usuario define el valor de la segunda derivada en el primer y el último punto. A continuación se derivan las ecuaciones para encontrar los valores de los coeficientes de todos los splines. Antes de empezar, encontramos expresiones para la primera y la segunda derivada de S i (x): S i (x) = a i (x x i ) 3 + b i (x x i ) 2 + c i (x x i )+d i (59) S i(x) = 3a i (x x i ) 2 +2b i (x x i )+c i (60) S i (x) = 6a i (x x i )+2b i (61) Sustituyendo el valor de x i encontramos las siguientes expresiones: S i (x i ) = d i (62) S i (x i) = c i (63) S i (x i ) = 2b i (64) c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 9

10 Para cumplir la condición 1, es decir, que la curva pase por todos los puntos, se requiere que S i (x i )=f i, es decir que d i = f i (65) Para cumplir que S i (x i+1 )=f i+1 se tiene que a i (x i+1 x i ) 3 + b i (x i+1 x i ) 2 + c i (x i+1 x i ) d i = d i+1 (66) Para simplificar, definimos h i x i+1 x i, y obtenemos que a i h 3 i + b i h 2 i + c i h i + d i = d i+1 (67) Para cumplir la condición 2, es decir, que la primera derivada igual en los puntos de unión, se require que S i (x i+1) =S i+1 (x i+1), esto es 3a i h 2 i +2b i h i + c i = c i+1 (68) Para cumplir la condición 3, es decir, que la primera derivada igual en los puntos de unión, se require que S i (x i+1) =S i+1 (x i+1), esto es Dividiendo y despejando a i obtenemos que Sustituyendo lo anterior en la ecuación 67 obtenemos 6a i h i +2b i =2b i+1 (69) a i = 1 3h i (b i+1 b i ) (70) h 2 i 3 (b i+1 b i )+b i h 2 i + c i h i + d i = d i+1 (71) que es lo mismo que h 2 i 3 (b i+1 +2b i )+c i h i + d i = d i+1 (72) ci = 1 (d i+1 d i ) h i h i 3 (b i+1 +2b i ) (73) que es lo mismo que Sustituyendo la ecuación 70 en la ecuación 68: c i 1 = 1 h i 1 (d i d i 1 ) h i 1 3 (b i +2b i 1 ) (74) h i (b i+1 b i )+2b i h i + c i = c i+1 (75) que es lo mismo que h i (b i+1 + b i )+c i = c i+1 (76) h i 1 (b i + b i 1 )+c i 1 = c i (77) c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 10

11 Sustituyendo las ecuaciones 73 y 74 en la ecuación 77 obtenemos lo siguiente h i 1 (b i + b i 1 )+ 1 h i 1 (d i d i 1 ) h i 1 3 (b i +2b i 1 )= 1 h i (d i+1 d i ) h i 3 (b i+1 +2b i ) (78) Simplificando lo anterior finalmente obtenemos la siguiente fórmula que define un sistema de ecuaciones: h i 1 b i 1 +2(h i 1 + h i )b i + h i b i+1 = 3 (d i+1 d i ) 3 (d i d i 1 ) (79) h i h i 1 para i =2, 3,...,n. Lo anterior define un sistema de n 1 ecuaciones con n+1 incógnitas que son las b i.recuérdase que d i = f i. Las dos ecuaciones faltantes se obtiene de la condición 4. En este apunte se toma la condición de frontera natural, S 1 (x 1)=b 1 =0,yS n+1 (x n+1)/2 = b n+1 = 0 que es equivalente a S n(x n+1 ) = 0. Escribiendo las ecuaciones en forma matricial se llega a lo siguiente: h 1 2(h 1 + h 2 ) h b 1 b 2 0 h 2 2(h 2 + h 3 ) h 3 0. b =. 0 h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n 1 0 b n h n 1 2(h n 1 + h n ) h n b n b n (f 3 f 2 ) 3 (f 2 f 1 ) h 2 h 1 3 (f h 4 f 3 ) 3 (f 3 h 3 f 2 ) 2. (80) 3 (f n f n 1 ) 3 (f n 1 f n 2 ) h n 1 h n 2 3 (f n+1 f n ) 3 (f n f n 1 ) h n h n 1 0 Este sistema de ecuaciones se resuelve para encontrar los coeficientes b i. Los coeficientes c i se obtienen de la ecuación 73 que aquí repetimos: c i = 1 h i (d i+1 d i ) h i 3 (b i+1 +2b i ) (81) Los coeficientes b i se obtienen de la ecuación 70 que aquí serepite: Y sabemos que d i = f i. a i = 1 3h i (b i+1 b i ) (82) c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 11

12 9. Ejemplo de interpolación mediante splines cúbicos Deseamos interpolar mediante splines cúbicos los siguientes datos: x i f i para x =1.5. Se plantea el siguiente sistema de ecuaciones: b b b 3 = b b Resolviendo obtenemos los valores de b i para i =1, 2,...,n+1. b = Después de obtener las b i podemos obtener los demás coeficientes: a = c = (83) (84) (85) y sabemos que d i = f i : d = Para realizar la interpolación, encontramos en cuál intervalo cae el valor x = 1.5: cae en entre x 2 y x 3, por lo tanto, se aplica el spline S 2 : (86) S 2 (x) =a 2 (x x 2 ) 3 + b 2 (x x 2 ) 2 + c 2 (x x 2 )+d 2 (87) Evaluando para x =1.5, y tomando en cuenta que 1.5 x 2 =0.5: S 2 (1.5) = ( )(0.5) 3 +(0.1173)(0.5) 2 +(0.5016) = (88) Se puede comprobar que S 4 (x 5) = 0, es decir, que S n(x n+1 )=0. c M. Valenzuela, (26 de febrero de 2008) Página 12