Grafos (principiantes) - Parte I
|
|
|
- Lourdes Lucero Soriano
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Grafos (principiantes) - Parte I Juan Cruz Piñero Facultad de Informática Universidad Nacional del Comahue Training Camp 2017 Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
2 Contenidos 1 Definiciones básicas Qué es un grafo? Caminos y Distancias 2 Formas de Recorrer un grafo 3 camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
3 Contenidos Definiciones básicas Qué es un grafo? 1 Definiciones básicas Qué es un grafo? Caminos y Distancias 2 Formas de Recorrer un grafo 3 camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
4 Qué es un grafo? Definiciones básicas Qué es un grafo? Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados (dirigidos) o no. - Wikipedia Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
5 Qué es un grafo? Definiciones básicas Qué es un grafo? Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados (dirigidos) o no. - Wikipedia Diagrama que representa mediante puntos y líneas las relaciones entre pares de elementos y que se usa para resolver problemas lógicos, topológicos y de cálculo combinatorio. - Real Academia Española Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
6 Qué es un grafo? Definiciones básicas Qué es un grafo? Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados (dirigidos) o no. - Wikipedia Diagrama que representa mediante puntos y líneas las relaciones entre pares de elementos y que se usa para resolver problemas lógicos, topológicos y de cálculo combinatorio. - Real Academia Española Un grafo es un conjunto de puntos y líneas que unen pares de esos puntitos - La posta Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
7 Definiciones básicas Definición formal de grafo Qué es un grafo? Grafo Se define como un conjunto V cuyos elementos se denominan vértices o nodos, y un conjunto E V V cuyos elementos se llaman ejes o aristas. Un grafo puede ser dirigido, es decir, (a, b) E no es lo mismo que (b, a) E o no dirigido, cuando (a, b) = (b, a). Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
8 Definiciones básicas Definición formal de grafo Qué es un grafo? Grafo Se define como un conjunto V cuyos elementos se denominan vértices o nodos, y un conjunto E V V cuyos elementos se llaman ejes o aristas. Un grafo puede ser dirigido, es decir, (a, b) E no es lo mismo que (b, a) E o no dirigido, cuando (a, b) = (b, a). Ejemplo Mediante un grafo podemos representar, por ejemplo, una ciudad. Las esquinas serían los vértices (elementos de V ) y las conexiones por medio de una calle entre dos esquinas serían los ejes (elementos de E). Si las calles son mano y contramano el grafo es dirigido, si en cambio son doble mano, el grafo es no dirigido. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
9 Definiciones básicas Importancia de los grafos Qué es un grafo? Un grafo nos permite representar relaciones de cualquier tipo entre elementos de un conjunto: Dos elementos (vértices) están relacionados si tienen un arista o arco que los relaciona. Si son aristas, la relación entre estos elementos es recíproca. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
10 Definiciones básicas Importancia de los grafos Qué es un grafo? Un grafo nos permite representar relaciones de cualquier tipo entre elementos de un conjunto: Dos elementos (vértices) están relacionados si tienen un arista o arco que los relaciona. Si son aristas, la relación entre estos elementos es recíproca. Esto hace que las técnicas generales que veremos en grafos sean aplicables en casos en que el grafo no esté explicitado. Podemos ver las transiciones de estados de una solución recursiva (posiblemente DP) como arcos de un grafo implícito. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
11 Definiciones básicas Importancia de los grafos Qué es un grafo? Un grafo nos permite representar relaciones de cualquier tipo entre elementos de un conjunto: Dos elementos (vértices) están relacionados si tienen un arista o arco que los relaciona. Si son aristas, la relación entre estos elementos es recíproca. Esto hace que las técnicas generales que veremos en grafos sean aplicables en casos en que el grafo no esté explicitado. Podemos ver las transiciones de estados de una solución recursiva (posiblemente DP) como arcos de un grafo implícito. Comenzaremos trabajando con grafos no dirigidos y daremos algunas definiciones que tienen sentido en grafos no dirigidos, pero que luego podremos adaptar a grafos dirigidos. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
12 Contenidos Definiciones básicas Caminos y Distancias 1 Definiciones básicas Qué es un grafo? Caminos y Distancias 2 Formas de Recorrer un grafo 3 camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
13 Caminos Definiciones básicas Caminos y Distancias Adyacencia Decimos que dos vértices v 1 y v 2 son adyacentes si (v 1, v 2 ) E. En este caso decimos que hay una arista entre v 1 y v 2. Es común llamar "vecinos" de v 1 a los arcos ädyacentes" Camino Un camino entre v y w es una lista de n + 1 vértices v = v 0, v 1,..., v n = w tales que para 0 i < n los vértices v i y v i + 1 son adyacentes. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
14 Definiciones básicas Longitud de un camino Caminos y Distancias Camino Simple Un camino entre v y w, se dice un camino simple, si se cumple que ninguno de los vértices que visita, es visitado más de una vez. Longitud de un camino Diremos que un camino entre v y w es de longitud n, si ese camino es una lista de vértices de longitud n. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
15 Ejemplo Definiciones básicas Caminos y Distancias Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
16 Distancia Definiciones básicas Caminos y Distancias Distancia entre dos vértices La distancia entre dos vértices v y w se define como el menor número n tal que existe un camino entre v y w de largo n. Si no existe ningún camino entre v y w decimos que la distancia entre v y w es Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
17 Contenidos Formas de Recorrer un grafo 1 Definiciones básicas Qué es un grafo? Caminos y Distancias 2 Formas de Recorrer un grafo 3 camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
18 Camino mínimo Formas de Recorrer un grafo Si la distancia entre v y w es n, entonces un camino entre v y w de largo n se llama camino mínimo. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
19 Camino mínimo Formas de Recorrer un grafo Si la distancia entre v y w es n, entonces un camino entre v y w de largo n se llama camino mínimo. Un problema muy frecuente es tener que encontrar la distancia entre dos vértices, este problema se resuelve encontrando un camino mínimo entre los vértices. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
20 Camino mínimo Formas de Recorrer un grafo Si la distancia entre v y w es n, entonces un camino entre v y w de largo n se llama camino mínimo. Un problema muy frecuente es tener que encontrar la distancia entre dos vértices, este problema se resuelve encontrando un camino mínimo entre los vértices. Este problema es uno de los problemas más comunes de la teoría de grafos y se puede resolver de varias maneras, una de ellas es el algoritmo llamado BFS (Breadth First Search). Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
21 BFS Formas de Recorrer un grafo Breadth First Search El BFS es un algoritmo que calcula las distancias de un nodo de un grafo a todos los demás. Para esto empieza en el nodo desde el cual queremos calcular la distancia a todos los demás y se mueve a todos sus vecinos, una vez que hizo esto, se mueve a los vecinos de los vecinos, y así hasta que recorrió todos los nodos del grafo a los que existe un camino desde el nodo inicial. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
22 BFS Formas de Recorrer un grafo Breadth First Search El BFS es un algoritmo que calcula las distancias de un nodo de un grafo a todos los demás. Para esto empieza en el nodo desde el cual queremos calcular la distancia a todos los demás y se mueve a todos sus vecinos, una vez que hizo esto, se mueve a los vecinos de los vecinos, y así hasta que recorrió todos los nodos del grafo a los que existe un camino desde el nodo inicial. Representación del grafo A la hora de implementar un algoritmo sobre un grafo es importante saber cómo vamos a representar el grafo. Hay más de una forma de representar un grafo, nosotros veremos dos de ellas. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
23 Formas de Recorrer un grafo Formas de representar un grafo Lista de adyacencia La lista de adyacencia es un vector de vectores de enteros, que en el i-ésimo vector tiene el número j si hay una arista entre los nodos i y j. Esta representación es la que usaremos para nuestra implementación del BFS Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
24 Formas de Recorrer un grafo Formas de representar un grafo Lista de adyacencia La lista de adyacencia es un vector de vectores de enteros, que en el i-ésimo vector tiene el número j si hay una arista entre los nodos i y j. Esta representación es la que usaremos para nuestra implementación del BFS Matriz de adyacencia La matriz de adyacencia es una matriz de n n donde n es la cantidad de nodos del grafo, que en la posición (i, j) tiene un 1 (o true) si hay una arista entre los nodos i y j y 0 (o false) sino. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
25 Formas de Recorrer un grafo Formas de representar un grafo Lista de adyacencia La lista de adyacencia es un vector de vectores de enteros, que en el i-ésimo vector tiene el número j si hay una arista entre los nodos i y j. Esta representación es la que usaremos para nuestra implementación del BFS Matriz de adyacencia La matriz de adyacencia es una matriz de n n donde n es la cantidad de nodos del grafo, que en la posición (i, j) tiene un 1 (o true) si hay una arista entre los nodos i y j y 0 (o false) sino. A partir de ahora en nuestras implementaciones n será la cantidad de nodos y m la cantidad de ejes. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
26 Formas de Recorrer un grafo Detalles de implementación del BFS Las distancias del nodo inicial a los demás nodos las inicializaremos en un virtual infinito (puede ser, por ejemplo, la cantidad de nodos del grafo, ya que es imposible que la distancia entre dos nodos del grafo sea mayor o igual a ese número.) Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
27 Formas de Recorrer un grafo Detalles de implementación del BFS Las distancias del nodo inicial a los demás nodos las inicializaremos en un virtual infinito (puede ser, por ejemplo, la cantidad de nodos del grafo, ya que es imposible que la distancia entre dos nodos del grafo sea mayor o igual a ese número.) Usaremos una cola para ir agregando los nodos por visitar. Como agregamos primero todos los vecinos del nodo inicial, los primeros nodos en entrar a la cola son los de distancia 1, luego agregamos los vecinos de esos nodos, que son los de distancia 2, y así vamos recorriendo el grafo en orden de distancia al vértice inicial. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
28 Formas de Recorrer un grafo Detalles de implementación del BFS Las distancias del nodo inicial a los demás nodos las inicializaremos en un virtual infinito (puede ser, por ejemplo, la cantidad de nodos del grafo, ya que es imposible que la distancia entre dos nodos del grafo sea mayor o igual a ese número.) Usaremos una cola para ir agregando los nodos por visitar. Como agregamos primero todos los vecinos del nodo inicial, los primeros nodos en entrar a la cola son los de distancia 1, luego agregamos los vecinos de esos nodos, que son los de distancia 2, y así vamos recorriendo el grafo en orden de distancia al vértice inicial. Cuando visitamos un nodo, sabemos cuáles de sus vecinos agregar a la cola. Tenemos que visitar los vecinos que todavía no han sido visitados. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
29 Formas de Recorrer un grafo Implementación del BFS 1 vector<int> BFS(vector<vector<int> > &lista, int nodoinicial){ 2 int n = lista.size(),t; 3 queue<int> cola; 4 vector<int> distancias(n,n); 5 cola.push(nodoinicial); 6 distancias[nodoinicial] = 0; 7 while(!cola.empty()){ 8 t = cola.front(); 9 cola.pop(); 10 for(int i=0;i<lista[t].size();i++){ 11 if(distancias[lista[t][i]]==n){ 12 distancias[lista[t][i]] = distancias[t]+1; 13 cola.push(lista[t][i]); 14 } 15 } 16 } 17 return distancias; 18 } Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
30 Ejemplo - BFS Formas de Recorrer un grafo There is given a rectangular bitmap of size n*m. Each pixel of the bitmap is either white or black, but at least one is white. The pixel in i-th line and j-th column is called the pixel (i,j). The distance between two pixels p1=(i1,j1) and p2=(i2,j2) is defined as: d(p1, p2) = i1 i2 + j1 j2. Task Write a program which: - reads the description of the bitmap from the standard input, - for each pixel, computes the distance to the nearest white pixel, - writes the results to the standard output. (1 <= n, m <= 200) Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
31 Formas de Recorrer un grafo Formas de recorrer un grafo Existen varias maneras de recorrer un grafo, cada una puede ser útil según el problema. Una forma de recorrer un grafo es el BFS, que recorre los nodos en orden de distancia a un nodo. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
32 Formas de Recorrer un grafo Formas de recorrer un grafo Existen varias maneras de recorrer un grafo, cada una puede ser útil según el problema. Una forma de recorrer un grafo es el BFS, que recorre los nodos en orden de distancia a un nodo. Otra forma de recorrer un grafo es un DFS (Depth First Search), que recorre el grafo en profundidad, es decir, empieza por el nodo inicial y en cada paso visita un nodo no visitado del nodo donde está parado, si no hay nodos por visitar vuelve para atrás. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
33 Formas de Recorrer un grafo Formas de recorrer un grafo Existen varias maneras de recorrer un grafo, cada una puede ser útil según el problema. Una forma de recorrer un grafo es el BFS, que recorre los nodos en orden de distancia a un nodo. Otra forma de recorrer un grafo es un DFS (Depth First Search), que recorre el grafo en profundidad, es decir, empieza por el nodo inicial y en cada paso visita un nodo no visitado del nodo donde está parado, si no hay nodos por visitar vuelve para atrás. Un problema que se puede resolver con un DFS es decidir si un grafo es un árbol. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
34 Árboles Formas de Recorrer un grafo Definición Un árbol es un grafo conexo acíclico. Un grafo es conexo si para todo par de vértices hay un camino que los une, y es acíclico si no contiene ciclos. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
35 Árboles Formas de Recorrer un grafo Definición Un árbol es un grafo conexo acíclico. Un grafo es conexo si para todo par de vértices hay un camino que los une, y es acíclico si no contiene ciclos. Un DFS empieza en un nodo cualquiera de un grafo, y se expande en cada paso a un vecino del nodo actual, si ya se expandio a todos los vecinos vuelve para atrás. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
36 Árboles Formas de Recorrer un grafo Definición Un árbol es un grafo conexo acíclico. Un grafo es conexo si para todo par de vértices hay un camino que los une, y es acíclico si no contiene ciclos. Un DFS empieza en un nodo cualquiera de un grafo, y se expande en cada paso a un vecino del nodo actual, si ya se expandio a todos los vecinos vuelve para atrás. Si el DFS se quiere expandir a un nodo ya visitado desde otro nodo, esto quiere decir que hay un ciclo. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
37 Ejemplo DFS 1 Formas de Recorrer un grafo En el ejemplo anterior vimos cómo recorre el grafo un DFS. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
38 Ejemplo DFS 1 Formas de Recorrer un grafo En el ejemplo anterior vimos cómo recorre el grafo un DFS. Cuando llega a un nodo que ya fue visitado se da cuenta de que pudo acceder a ese nodo por dos caminos, eso quiere decir que si recorremos uno de los caminos en un sentido y el otro camino en sentido opuesto formamos un ciclo. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
39 Ejemplo DFS 1 Formas de Recorrer un grafo En el ejemplo anterior vimos cómo recorre el grafo un DFS. Cuando llega a un nodo que ya fue visitado se da cuenta de que pudo acceder a ese nodo por dos caminos, eso quiere decir que si recorremos uno de los caminos en un sentido y el otro camino en sentido opuesto formamos un ciclo. Así como el BFS se implementa con una cola, el DFS se implementa con una pila. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
40 Formas de Recorrer un grafo Implementación del DFS 1 bool esarbol(vector<vector<int> > &lista, int t, vector<bool> &toc, int padre) 2 { 3 toc[t] = true; 4 for(int i=0;i<lista[t].size();i++) 5 { 6 if((toc[lista[t][i]]==true&&lista[t][i]!=padre)) 7 return false; 8 if(toc[lista[t][i]]==false) 9 if(esarbol(lista,lista[t][i],toc,t)==false)) 10 return false; 11 } 12 return true; 13 } Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
41 Ejemplo Formas de Recorrer un grafo Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
42 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo En ningún momento usamos una pila explícita, pero la pila está implícita en la recursión. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
43 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo En ningún momento usamos una pila explícita, pero la pila está implícita en la recursión. Guardamos el padre del nodo, es decir, el nodo desde el cuál fuimos a parar al nodo actual, para no confundir un ciclo con ir y volver por la misma arista. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
44 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo En ningún momento usamos una pila explícita, pero la pila está implícita en la recursión. Guardamos el padre del nodo, es decir, el nodo desde el cuál fuimos a parar al nodo actual, para no confundir un ciclo con ir y volver por la misma arista. Si el nodo ya lo visitamos y no es el nodo desde el cual venimos quiere decir que desde algún nodo llegamos por dos caminos, o sea que hay un ciclo. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
45 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo En ningún momento usamos una pila explícita, pero la pila está implícita en la recursión. Guardamos el padre del nodo, es decir, el nodo desde el cuál fuimos a parar al nodo actual, para no confundir un ciclo con ir y volver por la misma arista. Si el nodo ya lo visitamos y no es el nodo desde el cual venimos quiere decir que desde algún nodo llegamos por dos caminos, o sea que hay un ciclo. Si el nodo no lo visitamos, pero desde uno de sus vecinos podemos llegar a un ciclo, entonces es porque hay un ciclo en el grafo y por lo tanto no es un árbol. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
46 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo En ningún momento usamos una pila explícita, pero la pila está implícita en la recursión. Guardamos el padre del nodo, es decir, el nodo desde el cuál fuimos a parar al nodo actual, para no confundir un ciclo con ir y volver por la misma arista. Si el nodo ya lo visitamos y no es el nodo desde el cual venimos quiere decir que desde algún nodo llegamos por dos caminos, o sea que hay un ciclo. Si el nodo no lo visitamos, pero desde uno de sus vecinos podemos llegar a un ciclo, entonces es porque hay un ciclo en el grafo y por lo tanto no es un árbol. Faltan tener en cuenta algunas consideraciones. Se dan cuenta cuáles? Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
47 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo t es el nodo en el que estamos parados, toc guarda los nodos que ya tocamos, y padre es el nodo desde el que venimos. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
48 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo t es el nodo en el que estamos parados, toc guarda los nodos que ya tocamos, y padre es el nodo desde el que venimos. toc empieza inicializado en false y el tamaño de toc es el mismo que el de lista. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
49 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo t es el nodo en el que estamos parados, toc guarda los nodos que ya tocamos, y padre es el nodo desde el que venimos. toc empieza inicializado en false y el tamaño de toc es el mismo que el de lista. Estamos asumiendo que el grafo es conexo, ya que si no lo es la función esarbol puede devolver true sin ser un árbol Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
50 Análisis del DFS Formas de Recorrer un grafo t es el nodo en el que estamos parados, toc guarda los nodos que ya tocamos, y padre es el nodo desde el que venimos. toc empieza inicializado en false y el tamaño de toc es el mismo que el de lista. Estamos asumiendo que el grafo es conexo, ya que si no lo es la función esarbol puede devolver true sin ser un árbol La forma de chequear si el grafo es conexo es chequear que hayamos tocado todos los nodos, es decir, que todas las posiciones de toc terminen en true. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
51 Ejemplo DFS 2 Formas de Recorrer un grafo - Longest path in a tree You are given an unweighted, undirected tree. Write a program to output the length of the longest path (from one node to another) in that tree. The length of a path in this case is number of edges we traverse from source to destination. Input The first line of the input file contains one integer N number of nodes in the tree (0 < N <= 10000). Next N-1 lines contain N-1 edges of that tree Each line contains a pair (u, v) means there is an edge between node u and node v (1 <= u, v <= N). Output Print the length of the longest path on one line. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
52 Complejidades Formas de Recorrer un grafo Para saber si un algoritmo es bueno en cuanto a su tiempo de ejecución es muy útil conocer su complejidad temporal, es decir, una función evaluada en el tamaño del problema que nos de una cota de la cantidad de operaciones del algoritmo. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
53 Complejidades Formas de Recorrer un grafo Para saber si un algoritmo es bueno en cuanto a su tiempo de ejecución es muy útil conocer su complejidad temporal, es decir, una función evaluada en el tamaño del problema que nos de una cota de la cantidad de operaciones del algoritmo. Por ejemplo, si el problema tiene un tamaño de entrada n la complejidad podría ser O(< n 2 ), esto quiere decir que existe una constante c tal que el algoritmo tarda menos de cn 2 para todos los casos posibles. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
54 Complejidades Formas de Recorrer un grafo Para saber si un algoritmo es bueno en cuanto a su tiempo de ejecución es muy útil conocer su complejidad temporal, es decir, una función evaluada en el tamaño del problema que nos de una cota de la cantidad de operaciones del algoritmo. Por ejemplo, si el problema tiene un tamaño de entrada n la complejidad podría ser O(< n 2 ), esto quiere decir que existe una constante c tal que el algoritmo tarda menos de cn 2 para todos los casos posibles. El cálculo de complejidades es un análisis teórico y no tiene en cuenta la constante c que puede ser muy chica o muy grande, sin embargo es por lo general una buena referencia para saber si un algoritmo es bueno o malo. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
55 Complejidades Formas de Recorrer un grafo Para saber si un algoritmo es bueno en cuanto a su tiempo de ejecución es muy útil conocer su complejidad temporal, es decir, una función evaluada en el tamaño del problema que nos de una cota de la cantidad de operaciones del algoritmo. Por ejemplo, si el problema tiene un tamaño de entrada n la complejidad podría ser O(< n 2 ), esto quiere decir que existe una constante c tal que el algoritmo tarda menos de cn 2 para todos los casos posibles. El cálculo de complejidades es un análisis teórico y no tiene en cuenta la constante c que puede ser muy chica o muy grande, sin embargo es por lo general una buena referencia para saber si un algoritmo es bueno o malo. La complejidad del BFS y del DFS es O(n + m) = O(m) Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
56 Contenidos camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados 1 Definiciones básicas Qué es un grafo? Caminos y Distancias 2 Formas de Recorrer un grafo 3 camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
57 Ejes con peso camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Hasta ahora en los grafos que vimos la distancia entre dos nodos vecinos siempre fue 1. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
58 Ejes con peso camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Hasta ahora en los grafos que vimos la distancia entre dos nodos vecinos siempre fue 1. Un grafo ponderado es un grafo en el cuál los ejes tienen peso. Los pesos de los ejes pueden ser números en N, Z, R, etc. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
59 Ejes con peso camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Hasta ahora en los grafos que vimos la distancia entre dos nodos vecinos siempre fue 1. Un grafo ponderado es un grafo en el cuál los ejes tienen peso. Los pesos de los ejes pueden ser números en N, Z, R, etc. La distancia entre dos nodos v y w es el menor d tal que existen v = v 0, v 1,..., v n = w tales que si p i es el peso del eje que une v i n 1 y v i+1 entonces d = p i. i=0 Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
60 Algoritmo de Dijkstra camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados El BFS ya no sirve para calcular el camino mínimo entre dos nodos de un grafo ponderado. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
61 Algoritmo de Dijkstra camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados El BFS ya no sirve para calcular el camino mínimo entre dos nodos de un grafo ponderado. Para solucionar ese problema, existe, entre otros, el algoritmo de Dijkstra. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
62 Algoritmo de Dijkstra camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados El BFS ya no sirve para calcular el camino mínimo entre dos nodos de un grafo ponderado. Para solucionar ese problema, existe, entre otros, el algoritmo de Dijkstra. El algoritmo de Dijkstra calcula dado un vértice la distancia mínima a todos los demás vértices desde ese vértice en un grafo ponderado. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
63 camino mínimo Qué hace el algoritmo de Dijkstra? Camino mínimo en grafos ponderados Algoritmo de Dijkstra El algoritmo de Dijkstra empieza en el vértice inicial, que empieza con distancia cero, y todos los demás vértices empiezan en distancia infinito, en cada paso el algoritmo actualiza las distancias de los vecinos del nodo actual cambiándolas, si las hace más chicas, por la distancia al nodo actual más el peso del eje que los une. Luego elige el vértice aún no visitado de distancia más chica y se mueve a ese vértice. Hay varias versiones del algoritmo de Dijkstra de las cuales nosotros veremos dos, con y sin cola de prioridad, la diferencia está en cómo se elige a qué nodo moverse. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
64 camino mínimo Distintas versiones de Dijkstra Camino mínimo en grafos ponderados Dijkstra sin cola de prioridad Una vez que actualiza las distancias para elegir a qué nodo moverse revisa todos los nodos del grafo uno por uno y se queda con el más cercano aún no visitado. Dijkstra con cola de prioridad En cada paso guarda en una cola de prioridad los nodos aún no visitados ordenados según su distancia. La cola de prioridad es una estructura en la que se puede insertar y borrar en tiempo logarítmico en función de la cantidad de elementos de la cola y consultar el menor en tiempo constante. Así, siempre sabe en tiempo constante qué nodo es el próximo a visitar. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
65 camino mínimo Distintas versiones de Dijkstra Camino mínimo en grafos ponderados Nosotros veremos sólo el algoritmo sin cola de prioridad porque es más fácil de implementar el algoritmo sin la cola. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
66 camino mínimo Distintas versiones de Dijkstra Camino mínimo en grafos ponderados Nosotros veremos sólo el algoritmo sin cola de prioridad porque es más fácil de implementar el algoritmo sin la cola. La cola de prioridad es una estructura difícil de implementar pero el set que viene en la STL de C++ funciona como una cola de prioridad. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
67 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
68 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
69 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
70 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
71 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
72 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
73 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
74 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
75 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
76 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
77 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
78 Ejemplo camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
79 camino mínimo Implementación de Dijkstra Camino mínimo en grafos ponderados 1 vector<int> dijkstra(vector<vector<pair<int,int> > > &lista,int nodoinicial) 2 { 3 int n = lista.size(); 4 vector<int> dist(n,inf); 5 vector<bool> toc(n,false); 6 dist[nodoinicial] = 0; 7 int t = nodoinicial; 8 for(int i=0;i<n;i++){ 9 toc[t] = true; 10 for(int i=0;i<lista[t].size();i++) 11 dist[lista[t][i].first] = min(dist[lista[t][i].first],dist[t]+ lista[t][i].second); 12 for(int i=0;i<n;i++) 13 if(toc[t]==true (toc[i]==false&&dist[i]<dist[t])) 14 t = i; 15 } 16 return dist; 17 } Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
80 Análisis de Dijkstra camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Cuando usamos el valor INF es un valor previamente definido como un virtual infinito, puede ser, por ejemplo, la suma de todos los pesos de los ejes más uno. Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
81 Análisis de Dijkstra camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Cuando usamos el valor INF es un valor previamente definido como un virtual infinito, puede ser, por ejemplo, la suma de todos los pesos de los ejes más uno. La complejidad del algoritmo de Dijkstra es O(n 2 + m) y como E = O(n 2 ) entonces la complejidad es O(n 2 ). La versión con cola de prioridad tiene complejidad O((m + n) log n) Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
82 Análisis de Dijkstra camino mínimo Camino mínimo en grafos ponderados Cuando usamos el valor INF es un valor previamente definido como un virtual infinito, puede ser, por ejemplo, la suma de todos los pesos de los ejes más uno. La complejidad del algoritmo de Dijkstra es O(n 2 + m) y como E = O(n 2 ) entonces la complejidad es O(n 2 ). La versión con cola de prioridad tiene complejidad O((m + n) log n) El algoritmo de Dijkstra funciona sólo con pesos no negativos. Para calcular camino mínimo en un grafo con pesos negativos existe el algoritmo de Bellman-Ford, que además de calcular camino mínimo detecta ciclos negativos.... Lo vemos la otra clase Juan Cruz Piñero (FAI - UNCo) Grafos (Principiantes) Parte I TC / 39
Grafos. Amalia Duch Brown Octubre de 2007
Grafos Amalia Duch Brown Octubre de 2007 Índice 1. Definiciones Básicas Intuitivamente un grafo es un conjunto de vértices unidos por un conjunto de líneas o flechas dependiendo de si el grafo es dirigido
Grafos. Suponiendo que e = [u, v]. Entonces los nodos u y v se llaman extremos de e y u y v se dice que son nodos adyacentes o vecinos.
![Grafos. Suponiendo que e = [u, v]. Entonces los nodos u y v se llaman extremos de e y u y v se dice que son nodos adyacentes o vecinos.](/thumbs/54/33802392.jpg "Grafos. Suponiendo que e = [u, v]. Entonces los nodos u y v se llaman extremos de e y u y v se dice que son nodos adyacentes o vecinos.")
Grafos Los grafos son estructuras que constan de vértices o nodos y de aristas o arcos que conectan los vértices entre sí. Un grafo G consiste en dos cosas: 1. Un conjunto V de elementos llamados nodos
El TAD Grafo. El TAD Grafo
! Esta representación resulta útil cuando el número de vértices se conoce previamente y permanecerá fijo durante la resolución del problema, pero resulta ineficiente si necesitamos añadir o eliminar vértices
Teoría de grafos y optimización en redes
Teoría de grafos y optimización en redes José María Ferrer Caja Universidad Pontificia Comillas Definiciones básicas Grafo: Conjunto de nodos (o vértices) unidos por aristas G = (V,E) Ejemplo V = {,,,,
Grafos. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Grafos 1 / 30
Grafos AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Grafos / 0 Objetivos Al finalizar este tema tendréis que: Conocer la terminología básica de la teoría de grafos. Pasar
Algoritmos para determinar Caminos Mínimos en Grafos
Problemas de camino mínimo Algoritmos para determinar Caminos Mínimos en Grafos Algoritmos y Estructuras de Datos III DC, FCEN, UBA, C 202 Problemas de camino mínimo Dado un grafo orientado G = (V, E)
Centro Asociado Palma de Mallorca. Tutor: Antonio Rivero Cuesta
Centro Asociado Palma de Mallorca Lógica y Estructuras Discretas Tutor: Antonio Rivero Cuesta Tema 5 Teoría de Grafos Conceptos Básicos Un grafo consta de: Grafo Un conjunto de nodos, Un conjunto de aristas
Es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre
Es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Típicamente, un grafo se representa
Grafos. Algoritmos y Estructuras de Datos III
Grafos Algoritmos y Estructuras de Datos III Grafos Un grafo G = (V, X ) es un par de conjuntos, donde V es un conjunto de puntos o nodos o vértices y X es un subconjunto del conjunto de pares no ordenados
Ruta más Corta con una sóla Fuente de Inicio (Single-Source Shortest Paths) DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE
Ruta más Corta con una sóla Fuente de Inicio (Single-Source Shortest Paths) 1 DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE Problema de Encontrar la Ruta más Corta 2 Se requiere llegar de
Retículos y Álgebras de Boole
Retículos y Álgebras de Boole Laboratorio de Matemática Discreta Jesús Martínez Mateo jmartinez@fi.upm.es Práctica 1. Ordenación topológica A. Herramientas necesarias Para la práctica que vamos a realizar
Apuntes elaborados por: Aaron Asencio, Eduardo Quevedo, Raquel López Revisado por: Javier Miranda el???
Apuntes elaborados por: Aaron Asencio, duardo Quevedo, Raquel López Revisado por: Javier Miranda el??? Tema 9: rafos Los grafos no son más que la versión general de un árbol, es decir, cualquier nodo de
Tipos algebraicos y abstractos. Algoritmos y Estructuras de Datos I. Tipos algebraicos
Algoritmos y Estructuras de Datos I 1 cuatrimestre de 009 Departamento de Computación - FCEyN - UBA Programación funcional - clase Tipos algebraicos Tipos algebraicos y abstractos ya vimos los tipos básicos
Caminos y Flujos optimales. Introducción a la Investigación de Operaciones 2007
Caminos y Flujos optimales Introducción a la Investigación de Operaciones 2007 Contenido Definiciones básicas. Conexidad. Clausura transitiva. Esqueletos y caminos optimales. Redes. Flujos. Algoritmo de
En la fig. 1 se representa el grafo, G=(V,A) donde: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = { {1,2}, {1,3}, {1,5}, {3}, {3,4}, {4,5}, {5,6} }
Unidad 1 Parte 1 - Teoría de Grafos Introducción En este capítulo veremos la noción matemática de grafo y propiedades de los mismos. En capítulos subsiguientes veremos las estructuras de datos utilizadas
El TAD Grafo. El TAD Grafo
Objetivos! Estudiar la especificación del TAD Grafo! Presentar diferentes alternativas de implementación! Conocer los algoritmos más importantes de manipulación de grafos Contenidos.1 Conceptos. Especificación
Un grafo G = (V, E) se dice finito si V es un conjunto finito.
1 Grafos: Primeras definiciones Definición 1.1 Un grafo G se define como un par (V, E), donde V es un conjunto cuyos elementos son denominados vértices o nodos y E es un subconjunto de pares no ordenados
TEORIA DE GRAFOS. Estructuras Discretas Ing. Jenny Paredes Aguilar
TEORIA DE GRAFOS Estructuras Discretas Ing. Jenny Paredes Aguilar INTRODUCCION Teoria de grafos se usa en numerosos problemas cuantificables, en las organizaciones, intervienen una serie de elementos entre
Grafos y Redes. 3. Resolución: Dibujar el camino sin levantar el lápiz y pasando sólo una vez por cada arco o arista.
Grafos y Redes. Nodos: vértices, 2, 3 2. Arcos: aristas, conexión entre nodos. 2, 54, etc. 3. Resolución: Dibujar el camino sin levantar el lápiz y pasando sólo una vez por cada arco o arista. 4. Grado
Introducción a la Geometría Computacional. Análisis de Algoritmos
Introducción a la Geometría Computacional Análisis de Algoritmos Geometría Computacional La Geometría Computacional surgió a finales de los 70s del área de diseño y análisis de algoritmos. Estudio sistemático
2007 Carmen Moreno Valencia
Tema VIII. Grafos Grafos 1 2007 Carmen Moreno Valencia 1. Grafos, digrafos y multigrafos 2. Grafos eulerianos 3. Matrices de adyacencia e incidencia 4. Exploración de grafos pesados 1. Grafos, digrafos
Francis Guthrie Planteo el problema de los cuatro colores, después de colorear el mapa de Inglaterra 9/15/2015 3
INTRODUCCION GRAFOS La Teoria de Grafos nace del análisis sobre una inquietud presentada en la isla Kueiphof en Koenigsberg (Pomerania) ya que el río que la rodea se divide en dos brazos. Sobre los brazos
Tema: Los Grafos y su importancia para la optimización de redes.
Tema: Los Grafos y su importancia para la optimización de redes. Qué son los Grafos? Un grafo es una dupla G= {X,U}, donde X es un conjunto finito y no vacio de elementos llamados vértices y U es el conjunto
Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal
Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal En esta sección se describen dos formulaciones de programación lineal para el problema de la ruta más corta. Las formulaciones son generales,
Tema Árboles generales. 9.2 Árboles binarios 9.3 Árboles de búsqueda
Informática Haskell Matemáticas Curso 2004-2005 Pepe Gallardo Universidad de Málaga Tema 9. Árboles 9.1 Árboles generales 9.2 Árboles binarios 9.3 Árboles de búsqueda 9.1 Árboles generales Un árbol es
APUNTADORES. Un apuntador es un objeto que apunta a otro objeto. Es decir, una variable cuyo valor es la dirección de memoria de otra variable.
APUNTADORES Un apuntador es un objeto que apunta a otro objeto. Es decir, una variable cuyo valor es la dirección de memoria de otra variable. No hay que confundir una dirección de memoria con el contenido
Complejidad computacional (Análisis de Algoritmos)
Definición. Complejidad computacional (Análisis de Algoritmos) Es la rama de las ciencias de la computación que estudia, de manera teórica, la optimización de los recursos requeridos durante la ejecución
Objetivos formativos de Matemática Discreta. Tema 1: Conjuntos, aplicaciones y relaciones
Objetivos formativos de Matemática Discreta Para cada uno de los temas el alumno debe ser capaz de hacer lo que se indica en cada bloque. Además de los objetivos que se señalan en cada tema, se considera
Flujos de redes (Network Flows NF)
Fluos de redes (Network Flows NF). Terminología. Árbol generador mínimo. Camino mínimo 4. Fluo máximo 5. Fluo de coste mínimo TEORÍA DE GRAFOS. OPTIMIZACIÓN EN REDES Terminología Red o grafo (G) Nodos
Proyecto 2: recorridos sobre grafos y componentes conexas
Universidad Simón Bolívar Departamento de Computación y Tecnología de la Información CI-2693. Laboratorio de Algoritmos y Estructuras III Trimestre Abril-Julio 2015 1. Introducción Proyecto 2: recorridos
Algoritmos y programas. Algoritmos y Estructuras de Datos I
Algoritmos y programas Algoritmos y Estructuras de Datos I Primer cuatrimestre de 2012 Departamento de Computación - FCEyN - UBA Programación funcional - clase 1 Funciones Simples - Recursión - Tipos de
Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad
Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean
Introducción a la Teoría de Grafos
Introducción a la Teoría de Grafos Flavia Bonomo fbonomo@dc.uba.ar do. Cuatrimestre 009 Programa Introducción a la teoría de grafos Problemas de camino mínimo Problemas de flujo máximo Clases de complejidad
(b) Cuál es la desventaja principal de una heurística con aprendizaje? es más informada que otra función heurística optimista h 2 *?
UNIVERIDD REY JUN CRLO CURO 0-0 INTELIGENCI RTIFICIL Hoja de Problemas Tema Ejercicio : Conteste a las siguientes preguntas: (a) Cómo funciona una heurística con aprendizaje? olución: Una heurística con
Teorema de Hoffman-Singleton.
Teorema de Hoffman-Singleton. Felipe Negreira. 18 de junio de 01. Sea X un grafo regular de grado, conexo y de diámetro. Cuál es la cantidad máxima de vértices que puede tener X bajo estas condiciones?
Algebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Algoritmos sobre Grafos
Sexta Sesión 27 de febrero de 2010 Contenido Deniciones 1 Deniciones 2 3 4 Deniciones sobre Grafos Par de una lista de nodos y una lista de enlaces, denidos a su vez como pares del conjunto de nodos.
Geometría combinatoria de cuadrados mágicos, latinos, sudokus y otras tablas curiosas
Geometría combinatoria de cuadrados mágicos, latinos, sudokus y otras tablas curiosas Jesús A. De Loera University of California, Davis trabajo conjunto con Shmuel Onn (Technion Haifa Israel) Cuadrados
Clases e instancias. Algoritmos y Estructuras de Datos I. Clases e instancias. memoria dinámica.
Algoritmos Estructuras de Datos I Primer cuatrimestre de 2014 Departamento de Computación - FCEN - UBA Programación imperativa - clase 10 Memoria dinámica listas enlazadas Clases e instancias El paquete
Definición 1.1 Sea G = (V, A) un grafo no dirigido. G se denomina árbol si es conexo y no contiene ciclos.
Matemática Discreta y Lógica 2 1. Árboles Árboles Definición 1.1 Sea G = (V, A) un grafo no dirigido. G se denomina árbol si es conexo y no contiene ciclos. Como un lazo es un ciclo de longitud 1, un árbol
Introducción a la Teoría de Grafos
Introducción a la Teoría de Grafos Flavia Bonomo fbonomo@dc.uba.ar do. Cuatrimestre 009 Programa Introducción a la teoría de grafos Problemas de camino mínimo Problemas de flujo máximo Programación lineal
CONTENIDOS. 1. Procesos Estocásticos y de Markov. 2. Cadenas de Markov en Tiempo Discreto (CMTD) 3. Comportamiento de Transición de las CMTD
CONTENIDOS 1. Procesos Estocásticos y de Markov 2. Cadenas de Markov en Tiempo Discreto (CMTD) 3. Comportamiento de Transición de las CMTD 4. Comportamiento Estacionario de las CMTD 1. Procesos Estocásticos
Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x)
TEMA 9: :.- CONCEPTO DE FUNCIÓN: Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama e y. Viene representado por: y (, donde es la variable independiente e y es la variable
Árboles. Un grafo no dirigido es un árbol si y sólo si existe una ruta unica simple entre cualquiera dos de sus vértices.
ÁRBOLES Árboles Un grafo conectado que no contiene circuitos simples. Utilizados desde 1857, por el matemático Ingles Arthur Cayley para contar ciertos tipos de componentes químicos. Un árbol es un grafo
Introducción a los espacios vectoriales
1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial
LAS CIENCIAS DE LA PLANIFICACIÓN
LAS CIENCIAS DE LA PLANIFICACIÓN 1. MODELIZACIÓN CON GRAFOS El objetivo de las ciencias de la planificación es encontrar el mejor método para resolver un problema, y si es posible encontrar la solución
Notación Asintótica 2
Notación Asintótica 2 mat-151 1 Éxamen Rápido (6 minutos) Cada operación fundamental usa c milisegundos, cuánto tiempo toma contar hasta 1,000,000? Cuál es el valor de N? Cuál es el órden de complejidad
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Ejemplo: El problema de la mochila. Algoritmos golosos. Algoritmos y Estructuras de Datos III. Segundo cuatrimestre 2013
Técnicas de diseño de algoritmos Algoritmos y Estructuras de Datos III Segundo cuatrimestre 2013 Técnicas de diseño de algoritmos Algoritmos golosos Backtracking (búsqueda con retroceso) Divide and conquer
Modelos de Redes: Problemas de la Ruta más m s corta. M. En C. Eduardo Bustos Farías
Modelos de Redes: Problemas de la Ruta más m s corta M. En C. Eduardo Bustos Farías as Problemas de la Ruta más m s corta 2 Problemas de la Ruta más m s corta Se trata de encontrar la ruta de menor distancia,
Programación Básica. Martin Méndez Facultad de Ciencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí
Programación Básica Martin Méndez Facultad de Ciencias Universidad Autónoma de San Luis Potosí Objetivo del Curso Estudiar y aplicar los conceptos básicos de programación estructurada en un lenguaje de
INTRODUCCIÓN DEL TEMA 2 ESPACIOS VECTORIALES
INTRODUCCIÓN DEL TEMA 2 ESPACIOS VECTORIALES Vamos a construir una serie de objetos sobre el plano z = 0. Al principio solamente tenemos dicho plano (en verde) Antes de empezar a construir algo, empezamos
Modelos de Inventarios
Modelos de Inventarios 1. Qué significa PERT? Program Evaluation Review Technique Técnica de Revisión de Evaluación de Programa 2. Qué significa las siglas C.E.P Cantidad Económica de Pedidos 3. Para qué
Autómatas Finitos Deterministicos (DFA)
Autómatas Finitos Deterministicos (DFA) Introducción a la Lógica y la Computación Fa.M.A.F., Universidad Nacional de Córdoba 26/0/6 Info útil Bibliografía: Introducción a la teoría de autómatas, lenguajes
3 Polinomios y funciones racionales
Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #19: viernes, 24 de junio de 2016. 3 Polinomios y funciones racionales
Repaso de funciones exponenciales y logarítmicas. Review of exponential and logarithmic functions
Repaso de funciones exponenciales y logarítmicas Review of exponential and logarithmic functions Las funciones lineales, cuadráticas, polinómicas y racionales se conocen como funciones algebraicas. Las
74 Prime Time. conjetura Suposición acerca de un patrón o relación, basada en observaciones.
A abundant number A number for which the sum of all its proper factors is greater than the number itself. For example, 24 is an abundant number because its proper factors, 1, 2, 3, 4, 6, 8, and 12, add
TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas
TEORÍA DE GRAFOS Ingeniería de Sistemas Código: MAT-31114 AUTORES Ing. Daniel Zambrano Ing. Viviana Semprún UNIDADES DE LA ASIGNATURA» UNIDAD I. Relaciones» UNIDAD II. Estructuras Algebraicas» UNIDAD III.
Programación Lineal. Modelo de Redes. Alcance de las aplicaciones. Curso: Investigación de Operaciones Ing. Javier Villatoro
Programación Lineal Modelo de Redes Alcance de las aplicaciones Curso: Investigación de Operaciones Ing. Javier Villatoro ALCANCE DE LAS APLICACONES DE REDES ALCANCE DE LAS APLICACIONES Muchas situaciones
Programación. Tema 8: Tablas Hash. Apuntes elaborados por: Eduardo Quevedo, Aaron Asencio y Raquel López Revisado por: Javier Miranda el????
Programación. Tema : Tablas Hash /Mayo/ Apuntes elaborados por: Eduardo Quevedo, Aaron Asencio y Raquel López Revisado por: Javier Miranda el???? Tema : Tabla Hash Las tabla hash aparece para conseguir
DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte
Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 2: Inducción y Recursión 1 / 20 Motivación
Tema 14 Grafos y su Implementación en Java. Parte II. Recorrido en Profundidad (DFS) de un Grafo. Recorrido de un Grafo: Ampliación de la clase Grafo
Tema Grafos y su Implementación en Java Tema Grafos y su Implementación en Java Parte II Germán Moltó Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Universidad Politécnica de Valencia Índice general:.
Espacios Vectoriales
Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido
Materia: Matemática de Tercer Año Tema: Pendiente
Materia: Matemática de Tercer Año Tema: Pendiente Suponga que tiene un avión de juguete sobre el despegue, que se eleva 5 pies por cada 6 metros que recorre a lo largo de la horizontal. Cuál sería la pendiente
Alonso Ramírez Manzanares Computación y Algoritmos 10.03
Recursividad mat-151 1 Ejercicio de recursión: dibujando una regla Queremos dibujar las marcas de diferentes tamaños de una regla. Marcas grandes cada 1/2 cm, marcas más pequeñas cada 1/4 cm... hasta una
Resolviendo Modelos de Mapas
Resolviendo Modelos de Mapas SMMC Prof. Teddy Alfaro Resolviendo Mapas o Grafos Entre las técnicas completas más utilizadas para resolver la ruta más corta se encuentran BFS Backtracking Dijkstra A* Uso
Problemas de la Ruta más m s corta
Modelos de Redes: Problemas de la Ruta más m s corta M. En C. Eduardo Bustos Farías as Problemas de la Ruta más m s corta Problemas de la Ruta más m s corta Se trata de encontrar la ruta de menor distancia,
MÓDULO 8: VECTORES. Física
MÓDULO 8: VECTORES Física Magnitud vectorial. Elementos. Producto de un vector por un escalar. Operaciones vectoriales. Vector unitario. Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. UTN
UNIDAD 9. DATOS COMPLEJOS PILAS
UNI 9. TOS OMPLEJOS PILS Una pila es una lista de elementos en la que se pueden insertar y eliminar elementos sólo por uno de los extremos. omo consecuencia, los elementos de una pila serán eliminados
La lección de hoy es sobre resolver valores absolutos por Inecualidades. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante SEI.2.A1.
SEI.2.A1.1- Courtney Cochran-Solving Absolute Value Inequalities. La lección de hoy es sobre resolver valores absolutos por Inecualidades. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante SEI.2.A1.1
Matemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC1003 Grafos: Básicos Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Grafos: Básicos Matemáticas Discretas - p. 1/12 Grafos: El tema de Teoría de Grafos apareció
NOTACIÓN O GRANDE. El análisis de algoritmos estima el consumo de recursos de un algoritmo.
NOTACIÓN O GRANDE El análisis de algoritmos estima el consumo de recursos de un algoritmo. Esto nos permite comparar los costos relativos de dos o más algoritmos para resolver el mismo problema. El análisis
Estado 3.2 (coste = 9)
Búsqueda heurística Fernando Berzal, berzal@acm.org Búsqueda heurística Búsqueda primero el mejor p.ej. búsqueda de coste uniforme [UCS] Heurísticas Búsqueda greedy El algoritmo A* Heurísticas admisibles
Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
El Juego como Problema de Búsqueda
El Juego como Problema de Búsqueda En este algoritmo identificamos dos jugadores: max y min. El objetivo es encontrar la mejor movida para max. Supondremos que max mueve inicialmente y que luego se turnan
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Por ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R}
Proposición. Sea un rectángulo en R n, y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable en. Conjuntos de Demostración: Como f es continua en, y es compacto, f es acotada en, y uniformemente continua.
CREAR TABLAS EN BASES DE DATOS CON phpmyadmin. TIPOS DE DATOS BÁSICOS (VARCHAR, INT, FLOAT). INSERTAR FILAS. (CU00840B)
APRENDERAPROGRAMAR.COM CREAR TABLAS EN BASES DE DATOS CON phpmyadmin. TIPOS DE DATOS BÁSICOS (VARCHAR, INT, FLOAT). INSERTAR FILAS. (CU00840B) Sección: Cursos Categoría: Tutorial básico del programador
Tema 5. Estructura de datos Pila
Tema 5. Estructura de datos Pila http://aulavirtual.uji.es José M. Badía, Begoña Martínez, Antonio Morales y José M. Sanchiz {badia, bmartine, morales, sanchiz}@icc.uji.es Estructuras de datos y de la
Diagramas de secuencia
Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación Diagramas de secuencia Fragmentos Combinados: caminos alternativos Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación - Universidad
Tema 3. Análisis de costes
Tema 3. Análisis de costes http://aulavirtual.uji.es José M. Badía, Begoña Martínez, Antonio Morales y José M. Sanchiz {badia, bmartine, morales, sanchiz}@icc.uji.es Estructuras de datos y de la información
GRAFOS. Prof. Ing. M.Sc. Fulbia Torres
ESTRUCTURAS DE DATOS 2006 Prof. DEFINICIÓN Un grafo consta de un conjunto de nodos(o vértices) y un conjunto de arcos (o aristas). Cada arco de un grafo se especifica mediante un par de nodos. Denotemos
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES NUCLEO UNIVERSITARIO RAFAEL RANGEL (NURR) DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA AREA COMPUTACION TRUJILLO EDO.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES NUCLEO UNIVERSITARIO RAFAEL RANGEL (NURR) DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA AREA COMPUTACION TRUJILLO EDO. TRUJILLO Recursividad: La recursividad es una técnica de programación
ALGORITMO MINIMAX. o Nodo: Representa una situación del juego. o Sucesores de un nodo: Situaciones del juego a las que se
ALGORITMO MINIMAX Algoritmo de decisión para minimizar la pérdida máxima aplicada en juegos de adversarios Información completa (cada jugador conoce el estado del otro) Elección del mejor movimiento para
Introducción a Autómatas Finitos
Introducción a e. Universidad de Cantabria Esquema 1 Introducción 2 3 Grafo de λ Transiciones Eliminación de las λ-transiciones 4 El Problema Podemos interpretar un autómata como un evaluador de la función
El Algoritmo E-M. José Antonio Camarena Ibarrola
El Algoritmo E-M José Antonio Camarena Ibarrola Introducción Método para encontrar una estimación de máima verosimilitud para un parámetro ѳ de una distribución Ejemplo simple 24 Si tiene las temperaturas
Recursividad. Introducción a la programación
Recursividad Introducción a la programación I semestre, 2016 Concepto general Un concepto que está definido utilizando para este propósito el propio concepto que se está definiendo. Es un proceso de repetición
Semana de las Matemáticas e Ingeniería. Desarrollo de algoritmos recursivos empleando la aplicación PseInt
Semana de las Matemáticas e Ingeniería Desarrollo de algoritmos recursivos empleando la aplicación PseInt 21 de Noviembre de 2013 Agenda Desarrollo de algoritmos recursivos empleando la aplicación PSeInt
Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1
Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que
Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Estatutos de Control C# Estatutos de Decisión (Selección)
SELECCIÓN Estatutos de Control C# Estatutos de Decisión (Selección) IF Condición THEN Estatuto1 ELSE Estatuto2 Estatuto1 Statement Condición... Antes de ver esta presentación: Lee el Capítulo correspondiente
Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales
LECCIÓN 1 Lección 1: Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas.
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN ORIENTADA A OBJETOS
CONTENIDO PRÓLOGO XIX CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN ORIENTADA A OBJETOS 1.1 Introducción 2 1.2 Resolución de problemas mediante la computadora 3 1.3 Conceptos de programación orientada a objetos
TEORIA DE REDES. Ing. Lino Martin Quispe Tincopa
TORI S Ing. Lino Martin Quispe Tincopa NLISIS FLUJO S Las técnicas de flujo de redes están orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes de transporte, redes de comunicación, sistema de vuelos
MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN
MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO RELACIONES RELACIONES COMO LISTAS ENLAZADAS AUTOR: JOSÉ ALFREDO JIMÉNEZ MURILLO AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO RELACIONES COMO LISTAS ENLAZADAS Algunas
Código/Título de la Unidad Didáctica: MATEMÁTICAS BASICAS APLICADAS EN EL MECANIZADO
Código/Título de la Unidad Didáctica: MATEMÁTICAS BASICAS APLICADAS EN EL MECANIZADO Actividad nº/título: SISTEMAS DE COORDENADAS Introducción a la actividad Material Didáctico: Tiempo: (2 horas) 1. CASO
Definiciones Una relación R en un conjunto A es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
RELACIONES DE ORDEN Definiciones Una relación R en un conjunto A es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un conjunto parcialmente ordenado ( A, R ) es
Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias