El TAD Grafo. Objetivos. Contenidos

Transcripción

1 Objetivos q Estudiar la especificación del TAD Grafo q Presentar diferentes alternativas de implementación q Conocer los algoritmos más importantes de manipulación de grafos Contenidos 4.1 Conceptos 4.2 Especificación algebraica 4.3 Implementación 4.4 Recorridos sobre grafos Recorrido en anchura Recorrido en profundidad 4.5 Caminos mínimos sobre grafos Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Floyd 4.6 Árbol de extensión de coste mínimo Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 1

2 Duración q 6 clases (9 h) Bibliografía q Estructuras de datos: especificación, diseño e implementación Autor: Xavier Franch Gutiérrez Editorial : Ediciones UPC, 1999 Págs q Estructuras de datos. Algoritmos, abstracción y objetos Autores: Luis Joyanes Aguilar, Ignacio Zahonero Martínez Editorial: McGraw-Hill Págs q Estructuras de datos y métodos algorítmicos Autores: Narciso Martí Oliet, Yolanda Ortega Mallén y José Alberto Verdejo López Editorial: Prentice Halll Págs Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 2

3 4.1 Conceptos q Un grafo es una estructura capaz de representar relaciones complejas entre objetos de un mismo tipo. Formalmente se representa mediante el par G = (V, A), donde: q V es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos q A es un conjunto de objetos denominados aristas o arcos q Las aristas representan relaciones entre los vértices, de forma que una arista es un par (u, v) de vértices de V q Básicamente, podemos clasificar los grafos en 4 tipos dependiendo de dos criterios: q Grafo dirigido. Es aquel cuyas aristas forman pares ordenados (u à v). q Grafo no dirigido. Es aquel cuyas aristas no son pares ordenados q Grafo etiquetado o valorado. Cuando se asocia información a cada arista de un grafo q Grafo no etiquetado. Cuando no se asocia ninguna información a las aristas q La teoría de grafos se aplica a campos tan diversos como química, geografía, ingeniería eléctrica, comunicaciones, etc. Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 3

4 q Un ejemplo de grafo podría ser la red de metro de Madrid, donde los vértices representan las estaciones y las aristas la línea que une dos estaciones: Sol Gran V ía Tribunal Tirso de Molina Plaza de España Opera 125 Callao q Otro ejemplo de aplicación de los grafos es la construcción de modelos donde se estudian las relaciones de precedencia que existen entre las tareas que se necesitan para completar un trabajo Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 4

5 q Algunas definiciones sobre grafos: Un camino en un grafo G = (V, A) es una secuencia de vértices v 1,..., v n Î V, con n ³ 1, tal que (v i, v i+1 ) Î A, para i = 1,..., n-1 La longitud de un camino es su número de vértices menos 1 Un camino es simple si todos sus vértices, excepto tal vez el primero y el último, son distintos Un ciclo es un camino simple de longitud no nula que empieza y termina en el mismo vértice En un grafo no dirigido, el grado de un vértice v es el número de aristas que contiene a v Se dice que el vértice y es sucesor o adyacente del vértice x si existe una arista que tenga por origen a x y por destino a y, es decir, si la arista (x, y) Î A Se dice que el vértice x es antecesor del vértice y si existe una arista que tenga por origen a x y por destino a y, es decir, si la arista (x, y) Î A Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 5

6 En un grafo dirigido se distingue entre el grado de entrada y el grado de salida: el grado de entrada de un vértice v es el número de aristas que llegan a v (antecesores), y el grado de salida de un vértice v es el número de aristas que salen de v (sucesores). Ejemplo 1: Grafo no dirigido v2 v1 v3 v4 Número de nodos: Número de aristas: V = { } A = { } Camino = Ciclo = Grado (v3) = Adyacentes (v3) = { } Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 6

7 Ejemplo 2: Grafo Dirigido v2 v1 v3 Número de nodos: Número de aristas: V = { } A = { } Camino = Ciclo = GradoEnt (v2) = GradoSal(v2)= Adyacentes (v3) = { } Antecesores (v3) = Antecesores (v2) = { } Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 7

8 Un grafo no dirigido G es conexo si existe un camino entre cualquier par de nodos que forman el grafo. v2 v3 v4 v2 v4 v3 v1 v5 v1 v5 Grafo No conexo Grafo conexo v2 v3 v1 v4 Un grafo dirigido es fuertemente conexo si existe un camino entre cualquier par de nodos que forman el grafo v5 Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 8

9 4.2 Especificación Algebraica q Puesto que el grafo es un conjunto de vértices y aristas, la signatura del TAD grafo deberá contener, al menos, las operaciones de añadir vértices y aristas a un grafo q El resto de las operaciones dependerá de la aplicación que se vaya a dar al TAD q Definiremos un TAD para los grafos dirigidos, con las operaciones básicas para su construcción, así como las operaciones de cálculo de vértices adyacentes a uno dado y las de pertenencia de arista y de vértice. Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 9

10 espec grafosdirigidos usa booleanos, conjunto parámetro formal género vértice operaciones _ == _: vértice vértice à booleano _ ¹ _: vértice vértice à booleano fpf renombrar conjunto<vértice> por conjvértices conjunto<(vértice, vértice)> por conjaristas género grafo operaciones gvacío: à grafo +vértice: grafo vértice à grafo parcial +arista: grafo vértice vértice à grafo _ Î _ : vértice grafo à booleano ( _, _ ) Î _ : vértice vértice grafo à booleano esvacío: grafo à booleano adyacentes: grafo vértice à conjvértices -vértice: grafo vértice à grafo -arista: grafo vértice vértice à grafo vértices: grafo à conjvértice aristas: grafo à conjaristas Gen (grafo) = { gvacio, +vértice, +arista } Mod (grafo) = {-vértice, -arista} Obs (grafo) = { _ Î _, ( _, _ ) Î _, adyacentes, esvacío, vértices, aristas} Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 10

11 dominios de definición g: grafo; v1,v2: vértice +arista (g,v1,v2) está definido sólo si v1îg Ù v2îg ecuaciones g: grafo; v,v1,v2,v3,v4: vértice +vértice (+vértice (g, v1), v2) = +arista (+arista (g, v1, v2), v3, v4) = +arista (+vértice (g, v1), v2, v3) = v Î gvacío = v1 Î +vértice (g, v2) = v1 Î +arista (g, v2, v3) = Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 11

12 (v1, v2) Î gvacío = (v1, v2) Î +vértice (g, v3) = (v1, v2) Î +arista (g, v3, v4) = esvacío (gvacío) = esvacío (+vértice (g, v)) = esvacío (+arista (g, v1, v2)) = adyacentes (gvacío, v) = adyacentes (+vértice (g, v1), v2) = adyacentes (+arista (g, v1, v2), v3) = Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 12

13 -vértice (gvacío, v) = -vértice (+vértice (g, v1), v2) = -vértice (+arista (g, v1, v2), v3) = -arista (gvacío, v1, v2) = -arista (+vértice (g, v1), v2, v3) = -arista (+arista (g, v1, v2), v3, v4) = Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 13

14 vértices (gvacío) = vértices (+vértice (g, v)) = vértices (+arista (g, v1, v2)) = aristas (gvacío) = aristas (+vértice (g, v)) = aristas (+arista (g, v1, v2)) = Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 14

15 4.3 Implementación q Un Vértice es un objeto con un atributo de tipo genérico template <typename T> class Vertice { public: Vertice(const T& objeto); const T& getobj() const; void setobj(const T& objeto); private: T obj; }; Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 15

16 q Una Arista es un objeto con tres atributos: dos vértices y opcionalmente una etiqueta template <typename T, typename U> class Arista { public: Arista(const Vertice<T>& vo, const Vertice<T>& vd, const U& etiq); const Vertice<T>& getorigen() const; const Vertice<T>& getdestino() const; const T& getetiqueta() const; void setorigen(const Vertice<T>& orig); void setdestino(const Vertice<T>& dest); void setetiqueta(const U& etiq); private: Vertice<T> origen; Vertice<T> destino; U etiqueta; }; Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 16

17 q Interfaz informal de la clase Grafo: template <typename T, typename U> class Grafo{ public: Grafo(); bool esvacio() const; bool estavertice(const Vertice<T>& v) const; bool estaarista(const Arista<T, U>& a) const; const Conjunto<Vertice<T> >& vertices() const; const Conjunto<Arista<T, U> >& aristas() const; const Conjunto<Vertice<T> >& adyacentes(const Vertice<T>& v) const; const Conjunto<Vertice<T> >& antecesores(const Vertice<T>& v) const; void insertarvertice(const Vertice<T>& v); void insertararista(const Arista<T, U>& a); void eliminarvertice(const Vertice<T>& v); void eliminararista(const Arista<T, U>& a); } Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 17

18 q Existen básicamente 3 formas de implementar los grafos: una estática y dos dinámicas. La elección de cada una de ellas dependerá de las operaciones que se vayan a aplicar sobre los vértices y las aristas Matriz de Adyacencia Sea G = (V, A) un grafo de n nodos, donde suponemos que los nodos V = {v 1, v 2,..., v n } están ordenados y podemos representarlos por sus ordinales {1, 2,..., n} La matriz de adyacencia para el grafo G es una matriz A de dimensión n x n de elementos booleanos en la que: A[i, j] = verdad, si y sólo si existe una arista en G que va del vértice i al vértice j A[i, j] = falso, en caso contrario En un grafo no dirigido, la matriz de adyacencia es simétrica y los elementos de su diagonal son todos falsos Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 18

19 El tipo necesario para representar un grafo mediante matriz de adyacencia es: template <typename T, typename U> class Grafo{ public: // métodos de la interfaz informal private: enum { N = }; } bool m[n][n]; int nv; Esta representación es útil para aquellos problemas donde se necesite saber si existe una arista entre dos vértices dados, ya que es de orden constante O(1). El principal inconveniente es que se necesita un espacio de O(n 2 ) aunque el grafo tenga muy pocas aristas. V = {E, F, J, M, T} J F T M E M = E F J M T E F J M T F V V V F F F F F F F F F V F F F V F F V V F F F Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 19

20 J M E F J M T T M = E F J M T F E Huelva 2 3 Sevilla 5 M = CA CO HU SE Para un grafo con aristas etiquetadas, la matriz se declararía de la forma: U* m[n][n]; 4 Cádiz 2 2 Córdoba Donde U es el parámetro de tipo para la etiqueta de las aristas Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 20

21 q Algoritmo del método adyacentes para un grafo no etiquetado: Conjunto<int> adyacentes(int v) const var Conjunto<int> c; fvar; inicio para i = 1 hasta nv hacer si m[v][i] entonces c.poner(i) fsi fpara; devolver c fin; Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 21

22 4.3.2 Listas de Adyacencia Esta representación consiste en n listas, de forma que la lista i-ésima contiene los vértices adyacentes al vértice i Una posible representación podría ser: template <typename T, typename U> class Grafo{ public: // métodos de la interfaz informal private: Lista<Vertice<T> > *G; int nv; } Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 22

23 G G Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 23

24 q Algoritmo del método adyacentes: Conjunto<int> adyacentes(int v) const var Conjunto<int> c; Lista<int>::Iterador it; fvar; inicio it = G[v].principio(); mientras it ¹ G[v].final() hacer c.poner(it.observar(g[v])); it.avanzar(g[v]) fpara; devolver c fin; Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 24

25 q Esta representación resulta útil cuando el número de vértices se conoce previamente y permanece fijo durante la resolución del problema, pero resulta ineficiente si necesitamos añadir o eliminar vértices en tiempo de ejecución q Por tanto, para un caso más general, podemos utilizar, en lugar de una tabla, una lista enlazada para almacenar la información de los vértices template <typename T, typename U> class Grafo{ public: // métodos de la interfaz informal private: Lista<Adyacencia<T> > G; } template <typename T> class Adyacencia{ public: // métodos tipo get/set private: Vertice<T> v; Lista<Vertice<T> > adyacentes; } Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 25

26 Huelva Sevilla G Cádiz Córdoba Huelva Sevilla Sevilla Huelva Cádiz Córdoba Cádiz Huelva Córdoba Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 26

27 q Para un grafo con aristas etiquetadas, cada objeto almacenado en la lista adyacentes debe contener no sólo el vértice sino también la información asociada a la arista template <typename T, typename U> class Grafo{ public: // métodos de la interfaz informal private: Lista<Adyacencia<T, U> > G; } template <typename T, typename U> class Adyacencia{ public: // métodos tipo get/set private: Vertice<T> v; Lista<VerticeAdy<T, U> > adyacentes; } template <typename T, typename U> class VerticeAdy: public Vertice<T>{ public: // métodos getetiqueta/setetiqueta private: U etiqueta; } Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 27

28 60 Grafo Etiquetado con Pesos Huelva 70 Sevilla Cádiz 75 Córdoba G Huelva Sevilla 60 Representación mediante Listas de Adyacencia Sevilla Cádiz Huelva 70 Cádiz 75 Córdoba 80 Huelva 150 Córdoba Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 28

29 4.3.3 Listas múltiples de adyacencia q Se utilizan para grafos dirigidos, si lo que queremos saber es, de forma eficiente, los antecesores de un determinado nodo q Se utiliza otra tabla de listas cuya lista i-ésima contiene los vértices antecesores al vértice i. Dicha lista se conoce con el nombre de lista de antecesores q Una lista múltiple de adyacencia es una estructura de datos que une ambas tablas en una única estructura q Hay un nodo por cada arista del grafo q Cada nodo guarda la información de dos vértices (origen y destino de la arista) y dos punteros el primero apunta al nodo que almacena la siguiente arista que tiene el mismo vértice destino el segundo apunta al nodo que almacena la siguiente arista que tiene el mismo vértice origen Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 29

30 template <typename T, typename U> class GrafoDirigido{ public: typedef NodoGM<T, U>* PtrNodoGM; // métodos de la interfaz informal private: PtrNodoGM *adyacentes; PtrNodoGM *antecesores; } template <typename T, typename U> class nodogm{ public: typedef NodoGM<T, U>* PtrNodoGM; // métodos tipo get/set private: Vertice<T> origen, destino; // Para grafos etiquetados: // U etiqueta; PtrNodoGM sigady, sigant; } Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 30

31 1 3 origen destino 2 mismo origen (sigady) 4 5 DESTINO mismo destino (sigant) listas de listas de adyacencia antecesores inversa ORIGEN listas de adyacencia Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 31

32 q Algoritmo del método adyacentes: Conjunto<int> adyacentes(int v) const var Conjunto<int> c; PtrNodoGM p; fvar; inicio p = adyacentes[v]; mientras p ¹ NULO hacer c.poner(p->getdestino()); p = p->getsigady(); fpara; devolver c fin; Por ejemplo, en el grafo anterior: Adyacentes (2) = { } Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 32

33 Eficiencia de las operaciones Operación Matriz Lista Simple (1) Lista Múltiple n: número de vértices m: número de aristas Grafo esvacio ge: grado máximo de entrada estavertice gs: grado máximo de salida estaarista vertices aristas adyacentes antecesores insertarvertice insertararista eliminarvertice (1) Se refiere a la versión en la que se usa una tabla para almacenar la información de los vértices eliminararista Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 33