Trabajo Fin de Máster. Estudio y discusión sobre problemas de olimpiada. Desigualdades

Transcripción

1 Uiversidd de Grd Ivá Vlero Terró Trbjo Fi de Máster Estudio y discusió sobre problems de olimpid. Desigulddes Tutor: Pscul Jr Mrtíez Deprtmeto de Álgebr Julio 07 Máster e Mtemátics. Fcultd de Ciecis

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3 I Dedicdo mi fmili y Pscul, por su gr yud

4 II

5 Itroducció Ls desigulddes so eseciles e umerosos cmpos de l mtemátic. Medite ls desigulddes, se puede ecotrr umeross pliccioes icluso fuer de ls mtemátics e vrios ámbitos teóricos y prácticos. E secudri, l teció se cetr e ls desigulddes lieres, cudrátics y ls iecucioes que ivolucr l vlor bsoluto, pero hce meos éfsis e l mipulció lgebric de ls desigulddes o e los métodos pr demostrr desigulddes. El presete documeto v dirigido los estudites de bchillerto que quier preprrse pr competir e ls Olimpids Mtemátics que se celebr e uestro pís y e el extrjero. Los problems que ivolucr desigulddes so cd vez más umerosos e ests competicioes. E prticulr, e l Fse Nciol de l Olimpid Mtemátic Espñol (OME) es bstte probble l prició de problems uo de estos tipos. E este Trbjo Fi de Máster os cetrremos e ls desigulddes umérics, y que ls desigulddes geométrics podrí formr otro TFM por sí misms. Si embrgo, precerá lgus iterpretcioes geométrics que yudrá l compresió de los coceptos. Nos cetrremos e lgus desigulddes importtes, como l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric, l desiguldd de Cuchy-Schwrz, l desiguldd de reordemieto, l desiguldd de Jese y el Teorem de Muirhed, etre otros. Icluidos e el desrrollo teórico de los resultdos prece ejemplos e los que se muestr cómo proceder e problems que sí lo ecesite. Además, e cd secció del documeto, prece problems selecciodos de ls seccioes files del documeto: problems extrídos de competicioes mtemátics tres iveles diferecidos: fses locles, fses cioles y fses itercioles. Los problems viee resueltos y, e l medid de lo posible, viee redctdos de l form más compresible y didáctic posible. III

6 INTRODUCCIÓN IV

7 Ídice geerl Itroducció III. Desigulddes.. Desiguldd de ls medis Teorem de Muirhed Desiguldd de reordeció Desiguldd de Jese Desigulddes de C-S y Nesbitt Desiguldd C-S e form de Egel Extesioes de l desiguldd de Hölder Cmbio de vrible Problems de l Fse Locl 9. Problems de Olimpids Ncioles 7 4. Problems de Olimpids Itercioles 45 Ídice lfbético 55

8 INTRODUCCIÓN

9 Desigulddes Bie sbemos que el cojuto R de los úmeros reles tiee l estructur lgebric de cuerpo juto ls opercioes se sum y producto. Recordmos que podemos estblecer uos xioms de orde e R. L relció de orde e dode < b sigific b, b que estblece u ordeció etre los úmeros reles y que stisfce ls siguietes propieddes: Proposició () Se verific u y sólo u de ls relcioes x = y, x < y, x > y. (b) Si x < y, etoces pr cd z, se tiee que x + z < y + z. (c) Si x > 0 e y > 0, etoces xy > 0. Si x es u úmero rel, el vlor Absoluto de x es: { x si x 0 x = x si x < 0. El vlor bsoluto verific ls siguietes propieddes: Proposició Se,b,x so úmeros reles: () x 0 y es cero si y sólo si x = 0. (b) x = x. (c) x = x. (d) b = b. (e) b = b. A l hor de resolver desigulddes es muy útil utilizr Desiguldd Trigulr. Proposició: Desiguldd trigulr Se y b úmero reles. Se verific que + b + b. L iguldd sólo se d si y sólo si b 0.

10 CAPÍTULO. DESIGUALDADES Demostrció. Como + b, y b so úmeros positivos, bst probr l desiguldd pr sus cudrdos: + b = ( + b) = + b + b = + b + b + b + b = ( + b ). Observ que úicmete prece u desiguldd, l correspodiete b < b, y tedremos u iguldd cudo b 0, que ocurre cudo mbos tiee el mismo sigo o uo de ellos es ulo. Proposició: Desiguldd trigulr geerlizd Se x,...,x úmeros reles. Etoces se verific x i x i. L iguldd se d si y sólo si todos los x i tiee el mismo sigo. U desiguldd muy útil es x 0, válid pr todo x R. Podemos exteder est ide pr optimizr ls fucioes cudrátics x + bx + c, co > 0. Utilizdo propieddes básics de l derivd, obteemos que, si > 0, l fució x + bx + c lcz u míimo e x = b, y el vlor míimo de l fució es c b. Ejemplo Si x,y so úmeros positivos co x + y =, prueb que el producto xy es máximo cudo x = y =. U form de hcer este ejercicio es utilizdo cálculo diferecil. Busquemos otr resolució bsd e l deducció terior. x + y =, y = x, xy = x( x) = x + x = (x ) + Que es máximo cudo x =, y e este cso y =, esto es, y =. Pr prcticr los coceptos de est secció puede ser útiles los problems.,.,.6,.., 4. y 4.8 4

11 CAPÍTULO. DESIGUALDADES.. DESIGUALDAD DE LAS MEDIAS... Desiguldd de ls medis. Teorem: Desiguldd de l medi ritmétic-geométric (MA-MG) Ddos dos úmeros reles o egtivos,b se verific: + b b, y l iguldd sólo ocurre cudo = b. De form más geerl, si teemos úmeros reles o egtivos: + +, y l iguldd ocurre cudo = =. Ejemplo Prueb que l sum de u úmero y su iverso es myor o igul que. Tomemos e MA-MG, = x, b = /x, teemos que x + x, y por lo tto, x + x = x x Ejemplo Se,b,c úmeros reles positivos, probr que (b + bc + c) 7 b c. Recomodmos el 7( ) e el primer miembro: (b + bc + c) (b + bc + c) b + bc + c (MA MG) b c b c b c = b c. Ejemplo Se,b,c úmeros reles positivos, probr que b + b c + c + b + c. Hciedo uso de MA-MG obteemos: b = b + b, b c = b b c b + c, c = c c c +, y sumdo ls tres desigulddes teemos el resultdo querido. 5

12 .. TEOREMA DE MUIRHEAD. CAPÍTULO. DESIGUALDADES Teorem: Desiguldd de l medi geométric-rmóic Se,..., úmeros positivos. Etoces, + +. Teorem: Desiguldd de l medis poderd Ddos,..., 0 y w,...,w tles que w i =, se tiee que w + + w w w. Pr prcticr los coceptos de est secció puede ser útiles los problems.,.4,.7,.8,.9,.8,.6,.9 4.0, 4.5,.6,..4 y.5... Teorem de Muirhed. Cosideremos, e primer lugr, expresioes del tipo F(α,...,α )(,,..., ) = F α () = α α...α, dode,..., > 0 y α,...α 0. Deotremos por sim F α () l sum de los! térmios obteidos de F α () clculdo ls posibles permutcioes de {,..., }, es decir: Por ejemplo, e tres vribles x,y,z: Filmete defiimos l medi simétric como: F α () = F(α,...,α )(σ( ),...,σ( )). sim σ S x y = x y + x z + y x + y z + z x + z y. sim [α] = [α,...,α ] =! simf α (). Es clro que [α] es ivrite bjo culquier permutció de (α,...,α ), luego dos cojutos (α,...,α ) y (α,...,α )so del mismo tipo si difiere por recomodo. Vemos lguos csos prticulres: [,0,...,0] = [,,..., ] =!! (/ ( )! ( ) =!... / i = MA. ) =... = MG. 6

13 CAPÍTULO. DESIGUALDADES.. TEOREMA DE MUIRHEAD. Defiició Diremos que (α...,α ) (β...,β ) cudo se puede reorder de tl mer que: () α i = β i. (b) Pr cd k se tiee Teorem: (De Muirhed) k α i k β i. [β] [α] pr culesquier vlores o egtivos de ls vribles (,..., ) si y sólo si (β) (α). L iguldd sólo se tiee cudo (α) y (β) so idéticos o cudo todos los i so igules. Vemos lguos ejemplos: [,0,0] [,,0] x + y + z xy + xz + yz. [,0] [,] x + y xy. [,0,0] [,,] x + y + z xyz. [5,0] [,] x 5 + y 5 x y + x y. [,,0] [,,] x y + x + z y x yz + y zx + z xy. Ejemplo Se,b úmeros reles positivos. Prueb que b + b + b. Se x =, y = b. Simplificdo, teemos que probr que x + y xy(x + y). Por el teorem de Muirhed, [,0] = (x + y ) xy(x + y) = [,]. Ejemplo Si,b,c so úmeros reles o egtivos, probr que: + b + c + bc 7 ( + b + c). No es difícil ver que: Luego, se tiee que demostrr que ( + b + c) = [,0,0] + 8[,,0] + 6[,,]. [,0,0] + [,,] ([,0,0] + 8[,,0] + 6[,,]), 7 esto es, ( 8 7 [,0,0] + 6 ) [,,] [,,0]. 7

14 .. DESIGUALDAD DE REORDENACIÓN CAPÍTULO. DESIGUALDADES Equivletemete ( 8 ([,0,0] [,,0]) + 6 ) [,,] Esto se sigue usdo ls desigulddes [, 0, 0] [,, 0] y [,, ] 0. Ejemplo Si,b,c so úmeros reles o egtivos, prueb que: + b + c + b c + b + c + c c + b bc + b c + c b. Ls desigulddes so equivletes lo siguiete ( bc + b c + bc ) b( + b ) + bc(b c + c ) + c(c + ) ( 4 + b 4 + c 4 ). que su vez es equivlete [,,] [,,0] [4,0,0]. Usdo el teorem de Muirhed, obteemos el resultdo querido. Pr prcticr los coceptos de est secció puede ser útiles los problems 4., 4. y Desigulddes de reordeció. Cosideremos dos coleccioes de úmeros reles ordedos de form creciete: b b b. Pr culquier permutció (,,..., ) se tiee: b + b + + b () b + b + + b () b + b + + b. Que so ls llmds desigulddes de reordeció. Además: () es u iguldd si y sólo si (,..., ) = (,..., ). () es u iguldd si y sólo si (,..., ) = (,..., ). Corolrio Pr culquier permutció (,..., ) de (,..., ) se tiee: Corolrio Pr culquier permutció (,.., ) de (,..., ), se tiee:

15 CAPÍTULO. DESIGUALDADES.. DESIGUALDAD DE REORDENACIÓN Ejemplo: IMO, 975. Cosidermos dos coleccioes de úmeros x x e y y y u permutció (z,...,z ) de (y,...,y ). Demostrr que: (x y ) (x y ) (x z ) + + (x z ). Desrrolldo: x i x i y i + Usdo que y i = z i, obteemos: y i x i x i z i + z. que es l plicció del teorem. x i z i x i y i, Ejemplo: IMO, 978. Se x,...,x eteros positivos distitos. Prueb que: x! + x! + + x! ( ) Se (,..., ) u permutció (x,...,x ) tl que... y se (b,b...,b ) =,,...,, ( ) esto es b i = ( + i), i =,...,. Cosideremos l permutció (,,..., ) de (,,..., ) defiid por i = x + i, i =,...,. Aplicmos el teorem: x! + x! + + x! = b + + b Como,,...,, se tiee que b + + b = b + b + + b = x + + x = + +. Teorem: Desiguldd de Chebyshev Se { i } y {b i} dos sucesioes de úmeros positivos. Etoces: Si ls sucesioes está ordeds de l mism mer (mbs crecietes o mbs decrecietes): b + + b + + b + + b. Si ls sucesioes está e orde iverso (u creciete y otr decreciete): b + + b + + b +...b. 9

16 .4. DESIGUALDAD DE JENSEN CAPÍTULO. DESIGUALDADES Ejemplo Si,b,c 0, probr que: ( + b + c ) ( + b + c)( + b + c ). Aplicmos l desiguldd de Chebyshev (,b,c) y (,b,c ), que tiee el mismo orde: + b + c + b + c Multiplicmos por 9 y teemos el resultdo querido. Ejemplo + b + c. Si b c > 0 y 0 < x y z, probr que: x + b y + c ( ) + b + c z. x + y + z Aplicmos l desiguldd de Chebyshev (,b,c) y ( x, y, z ): Ejemplo x + b y + c z + b + c ( x + y + ) MA MG z ( + b + c) xyz MA MG Se,b,c,d úmeros reles positivos co + b + c + d = 4. Prueb que: 5 + b 5 + c 5 + d 5 + b + c + d. ( + b + c). x + y + z Aplicmos l desiguldd de Chebyshev (,b,c,d) y ( 4,b 4,c 4,d 4 ): 5 + b 5 + c 5 + d b + c + d b 4 + c 4 + d 4. 4 Ahor, plicmos l Desiguldd de Chebyshev (,b,c,d ) y (,b,c,d ): 4 + b 4 + c 4 + d b + c + d 4 + b + c + d 4 Sustituyedo e l primer ecució, obteemos el resultdo querido. =. Pr prcticr los coceptos de est secció puede ser útiles los problems 4., 4.4, 4.6, 4.7 y..4. Fucioes covexs. Desiguldd de Jese. Se f : [,b] R. Diremos que f es covex e el itervlo I = [,b] si pr cd t [0,] se tiee l desiguldd f (ty + ( t)y) t f (y) + ( t) f (x). 0

17 CAPÍTULO. DESIGUALDADES.4. DESIGUALDAD DE JENSEN Geométricmete, l desiguldd idic que el grfo de f se ecuetr por debjo del segmeto que ue los putos (x, f (x)) y (y, f (y)), como se puede ver e l figur.. Diremos que u fució f : [, b] R es fució cócv si f es covex. U subcojuto C del plo es covexo si pr culquier pr de putos A,B C, el segmeto determido por esos putos está coteido por completo e C. f (x) (y, f (y)) (x, f (x)) Figur.: Iterpretció geométric de l covexidd Proposició. Si f es covex e u itervlo [, b], etoces es covex e culquier subitervlo [x,y] [,b].. Si f es covex e [,b] pr culesquier x,y [,b], se tiee que ( ) x + y f ( f (x) + f (y)).. Desiguldd de Jese Si f es covex e [,b], etoces pr culesquier t,...,t [0,] tles que t i =, y pr x,...,x [,b], se tiee que f (t x + +t x ) t f (x ) + +t f (x ). 4. E prticulr, pr x,...x [,b], podemos firmr que ( ) x + + x f ( f (x ) + + f (x )). Vemos hor lguos criteros pr decidir si u fució es covex o o: Proposició: Criterios de covexidd. U fució f : [,b] R es covex si y sólo si el cojuto {(x,y) : x [,b], f (x) y} es covexo.. U fució f : [,b] R es covex si y sólo si, pr cd x 0 [,b] l fució P(x) = f (x) f (x 0 ) x x 0 es o decreciete pr x x 0.. Si u fució f : [,b] R es derivble co derivd o decreciete, etoces f es covex. E prticulr, si f es dos veces derivble y f (x) 0, l fució es covex.

18 .4. DESIGUALDAD DE JENSEN CAPÍTULO. DESIGUALDADES Ejemplo L fució f (x) = x, es covex e R + y l fució f (x) = x, co pr es covex e R. Esto se sigue del hecho de que f (x) = ( )x 0 e cd cso. Bsádoos e este hecho, podemos scr ls siguietes coclusioes: I) Como ( +b ) +b, podemos deducir que +b +b, que es l desiguldd etre ls medis ritmétic y cudrátic. II) Como ( +b que + b =. Ejemplo ) +b, podemos deducir que + b pr y b úmeros positivos tles L fució expoecil f (x) = e x es covex e R. Esto se prueb fácilmete y que f (x) = e x > 0 pr todo x R. Utilizdo est fució podemos probr lgus desigulddes: I) (Desiguldd ritmético-geométric poderd) Se x,...,x,t,...,t positivos tles que t i =. Etoces x t...x t t x +...t x. Así es, como x t i i = e t i logx i y e x es covex, se tiee que: x t...x t = e t logx...e t logx = e t logx+ +t logx t e logx + +t e logx = t x + +t x. E prticulr, si tommos t i = pr i, podemos obteer otr demostrció de l desiguldd ritmetico-geométric. II) (desiguldd de Youg) Se x e y úmeros reles positivos. Si,b > 0 stisfce que + b =, etoces xy x + b yb. Sólo teemos que plicr (I) como sigue: xy = (x ) / (y b ) /b x + b yb. III) (desiguldd de Hölder) Se x,...,x,y,...,y úmeros positivos y,b > 0 tles que + b, etoces x i y i ( xi ) / ( ) /b y b i. E primer lugr, summos que x i = yb i =. Usdo (II), x i y i x i + b yb i, etoces x i y i x i + b y b i = + b =. Ahor, supogmos que i = A y b i = B. Defiimos x i = x i A / e y i = y i B /b. Como (x i) = x i A = y (y i) b = yb i B =,

19 CAPÍTULO. DESIGUALDADES.5. DESIGUALDADES DE C-S Y NESBITT. podemos deducir que Así, x iy i A / B /b. x iy i = x i y i A / B /b IV) (desiguldd de Mikowski) Se,...,,b,...,b úmeros positivos y p >, etoces x i y i. ( ) /p ( k + b k ) p k= ( ) /p ( k ) p + k= ( ) /p (b k ) p. k= Notemos que Por lo tto, k= ( k + b k ) p = k ( k + b k ) p + b k ( k + b k ) p. ( k + b k ) p = k= k ( k + b k ) p + k= b k ( k + b k ) p. Aplicmos l desiguldd de Hölder e cd térmio de l sum de l derech co q tl que p + q = pr obteer: ( ) /p ( ) /q k ( k + b k ) p ( k ) p ( k + b k ) q(p ) k= k= k= k ( k + b k ) p k= ( ) /p ( ) /q (b k ) p k + b k ) k= k=( q(p ). Sustituyedo ests desigulddes e l últim iguldd, y utilizdo que q(p ) = p, se tiee l desiguldd pedid. Nótese que l desiguldd de Mikowski es u iguldd si permitimos p =. Pr 0 < p <, l desiguldd cmbi de setido. Pr prcticr los coceptos de est secció puede ser útiles los problems.,.9,.0,.,.9,. 4.,.,.8.5. Desigulddes de Cuchy-Schwrz y Nesbitt. E est prte del documeto, trtremos dos desigulddes que usulmete prece l trtr co u problem de competició. Pr probr mbs, usremos l desiguldd de reordeció, uque existe otros métodos. Teorem: (Desiguldd de Cuchy-Schwrz) Pr úmeros reles x,...,x,y,...,y se tiee l desiguldd ( ) x i y i ( xi )( y i ). L iguldd se d cudo existe λ R tl que x i = λy i pr todo i =,,...,

20 .6. DESIGUALDAD C-S EN FORMA DE ENGEL CAPÍTULO. DESIGUALDADES Si x = x = = x = 0 e y = y = = y = 0, el resultdo es evidete. E otro cso, se S = x i y T = y i, dode está clro que S,T 0. Tomemos i = x i S y +i = y i T pr i =,,...,. Aplicdo el primer corolrio de l desiguldd de reordeció, = x i S + y i T = i = x y + x y + + x y ST L iguldd se d si y sólo si i = +i pr i =,...,, o equivletemete, si y sólo si x i = S T y i pr i =,...,. Ejemplo: Desiguldd de Nesbitt Pr,b,c R +, se tiee que: + b + b b + c + c + b. Si pérdid de geerlidd, podemos sumir que b c, de dode se sigue que +b c+ b+c y b+c c+ +b. Usdo l desiguldd de reordeció: De dode ( b + c + b + c + b c + + c + b b b + c + c c b b + c + b c + + c + b c b + c + c + + b + b. b c + + c ) ( b + c + b b + c + c + c b ) =. + b.6. Desiguldd de Cuchy-Schwrz e form de Egel Se P el poliomio cúbico P(x) = x ( + b + c)x + (b + bc + c)x bc, dode, b y c so ls ríces del poliomio. Sustituyedo, b y c e el poliomio, obteemos ( + b + c) + (b + bc + c) bc = 0, b ( + b + c)b + (b + bc + c)b bc = 0, c ( + b + c)c + (b + bc + c)c bc = 0. Sumdo ls tres ecucioes, se tiee + b + c bc = ( + b + c)( + b + c b bc c). ( ) De dode se tiee que si +b+c = 0, etoces +b +c = bc. Nótese tmbié que l expresió + b + c b bc c 4

21 CAPÍTULO. DESIGUALDADES.6. DESIGUALDAD C-S EN FORMA DE ENGEL puede ser escrit como + b + c b bc c = [( b) + (b c) + (c ) ]. ( ) Así, otr mer de escribir ( ) es + b + c bc = ( + b + c)[( b) + (b c) + (c ) ]. Pr prcticr los coceptos de est secció puede ser útiles los problems.0,.5 Ejemplo Se,b,x,y úmeros reles co x,y > 0. Etoces x + b ( + b) y x + y. Demostrció. Usdo l desiguldd de Cuchy-Schwrz, se tiee: ( ) ( + b) b ( ) = x + y y x x + b (x + y), y que es u iguldd so y sólo si x = b y Usdo l desiguldd terior dos veces, podemos exteder l desiguldd tres pres de úmeros: x + b y + c ( + b) + c z x + y z ( + b + c). x + y + z Medite u secillo rgumeto iductivo podemos obteer el siguiete resultdo: Teorem: desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel Pr úmeros reles,..., y x,...,x > 0, se tiee que x + x + + x ( ) x + x + + x, co iguldd si y sólo si x = x = = x. Proposició: Formulcioes ltertivs de CS-Egel Se,...,,b,...,b úmeros reles positivos. Etoces: () + + ( + + ). b b b + + b (b) b + + b + + ( b + + b ). 5

22 .7. EXTENSIONES DE LA DESIGUALDAD DE HÖLDER. CAPÍTULO. DESIGUALDADES Pr prcticr los coceptos de est secció puede ser útiles los problems.9,.6,.,.4,.0 y.4.7. Extesioes de l desiguldd de Hölder. Teorem Se x,x,...,x,y,y,...,y,z,z,...,z úmeros reles positivos.. Si,b,c so reles positivos tles que + b = c, etoces { } /c (x i y i ) c { xi } / { } /b y b i.. Si,b,c so reles positivos tles que + b + c =, etoces x i y i z i { xi } / { y b i } /b { } /c z c i. Demostrció.. Aplicmos l desiguldd de Hölder los úmeros x c,...,xc,y c,...,yc Co = c y b = b c.. Procedemos como e l demostrció de l desiguldd de Hölder. Lo úico uevo que teemos que probr es que x i y i z i x i + b yb i + c zc i, pero esto es clro prtir de l desiguldd poderd de ls medis ritmétic y geométric..8. Cmbio de vrible. L sustitució es u estrtegi útil pr resolver problems que ivolucre desigulddes. Relizr u cmbio de vrible decudo puede, por ejemplo, cmbir los térmios complicdos de u iecució, simplificr expresioes o reducir térmios. E est prte veremos lguos ejemplos de l umeros csuístic de ejemplos pr plicr cmbios de vrible. Como se h veido hciedo, l mejor form es trvés de ejemplos. U sugereci útil pr problems que cotiee e l hipótesis u codició extr, es usr es codició pr simplificr el problem. E el siguiete ejemplo plicremos est técic pr elimir deomidores y hcer el problem más fácil. Ejemplo Si,b,c so reles positivos meores que, co + b + c =, etoces ( )( )( ) b c 8. b c 6

23 CAPÍTULO. DESIGUALDADES.8. CAMBIO DE VARIABLE. Después de relizr l sustitució x =, y = b, z = c, obteemos que x + y + z = ( + b + c) =, = x = y + z, b = z + x, c = x + y. Así, l desiguldd es equivlete ( )( )( ) y + z z + x x + y 8. x y z Est últim desiguldd puede probrse plicdo tres veces MA-MG bjo l form (x + y) xy Ejemplo Si,b,c so reles positivos co b + bc + c =, pruébese que + + b b + + c c +. E primer lugr, otemos que + = +b+bc+c = (+b)(+c). De form similr, b + = (b + c)(b + ) y c + = (c + )(c + b). Ahor, l desiguldd probr es equivlete ( + b)( + c) + b (b + c)(b + ) + c (c + )(c + b). Usdo MA-MG plicd cd sumdo del ldo izquierdo, teemos ( + b)( + c) + ( + b + b (b + c)(b + ) + ) + ( b + c b + c + c (c + )(c + b) b ) + ( c b + c + + c ) = c + b. Pr hcer u cmbio de vrible, veces es ecesrio trbjr u poco tes, como podemos ver e el siguiete ejemplo. Este ejemplo tmbié yud ver que podremos ecesitr hcer más de u sustitució. Ejemplo Se,b,c so reles positivos co, pruébese que ( + b)( + c) bc( + b + c). Dividiedo mbos miembros por y hciedo x = b, y = c, l desiguldd se trsform e ( + x)( + y) xy( + x + y). Ahor, dividiedo mbos miembros por xy y hciedo l sustitució r = + x, s = + y, l desiguldd probr viee dd por rs rs. Est últim desiguldd es equivlete (rs ) 0, que result equivlete l elevr mbos miembros l cudrdo y relizr lgus mipulcioes lgebrics. Pr prcticr los coceptos de est secció puede ser útiles los problems.,.,.7,.,.7,.5,.7,. y.8 7

24 .8. CAMBIO DE VARIABLE. CAPÍTULO. DESIGUALDADES 8

25 Problems de l Fse Locl E este cpítulo plteremos el álisis de problems de l Fse Locl de l Olimpid Mtemátic Espñol, l que correspode l ivel más elemetl. Los problems de est secció se bs, e su myorí, e l desiguldd de ls medis, que es utilizd pr resolver ecucioes. Problem.: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 004 Demuestr que si < x <, < y <, etoces: x y x + y xy + xy. Si x,y tiee sigos opuestos, se tiee x y = x + y, xy = xy = + xy. Así pues, l desiguldd es, relmete, u iguldd. Si l desiguldd se cumple pr u pr de úmeros (x,y), se cumple pr el pr opuesto ( x, y). Por tto, si pérdid de geerlidd, podemos supoer que x,y 0. Si l desiguldd se cumple pr u pr de úmeros (x,y), se cumple pr el pr simétrico (y,x). Por tto, si pérdid de geerlidd, podemos supoer que 0 y x. E este cso, x y 0, xy > 0,x 0, y 0, xy 0, y l desiguldd que debemos probr qued (x y)( + xy) (x + y)( xy). Si expdimos los térmios, est desiguldd es l mism que x y + x y xy x + y x y xy. Si simplificmos, obteemos l desiguldd equivlete que, puesto que x e y 0 es ciert. x y y Problem.: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 005 Se cosider l iecució x < x dode es u prámetro rel. ) Discute l iecució segú los vlores de. b) Crcteriz los vlores de pr los cules l iecució tiee exctmete dos solucioes eters. 9

26 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE LA FASE LOCAL ) E pricipio distiguiremos dos csos, segú que x o x <. Cso I: x. L desiguldd es equivlete l siguiete: x < x ( )x <. Cso I.: Supogmos > 0, es decir, <. Etoces x <, > > 0. Por lo tto, 0 < <, x <. Cso I.: = 0 = y l desiguldd se escribe como 0 x <. Por lo tto =, x. Cso I.: < 0 < x. L desiguldd equivlete x < x < ( + )x Cso II: x <. L desiguldd es equivlete l siguiete: x < x < ( + )x. Cso II.: + > 0 >, + < > 0. Por lo tto, > 0, + < x < cudo < 0. Cso II.: + = 0 = < 0 No hy solució. Cso II.: + < 0 < x < < 0. Por lo tto, <, x < + +. Resumiedo: Si <, etoces x < +. Si 0, o hy solució. Si 0 < <, etoces + < x <. Si, etoces x. b) Por el álisis efectudo e ), l desiguldd puede teer dos solucioes eters sólo si 0 < <. Y que e estos csos se tiee hbrá dos solucioes eters si y sólmete si 0 < + < <, <. Por lo tto l respuest es <. Problem.: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 008 Se,b,c tres úmeros positivos de sum uo. Demuestr que +c b b +b c c +b. 0

27 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE LA FASE LOCAL Ddo ( que + b + c =, etoces ( + b + c) = + b + c + (b + c + bc) =. Además, l + b b + ) c c + b b + bc c + c = l. Aplicdo l desiguldd de Jese l fució f (x) = lx que es cócv e su domiio (x > 0), se tiee que: l ( l = l + b b + ) c c + b b + bc c + c ( ) + b l ( ) + c l b [ ( = l ( ) + cl c ) +c ( b ( ) + bl ) b +b ( ) ] c +bc c Teiedo e cuet que l fució f (x) = lx es iyectiv, result que ( ) +c ( b ) b +b ( ) c +bc, c ( ) + bcl b ( ) c o equivletemete, +c b b +b c c +bc. L iguldd se lcz cudo = b = c =. Problem.4: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 008 Hll tods ls ters (x,y,z) de úmeros reles que so solució de l ecució x (5 y + 7 z ) + 5 y (7 z + x ) + 7 z ( x + 5 y ) = ( x + 5 y + 7 z ). Hy veces que pr resolver u ecució puede ser útil resolver u desiguldd o estrict, y que sbemos e qué ocsioes se d ls igulddes, como es e el cso de l desiguldd de ls medis ritmétic y geométric, como veremos e este problem. Poiedo = x, b = 5 y y c = 7 x, l ecució se covierte e: (b + c) + b(c + ) + c( + b) = ( + b + c) Aplicdo l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric result: ( (b + c) + b + c ), 4 ( b b(c + ) + c + ), 4 c( + b) ( c + + b 4 Sumdo ls desigulddes teriores se obtiee (b + c) + b(c + ) + c( + b) ( + b + c). ).

28 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE LA FASE LOCAL L iguldd tiee lugr cudo = b = c. Por tto, ls solucioes buscds so quells pr ls que x = 5 y = 7 z, lo que equivle que xl = yl5 = zl7. Es decir, ls solucioes de l ecució dd so: x = l t, y = l5 t, z = t, t R. l7 Problem.5: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 0 Hll tods ls ters (x,y,z) de úmeros reles que so solucioes del sistem de ecucioes: y = x + x z = y + y x = z + z Hciedo l sustitució x =, y = b, y z = c, se observ que,b,c > 0 y se obtiee: b = ( + + ) c = (b + + b ) = (c + + c ) Aplicdo l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric, result b = ( + + ) =, y por tto, b /b. Aálogmete,, /, y c y c /c. Teiedo e cuet lo terior, de l primer ecució result que: b = ( + + ) ( + + ) =, y de ls otrs dos que c b y c. Combido ls desigulddes teriores, se obtiee c b. Es decir = b = c. Ahor teemos = ( + + ) = ( )( + ) = 0, que tiee por solució = y = /. Como sólo os vle l solució positiv, teemos que = b = c = y por tto, (x, y, z) = (0, 0, 0) es l úic ter solució del sistem. Problem.6: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 0 Se,b y c tres úmeros reles positivos cuyo producto es. Demuestr que, si l sum de estos úmeros es myor que l sum de su iversos, etoces exctmete uo de ellos es myor que. Puesto que bc = y + b + c > + b +, teemos que c ( )(b )(c ) = bc b bc c + + b + c = ( = + b + c + b + ) > 0. c

29 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE LA FASE LOCAL L desiguldd se cumple cudo uo de los fctores del úmero ( )(b )(c ) es positivo o los tres fctores so positivos. Si fuese positivos los tres, tedrímos que >, b > y c >, cos que o es posible, y que bc =. Por tto, sólo uo de ellos es myor que cero y esto cb l demostrció. Problem.7: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 0 Obté los dos vlores eteros de x más próximos 0 o, tto por defecto como por exceso, que cumple est ecució trigoométric: se x + cos x =. Aplicdo l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric result se x + cos x se x cos x = se x+cos x =. L iguldd se lcz cudo se x = cos x. Es decir, cudo se x = cos x o sex = ±cosx. Los vlores de x que stisfce l iguldd terior so x = o k co k Z. Deotdo [x] l prte eter de x, los vlores pedidos se obtiee pr [ 0 o 45 o ] [ 0 o + 45 o ] k = 90 o = k = 90 o =, y so x = 95 o y x = 05 o. Problem.8: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 0 Resuelve l ecució expoecil x 5 x + 5x x = 6. Aplicdo l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric y, después, u de de sus más coocids cosecuecis ( l sum de u úmero rel positivo y su iverso es siempre myor o igul que, y l iguldd sólo se d pr el úmero ) teemos, 6 = x + 5 x + x 5x x 5 x x 5x = 6. Y l iguldd se drá cudo los úmeros medidos se igules: x 5 x = x 5x x = 5x 5 x 5 x = 5 x, esto es, cudo x = 0 que será, pues, l úic solució de l ecució. Problem.9: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 04 Se,b úmeros positivos. Probr que: + b + b b +. Solució : L desiguldd equivle b + +b + b.

30 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE LA FASE LOCAL Si plicmos l desiguldd etre ls medis ritmétic y cudrátic l miembro de l izquierd, obteemos: b + +b b + +b b + + b ( + b) = = = + b. Solució : Co el cmbio de vrible = s, b = t (s,t 0) obteemos l desiguldd equivlete st + s 4 +t 4 s +t. Aisldo l ríz cudrd ye levdo l cudrdo, tmbié es equivlete s 4 +t 4 s 4 +t 4 + s t s t t s. Multiplicdo por e iguldo 0 el miembro de l izquierd, es equivlete probr que Filmete, grcis l biomio de Newto, 0 s 4 +t 4 + 6s t 4s t 4t s. s 4 +t 4 + 6s t 4t s = (t s) 4 0. Solució : Deotmos A = + b G = + b b Q =. Co est otció debemos probr que o, equivletemete G + Q A. Q A A G. que expresmos, multiplicdo por el cojugdo e cd uo de los térmios, como Q A Q + A A G A + G. Puesto que Q G, se tiee que Q + A A + G > 0. Como Q > A, teemos que Q A > 0. Puesto que A G, teemos que A G 0. Así pues, bst probr que que equivle Q A A G, Q + G A. Es decir, bst probr que + b ( + b) + b Simplificdo observmos que est últim expresió es, e relidd, u iguldd. 4

31 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE LA FASE LOCAL Solució 4: L desiguldd equivle b + + b + b. Puesto que l fució f (x) = x es cócv, grcis l desiguldd de Jese + b b + b + + b = + b. Problem.0: Olimpid Mtemátic Espñol (fse locl), 05 Demuestr que (x + by) x + by, pr culesquier x,y R y culesquier,b R co + b =,,b > 0. E qué csos se d l iguldd? Pr cotr u cudrdo de u sum, veces es útil usr l desiguldd de Jese. L fució f (z) = z es clrmete covex, co lo que por l desiguldd de Jese, pr culesquier reles o egtivos y b, y culesquier reles x,y se tiee: (x + by) = f (x + by) < f (x) + b f (y) + b = x + by + b. Usdo que + b =, se obtiee el resultdo pedido, dádose l iguldd bie si uo de los dos putos desprece (es decir, = 0 o b = 0), o e cso cotrrio si mbos putos coicide (es decir, x = y). Otrs forms de resolver el problem es usr l desiguldd de Cuchy-Schwrz co los vectores (, b) y ( x, by) o llevr todo u miembro y usr l positividd del cudrdo. 5

32 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE LA FASE LOCAL 6

33 Problems de Olimpids Ncioles E este cpítulo bordremos u selecció de problems que correspode fses cioles de olimpids, co u ivel de dificultd superior l secció terior. Problem.: Olimpid Mtemátic Espñol, 97 Cosideremos cutro úmeros reles x, y, p, q tles que p, q > 0 y p + q <. Demostrr que (px + qy) px + qy. SOLUCIÓN : Aplicmos l desiguldd de Cuchy-Schwrz los vectores u = ( p, q) y v = (x p,y q). Obteemos que: (px + qy) = (u v) (u u)(v v) = (p + q)(px + qy ). Como p + q <, deducimos l desiguldd del eucido. SOLUCIÓN : Apliquemos l desiguldd de Jese l fució covex f (t) = t sobre los vlores p x e y sobre los pesos p + q y q (que sum ), respectivmete. Teemos etoces que p + q ( ) px + qy ( p = f p + q p + q x + q ) p + q y p p + q f (x) + q p + q f (y) = px + qy p + q. Multiplicdo mbos miembros por (p + q) y usdo que p + q <, obteemos l desiguldd del eucido. Problem.: Chi, 989 Demuestr que pr culesquier reles positivos x,...,x tles que x i =, se tiee: x i xi. xi E primer lugr, observmos que l fució f (x) = f (x) > 0. Así, por l desiguldd de Jese: x i xi = f (x i ) f ( 7 x x es covex e el itervlo (0,), y que ) x i = f ( ) =,

34 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES de dode x i xi. Flt por probr que xi, pero esto se obtiee fácilmete usdo l desiguldd de Cuchy-Schwrz: xi x i =. Problem.: Rusi, 99 Se x,y,z úmeros reles o egtivos. Demostrr que: (x + y + z) x yz + y zx + z xy. Usdo MA-MG, teemos xy + yz y xz. Sumdo los resultdos similres obteemos (xy + yz + zx) (x yz + y zx + z zy). Nuevmete por MA MG, se tiee que x +x +y +z 4x yz. Sumdo los resultdos similres obteemos x + y + z x yz + y zx + z xy. Sumdo el primer resultdo teemos Problem.4: Rusi, 99 (x + y + z) x yz + y zx + z xy. Demostrr que pr culesquier úmeros reles x,y >, se tiee que: x y + y x 8. Por MA-MG, teemos que: x y + y x xy 8. (x )(y ) Ahor, ótese que x x, y que (x ) 0 SOLUCIÓN ALTERNATIVA: Se = x, b = y, que so positivos y l ecució que queremos demostrr es equivlete (+) b y (b+) 4b. Luego, (+) + (b+) + (b+) 8. Ahor bie, por MA MG, teemos que (+) 4 b 4( b + b ). Lo último que os flt ver es que b + b, pero esto es bie fácil, usdo uevmete MA MG: b + b b b =. Problem.5: Rusi, 99 Pr úmeros reles positivos x,y,z, demostrr que: x 4 + y 4 + z 8xyz. 8

35 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Por l desiguldd MA-MG, se tiee que x 4 + y 4 x y. Usdo MA MG uevmete, x y + z 8xyz. Sumdo ls desigulddes: x 4 + y 4 + z + z 4 4 x 4 y 4 z 4 = 8xyz. 4 Problem.6: Sudáfric, 995 Pr,b,c,d úmeros reles positivos, demuestr que + b + 4 c + 6 d 64 + b + c + d. Utilizmos l desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel pr estblecer que Problem.7: Core, b + 4 c + 6 ( ) d + b + c + d = 64 + b + c + d. Si, b, c, d so úmeros reles positivos tles que + b + c = bc, demuestr que b + c. Relizdo l sustitució x =, y = b, z = c, l codició + b + c = bc se covierte e xy + yz + zx = y l desiguldd se trsform e x x + + y y + + z z +, que es u resultdo probdo e el segudo ejemplo del prtdo Cmbio de vrible. Nótese que l desiguldd de Jese o puede ser plicd porque l fució f (x) = o es cócv e R+ Problem.8: Hugrí-Isrel, 999 +x Se k y l dos úmeros eteros positivos ddos y se i j, i k y j l, kl úmeros reles positivos ddos. Demuestr que si q p > 0, etoces ( ) q/p l k p i j j= /q ( ) p/q k l q i j j= /p. Defiimos b j = k p i j pr j =,,...,l y deotemos el ldo izquierdo de l desiguldd pedid por L y el derecho por R. Etoces: L q = = l q p bk j= l j= ( = ( k b q p p j ( l j= 9 ( )) k p i j )) q p p b j p i j

36 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Usdo l desiguldd de Hölder, obteemos que: L q = = k k ( l ( b l j= l ( b j= j= q p j ( b q p j ) q p q q p p j ) q p q ) q ) q p q q p k ( l j= ( l j= ) p ( p i j ) q q p ( l ( q i j ) ) p q ) p ( q q i j ) = L q p R p L desiguldd L R se obtiee dividiedo mbos ldos de L q L q p R p por L q p y tomdo l ríz p ésim. Problem.9: Repúblics Chec y Eslovc, 999 Pr,b,c eteros positivos, demuestr l desiguldd Obsérvese que b + c + b c + + c + b c + + c + b. c + b = b + b + b bc + b + c c + bc. Usdo l desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel e l form de Egel, se tiee que Además, sbemos que b + b + b bc + b + c ( + b + c) c + bc (b + bc + c). + b + c b bc c = [( b) + (b c) + (c ) ] 0, esto es, ( + b + c) (b + bc + c). Usdo est desiguldd, completmos l demostrció. Problem.0: Bielorusi, 000 Demuestr que, pr todos los úmeros positivos,b,c,x,y,z se d l siguiete desiguldd x + b y + c ( + b + c) z (x + y + z). Usdo l extesió de l desiguldd de Hölder, teemos que ( ) / x + b y + c ( + + ) / (x + y + z) / + b + c. z Elevdo l cubo mbos ldos y dividiedo mbos miembros por (x+y+z), obteemos el resultdo pedido. 0

37 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Problem.: Idi, 00 Si,b,c so reles positivos, demuestr que b + b c + c c + c + b + + b + c + b + c b +. Hciedo el cmbio de vrible x = b, y = b c, z = c, el ldo izquierdo de l desiguldd se simplific otblemete, queddo x + y + z. Vemos cómo qued el segudo miembro: c + c + b = + c + b c = + b b c + b c De form álog: + b + c = y + y + z Así, l desiguldd es equivlete = + xy + y = x + x + y. b + c b + = z + z + x. x + y + y + z + z + x 0, co l codició xyz =. L últim desiguldd puede ser escrit como que se trsform e (x )(z + ) + (y )(x + ) + (z )(y + ) 0, x z + y x + z y + x + y + z x + y + z +. Ahor, usdo, l desiguldd ritmético-geométric, result que x z + y x + z y x y z =. Tmbié, x + y + z (x + y + z) = x+y+z (x + y + z) xyz(x + y + z) = x + y + z de dode l primer desiguldd se sigue de l desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel. Problem.: Rumí, 00 Si,b,c so reles positivos e el itervlo (0,), demuestr que bc + ( + )( b)( c) <. Hciedo l sustitució = cos A, b = cos B, c = cos C, co A,B,C e el itervlo (0, π ), obteemos que = cos A = sea, b = seb y c = sec. Así pues, l desiguldd probr es equivlete probr Pero obsérvese que cosacosbcosc + seasebsec <. cosacosbcosc + seasebsec < cosacosb + seaseb = cos(a B). Problem.: Repúblics Chec y Eslovc, 004 Se,b,c,d úmeros reles co + d = b + c. Demuestr que: ( b)(c d) + ( c)(b d) + (d )(b c) 0.

38 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Bst observr que ( b)(c d) + ( c)(b d) + (d )(b c) = ( b)(c d) = ( b) 0. Problem.4: Croci, 004 Se x,y,z úmeros reles positivos. Demuestr que x (x + y)(x + z) + y (y + z)(y + x) + z (z + x)(z + y) 4. Aplicmos l desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel pr obteer x (x + y)(x + z) + y (y + z)(y + x) + z (z + x)(z + y) (x + y + z) x + y + z + (xy + yz + zx). Por otr prte, l desiguldd (x + y + z) x + y + z + (xy + yz + zx) 4, es equivlete x + y + z xy + yz + zx,que bie sbemos que es ciert (Vése l secció.6). Problem.5: Rusi, 004 Si > y x,x,...,x so úmeros reles positivos co x x...x demuestr que + x + x x + + x + x x x + x x >. Usmos l sustitució x =, x =,..., x =. Y que x + x x = + + = + +, y repitiedo el proceso e los térmios semejtes del miembro de l izquierd, deberemos probr que se d l desiguldd >. Pero est desiguldd es fácil de probr. Es fácil observr que pr todo i =,..., teemos i + i+ + i+ < Problem.6: Repúblics Chec y Eslovc, 005 Se,b,c úmeros positivos que stisfce bc =, demostrr que ( + )(b + ) + b (b + )(c + ) + c (c + )( + ) 4.

39 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Nótese que ( + )(b + ) + b (b + )(c + ) + c ( + )(b + )(c + ) = = (c + )( + ) ( + )(b + )(c + ) = ( + )(b + )(c + ) 4 si y sólo si ( + )(b + )(c + ) > 8, y esto último es imedito, hciedo uso de MA MG, de l desiguldd ( )( )( ) + b + c + b c =. Problem.7: Poloi, 006 Se,b,c eteros positivos tles que b + bc + c = bc. Demuestr que 4 + b 4 b( + b ) + b4 + c 4 bc(b + c ) + c4 + 4 c(c + ). Usdo l sustitució x =, y = b, z = c, l codició b+bc+c = bc se trsform e x+y+z = y l desiguldd qued: x 4 + y 4 x + y + y4 + z 4 y + z + z4 + x 4 z + x = x + y + z. Utilizdo l desiguldd de Chebyshev, podemos ver que y sí: x 4 + y 4 x + y x + y, x 4 + y 4 x + y + y4 + z 4 y + z + z4 + x 4 z + x x + y + y + z + z + x. Problem.8: Olimpid Mtemátic Espñol, 007 Se u úmero rel positivo y u etero positivo. Demostrr que < + +. L desiguldd dd < + + es equivlete ( / /) < ( / /), que su vez es equivlete que < α α α α, siedo α =. Etoces usdo l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric, se tiee l desiguldd pedid: α α α α = α α α = α ( + α + α α ) > > α α +4+ +( ) = α α =.

40 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Problem.9: Olimpid Mtemátic Espñol, 007 Se 0,,,, 4 cico úmeros positivos e progresió ritmétic de rzó d. Demuestr que 0 ( ). SOLUCIÓN : L desiguldd dd puede escribirse como , y sumdo 6 mbos miembros se covierte e ( ). Por otro ldo como 0,,,, 4 está e progresió ritmétic, etoces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ( )] = + + = = Aplicdo l desiguldd de Jese l fució f (t) = t, covex e R +, co t k = ( 4 k) result k f ( 4 k=0 p k k ) o equivletemete, [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k p k f ( k ), k=0 4 ] = 6 ( ). Obsérvese que l iguldd se tiee cudo los cico úmeros so igules y hemos termido. SOLUCIÓN : Llmdo l térmio cetrl y d l difereci, l progresió es d, d,,+ d, + d y teemos: sumdo: dividiedo por 0 qued co idepedeci del vlor de d. 0 = ( d) = 6 d + d 8d 4 = ( + d) = + 6 d + d + 8d 4 = 4( d) = 4 d + d 4d 4 = 4( + d) = 4 + d + d 4d = d, 0 ( ) = 4 5 d 0, SOLUCIÓN : Como se trt de cico térmios e progresió ritmétic, se tiee = = +, 4

41 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES o tmbié Etoces y Etoces, lo que hy que probr es 0 4 = ( d)( + d) = ( ) 0 4 ( ) = , 4( + ) = [( + ) ( + )] = 4(8 6 0 ). 0 ( ), cuyo segudo miembro es ( ); trspoiedo térmios, l desiguldd probr se escribe como 5 ( 4d + 4 4d ) L últim desiguldd es ciert y hemos termido. Problem.0: Rumí, d 4 5 d 0. Pr los úmeros reles o egtivos x,y,z, demuestr que x + y + z xyz + (x y)(y z)(z x). 4 Se p = (x y)(y z)(z x). Recordemos ls idetiddes x + y + z xyz = (x + y + z)(x + y + z xy yz zx), ( ) y x + y + z xy yz zx = [(x y) + (y z) + (z x) ]. Aplicdo MA-MG, se tiee que x + y + z xy yz zx p. ( ) Ahor, como x y x + y, y z y + z, z x < z + x, se sigue que (x + y + z) (x y)(y z)(z x). Volviedo plicr MA-MG: (x + y + z) p. ( ) El resultdo se sigue de sustituir ( ) y ( ) e ( ) y dividir por. 5

42 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Problem.: Moldvi, 007 Se w,x,y,z úmeros reles positivos. Demuestr que w x + y + z + x y + z + w + y z + w + x + z w + x + y. Expresmos el ldo izquierdo de l desiguldd como sigue: w xw + yw + zw + x xy + xz + xw + y yz + yw + xy + z zw + xz + yz y usmos l desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel : w x + y + z + x y + z + w + y z + w + x + z w + x + y (w + x + y + z) 4(wx + xy + yz + zw + wy + xz) Así pues, uestr lbor se reduce probr que (w + x + y + z) 4(wx + xy + yz + zw + wy + xz), que es equivlete (w + x + y + z ) (wx + xy + yz + zw + wy + xz). Est desiguldd puede deducirse utilizdo MA-MG seis veces los térmios bjo form x + y xy. Problem.: México, 007 Si,b,c so reles positivos tles que + b + c =, demuestr que + bc + b + c + c + b. Usdo l codició + b + c =, teemos que + bc = ( + b + c) + bc = ( + b)( + c), sí, usdo MA-MG, se tiee que + b + c + bc = ( + b)( + c). De form álog b + c + c + + b b + c c + b. Sumdo ls tres desigulddes teemos: + b + c + bc + b + c + c + b + b + c + + c + + b 4 + 4b + 4c = =. L iguldd se d cudo + b = + c, b + c = b + y c + = c + b, esto es, cudo = b = c =. Problem.: Irld, 007 Se x,y,z úmeros reles positivos. Demuestr que ( bc + c b + b ) c + b + c + b + c. 6

43 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES L desiguldd de l izquierd se sigue de l desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel. Pr l segud desiguldd, l sustitució x = bc, y = c b, z = b c trsform l desiguldd e x + y + z yz + zx + xy. Elevdo l cudrdo mbos miembros, obteemos (xy + yz + zx) (x + y + z), que es válido si y sólo si xy + yz + zx x + y + z, hecho que sbemos que es cierto. Problem.4: Greci, 008 Pr x,x,...,x eteros positivos, demuestr que ( x + x + + x x + x + + x ) k t x x x, dode k = máx{x,x,...,x } y t = mí{x,x,...,x }. Bjo qué codicioes se d l iguldd? Usmos l desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel pr obteer: x + x +...x x + x + + x = Así, es suficiete probr que x x + x + + x + x x + x + + x + + (x + x + + x ) (x + x + + x ) = x + x + + x. ( x + x + + x ) k t x x x. x x + x + + x Como k = máxx,...,x míx,...,x = t, teemos que k t los x i so eteros positivos, es suficiete probr que y como x + +x, porque todos ( ) x + x + + x x x x, que es equivlete l desiguldd ritmético-geométric. Como tods ls desigulddes itermedis so igulddes cudo x = x = = x, cocluimos que l iguldd se d cudo x = x = = x. Problem.5: Reio Uido, 008 Ecuetr el míimo de x + y + z, dode x,y,z so úmeros reles que verific x + y + z xyz =. Tomemos l iguldd x + y + z xyz = (x + y + z)(x + y + z xy yz zx) L codició x + y + z xyz =, puede ser escrit como (x + y + z)(x + y + z xy yz zx) =. ( ) 7

44 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Se A = x + y + z y B = x + y + z. Nótese que B A = (xy + yz + zx). Por l iguldd x + y + z xy yz zx = [(x y) + (y z) + (z x) ], teemos que B > 0. Y l iguldd ( ) se covierte e ( ) B A B A = Así pues, A = B + B. Como B > 0, plicmos l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric pr obteer A = B + B = B + B + B, esto es, A. Así, el míimo A = se lcz, por ejemplo, cudo (x,y,z) = (,0,0) Problem.6: Olimpid Mtemátic Espñol, 008 Demuestr que pr culesquier úmeros reles,b tles que 0 <,b <, se cumple l desiguldd siguiete: b + b + ( )( b) + ( ) ( b) <. Se verific que x < x pr todo x (0,). Teiedo e cuet que 0 < + b desiguldd terior y plicdo MA-MG, se tiee: ( ) ( ) + b ( ) + b + + b + b b < b = + b <, utilizdo l y ( )( b) ( + b ) ( < ( )( b) + b ) + b + + b = + b. Sumdo ls expresioes teriores result ( ) ( + b b + ( )( b) + b ) <, o equivletemete ( ) b + b + ( )( b) + ( ) ( b) <, de dode se obtiee imeditmete l desiguldd del eucido. 8

45 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Problem.7: Kzjistá, 008 Se x,y,z úmeros reles positivos tles que xyz =. Demuestr que yz + z + zx + x + xy + y. Co l sustitució x = b, y = b c, z = c, l iecució tom l form que es l desiguldd de Nesbitt. Problem.8: Rumí, 008 b + c + b c + + c + b, Se,b,c úmeros reles positivos tles que bc = 8. Demuestr que + + b b + + c c + 0. Nótese que + + b b + + c ( c b + + ) 0 c b + + c +. Usdo el cmbio de vribles = x y, b = y z, c = z x, obteemos: + + b + + c + = x y + + y z + + z = y x + y + = y xy + y + z y + z + x + x z + x z yz + z + x zx + x (x + y + z) xy + y + yz + z + zx + x = L úic desiguldd de l expresió se sigue de l desiguldd de Cuchy-Schwrz e l form de Egel. Problem.9: Olimpid Mtemátic Espñol, 009 Se,b,c úmeros reles positivos tles que bc =. Demuestr que ( ) ( ) b ( ) c b + bc + c 4. ( ) ( ) c ( ) c Como bc =, etoces = =. Aálogmete se obtiee + b bc + c + c ( ) b ( ) b ( ) c ( ) bc = = + bc + + c + b 9

46 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES. Por lo tto, l desiguldd requerid se covierte e: ( ) b ( ) bc ( ) c b + c 4, equivlete [ ( ) b ( ) bc ( ) ] c b + c. Usdo hor l desiguldd etre ls medis ritmétic y cudrátic, se obtiee [ ( ) b ( ) bc ( ) ] c + + [( ) ( ) ( )] b bc c b + c + + b + c Así es suficiete demostrr que que su vez es equivlete b + + bc + b + c + c o equivletemete bc c( + ) + bc ( + b) + bc b( + c), c( + ) + ( + b) + b( + c). Poiedo = x y, b = y z y c = z, e l últim desiguldd result x ( x y + x ) ( y + z z + y ) ( z + x x + z ) y. Sustituyedo hor α = x, y = y y γ =, se lleg l desiguldd de Nessbit: z α β + γ + β γ + α + L iguldd se lcz si y sólo si = b = c =. γ α + β. Problem.0: Olimpid Mtemátic Espñol, 0 Se,b,c úmeros reles positivos. Demuestr que b + c + Cuádo se lcz l iguldd? b c + + c + b + b + bc + c + b + c 5. Nótese e primer lugr que, e virtud de desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric, se tiee: ( ) + b + c b + bc + c b + bc + c + + b + c + b + c b + bc + c b + bc + c + b + c =, 40

47 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES dádose l iguldd si y sólo si + b + c = b + bc + c, o equivletemete si ( b) + (b c) + (c ) = 0, es decir, si y sólo si = b = c. Nos bstrí etoces, pr cocluir el problem, co demostrr que b + c + b c + + c + b + + b + c b + bc + c. Esto puede coseguirse por fuerz brut, viédose e primer lugr que el miembro de l derech puede escribirse como + b + c + bc ( + b)(b + c)(c + ) +, y prtir de quí comprdo ls frccioes resttes, llegádose l coclusió trs lgo de cálculo. Si embrgo, se puede obteer el resultdo desedo de u form más elegte, y que podemos escribir: b + c + b c + + c + b = b b + c + bc + b + c + bc ( ) ( ) b ( ) c = + +. b + c bc + b c + bc c Así: (b + bc + c) = ( b + c ) + ( bc + b ) + ( c + bc ), y por l desiguldd del producto esclr se tedrí (b + bc + c) b + c + es decir, b + c b + c + b + c + b c + + b bc + b bc + b + b c + + c + b c c + bc c + bc = + b + c c ( + b + c) + b (b + bc + c) = + b + c (b + bc + c) +, co lo que se cocluye el problem. Nótese que l iguldd se d e l últim desiguldd si y sólo si b + c bc + b c + bc b + c = bc + b = c + bc, b c es decir, si y sólo si = b = c, que es por lo tto tmbié l codició ecesri y suficiete pr que se dé l iguldd e l desiguldd propuest. Problem.: Olimpid Mtemátic Espñol, 0 Se,b y eteros positivos tles que > b y b =. Demuestr que b 4. Idic justificdmete cuádo se lcz l iguldd. Supogmos que el resultdo demostrr fuer flso. Etoces ( + b) = ( b) + 4b < 4 + 4( + ) = ( + ). Pero como + b es etero y + b < +, etoces + b y por ( ) + b desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric + = b < =, que es u cotrdicció. Luego el resultdo demostrr es cierto. 4

48 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES El cso de l iguldd requiere que ( + b) = 4 + 4( + ) = ( + ), debido l idetidd ( + b) = ( b) + 4b. Por tto + b = +. L iguldd b = 4 se lcz cudo el rdicdo se ecesrimete u cudrdo perfecto impr; es decir 4 = (u + ) pr lgú etero o egtivo u, co lo que = u + u + b = u +. Además, b = u = u +, luego = b + u + = u + u +. Se comprueb fácilmete que e efecto b = u 4 + u + u + u + = (u + u + ) + = +. Luego hy iguldd si y sólo si = u + u +, b = u + y = u + u +, co b = u +, pr todo etero o egtivo u. Problem.: Olimpid Mtemátic Espñol, 06 Se u úmero etero. Determir el meor úmero rel positivo γ de modo que pr culesquier úmeros reles positivos x,x,...,x, y prt culesquier úmeros reles y,y,...,y, co 0 y,y,...,y que cumpl x + x + + x = y + y + + y = se tiee que x x...x γ(x y + x y + + x y ). Se M = x x x y X = M x i pr i. Cosideremos l fució ϕ : (0,+ ) R defiid por ϕ(t) = M que es covex como se prueb fácilmete. Como los úmeros o egtivos y i, ( i ) t so tles que y + y + + y =, etoces plicdo l desiguldd de Jese l fució ϕ se tiee: es decir, M ϕ ( y i x i ) ( ) y i x i y i ϕ(x i ), y i M x i = y i X i. () Ahor se trt de ecotrr l meor cot superior del térmio de l derech de (). Si pérdid de geerlidd, podemos supoer que x x x e y y y. Etoces se tiee que X X X como se comprueb imeditmete. Aplicdo l desiguldd de reordeció, sbemos que etre tods ls sums de l form y ix i l que lcz el vlor máximo es l que se obtiee cudo y y y y X X X. Ahor observmos que y i X i = y X + (y X + + y X ) y X + (y + + y ) X = y X + ( y )X. Al ser 0 y /, se tiee que y i X i (X + X ) = ((x + x )x...x ) ( (x + x ) + x + + x ) = ( ), dode se h utilizdo l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric y l codició x + x + + x =. De lo terior y (), result M ( )( ) y i x i y i X i ( ( ) y i x i ) 4

49 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES y Si tommos x = x = etoces M = x x x = 4 γ ( ). ( ), x = x 4 = = x = e y = y =, y = y 4 = = y = 0, ( ) = ( ) (y x + y x ) = ( ) y i x i, y se cocluye que γ = ( ). Problem.: Olimpid Mtemátic Espñol, 07 Determi el máximo vlor posible de l expresió 7bc + + bc + b b + c + c c + b, siedo,b,c, úmeros reles positivos tles que + b + c =. E primer lugr, se observ que cudo = b = c = el vlor que tom l expresió es, lo cul sugiere cojeturr que 7bc + + bc + b b + c + c c + b. Pr probr est cojetur, se puede plicr l desiguldd de Cuchy-Schwrz, ( u v) u v los vectores u = (, b, c) y v = ( bc, c, b), obteiédose que 9bc = ( bc + bc + bc) ( + b + c)(bc + c + b). Multiplicdo por mbos miembros de l desiguldd terior y teiedo e cuet l restricció, result 7bc ( + b + c)(bc + c + b) = (bc + c + b). Por otro ldo, ddo que + bc = ( + bc), plicdo l desiguldd etre ls medis ritmétic y geométric los úmeros y + bc se obtiee + bc = ( + bc) + ( + bc) = ( + bc). Aálogmete, se tiee que y b b + c (b + c) c c + b (c + b) 4

50 CAPÍTULO. PROBLEMAS DE OLIMPIADAS NACIONALES Combido ls desigulddes teriores, y teiedo e cuet otr vez l restricció, se obtiee 7bc + + bc + b b + c + c c + b (bc + c + b) + ( + bc + b + c + c + b) = ( + b + c + b + bc + c) = ( + b + c) =. Esto prueb l cojetur y el máximo de l expresió es. 44

51 Problems de Olimpids Itercioles 4 E este último cpítulo vmos relizr u estudio de los problems de olimpids que h precido e competicioes itercioles, como puede ser l Olimpid Mtemátic Iterciol (IMO), Olimpid Mtemátic del Pcífico Asiático (APMO) y l Olimpid Iberomeric. L complejidd l hor de resolver los problems es superior ls demás fses, uque su resolució resulte breve. Problem 4.: IMO, 960 Pr qué vlores reles de x se cumple l siguiete desiguldd? 4x ( < x x) Pr que ls expresioes ivolucrds e l desiguldd teg setido es ecesrio, priori que x y x 0. Multiplicdo el umerdor y el deomidor por ( + + x) y simplificdo, se tiee que verificr que x + < 7. Resolviedo pr x, se tiee que x < 45 8, por lo que l solució de l desiguldd es x [,0) (0, 45 8 ). Problem 4.: IMO, 964 Se,b,c úmeros reles positivos, demostrr que: + b + c + bc b( + b) + bc(b + c) + c(c + ). L desiguldd es equivlete : + b + c b( + b c) + bc(b + c ) + c(c + b). Defiimos ls vribles x = + b c, y = b + c, z = + b + c. Se tiee que = z+x, b = x+y x = y+z. Así pues, l desiguldd probr es: 8 ((z + x) + (x + y) + (y + z) ) ((z + x)(x + y)x + (x + y)(y + z)y + (y + z)(z + x)z), 4 que es equivlete o (x y + y x + + z x) (x y +...) + 6xyz, x y + y x + y z + z y + z x + x z 6xyz, 45,