Qué es la ecuación lineal de onda y porqué es importante? Cuáles son las ecuaciones de Maxwell? Cómo se relacionan el campo eléctrico y el campo

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2 Qué es la ecuación lineal de onda y porqué es imporane? Cuáles son las ecuaciones de Mawell? Cómo se relacionan el campo elécrico y el campo magnéico de acuerdo a las ecuaciones de Mawell? Porqué podemos decir que la luz es una onda elecromagnéica (OM)? Cómo son las funciones de onda para una OM? Qué información se puede sacar a parir de la función de onda de una OM? Cuál es la poencia ransporada por una OM?

3 Las funciones de onda y(,)=acos(k-ω) son soluciones de la ecuación lineal de onda: y La ecuación de onda describe cómo se propaga (o viaja) una onda plana en cualquier sisema físico. La variable y puede ener diferenes asignaciones dependiendo del ipo de onda que se rae: Ondas en una cuerda: y=desplazamieno ransversal del medio. Ondas de sonido: y=desplazamieno longiudinal del medio. Ondas elecromagnéicas: y=campo elécrico o magnéico. sa ecuación de onda es el fundameno clásico de la ecuación de Schrödinger, base de la mecánica cuánica, que describe los fenómenos a nivel aómico y/o molecular (dualidad ondaparícula de los elecrones). v y

4 Las ecuaciones de Mawell describen el comporamieno de los campos elécricos y magnéicos. Ley de Gauss elécrica: da Ley de Gauss magnéica: Ley de Faraday: Ley de Ampère-Mawell: d s Las consecuencias más imporanes de las ecuaciones de Mawell son: Un campo magnéico (elécrico) variable en el iempo genera un campo elécrico (magnéico). isen ondas elecromagnéicas que son solución de la ecuación lineal de onda (obenida a parir de las ecuaciones de Mawell). q da d d d s I d d

5 l campo elécrico y el campo magnéico siempre son perpendiculares a la dirección de propagación y enre sí. Tomemos las direcciones: propagación de la onda y oscilación del campo elécrico z oscilación del campo magnéico Serway, Jewe, Physics for scieniss and engineers, 6h diion, Thomson rooks/cole, USA, 4, pg. 69 Podemos derivar la ecuación de onda a parir de las ecuaciones de Mawell. Un aspeco imporane a considerar es que en el vacío prácicamene no hay fuenes de carga elécrica (q), ni corrienes elécricas (I), por lo que las ecuaciones se reducen a: da da d s Las ecuaciones que relacionan a y a son fundamenales en deerminar la ecuación de onda. d d d s d d

6 Podemos relacionar los campos y a ravés de las ecuaciones de Mawell: d d d s d d s d Tomando la primera inegral de acuerdo a la figura: d s d,, d Por oro lado: nonces: De manera análoga, omando la segunda inegral se iene que: y d s A d d d, d, d A d Serway, Jewe, Physics for scieniss and engineers, 6h diion, Thomson rooks/cole, USA, 4, pg. 73

7 Para obener la ecuación lineal de onda, se oman como base: Derivando el campo con respeco a se iene: Y susiuyendo ahora la segunda ecuación: La velocidad de la luz en el vacío es: nonces recuperamos la ecuación lineal de onda: De manera análoga, si derivamos el campo con respeco a y hacemos el mismo procedimieno se obiene: c c c

8 Como se vio aneriormene, ano como son soluciones de la ecuación lineal de onda. Lo único que se omó en cuena sobre ellos es que son perpendiculares enre sí y con la dirección de propagación. so es consecuencia direca de la orogonalidad de las ecuaciones de Mawell. Por simplicidad, imaginemos una onda elecromagnéica plana: hp://ocw.mi.edu/ans787/8/8.t/f4/visualizaions /ligh/7-ligh/_ligh.mpg hp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/humb///plane_wave _wavefrons_3d.svg/p-plane_wave_wavefrons_3d.svg.png Las funciones de onda correspondienes son: cos k cos k

9 Primero se verificará que es solución de la ecuación lineal de onda: Análogamene, el campo ambién es solución de la ecuación lineal de onda Son ondas elecromagnéicas. Por oro lado, se iene que: k k sin cos k k Pero como: k cos k c Por lo ano, la magniud de y la magniud de esán relacionadas en odo insane de iempo como: c De esa manera, con sólo conocer el campo como función del iempo, se puede deerminar el campo en odo insane. sin k c k

10 Por ahora sólo se esudió el caso de ondas planas propagándose en una dirección paralela al eje. No hay que olvidar que se pueden propagar en cualquier dirección del espacio: r, y, z iˆ yj ˆ zkˆ n ese caso, se debe considerar que el número de onda se reemplaza por el vecor de onda: ˆ l campo elécrico, ambién es una canidad vecorial: cos kr l esado de polarización corresponde a la dirección de : ˆ k k k kˆ Por lo ano, a parir de la función de onda de se puede conocer mucha información de la onda elecromagnéica: Longiud de onda, frecuencia y velocidad (en un medio). sado de polarización. Índice de refracción del medio. nergía ransporada por la onda.

11 La poencia por unidad de área ransporada por una onda M se puede calcular a parir del vecor de Poyning: La magniud del vecor de Poyning es: c l vecor de Poyning represena la poencia insanánea que araviesa una superficie. La magniud de mayor inerés es la INTNSIDAD (o irradiancia) de una onda M que es el PROMDIO del vecor de Poyning en un ciclo: I S prom r c La densidad de energía insanánea asociada al campo elécrico es: u u Y la densidad de energía asociada al campo : u Por lo ano, la densidad de energía oal es: u u l promedio de la densidad energía en un ciclo, se puede relacionar con la inensidad: u S prom I cu prom S

12 hp://

13 n resumen, las propiedades de las ondas M son: y deerminados a parir de la 3ª y 4ª ecuaciones de Mawell presenan comporamieno ondulaorio y son solución a la ecuación de onda ondas M. Las ondas M viajan en el vacío a una velocidad consane: c Las ondas M son ransversales: y son perpendiculares enre sí y con la dirección de propagación. Las magniudes de y se relacionan en el vacío como: c Las ondas M obedecen el principio de superposición. Las ondas M ransporan energía. La poencia por unidad de área que araviesa una superficie insanáneamene esá dada por el vecor de Poyning: S La inensidad de la onda M esá deerminada por el promedio del vecor de Poyning en uno o varios ciclos.

14 8. Una onda elecromagnéica se especifica por la siguiene función: 4 V iˆ 3 ˆ 7 5 m j cos 3 (3 y) 9.4 Calcule: a) La dirección en la que el campo oscila. b) l valor escalar de la ampliud del campo elécrico. c) La dirección de propagación de la onda. d) l número de onda y la longiud de onda. e) La frecuencia y la frecuencia angular. f) La velocidad de propagación y el índice de refracción. g) La magniud del vecor de Poyning. h) La inensidad de la onda. 9. Considere una onda elecromagnéica plana, linealmene polarizada que viaja en dirección + en el espacio libre y iene como plano de vibración el plano y. Dadas su frecuencia de Mhz y su ampliud =.8 V/m, encuenre: a) l periodo y la longiud de onda. b) Las funciones de onda y.

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