Consistencia, Estabilidad y Convergencia

Transcripción

1 Consistencia, Estabilidad y Convergencia 1. étodos a un paso Para aproximar la solución x = x(t) del problema de valores iniciales (PVI) x = f(t, x) a t b x(a) = α consideramos el método numérico a un paso () x 0 = α x k+1 = x k + hφ(t k, x k, h) k = 0,..., N 1, donde t k = a + kh, k = 0,..., N con h = (b a)/n. Esperamos que x k aproxime a x(t k ). La función φ identifica el método a un paso (). Definición de convergencia. Decimos que () es convergente si lím máx x(t n) x n = 0 0 n N cualquiera sea la condición inicial x(0) = α. Notar que N (y los t n ) depende de h. Definición de estabilidad. () se dice estable si existen constantes 1 y 2 independientes de h (y entonces de N) tales que para cualquier par de sucesiones {x n } N n=0 y {y n } N n=0 definidas por { { se tiene x 0 dado x n+1 = x n + hφ(t n, x n, h) y 0 dado y n+1 = y n + h [φ(t n, y n, h) + ε n ] máx x n y n 1 x 0 y máx ε n. (1.1) 0 n N 0 n N 1 Esta noción de estabilidad significa que una pequeña perturbación en los datos (condición inicial y φ) no implica más que una pequeña perturbación en la solución, independientemente del paso h. Hay que tener en cuenta que siempre se introducen perturbaciones debido a los errores de redondeo. Entonces esta propiedad es indispensable para un método numérico. Definición de error de truncamiento local. El error de truncamiento local en el paso n-simo, n = 0,..., N 1, es el número τ n dado por x(t n+1 ) = x(t n ) + hφ(t n, x(t n ), h) + hτ n. 1

2 Esta definición depende de la solución del problema (PVI). Definición de consistencia. El método () se dice consistente si lím máx τ n = 0 0 n N 1 para toda solución x suficientemente regular de x = f(t, x). Theorem 1.1 Si el método a un paso () es consistente y estable entonces es convergente. Demostración. Hecha en clase. Proposition 1.2 Supongamos que φ es Lipschitz respecto de la segunda variable, o sea, existe tal que t [a, b], x, x R, y h suficientemente pequeño, se tiene Entonces el método () es estable. φ(t, x, h) φ(t, x, h) x x. Demostración. Sean {x n } N n=0 e {y n } N n=0 dos sucesiones como en la definición de estabilidad. Entonces para 0 n N 1 tenemos usando la lipschitzianeidad de φ x n+1 y n+1 x n y n + h φ(t n, x n, h) φ(t n, y n, h) + h ε n Vamos a probar por inducción que x n y n + h x n y n + h ε n = (1 + h) x n y n + h ε n. (1.2) x n+1 y n+1 (1 + h) n+1 x 0 y 0 + (1 + h)n+1 1 máx ε k. 0 k n Para n = 0 es cierto (poner n = 0 en (1.2)). Supongamos que vale para n 1 y queremos demostrarla para n. Estamos suponiendo que x n y n (1 + h) n x 0 y 0 + (1 + h)n 1 Insertando (1.3) en (1.2) tenemos máx ε k. (1.3) x n+1 y n+1 (1 + h) x n y n + h ε n [ (1 + h) (1 + h) n x 0 y 0 + (1 + ] h)n 1 máx ε k + h ε n [ (1 + h) n+1 x 0 y 0 + (1 + h) (1 + ] h)n 1 + h máx ε k 0 k n = (1 + h) n+1 x 0 y 0 + (1 + h)n+1 1 máx ε k, 0 k n 2

3 que es lo que queríamos probar. Cambiando ligeramente la notación, hemos probado que para n = 0,..., N vale x n y n (1 + h) n x 0 y 0 + (1 + h)n 1 (el caso n = 0 hay que considerarlo aparte, pero es trivial). Usando que para s > 0 vale 1 + s e s tenemos x n y n e nh x 0 y 0 + enh 1 = e (t n a) x 0 y 0 + e(t n a) 1 máx ε k máx ε k máx ε k donde usamos que nh = t n a. Finalmente como t n a b a y máx ε k máx 0 k N 1 ε k resulta esto es (2.1) con x n y n e (b a) x 0 y 0 + e(b a) 1 1 = e (b a) y 2 = e(b a) 1. máx ε k, 0 n N, (1.4) 0 k N 1 Corollary 1.3 (de la demostración) Sea x la solución de (PVI) y {x n } N n=0 la sucesión generada por (). Supongamos que φ es Lipschitz respecto de la segunda variable, con constante de Lipschitz. Entonces tenemos la siguiente estimación del error global máx x(t n) x n e(b a) 1 máx 0 n N τ k 0 k N 1 donde, para cada k, τ k es el error de truncamiento local en el paso k. Estamos suponiendo que no cometemos errores en la condición inicial, o sea, x 0 = α. Demostración. En la demo de la proposición anterior, pongamos {x n } la sucesión generada por (), e {y n } la sucesión dada por y n = x(t n ). De la definición de error de truncamiento local tenemos x(t n+1 ) = x(t n ) + h [φ(t n, x(t n ), h) + τ n ], o sea, y n verifica la misma definición que en la proposición, con ε k = τ k, k = 0,..., N 1. Entonces vale (1.4) con y n = x(t n ) para n = 0,..., N. Notar que x(a) = x 0 = α, luego x(t n ) x n e(b a) 1 máx τ k. 0 k N 1 Ahora basta tomar máximo en n y notar que el lado derecho no depende de n. Observación. Del Corolario anterior, resulta evidente que si φ es Lipschitz respecto de su segunda variable, y () es consistente, entonces () es convergente. Esto es un caso particular del Teorema

4 Definición de orden de un método. Sea p 0. () se dice de orden p si para toda solución suficientemente regular de (PVI) se tiene máx τ n Ch p (= O(h p )) 0 n N 1 para alguna constante C (C puede depender de la solución x). Notar que si un método tiene orden p con p > 0, entonces es consistente. Así, si () tiene orden p con p > 0 y si φ es Lipschitz respecto de su segunda variable (entonces () es estable), sabemos que () es convergente. El siguiente Teorema da idea de la rapidez de la convergencia. Theorem 1.4 Si φ es Lipschitz respecto de su segunda variable y () es de orden p, entonces máx x(t n) x n Ch p (= O(h p )). 0 n N para alguna constante C (C puede depender de la solución x, y en general es distinta de la constante de la definición de orden). Demostración. Sigue del Corolario 1.3 anterior y de la definición de orden de un método.. Observación. En la constante C del Teorema anterior, intervienen la constante del la definición de orden (que acota los errores de truncamiento local) y la constante del Corolario 1.3 e(b a) 1, donde a su vez aparece la constante de Lipschitz de φ. En algunos casos se necesita estimar esta constante C del Teorema, y esto a veces se puede hacer usando sólo los datos del problema (PVI), sin conocer la solución exacta x. 2. étodos ultipaso Consideramos el mismo problema de valores iniciales (PVI) que antes. Sea t n = a + nh, n = 0,..., N con h = (b a)/n. Un método multipaso a k () pasos consiste en calcular x 0, x 1,..., x N que verifiquen la siguiente ecuación en diferencias: α k x n+k + α k 1 x n+k α 0 x n = h [β k f n+k + β k 1 f n+k β 0 f n ] para n = 0,..., N k. Se supone que x 0, x 1,..., x k 1 son conocidos. α 0, α 1,, α k y β 0, β 1,, β k son constantes independientes del paso n. Estamos usando la notación f q = f(t q, x q ). Suponemos α k 0 y α 0 + β 0 > 0. Si β k = 0 el método se dice explícito, sino es implícito. Definición de convergencia. Decimos que () es convergente si cualquiera sea la condición inicial x(a) = α vale la siguiente propiedad: Si entonces lím x i = x(a), i = 0, 1,..., k 1, lím máx x(t n) x n = 0 0 n N 4

5 Notar que N (y los t n ) depende de h. Definición de estabilidad. () se dice estable si existen constantes 1 y 2 independientes de h (y entonces de N) tales que para cualquier par de sucesiones {x n } N n=0 y {y n } N n=0 definidas por y x 0, x 1,..., x k 1 dados α i x n+i = h β i f(t n+i, x n+i ) y 0, y 1,..., y k 1 dados [ ] α i y n+i = h β i f(t n+i, y n+i ) + ε n n = 0,..., N k n = 0,..., N k se tiene máx x n y n 1 máx x i y i + 2 máx ε n. (2.1) 0 n N 0 i k 1 0 n N k Definición de error de truncamiento local. El error de truncamiento local en el paso n-simo, n = 0,..., N k, es el número τ n dado por α i x(t n+i ) = h β i f(t n+i, x(t n+i )) + hτ n. (2.2) siendo x la solución de (PVI). Esta definición depende de la solución del problema (PVI). Definición de consistencia. El método () se dice consistente si lím máx τ n = 0 0 n N k para toda solución x suficientemente regular de x = f(t, x). Theorem 2.1 Si el método a k pasos () es estable y consistente entonces es convergente. Volvemos a la definición de error de truncamiento local. Teniendo en cuenta que x (t n+i ) = f(t n+i, x(t n+i )), y que t n+i = t n + hi de la ecuación (2.2) obtenemos hτ n = α i x(t n + hi) h β i x (t n + hi). Dejando n fijo, ponemos t = t n y entonces escribimos la ecuación anterior sin el subíndice n: hτ = α i x(t + hi) h β i x (t + hi). 5

6 Si x es suficientemente regular podemos escribir hτ en la forma Para ver esto escribimos hτ = C 0 x(t) + C 1 hx (t) + C 2 h 2 x (t) C q h q x (q) (t) (2.3) x(t + jh) = x(t) + x (t)jh + x (t) 2 (jh)2 + x (t + jh) = x (t) + x (t)jh + x (t) (jh) Reemplazando en (2.3) e igualando potencias de h encontramos y para q 2 C 0 = α α k, C 1 = (α 1 + 2α kα k ) (β 0 + β β k ) C q = 1 q! (α q α k q α k ) 1 (q 1)! (β q 1 β k q 1 β q ). Definición de orden de un método multipaso. Un método multipaso se dice de orden p si C 0 = C 1 =... = C p = 0 y C p+1 0. Proposition 2.2 Si () es de orden p entonces el error de truncamiento local en el paso n-simo verifica τ n = C p+1 h p x (p+1) (t n ) + O(h p+1 ). Corollary 2.3 () es consistente si y sólo si C 0 = C 1 = 0, esto es, si y sólo si tiene orden 1. Definimos los polinomios Notemos que p(z) = α j z j y q(z) = j=0 β j z j j=0 C 0 = p(1) y C 1 = p (1) q(1). Luego, () es consistente si y sólo si p(1) = 0 y p (1) = q(1). Proposition 2.4 (Condición de la raíz) El método () es estable si y sólo si el polinomio p verifica las siguientes 2 condiciones: a) Todas sus raíces tienen módulo 1. b) Las eventuales raíces de módulo 1 son simples. Theorem 2.5 Si el polinomio p verifica la condición de la raíz y si entonces () es convergente. p(1) = 0 y p (1) = q(1) 6