Estadística Descriptiva en SPSS

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1 Estadística Descriptiva en SPSS Marcelo Rodríguez Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas Pedagogía en Matemática Estadística I 22 de octubre de 2011 mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

2 Introducción a la Estadística Descriptiva Una vez desarrollado el plan de muestreo y generados los datos es necesario organizarlos, presentarlos y resumirlos adecuadamente con el objetivo de obtener información, la que nos servirá como apoyo a la toma de decisiones. Existen tres formas de resumir los datos; organización mediante tablas, gráficos y medidas descriptivas. La organización de datos consiste en determinar qué unidades de análisis pertenecen a qué atributos de la variable bajo estudio, estableciendo para ello las frecuencias con las que estas unidades pertenecen a esos atributos. Una vez realizada esta organización se procede a la presentación de los datos organizados a través de tablas o cuadros y de gráficos estadísticos. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

3 Organización de Datos Definición (Clase) Una clase o categoría es uno de los posibles atributos que puede tener una unidad de análisis que es caracterizada a través de una variable. Definición (Intervalo de clase) Este atributo pasa a denominarse intervalo de clase cuando la variable es continua o clase cuando ésta es no es continua. Por simplificación, cualquiera sea el tipo de variable, nos referiremos a estas categorías como clase. Es imprescindible que estas clases sean excluyentes o disjuntas, ya que de esta forma no existe ambigüedad en la clasificación de las unidades de análisis. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

4 Organización de Datos Supongamos que se desea estudiar una variable que esta agrupada en k clases excluyentes, digamos c 1, c 2,..., c k. Definición (Frecuencia Absoluta) Corresponde al número de unidades de análisis que pertenecen a la clase c i y se denota por n i, (i = 1,..., k), donde k n i = n. i=1 mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

5 Organización de Datos Definición (Frecuencia Relativa) Corresponde al porcentaje de unidades de análisis que pertenecen a la clase c i y se denota por f i, (i = 1,..., k), donde k i=1 f i = 100. Entonces, f i = n i n 100. Definición (Frecuencia Relativa Acumulada) Corresponde al porcentaje acumulado de unidades de análisis que pertenecen a las clases c 1, c 2,..., c k y se denota por F i, (i = 1,..., k), donde i F i = f j. Así, F 1 = f 1 y F k = 100. j=1 mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

6 Tabla Estadística para variables cualitativas Una tabla estadística es una tabla de frecuencias, de cada clase. En el caso que la variable sea cualitativa sería de la siguiente forma. Porcentaje Clases Frecuencia (n i ) Porcentaje (f i ) Acumulado (F i ) c 1 n 1 f 1 F 1 c 2 n 2 f 2 F c k n k f k F k = 100 Total n 100 Se puede también utilizar para variables discreta con un bajo rango de variabilidad. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

7 Ejemplo: Rendimiento Laboral Ejemplo En un estudio se está analizando el rendimiento laboral, para lo cual se considera una muestra de 15 trabajadores, a las cuales se les mide el rendimiento (1=bajo, 2=medio y 3=alto). Los datos se entregan a continuación. Rendimiento Identifique la variable, su tipo y escala de medición. Encuentre la tabla de frecuencia. Calcule la frecuencia: absoluta (n i ), relativa (f i ) y relativa acumulada (F i ). Interprete. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

8 Organización de Datos: Método para crear los intervalos de clases Paso 1: Contar el número n de datos. Paso 2: Calcular el rango (R), R = max min, donde min y max corresponden a los valores mínimos y máximos de los datos, respectivamente. Paso 3: Escoger el número de clases (intervalos). Se sugiere,el entero más próximo de la regla de Sturges, dada por k = 1 + 3, 3 log(n), donde log( ) es el logaritmo en base 10. También el investigador puede elegir el número de clases según especificaciones propias. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

9 Organización de Datos: Método para crear los intervalos de clases Paso 4: Calcular la amplitud (A) A = R k. Paso 5: Para determinar los extremos de la primera clase (intervalo) se debe tomar como límite inferior el valor min y como límite superior el valor min +A. Este sería c 1 Paso 6: Para obtener las restantes clases (c j ), se suma sucesivamente A al límite inferior, donde el límite inferior de las sucesivas clases corresponderá a límite superior de la clase anterior. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

10 Tabla Estadística para variables cuantitativas Finalmente, si la variable bajo estudio es cuantitativa continua (o discreta con un alto rango de variabilidad), entonces el esquema de tabla anterior sufre un leve modificación que está relacionada con la creación de los intervalos de clases. En este caso, la tabla es el siguiente: Intervalos de Marca de Frecuencia Porcentaje Porcentaje Clase clase (m i ) (n i ) (f i ) Acumulado (F i ) c 1 = [min; min +A[ m 1 n 1 f 1 F 1 c 2 = [min +A; min +2A[ m 2 n 2 f 2 F 2.. c k = [min +(k 1)A; max] m k n k f k F k Total n Donde la marca de clase i-ésima (m i ) corresponde al promedio del intervalo i-ésimo (i = 1,..., k). Observación Si desea crear los datos (aproximadamente) con esta tabla, repita la m i tantas veces como lo indique la n i. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

11 Ejemplo Ejemplo Se realizó un estudio con 30 individuos, pertenecientes a una misma empresa. El coeficiente intelectual, fue la variable que se registró mediante una prueba de conocimiento. Los puntajes de la prueba son los siguientes: 8,70 9,20 9,30 9,60 9,90 10,10 10,20 10,30 10,40 10,40 10,50 10,90 11,40 11,40 11,50 11,60 11,80 11,90 12,30 12,30 12,40 12,70 12,80 13,00 13,10 13,60 13,80 14,50 14,70 15,80 Identifique la variable, su tipo y escala de medición. Encuentre los intervalos de clases. Encuentre la tabla de frecuencia. Calcule la frecuencia: absoluta (n i ), relativa (f i ) y relativa acumulada (F i ). Interprete. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

12 Gráficos Estadísticos de frecuencias Las grandes cantidades de datos estadísticos resultan incómodos de interpretar y si éstos no están ordenados de alguna manera. La principal ventaja de la construcción de gráficos con los datos de una investigación, es que nos permite visualizar más claramente la distribución de éstos, hacer una mejor comparación de resultados y un análisis objetivo de estos últimos. Una buena definición de lo que es un gráfico es la siguiente. Definición (Gráfico) es una representación pictórica, mediante figuras geométricas u otros elementos, que proporciona un resumen de la información que interesa destacar y, lo más importante, recordar. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

13 Gráficos Estadísticos de frecuencias: Barra Simple Representa distribuciones de frecuencias de variables cualitativas o discretas con bajo rango de variabilidad. Es un conjunto de rectángulos adyacentes (con un espacio entre ellos). En el eje horizontal deben ir las clases y en el eje vertical las frecuencias o los porcentajes. 50,0% 40,0% Porcentaje 30,0% 20,0% 46,67% 33,33% 10,0% 20,00% 0,0% Bajo Medio Alto Grado de dulzor de la especie Royal Gala mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

14 Gráficos Estadísticos de frecuencias: Histograma Se usa para variables continuas o discretas con alto rango de variabilidad. Es un conjunto de rectángulos adyacentes. En el eje horizontal deben ir los intervalos (clases) y en el eje vertical las frecuencias o los porcentajes. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

15 Gráficos Estadísticos de frecuencias: Sectorial Muestra una comparación proporcional entre las distintas clases de la variable, en particular se usa para variables cualitativas. (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

16 Medidas de Resumen Estas medidas estadísticas resumen al conjunto de datos, también se les denomina estadísticos. Estas medidas se clasifican en medidas de posición, dispersión y forma. (Medidas de Posición) Entregan la posición relativa que poseen los individuos dentro de la distribución y se subdividen en dos: a) Las medidas de tendencia central, que tienden a ubicarse en el centro de la distribución, entre las cuales se encuentran: La media o promedio aritmético. La mediana o valor del centro. La moda, o valor más frecuente. b) Los percentiles, que tienden a ubicarse en distintas partes de la distribución de la variable, entre los que se encuentran: Los cuartiles (dividen al conjunto en cuatro partes iguales). Los deciles (dividen al conjunto en 10 partes iguales). mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

17 Medidas de tendencia central: Media Definición (Media) La media o promedio aritmético de un conjunto de n datos digamos x 1, x 2,..., x n, viene dado por: x = n i=1 x i n. Definición (Media Recortada al 5%) Es el promedio de los datos sin considerar el 5% más pequeño, ni el 5% más alto. El uso de la media es exclusivamente para variables cuantitativas. La media puede ser afectado de manera desproporcionada por la existencia de datos atípicos (fuera de lo común). La media recortada al 5%, comúnmente no es afectada por valores atípicos. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

18 Medidas de tendencia central: Mediana Definición (Mediana) Corresponde al valor central cuando las n observaciones se ordenan de menor a mayor. Es decir, considere las siguientes observaciones x 1, x 2,..., x n, además si ordenamos estas observaciones de menor a mayor tenemos x (1), x (2),..., x (n), entonces la mediana sería M e = x ( n+1 2 ), si n es impar; x ( n 2 ) + x ( n ), si n es par. No se puede usar esta medida si la escala de medición de la variables es nominal. Su cálculo no es afectado por la existencia de datos atípicos. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

19 Medidas de tendencia central: Moda Definición (Moda (M o )) Corresponde al valor o categoría con más alta frecuencia en los datos. El uso de esta medida es para cualquier tipo de variable. En el caso de variables cuantitativas, los datos pueden ser agrupados en clases y la moda se define como la marca de clase que tiene la mayor frecuencia. Puede existir más de una moda en un conjunto de datos. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

20 Medidas de posición: Los Percentiles Definición (Percentil α) Los percentiles cumplen con la condición de superar a no más del (1 α)100% de los datos y de ser superado, a los más por el porcentaje complementario de las observaciones. Considere los siguientes datos ordenados de menor a mayor x (1), x (2),..., x (n). Entonces, Donde, i = α(n + 1), e = parte entera de i, d = i e. P α = (1 d) x (e) + d x (e+1). Esta técnica es la que utiliza IBM-SPSS. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

21 Medidas de posición: Cuartiles Definición (Cuartiles) Los cuartiles dividen a un conjunto ordenado de datos en 4 grupos de igual tamaño: El cuartil 1 (Q 1 ) marca la parte alta del primer cuarto de los datos, corresponde al P 0,25. El cuartil 3 (Q 3 ) marca la parte baja del último cuarto de los datos, corresponde al P 0,75. El cuartil 2 (Q 2 ) corresponde a la P 0,50 = M e. Metodología para el cálculo aproximado de Q 1 y Q 3 Paso 1: Ordene los datos de menor a mayor y encuentre la M e. Paso 2: Divida los datos en 2 mitades, por encima y por debajo de la M e. Si n es impar incluya la mediana en ambas mitades. Paso 3: Encuentre la mediana en ambas mitades, estas son Q 1 y Q 3. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

22 Medidas de dispersión Las segundas medidas estadísticas de resumen, las de dispersión, nos entregan el grado de dispersión, variabilidad u homogeneidad que poseen los datos dentro del conjunto, generalmente respecto de una medida de tendencia central, entre las que se encuentran: El rango o desviación máxima El rango intercuartil. La varianza. La desviación estándar o típica. El coeficiente de variación. Entre otras. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

23 Medidas de Dispersión: Rango y Rango Intercuartil Definición (Rango) Corresponde a la diferencia entre el mayor y menor de los datos. Definición (Rango Intercuartil) R = Máx Mín Esta medida de variabilidad es resistente a valores atípicos y se concentra en el 50% de los datos. También llamado Amplitud Intercuartil. RI = Q 3 Q 1 El uso de R y RI no es para variables nominales. R es afectado por la existencia de datos atípicos. RI no es afectado por la existencia de datos atípicos. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

24 Medidas de Dispersión: Varianza Definición (Varianza) La varianza de las observaciones x 1, x 2,..., x n es s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. i=1 Esta mide las variaciones promedio que existen en los datos con respecto a la media de la muestra. Su calculo es afectado por la existencia de datos atípicos. El uso de esta medida es exclusivamente para variables cuantitativas. Esta medida no se puede interpreta, pues tiene unidades de medida al cuadrado. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

25 Medidas de dispersión: Desviación Estándar Definición (Desviación estándar) Se define la desviación estándar (típica) como s = s 2 = 1 n (x i x) n 1 2. i=1 Su calculo es afectado por la existencia de datos atípicos. El uso de esta medida es exclusivamente para variables cuantitativas. Se interpreta como la cantidad de desviaciones promedio de los datos con respecto a la media. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

26 Medidas de Dispersión: Coeficiente de variación Definición (Coeficiente de variación) Corresponde a una medida de dispersión relativa a la media. Esta dada por CV = s x 100% No depende de la unidad de medida. x > 0. Útil para comparar variabilidad entre grupos. Mientras más pequeño es el valor del CV más homogéneos (parecidos entre si) son los datos. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

27 Relación entre el promedio y la desviación estándar Definición (Regla empírica ) Para un conjunto de datos (n grande) que tienen un histograma simétrico, con forma de campana, los intervalos, que se presenta a continuación, contienen aproximadamente los siguientes porcentajes de los datos. Frecuencia Regla empírica Media = 0 y Desviación Estándar =1. Intervalo Porcentaje [x s; x + s] 68, 27% [x 2s; x + 2s] 95, 45% [x 3s; x + 3s] 99, 73% Normal mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

28 Intervalo de Confianza del 95% para la verdadera media poblacional µ (para muestras grandes) Definición (Intervalo de Confianza para µ) Intervalo de Confianza del 95% para la verdadera media poblacional µ (para muestras grandes), se define como [ x 1, 96 s n ; x + 1, 96 ] s n Se recomienda utilizar este intervalo para n 30. s 1, 96 es llamado error de estimación. n s n es llamado error típico de la media. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

29 Medidas de Forma Definición (Sesgo) Índice que expresa el grado de asimetría de la distribución de los datos (histograma). La asimetría positiva indica que los valores más extremos se encuentran por encima de la media. La asimetría negativa indica que los valores más extremos se encuentran por debajo de la media. Su formula es n [ ] (x i x) 3 n sk = i=1 (n 1)(n 2) s 3. Si sk = 0, entonces la distribución es simétrica. Si sk < 0, entonces la distribución es asimétrica negativa. Si sk > 0, entonces la distribución es asimétrica positiva. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

30 Medidas de Forma: Relación Entre Promedio y la Mediana Distribución Simétrica (No Sesgada): x = M e Distribución Asimétrica Positiva, : M e < x Distribución Asimétrica Negativa: x < M e Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen de su mitad derecha. La asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución. La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas). mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

31 Medidas de Forma: Error típico del sesgo Definición (Error típico del sesgo) Es la desviación típica de la distribución muestral del índice de asimetría, el cual permite tipificar el valor del índice de asimetría e interpretarlo como una puntuación z. Índices tipificados mayores que 1,96 en valor absoluto permiten afirmar que existe asimetría (positiva o negativa, dependiendo del signo del índice). Su formula es 6n(n 1) e sk = (n 2)(n + 1)(n + 3). Si, sk 1, 96, entonces la distribución de los datos es simétrica. e sk mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

32 Resumen de los datos: Coeficientes de apuntamiento Definición (Curtosis) Índice que expresa el grado en que una distribución acumula casos en sus colas en comparación con los casos acumulados en las colas de una distribución normal con la misma varianza. Su formula es n [ ] n(n + 1) k = (n 1)(n 2)(n 3) i=1 (x i x) 4 [ s 4 n(n 1) 2 (n 2)(n 3) ]. Si k > 0, entonces la distribución es más puntiagudas (Leptocurtica).. Si k = 0, (proximos a cero) entonces indican semejanza con la curva normal. Si k < 0, entonces la distribución es más aplanada (Mesocurtica).. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

33 Medidas de Forma: Error típico de la curtosis Definición (Error típico de la curtosis) El error típico del índice de curtosis, el cual puede utilizarse para tipificar el valor del índice de curtosis y poder interpretarlo como una puntuación z.. Índices mayores que 1,96 en valor absoluto permiten afirmar que la distribución se aleja de la distribución normal. Su formula es 24n(n 1) e k = 2 (n 3)(n 2)(n + 3)(n + 5). Si, k e k 1, 96, entonces la distribución de los datos es como la normal. Dependiendo del signo de k, se identifica si es platicurtica o mecocurtica. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

34 Identificación de Datos Atípicos: Método de la puntuación z Definición (Método de la puntuación z:) Si consideramos la regla empírica, sabemos que aproximadamente el 100% de los datos está en el intervalo [x 3s; x + 3s]. Es muy improbable que un dato esté fuera de este intervalo, y en caso que fuese, éste se llamaría un dato atípico. Es decir, un dato es no atípico si x i [x 3s; x + 3s] x i x s [ 3; 3] x i x s 3 Si consideramos la transformación z i = x i x s, entonces un dato x i es atípico si z i > 3. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

35 Identificación de Datos Atípicos: Método de Tukey Definición (Método de Tukey:) Considere las siguientes barreras (bisagras), Barrera Interior Inferior: BII = Q 1 1, 5RI Barrera Interior Superior: BIS = Q 3 + 1, 5RI Barrera Exterior Inferior: BEI = Q 1 3RI Barrera Exterior Superior: BES = Q 3 + 3RI Identifique los datos en este diagrama [ }{{} Potencial No atípico {}}{ [BEI [ [BII BIS] ] BES] }{{}}{{} Posible Posible ] }{{} Potencial mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

36 Identificación de Datos Atípicos: Diagrama de Caja Definición (Diagrama de caja) El diagrama de caja, entrega información sobre centralidad, dispersión y la forma de la distribución de los datos, identifica valores atípicos y es útil para comparar dos distribuciones. (Procedimiento para realizar esta gráfica) Paso 1: Los bordes de la caja se representan por Q 1 y Q 3, se debe trazar una linea vertical que atraviese la caja en la M e. Paso 2: Trazar líneas desde los bordes de la caja hasta los valores adyacentes (el menor y mayor de los datos no atípicos). Paso 3: Marque los posibles valores atípicos con o y los potenciales con. mrodriguez@ucm.cl (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

37 Identificación de Datos Atípicos: Diagrama de Caja (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

38 Solución del ejemplo con SPSS (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

39 Solución del ejemplo con SPSS (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

40 Solución del ejemplo con SPSS (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

41 Solución del ejemplo de la altura de las plantas con SPSS (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42

42 Solución del ejemplo, con SPSS (UCM) Descriptiva 22/10/ / 42