Conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a 1, a 2, a 3,..., a n. Sucesión inversible o invertible. a n 1 a n.

Transcripción

1 Sucesioes Tema 8.- Sucesioes y Límites Cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro: a, a, a 3,..., a Operacioes a =a, a, a 3,..., a b =b, b, b 3,..., b Suma Diferecia (a )+(b )=(a +b )= a +b, a +b, a 3 +b 3,,a +b, a -(b )=(a -b )= a -b, a -b, a 3 -b 3,,a -b, Producto a (b )=(a b )= a b, a b, a 3 b 3,,a b, Cociete Sólo cuado el deomiador es iversible Sucesió iversible o ivertible a b =(a ) b Todos sus térmios so distitos de cero. Si la sucesió a es iversible, su iversa es: a = a, a, a 3,, a a a =(,,, ) Tipos de sucesioes Moótoas Estrictamete crecietes: a + > a Crecietes: a + a Estrictamete decrecietes: a + < a Decrecietes: a + a Costates: todos su térmios so iguales: a = a = a + Acotadas iferiormete: todos sus térmios so mayores o iguales que u cierto º (cota iferior): a. A la mayor de las cotas iferiores se le llama extremo iferior o ífimo. Si el ífimo de ua sucesió es uo de sus térmios se le llama míimo. Acotadas superiormete: todos sus térmios so meores o iguales que u cierto úmero, que llamaremos (cota superior): a. A la meor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo. Si el supremo de ua sucesió es uo de sus térmios se llama máximo. Covergetes: cuado tiee límite fiito. Divergetes: o tiee límite fiito. Oscilates: o so covergetes i divergetes. Sus térmios altera de mayor a meor o viceversa:,, 3,, 5,, 7,... Alteradas: altera los sigos de sus térmios: Covergetes Divergetes Oscilates a =,, 3, 4, 5,... b = -, -,, -4, -5,... - Creciete Decreciete Acotada iferiormete Acotada superiormete Cotas iferiores:,, -,... Cotas superiores: -,,,... Míimo es Máximo es - No está acotada superiormete. No está acotada iferiormete Divergete Divergete

2 á á Progresió aritmética Matemáticas _ B_ 4º ESO Sucesió de º de modo que cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más u º fijo llamado diferecia (d) a = a + ( - ) d d= b - a m + a, b: extremos m: térmios a iterpolar Suma de térmios equidistates de los extremos a, a, a i,..., a j, a, a Suma de térmios cosecutivos S = a + a a i + a j = a + a Progresió geométrica Sucesió e la que cada térmio se obtiee multiplicado al aterior ua catidad fija llamada razó (r) a = a r - r = a a - Iterpolació de térmios r = m + Suma de los térmios de ua progresió geométrica decreciete S = b a a - r Suma de térmios cosecutivos S = a r - a r - Producto de dos térmios equidistates a, a, a i,..., a j, a -, a a i a j = a a Producto de térmios equidistates P = ± a a Límite de ua Sucesió Límite fiito de ua sucesió Ua sucesió a tiee por límite L si y sólo si para cualquier º positivo que tomemos, existe u térmio a, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a cumple que a - L < ε a = L ε > N > a - L < ε = - < ε < ε > ε ε =. >. > a partir de a su distacia a es meor que. - < <. Mediate Etoros Se dice que ua sucesió a tiee por límite L si y sólo si para cualquier etoro de L que tomemos, por pequeño que sea su radio, existe u térmio de la sucesió, a partir del cual, los siguietes térmios perteece a dicho etoro. a = L ε> N > a ϵ Ε L, ε

3 3 Límite ifiito de ua sucesió Tema 8.- Sucesioes y Límites + Se dice que ua sucesió a tiee por límite + cuado para toda M > existe u térmio a, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a cumple que a > M a = + M> N > a > M a =,,..,,..., a = + a > M > M > M=..= a partir de a se superará el valor de.. a = =.. - Se dice que ua sucesió a tiee por límite cuado para toda N > existe u térmio a, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a cumple que a <-N a =- M > N > a <-N a =- -,,-..,,-..., a = - a <-N - <-N > M=..= a partir de a se superará el valor de-.. a =- =-.. Propiedades de los límites. Es úico.. Si ua sucesió a tiee límite, todas las subsucesioes tiee igual límite que a. 3. Todas las sucesioes covergetes está acotadas. 4. Hay sucesioes acotadas que o so covergetes. 5. Todas las sucesioes moótoas y acotadas so covergetes. 6. Hay sucesioes covergetes que o so moótoas. Ifiitésimos Sucesió covergete que tiee por límite cero a = Propiedades. La suma de dos ifiitésimos es u ifiitésimo.. El producto de: a. u ifiitésimo por ua sucesió acotada es u ifiitésimo. b. ifiitésimos es u ifiitésimo. c. ua costate por u ifiitésimo es u ifiitésimo. 3. Si ua sucesió a coverge a L, la sucesió (a - L) es u ifiitésimo. 4. Si ua sucesió a es divergete, su iversa es u ifiitésimo.

4 á á 4 Operacioes co límites Matemáticas _ B_ 4º ESO a +b a + b a -b a - b a b a b a a = b b a a a = a a a log a a = log a a Operacioes co ifiito Suma y Diferecia Producto Divisió ±=± ± =± += -=Idetermiació = =Idetermiació si > si < si > si << - = =Idetermiació =Idetermiació = = =Idetermiació =Idetermiació = = = = = = =Idetermiació Idetermiacioes / Se factoriza y se simplifica (f g) = se trasforma e f = g g f =

5 5 / Tema 8.- Sucesioes y Límites Método I.- dividir todos los térmios etre la x co mayor grado Método II.- a Coeficiete Pricipal Numerador Grado Numerador = Grado Deomiador b Coeficiete Pricipal Deomiador Grado Numerador > Grado Deomiador (coeficiete de mayor grado) Grado Numerador < Grado Deomiador = x - 7 = - = + ± coeficiete mayor grado 4 -- = = Tipo úmero e + f(x) f(x) Método I + +4 = = Método II + +4 = =e +4 +8