Resumen: Introducción:

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1 Título: El aporte del software libre a la enseñanza y el aprendizaje de las integrales múltiples Autores: Carina Pacini; Humberto Riccomi; Lucía Sacco; María Elena Schivo Institución: Facultad Regional San Nicolás- Universidad Tecnológica Nacional Direcciones electrónicas: Resumen: Este trabajo presenta material didáctico realizado con software libre de Matemática, diseñado para las clases de Análisis Matemático II de la Facultad Regional San Nicolás. Se muestra una presentación de PowerPoint con vínculos a ventanas interactivas confeccionadas con GeoGebra para la determinación de los dominios de integración en integrales dobles y otros para el cálculo de las mismas con Maxima. Introducción: Desde el año 2007 la cátedra de Análisis Matemático II viene implementando una serie de estrategias didácticas para ser llevadas al aula. Entre ellas se pueden mencionar, la organización de la asignatura en torno a unidades didácticas y, como parte de ellas, la elaboración de un cuadernillo impreso integrando teoría y práctica, la formulación de problemas propios, cambios en las actividades de evaluación y confección de material didáctico utilizando el software Maple V para el desarrollo de las clases. Si bien Maple es un extraordinario programa de cálculo algebraico y simbólico, no es de libre acceso, lo que genera inconvenientes a la hora de trabajar con él. En la actualidad, a cuatro años del comienzo de este proceso de innovación, se considera necesario cambiar el software utilizado hasta el momento por otros que sean libres y articular este material con las actividades propuestas en el cuadernillo. Para lograr esto último se han realizado presentaciones con PowerPoint para ser presentadas en clase. Éstas contienen vínculos a archivos confeccionados con GeoGebra y con Maxima que 1

2 luego los alumnos pueden obtener por el medio que crean más conveniente, ya sea copiando de la computadora con la que se trabaja en clase o solicitándolo por correo electrónico a los docentes. En el presente trabajo se muestra, a modo de ejemplo, el material preparado para la secuencia didáctica de las clases donde se enseña, para las integrales dobles, la determinación de recintos de integración, el cálculo de las mismas según la forma de dicho recinto y algunas aplicaciones geométricas y físicas. Este material está pensado para ser utilizado en la Cátedra de Análisis Matemático II de todas las especialidades de Ingeniería de la Facultad Regional San Nicolás que depende de la Universidad Tecnológica Nacional. Marco teórico: Pensando en los elementos del currículo: qué enseñar, cómo enseñar, cuándo y cómo evaluar, y en el desarrollo de actitudes, hábitos y destrezas que necesitan los alumnos para formarse como ingenieros, a partir del 2008, la cátedra se plantea el diseño de la materia en torno a unidades didácticas (UD) con el propósito de dar respuestas a dichos interrogantes, tanto desde el rol del docente como de su impacto en el alumno. La organización de la materia alrededor de UD ha sido objeto de una presentación anterior de la cátedra, pero es oportuno explicitar aunque sea sintéticamente en qué consiste para comprender la finalidad del presente trabajo. Para ello es preciso indicar que cada UD es un instrumento que permite organizar las actividades diarias, facilitando la intervención del profesor y permitiéndole articular los procesos de enseñanza y aprendizaje. Se puede decir, además, que UD es un conjunto de acciones que se desarrollan en un tiempo determinado, para alcanzar objetivos didácticos específicos a partir de estrategias pertinentemente elegidas. Estas estrategias recorren todo el proceso de enseñanza y aprendizaje, desde la motivación inicial hasta la evaluación. Es decir, tienen una estructura completa: objetivos, contenidos, estrategias, medios y evaluación (Riccomi, H., Schivo, M. E., Sacco L. y Pacini, C., 2009). 2

3 En esta oportunidad se centra la atención en cómo enseñar; es decir, qué estrategias didácticas se eligen para captar la atención del alumno en el aula, con la intención de promover aprendizajes significativos para su formación como futuro profesional de la industria. Los recursos didácticos forman partes de las estrategias seleccionadas por el equipo docente para promover el aprendizaje de una UD. En este trabajo se presenta el recurso didáctico empleando software libre, en este caso GeoGebra y Maxima, que la cátedra ha preparado para enseñar una parte de la UD correspondiente a Integrales. La clave del valor didáctico de un recurso educativo, está sobre todo en su adecuación a las circunstancias del contexto formativo en el que se utiliza y en la forma en la que el docente orienta su uso (Marquès Graells P., 2002). Según Pardini (2007), las nuevas enseñanzas requieren nuevos recursos y la utilización de distintos paquetes de software libre que, en general, son herramientas útiles y fáciles de obtener por los alumnos. En este contexto, la utilización de aplicaciones de software libre puede colaborar en la innovación pedagógica pues permite que los alumnos tengan a su disposición las mismas herramientas que el profesor. Trabajar con software libre tiene una serie de beneficios, entre ellos la conveniencia legal de su uso y la libertad en su manejo (Stallman R,2011). Una ventaja de usarlo en la docencia, es que se pueden distribuir copias del material legalmente a los alumnos. El profesor puede, sin ningún impedimento hacer una compilación de los programas y ejercicios utilizados en su curso y repartirla entre los alumnos (Pardini, A., 2007). La elección de Geogebra y Maxima como recurso didáctico para la UD mencionada, no ha sido azarosa. Se debe a los beneficios que cada uno de ellos ofrece. Con GeoGebra de muy fácil manejo y en castellano, se ha trabajado la parte gráfica en dos dimensiones de las actividades propuestas en el cuadernillo en forma dinámica, dada la posibilidad de utilizar deslizadores. El uso de técnicas de visualización apropiadas, incluyendo dinamismo, refuerza los procesos de conceptualización y comprensión del contenido abordado (Abánades, M. y otros, 2009). 3

4 Del software Maxima se ha aprovechado su capacidad para operar en forma simbólica, reduciendo los tiempos respecto a los cálculos de las distintas integrales. También se lo utilizó para realizar los gráficos tridimensionales necesarios ya que la versión 3.2 de GeoGebra con la que se trabajó, no lo permite. Descripción del material: Se describe a continuación la presentación en PowerPoint confeccionada para ser utilizada en el desarrollo de tres clases donde se enseñan: determinación de los recintos de integración en integrales dobles, aplicaciones geométricas y aplicaciones físicas. El material que se presenta es complementario del cuadernillo de actividades que disponen los alumnos. En él se puede apreciar que, al inicio de cada tema, se transcribe la parte del cuadernillo donde se desarrollan los contenidos teóricos correspondientes. También se muestran las actividades del cuadernillo que se trabajarán en clase, tanto en el pizarrón como con los software mencionados. De este modo, los alumnos tienen en pantalla lo mismo que figura en el material impreso. Tanto el pizarrón como los software utilizados en estas clases, corresponden a distintos medios que usa el docente para trabajar en el aula. Según Castro (1989) en primer lugar se pueden mencionar los medios de percepción directa como lo es el pizarrón, el cual no requiere de recursos técnicos. El mismo es en sí un recurso de gran valor pedagógico tanto para el profesor como para el alumno debido, por un lado, a que es fuente de imágenes emergentes a la vista de los alumnos y por otro lado, por su accesibilidad y simplicidad de uso. En segundo lugar están los medios de proyección de imágenes en movimiento como lo permite, en este caso, el software GeoGebra que, a través de un proyector, brinda la posibilidad de trabajar en el aula con gráficos dinámicos, los cuales no son posibles de realizar en el pizarrón. En la primera clase se trabaja en la determinación de recintos de integración. Al comienzo de la misma se muestran los tres tipos de recintos con el objetivo de enseñar a plantear la integral iterada correspondiente como se muestra en la imagen siguiente. Esta diapositiva se utiliza para explicar las posibilidades que se pueden presentar en el momento de trabajar con integrales dobles, según sea el tipo de dominio de integración (Figura 1). 4

5 Figura 1: Presentación de los tres recintos de integración Luego del abordaje teórico de cada uno de los posibles recintos de integración se continúa con la muestra de las actividades propuestas para este tema. En ellas, cada tipo de recinto se trabaja en forma individual, respetando la secuencia que se propone en el cuadernillo. Como se puede observar en la Figura 2 que se remite al material impreso, se propone realizar la actividad 1, para trabajar en el pizarrón, con la participación de los alumnos. Figura 2: Actividades en el pizarrón y carpeta 5

6 Continuando con la secuencia didáctica de la primera clase, se presenta a los alumnos la siguiente diapositiva, la cual tiene dos hipervínculos, uno que muestra la gráfica correspondiente a la actividad realizada con GeoGebra y otro para el cálculo de la misma, realizado con Maxima (Figura 3). Figura 3: Actividades con los software Archivo GeoGebra Archivo Maxima La imagen de la izquierda corresponde a una pantalla de GeoGebra. A partir de ella se muestra, al alumno, cómo por medio del movimiento de los deslizadores ellos pueden analizar la variación de los extremos de integración de la integral propuesta. 6

7 En la imagen de la derecha, se observa el cálculo de la misma integral mediante el uso del software Maxima. Con la intención de no mostrar sólo los resultados, se propone, a los alumnos, el análisis de la sintaxis de los comandos utilizados para posteriores usos. Además, se sugiere comparar los resultados que ofrece el software con los que ellos obtienen en su carpeta. Se procede, de la misma manera, con la secuencia de trabajo respecto a los recintos de tipo 1 y tipo 2 como se muestra a continuación (Figura 4 y 5). Figura 4: Recinto Tipo 1 Archivo GeoGebra Archivo Maxima 7

8 Figura 5: Recinto Tipo 2 Archivo GeoGebra Archivo Maxima Para finalizar la clase, y como puede apreciarse en la Figura 6, se les propone a los alumnos la realización de actividades también incluidas en el material impreso. Estas actividades son retomadas en la clase siguiente a fin de corregir el trabajo de los alumnos. Figura 6: Cierre de la Clase 1 8

9 En la segunda clase, en la que se trabaja con las aplicaciones geométricas de las integrales dobles, se procede de la misma manera que en la clase anterior. Primero se realizan las actividades teóricas con la participación del alumnado. Luego, se continúa con actividades en el pizarrón y la realización de las mismas por los alumnos en sus carpetas, para luego pasar al uso de software en las gráficas y cálculos correspondientes. Se muestra a continuación el material utilizado en esta clase (Figura 7). Figura 7: Aplicaciones geométricas Para representar gráficamente el volumen que se propone calcular, se ha utilizado el software Maxima como muestra la Figura 8. Figura 8: Volumen con Maxima 9

10 En la tercera clase, se trabaja con las aplicaciones físicas de las integrales dobles, masa, carga eléctrica total, centro de masa y momento de inercia de una lámina plana. La Figura 9 muestra una de ellas. De igual manera, se secuencia la clase como las anteriores, realizando en primer lugar las actividades teóricas con la participación de los alumnos, y luego actividades con el uso del pizarrón, la carpeta de los alumnos y software. Se muestra a continuación las pantallas de GeoGebra y Maxima preparadas para la determinación de la carga eléctrica de láminas planas. Figura 9: Aplicaciones físicas Archivo GeoGebra Archivo Maxima 10

11 Conclusiones: Después de cuatro años de cambios constantes en la cátedra, la incorporación del uso de la tecnología que no implicara la utilización de software no libre, resultaba una cuestión pendiente de resolver. Con el material que se ha presentado en este trabajo, se ha logrado integrar el uso de software libre al material didáctico que se venía utilizando. Por otro lado, el empleo de recursos tecnológicos no inhabilita el uso de material impreso, la tiza y el pizarrón. La conjunción de los mismos enriquece el proceso de enseñanza y aprendizaje del alumno, tanto en el aula como fuera de ella, y además, contribuye a la construcción del concepto matemático que se quiere enseñar. Este trabajo es una muestra de la articulación entre recursos de distinta índole. Esta nueva forma de presentar los contenidos brinda, a los docentes, la posibilidad de seleccionar otras actividades para realizar en el aula, y a los alumnos, la posibilidad de aproximarse a los conceptos que se pretenden enseñar, mediante la simplificación de los cálculos y la visualización de imágenes que capten su atención y potencien su interés por los mismos. Bibliografía consultada: - Abánades M., Botana, F., Escribano, J. y Tabera, L. (2009): Software matemático libre, La Gaceta de la RSME, Volumen 12, Número 2. - González Castro V. (1989): Medios de Enseñanza. Editorial de libros para la educación. Ciudad Habana. - Jorquera, Miguel A. (2008): El aula de Matemáticas con software libre: Maxima. Editor LaTex. - Pardini, A. (2007): Fundamento del uso de software libre en la universidad pública. Enseñando Matemática con herramientas alternativas. Jornadas de Enseñanza e Investigación Educativa en el campo de las Ciencias Exactas y Naturales- UBA - Riccomi, H., Schivo, M. E., Sacco L. y Pacini, C (2009): Prácticas educativas, experiencias innovadoras y producción cultural. Unidades didácticas para el desarrollo de competencias. III Congreso Internacional de Educación. Construcciones 11

12 y perspectivas desde y hacia América Latina. Publicado en CD ISBN Sitios Web consultados: - Marquès Graells P. (2002): Evaluación y selección de software educativo, [en línea]. Disponible en: - Stallman R. M.: Software libre para una sociedad libre. Fecha: Abril

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