Análisis de imágenes digitales

Transcripción

1 Análisis de imágenes digitales EXTRACCIÓN DE PATRONES Transformada de Hough

2 La transformada de Hough es método de extracción de características patentado por Paul Hough en 1962 *, para la detección de bordes en imágenes parametrizadas, es decir, los objetos que se desean detectar se representan por medio de una ecuación conocida. Originalmente fue diseñada para la extracción de líneas rectas, aunque se ha extendido para identificar otras formas como círculo o elipses. La idea es transformar la imagen del espacio Cartesiano xy a un espacio de parámetros y a través de un proceso de votos identificar los puntos que describen una línea recta u otra formulación de bordes. *P.V.C. Hough, "Method and means for recognizing complex patterns," U.S Patent , Dec. 18,

3 Considérese un punto (xi,yi) en el plano xy y una recta que pasa a través de ese punto de la forma yi = axi + b. Si se varían los valores de a y b se tendrán infinitas líneas que satisfacen la ecuación de la recta. Si cada recta que pasa por (xi,yi) se expresa en términos de (a,b) se tiene b = axi + yi. y y = 2x 1 x (xi,yi) y = x + 2 Entonces, considerando el plano ab (espacio de parámetros) habrá un punto para cada posible recta que pasa por (xi,yi), esto es, una recta en el plano xy se transforma en punto en el plano ab. b yi = xi + 2 yi = 2xi 1 3 a

4 Ahora considérese un par de puntos (xi,yi) y (xj,yj) en el espacio xy. Entonces, cuando existe una línea recta que simultáneamente pasa por los puntos (xi,yi) y (xj,yj) en el espacio xy, todas las posible soluciones en el espacio de parámetros se intersectan en algún punto (a',b'). y (xi,yi) (x j,yj) x Por tanto, todos los puntos que estén sobre una misma línea recta en el espacio xy compartirán un sólo punto en el espacio ab. b (a',b') 4 a

5 Algoritmo para detección de líneas en una imagen: 1. Encontrar los puntos de los bordes de la imagen con alguna técnica de detección de bordes (e.g., el detector de Canny). 2. Definir los intervalos para los parámetros a y b. 3. Inicializar una matriz acumuladora H en ceros en donde se contarán los votos para los valores (a,b) que sean solución a la ecuación de la recta. 4. Evaluar cada punto de borde (x,y) en la ecuación b = axi + yi e incrementar en 1 el valor de H(a,b) que resuelva la ecuación. El resultado será un histograma bidimensional con los valores de ocurrencia para ciertos valores de (a,b). 5. Umbralar la matriz H para definir los puntos (a,b) con mayor ocurrencia. Estos puntos corresponden a los parámetros de las líneas rectas encontradas en la imagen original. 5

6 Imagen de entrada Detección de bordes con Canny Líneas detectadas Espacio de parámetros Ocurrencias b a b a 6

7 Ventaja: Los píxeles que están sobre una línea no necesariamente deben ser contínuos, de modo que se pueden detectar líneas discontinuas. Deventaja: Una dificultad de esta aproximación se encuentra en la representación de líneas verticales, ya que la pendiente a. Imagen de entrada 1 2 Espacio de parámetros Líneas detectadas b a 4 5 7

8 Para evitar el problema de valores infinitos de a, la ecuación de la recta se puede representar en su forma polar como: ρ = xicos θ + yisin θ. θ ρ (xj,yj) y Los puntos en el plano xy se representan como curvas sinusoidales en el plano ρθ, donde la intersección de dos curvas en los puntos (ρ',θ') corresponde a la línea que pasa por (xi,yi) y (xj,yj). x (xi,yi) ρ = x j cosθ + x j sinθ θ θ Para calcular la transformada de Hough, el espacio ρθ se representa como una matriz acumuladora en el rango 90º θ 90º y 2D ρ 2D, donde D es la distancia distancia entre esquinas opuestas de la imagen. ρ ρ ρ = x i cosθ + y i sinθ 8

9 Se resuelve el problema de detección de líneas verticales: Imagen de entrada 1 2 Espacio de parámetros Líneas detectadas θ ρ 9

10 Imagen de entrada Detección de bordes con Canny Líneas detectadas Espacio de parámetros Ocurrencias θ ρ θ ρ 10

11 Imagen de entrada Líneas detectadas Detección de bordes con Canny Espacio de parámetros ρ 11 θ

12 Imagen de entrada Líneas detectadas Detección de bordes con Canny Espacio de parámetros ρ 12 θ

13 DETECCIÓN DE CÍRCULOS Aunque el enfoque principal de la transformada de Hough es la detección de líneas rectas, también se puede aplicar a cualquier función de la forma g(v,c) = 0, donde v es un vector de coordenadas y c es un vector de coeficientes. Un ejemplo puede ser la detección de círculos, cuya ecuación general es: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 r θ y donde x = a + r cos(θ) y x = b + r sin(θ) donde r es el radio del círculo, 1 a N y 1 b M, siendo N y M el ancho y la altura de la imagen. 13 x

14 DETECCIÓN DE CÍRCULOS El espacio de parámetros para el círculo pertenece a R 3 mientras que la línea recta está definida en R 2. Esto quiere decir que conforme aumenta el número de parámetros para decribir una forma también aumenta la dimensión del espacio de parámetros. r Para simplificar la representación del círculo se considera el radio constante, de modo que si conocemos de antemano el radio del círculo que se desea detectar el espacio de parámetros se reduce a R 2. a b 14

15 Algoritmo para detección de círculos en una imagen: 1. Encontrar los puntos de los bordes de la imagen con alguna técnica de detección de bordes (e.g., el detector de Canny). 2. Definir los intervalos para θ [0º, 360º] y el establecer el valor de r. 3. Inicializar una matriz acumuladora H en ceros en donde se contarán los votos para los valores (a,b) que sean solución a la ecuación del círculo. 4. Evaluar cada punto de borde (x,y) en la ecuación r 2 = (x a) 2 + (y b) 2 e incrementar en 1 el valor de H(a,b) que resuelva la ecuación. El resultado será un histograma bidimensional con los valores de ocurrencia para ciertos valores de (a,b). 5. Umbralar la matriz H para definir los puntos (a,b) con mayor ocurrencia. Estos puntos corresponden a los parámetros de los círculos encontrados en la imagen original. 15

16 Imagen de entrada Círculos detectados Detección de bordes con Canny Espacio de parámetros b 16 a

17 Imagen de entrada Líneas detectadas Detección de bordes con Canny Espacio de parámetros b 17 a

18 DETECCIÓN DE RECTAS Imagen de entrada Líneas detectadas Detección de bordes con Canny Espacio de parámetros b 18 a