Distribuciones de probabilidad Discretas

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1 Distribuciones de probabilidad Discretas

2 Distribución Uniforme Discreta Definición Una variable aleatoria X, tiene una distribución uniforme discreta, si cada uno de los valores x 1, x 2,.. x n, tiene igual probabilidad de ocurrencia 2

3 Distribución Uniforme Discreta Figura: Función de distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta uniforme 3

4 Distribución Uniforme Discreta Media y Varianza 4

5 Distribución Binomial Supongase un experimento aleatorio que consiste en n ensayos ( ensayos de Bernoulli): Los ensayos son independientes Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles: éxito o fracaso La probabilidad de éxito p permanece constante de ensayo a ensayo 5

6 Distribución Binomial Definición La variable aleatoria X que cuenta el número de éxitos en n ensayos tiene la siguiente función de distribución de probabilidades: 6

7 Distribución Binomial La distribución binomial es utilizada frecuentemente en control de calidad. Es un modelo probabilístico adecuado cuando se muestrea sobre una población que puede considerarse infinitamente grande, p representa la fracción de items defectuosos en dicha población. En estas aplicaciones X representa el número de artículos defectuosos encontrados cuando se toma una muestra al azar de tamaño n. Si por ejemplo p=0.10 y n= 15; la probabilidad de hallar x artículos defectuosos es: 7

8 Distribución Binomial 8

9 Distribución Binomial Ejemplo:Cada muestra de agua tiene una probabilidad de 10% de contener un contaminante orgánico particular. Se supone que las muestras son independientes en el sentido de presentar o no el contaminante.encontrar la probabilidad de que en la próximas 18 muestras examinadas, exactamente 2 presenten contaminación. X: número de muestras que presentan el contaminante en las 18 analizadas X tiene una distribución binomial con parámetros n=18 p=0.10 9

10 Distribución Binomial Ejemplo La probabilidad pedida es entonces: 10

11 Distribución Binomial Ejemplo Determinar la probabilidad de que por lo menos 4 muestras presenten contaminación Puede ser más sencillo calcular la probabilidad del evento complementario 11

12 Distribución Binomial Ejemplo Determinar la probabilidad de que 3 X<7 12

13 Distribución Binomial Media y Varianza de una distribución binomial 13

14 Distribución Binomial Ejemplo Para el ejemplo anterior: E(X)=np=0.1.18=1.8 Var(X)=np(1-p)= =

15 Distribución Geométrica Supongase un experimento aleatorio que consiste en n ensayos ( ensayos de Bernoulli): Los ensayos son independientes Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles: éxito o fracaso La probabilidad de éxito p permanece constante de ensayo a ensayo 15

16 Distribución Geométrica Definición Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de ensayos hasta la ocurrencia del primer éxito. X es una variable aleatoria geométrica con parámetro p y tiene la siguiente función de distribuciónen de probabilidades: 16

17 Distribución Geométrica Figura: Distribuciones geométricas para distintos valores del parámetro p 17

18 Media y Varianza de una Distribución Geométrica Definición 18

19 Distribuciones Binomial Negativa (Pascal) Distribución Binomial Negativa Es una generalización de la distribución geométrica. La variable aleatoria X cuenta el número de ensayos hasta la ocurrencia de r éxitos. Los parámetros de la distribución son r y p 19

20 Distribuciones Binomial Negativa (Pascal) Figura. Distribuciones de Pascal para diferentes valores de los parámetros r y p. 20

21 Distribuciones Binomial Negativa (Pascal) ensayos Indica un ensayo que resultó en éxito Figura. Variable aleatoria de Pascal representada como la suma de variables geométricas 21

22 Distribuciones Binomial Negativa (Pascal) Distribución Binomial Negativa. Media y Varianza 22

23 Definición Distribution Hipergeométrica Sea N un conjunto de objetos tal que: K objetos son clasificados como éxitos N-K objetos son clasificados como fracasos Se extrae sin reposición una muestra de tamaño n del conjunto de N objetos, con K N y n N 23

24 Distribution Hipergeométrica Definición La variable aleatoria X, que cuenta el número de éxitos en un experimento aleatorio con las características anteriores, se denomina variable aleatoria hipergeométrica: 24

25 Distribución Hipergeométrica Figura. Distribuciones hipergeométricas para diferentes valores de los parámetros N, K, y n. 25

26 Distribución Hipergeométrica Ejemplo:Un lote de tuberías está compuesto por 100 partes provenientes de un proveedor local y 200 partes de un proveedor extranjero. Si se seleccionan al azar 4 partes sin reemplazo, cual es la probabilidad de que todas sean nacionales? X: número de partes del proveedor local 26

27 Distribución Hipergeométrica Ejemplo 27

28 Distribución Hipergeométrica Definición p es interpretado como la proporción de éxitos en el conjunto de N objetos 28

29 Distribución Hipergeométrica Factor de corrección por población finita El término en la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica Se denomina factor de corrección por población finita. Si el tamaño de la muestra n es pequeño comparado con el tamaño del lote N, la distribución hipergeométrica puede ser aproximada por una distribución binomial con probabilidad de éxito p=k/n. En la práctica: n/n

30 Distribución Hipergeométrica Figura. Compación de distribuciones hipergeométricas y binomiales. 30

31 Distribución de Poisson Sea un experimento aleatorio caracterizado por: El número de éxitos que ocurren en un intervalo de tiempo o en una región especificada, son independientes de los que ocurren en otro intervalo de tiempo o región del espacio disjunto La probabilidad de que ocurra un sólo éxito durante un intervalo de tiempo muy corto o una pequeña región es proporcional a la duración del intervalo de tiempo o al tamaño de la región La probabilidad de que ocurra más de un éxito en dicho intervalo de tiempo o región es despreciable 31

32 Distribución de Poisson Definición La variable aleatoria X, que cuenta el número de éxitos en un experimento aleatorio con las características anteriores, se denomina variable aleatoria de Poisson, con parámetro λ>0: 32

33 Distribución de Poisson 33

34 Distribución de Poisson Media y varianza 34

35 Distribución de Poisson Unidades consistentes Es importante utilizar unidades consistentes en el cálculo de probabilidades, medias y varianzas que involucran variables de Poisson. Si por ejemplo: El número promedio de llamadas por seg es 9, entonces El número promedio de llamadas en 1 min es

36 Distribución de Poisson Ejemplo: En la fabricación discos ópticos la contaminación constituye un problema. El número de particulas de contaminación que están presentes en un disco tiene una distribución de Poisson, y el número promedio de partículas por cm 2 de superficie es de 0.1. El area de un disco bajo estudio es de 100 cm 2. Encontrar la probabilidad de que en el area bajo estudio se presenten 12 partículas de contaminantes 36

37 Distribución de Poisson Ejemplo X: número de partículas en el área de un disco bajo estudio 37

38 Distribución de Poisson Ejemplo Determinar la probabilidad de no encontrar ninguna partícula de contaminante Determinar la probabilidad de encontrar 12 o menos partículas de contaminante en el disco bajo estudio 38

39 Distribuciones Continuas

40 Definición Distribución Uniforme Una variable aleatoria continua X, con función de densidad 1 se denomina variable aleatoria continua uniforme 2

41 Distribución Uniforme Figura 1: Función de densidad de probabilidades para una variable continua uniforme 3

42 Media y Varianza Distribución Uniforme Si X es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (a,b): 2 4

43 Distribución Uniforme Ejemplo 1:La corriente medida en miliamperes, en un delgado alambre de cobre puede ser representada por una variable aleatoria X uniformememte distribuida en el intervalo [0,20mA]. Calcular la probabilidad de que la medición de corriente esté entre 5 y 10 ma. 5

44 Distribución Uniforme Ejemplo1: La media y la varianza de X, con a=0 y b=20: Por lo tanto el desvío estándar asociado a la medición es 5.77 ma. 6

45 Distribución Uniforme Figura 2 :Probabilidad para el ejemplo 1 7

46 Distribución Uniforme La función de distribución acumulada para una variable uniformemente distribuida se calcula como: Por lo tanto, la descripción completa de la función de distribución acumulada es: 3 8

47 Distribución Normal Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribución normal ( o Gaussiana) si su función de densidad de probabilidades es: 4 Donde µ y σ son parámetros tales que σ>0 y - <µ< 9

48 Media y Varianza: Distribución Normal Puede demostrarse que el valor esperado y la varianza de X están dadas por : 5 Para simbolizar que X tiene una distribución normal con parámetros µ y σ 2 es común utilizar la notación: X~N(µ, σ 2 ) 10

49 Distribución Normal Figura 3: Funciones de densidad de probabilidad normales para diferentes valores de μ y σ 2. 11

50 Distribución Normal Distribución normal Areas bajo la distribución normal Figura 4 12

51 Distribución Normal Estándar Definición: Una variable aleatoria normal con Se denomina variable aleatoria normal estándar y se simboliza con Z. Su función de distribución acumulada es denotada como: 13

52 Distribución Normal Estándar 14

53 Distribución Normal Acumulada 15

54 Distribución Normal Sea X una variable aleatoria normal con E(X)=µ y V (X)=σ 2, entonces la variable Z: 6 Tiene una distribución normal con media E(Z)=0 y V(Z)=1. Esto es, Z es normal estándar 16

55 Distribución Normal Sea X una variable aleatoria normal con E(X)=µ y V (X)=σ 2, entonces: 7 Donde Z es normal estándar y es el valor que se obtiene al estandarizar X. Los valores de la distribución normal estándar acumulada se encuentran tabulados 17

56 Distribución Normal Figura 5 Valores de distribución normal estándar acumulada. 18

57 Distribución Normal Ejemplo 2:Las mediciones de corriente en un alambre pueden representarse como una variable aleatoria X normalmente distribuida con media 10 ma y varianza 4 (ma) 2. Determinar la probabilidad de que una medición exceda los 13 ma. 19

58 Distribución Normal Figura 6 Estandarización de una variable aleatoria normal. 20

59 Distribución Normal Ejemplo 2 continuación Cual es la probabilidad de que la medición de corriente esté entre 9 y 11 ma? 21

60 Ejemplo 2 continuación: Distribución Normal Determinar el valor de x para el cual la probabilidad de una medición esté por debajo de dicho valor sea de El valor de x a determinar se muestra graficamente en la figura 7 y verifica: P(X<x)=0.98. Si se estandariza la variable X esto resulta en: 22

61 Ejemplo 2 continuación: Distribución Normal La tabla de distribución normal acumulada se utiliza para encontrar el valor de z tal que P(Z<z)=0.98. El valor más cercano es Por lo tanto el correspondiente valor de x: 23

62 Ejemplo 2(continuación) Distribución Normal Figura 7 Determinación del valor de x que verifica una probabilidad específica. 24

63 Aproximación de la Distribución Normal a las Distribuciones Binomial y de Poisson Bajo ciertas condiciones, la distribución normal puede utilizarse para aproximar la distribución binomial y la distribución de Poisson 25

64 Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución Binomial Figura 8 Aproximación Normal a la binomial. 26

65 Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución Binomial Ejemplo 3: El número de bits con error recibidos en un canal de comunicación digital, puede ser modelado como una variable aleatoria binomial con parámetro p= 1x10-5. Si se reciben 16 millones de bits, cual es la probabilidad de que ocurran más de 150 errores? 27

66 Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución Binomial Ejemplo 3 continuación Imposible de computar La distribución normal puede utilizarse en este ejemplo para dar una excelente aproximación de la probabilidad pedida 28

67 Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución Binomial Si X es una variable aleatoria binomial, entonces la variable: 8 Se distribuye aproximadamente como una variable aleatoria normal estándar. Dicha aproximación es buena si: 29

68 Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución Binomial Ejemplo 3 continuación El problema de comunicación digital puede ser resuelto como: 30

69 Aproximación de las Distribuciones Figura 9 Condiciones para aproximar una distribución hipergeométrica por una distribución binomial 31

70 Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución de Poisson Si X es una variable aleatoria de Poisson, con E(X)=λ y V(X)=λ entonces la variable: 9 Se distribuye aproximadamente como una variable aleatoria normal estándar. Dicha aproximación es buena si λ>5. 32

71 Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución de Poisson Ejemplo 4 El número de partículas de asbesto por m 2 de polvo en una superficie sigue una distribución de Poisson con media igual a Determinar la probabilidad de que en una muestra de un m 2 de polvo analizada, se encuentren a lo sumo 950 partículas de asbesto. Esta probabilidad puede ser expresada exactamente como: 33

72 Aproximación de la Distribución Normal Ejemplo 4 a la Distribución de Poisson La dificultad computacional para calcular esta probabilidad es clara. Por lo tanto puede ser aproximada como: 34

73 Algunas Aproximaciones Útiles Mejor cuanto más chica es p y más grande es n Si p =1-p. Cuanto más chica es p y mayor es n Mejor cuanto mayor es λ Figura 10: Aproximaciones de distribuciones de probabilidad 35

74 Propiedades de la Distribución Normal Sean X 1, X 2,..X n variables aleatorias independientes, normalmente distribuidas con medias µ 1, µ 2,.., µ n y varianzas σ 12, σ 22,,σ n2 respectivamente. Entonces la variable aleatoria Y ( combinación lineal de dichas variables Y=a 1 X 1 +a 2 X 2 + +a n X n Tiene una distribución normal con media: µ Y =a 1 µ 1 +a 2 µ a n µ n y varianza : σ Y2 =a 12 σ 12 + a 22 σ a n2 σ 2 n Donde a 1,a 2,,a n son constantes 36

75 Propiedades de la Distribución Normal Sean X 1, X 2,..X n variables aleatorias con medias µ 1, µ 2,.., µ n y varianzas σ 12, σ 22,,σ n2 respectivamente. Sea Y= X 1 + X X n μi i= 1 Entonces: a medida que n, N(0,1) Interpretación práctica: La suma de variables aleatorias se distribuye aproximadamente normal independientemente de la distribución de cada variable individual en la suma. Y n i= 1 n σ 2 i 37

76 Distribución Gamma Función Gamma La función Gamma se define como: 10 38

77 Distribución Gamma Función Gamma Integrando por partes se obtiene: Además si r es un entero positivo 39

78 Distribución Gamma Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribución Gamma, con parámetros λ>0 y r>0 si su función de densidad de probabilidades es: 11 40

79 Distribución Gamma Figura 11 Distribuciones Gamma para diferentes valores de r y λ. r =1:Distribución exponencial 41

80 Distribución Gamma Media y Varianza de la Distribución Gamma 12 42

81 Distribución Exponencial Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribución Exponencial, con parámetros λ>0 si su función de densidad de probabilidades es: 13 43

82 Distribución Exponencial Media y Varianza de la Distribución Exponencial 14 44

83 Distribución Chi-cuadrado Otra distribución de la familia de la distribución Gamma Si los parámetros son : r=k/2 λ=1/2 la función de densidad de probabilidades: Se transforma en: 15 45

84 Distribución Chi-cuadrado El único parámetro de la distribución es k: número de grados de libertad A medida que k crece la distribución se vuelve más simétrica La forma límite de la distribución cuando k es la distribución normal. Media y Varianza de la Distribución Chi-cuadrado E(X)= k V(X)=2k 46

85 Distribución chi-cuadrado Figura 12 Distribuciones χ 2 para diferentes grados de libertad. 47

86 Distribución de Weibull Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribución de Weibull, con parámetros δ>0 y β>0 si su función de densidad de probabilidades es: 16 48

87 Figura 13 Distribuciones de Weibull para diferentes valores de los parámetros. 49

88 Distribución de Weibull Media y Varianza de la Distribución de Weibull 17 50

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