Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

Transcripción

1 Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método de bisección. Jeinny Peralta 1 Barranquilla, 2017 Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

2 Números en punto flotante Los números en punto flotante son números reales de la forma ±α β e donde α tiene un número de dígitos limitados, β es la base y e es el exponente que hace cambiar la posición al punto decimal. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

3 Redondeo y Truncamiento En métodos numéricos los números pueden sufrir aproximaciones cuando se dan como datos de entrada o como resultado de operaciones, estas aproximaciones se pueden hacer de dos formas: Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

4 Redondeo y Truncamiento Redondeo: En este proceso el número se representa por el número de máquina más cercano al número dado. Truncamiento: En este proceso el número se representa por medio del mayor número de la máquina menor que el número dado. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

5 Redondeo y Truncamiento Los errores de redondeo y truncamiento pueden ser sutiles, cuando se realizan cálculos individuales pero estos pueden perjudicar la precisión computacional si existen dos situaciones las cuales son: Cuando se suman una sucesión de números, especialmente si estos decrecen en valor absoluto. Cuando se hace la diferencia entre dos números casi idénticos, ya que se cancelan los dígitos principales. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

6 Por lo anterior, si deseamos estimar el error cometido al aproximar un número positivo x = ±0.d 1 d 2...d t d t+1 β m, d i 0 mediante un número de máquina, notado fl(x), esto se hace de la siguiente forma: Con redondeo 1 fl(x) = ±0.d 1 d 2...d t β m si 0 d t+1 < β 2. 2 fl(x) = ±0.d 1 d 2...d t + β t β m si β 2 d t+1 < β. Con truncamiento fl(x) = ±0.d 1 d 2...d t β m Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

7 Se puede probar que si hay redondeo los errores absoluto y relativo son E 1 2 βm t y E r 1 2 β1 t. Si hay truncamiento son E β m t y E r β 1 t. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

8 Ejercicios Haga una aproximación usando aritmética de redondeo y truncamiento a cuatro cifras a) b) c) d) Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

9 Solución de Ecuaciones no Lineales Nos proponemos estudiar métodos que permitan encontrar la solución de ecuaciones no lineales que con frecuencia aparecen en ciencias e ingeniería. Estos métodos tratan de encontrar un cero de una función de variable real con valores en los reales es decir encontrar un x R, tal que f (x ) = 0. Los métodos que estudiaremos serán iterativos, esto es, que partiendo de un punto inicial, generan una sucesión de puntos que deben converger al cero de la función. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y MétodoBarranquilla, de bisección / 22

10 Punto Fijo El primer método que estudiaremos es el de punto fijo. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

11 Recordemos Si f (c) es un punto extremo de f en un intervalo I, c está en el interior de I y f (c) existe, entonces f (c) = 0. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

12 Recordemos Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b]; entonces existe un punto x 0 [a, b] para el cual f (x 0 ) f (x), x [a, b] Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

13 Recordemos Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b]; entonces existe un punto x 0 [a, b] para el cual f (x 0) f (x), x [a, b] Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

14 Recordemos Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b]; diferenciable en el intervalo abierto (a, b) y f (a) = f (b), entonces existe un número real c (a, b) tal que f (c) = 0. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

15 Recordemos Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número real c (a, b) tal que. f (b) f (a) = f (c)(b a) Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

16 Recordemos Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], f (a) f (b) y k un número cualquiera entre f (a) y f (b), entonces existe un número real c (a, b) tal que f (c) = k. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

17 Método del Punto Fijo Definition Sean P R, y g(x) una función. P es un punto fijo de g(x), si y solo si, P = g(p). Definition Decimos que P es un punto fijo de orden m de g si g(x) está dada por con q(p) 0. g(x) = P + (x P) m q(x) Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

18 Método del Punto Fijo Definition La iteración p n+1 = g(p n ), n = 0, 1, 2, 3,... se define como la iteración de punto fijo. Theorem Sea g(x) una función continua, {p n } n=0 la sucesión generada por la iteración de punto fijo. Si lim p n = P, n entonces, P es un punto fijo de g. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

19 Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

20 Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

21 Ejemplo Usa la iteración de punto fijo para calcular un cero de f (x) = e x x 2 + 3x 2, usando x 0 = 1 3. Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22

22 Ejercicios 1 Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f (x) = x 2 5x e x, comenzando con x 0 = 0. 2 Hallar la raíz de la ecuación x = 2 cos x partiendo desde x = 1 por el método de punto fijo, estudiar el valor de la derivada. 3 Use el método de punto fijo para encontrar la raíz de f (x) = sin x x. Use el valor inicial x 0 = 0.5 e iteración hasta que E Redondeo, Truncamiento, Método del Punto Fijo y Método Barranquilla, de bisección / 22