UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Instituto de Ciencias Básicas. Álgebra Lineal. Isabel Arratia Zárate

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Istituto de Ciecias Básicas Álgebra Lieal Isabel Arratia Zárate

2 Matrices y Sistemas de ecuacioes lieales Algebra Lieal - I. Arratia Z.

3 Matrices: defiicioes y otacioes básicas Ua matriz A co compoetes e u cuerpo es u arreglo e filas y columas de elemetos de. Por ejemplo, A 5 4 B 5 7 so matrices co compoetes e, el cuerpo de los úmeros reales. La matriz A tiee dos filas y tres columas mietras que la matriz B tiee tres filas y dos columas. Si ua matriz tiee m filas y columas, se dice que ella es de orde m x (se lee m por ). y R κ 9 κ Algebra Lieal - I. Arratia Z.

4 Cómo deotar ua matriz de orde m x? Se usa dos ídices: A a a... a m a a a... m a a a... m lo que abreviadamete se expresa, A (ai j), i,,...,m ; j,,..., Ejercicio: Determie por extesió la matriz A, de orde x defiida así, a i j i j. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

5 El elemeto a i j, es el que se ubica e la i-ésima fila j-ésima columa de la matriz A; se llama compoete i j de la matriz A. Si la matriz A tiee el mismo úmero de filas que de columas, se dice que ella es ua matriz cuadrada de orde. Si A es ua matriz de orde, las compoetes a ii costituye la diagoal de A; se aota: diag(a) (a, a,..., a La suma de los elemetos de la diagoal de ua matriz cuadrada de orde se llama traza de A, es decir, tr (A ) i a i i ) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

6 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6 Ua matriz cuadrada se dice matriz diagoal si Por ejemplo, ) (a A j i j. i cuado a j i so matrices diagoales. - B y 5 A so matrices triagulares. Ua matriz cuadrada se llama triagular superior si para i > j, y se llama triagular iferior si para i < j. Por ejemplo, a j i a j i 7 - B y C ) (a A j i

7 Ejemplo: Determie por extesió la matriz A (ai j), de orde dada por i A i j i j si si si i i < i > Cuál es la diagoal y la traza de A Cuál es el valor de la traza de A si la matriz A fuese de orde? y si fuese de orde? Solució: La matriz A es A Su diagoal es diag(a) (,, ) y tr(a) 6. Si A es de orde, tr(a) ai i y si es de orde, tr(a) i j j j ( ) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7

8 Resulta fácil compreder la utilidad que presta las matrices para ordear datos. La producció semaal, e cietos, de los artículos p, p,.p 6 que se fabrica e ua idustria se puede expresar mediate ua matriz P de 6 filas - dode se escribirá los productos elaborados - y 5 columas que idicará los días de la semaa de lues a vieres: Lu Ma Mi Ju Vi,5, p 6 P ,5....,8 6,....,5 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8 6, p , p 6

9 El cojuto de todas las matrices de m filas y columas co compoetes e el cuerpo será M mx ( κ ) M ( κ) deotado por y será se trate de matrices cuadradas de orde. κ cuado A (a Dos matrices i j mismo orde y además ) a B b (b, ) i j. y i j so iguales si tiee el i j i j A (a ) Si i j es ua matriz de orde m x, la traspuesta de A, t deotada por A, es la matriz de orde x m que se obtiee al itercambiar las filas por las columas de A. E cosecuecia, t A (a ji) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9

10 Ejercicio: Cuál es la traspuesta de la matriz A (ai j) de orde x defiida por ai j i j? A (a ) Sea i j matriz cuadrada. Se dice que A es ua matriz simétrica si A t A y se dice que A es atisimétrica si A t A, dode -A es la matriz A ( a ). 6 4 Por ejemplo, A 7 es ua matriz simétrica. 4 Costruya usted ua matriz atisimétrica de orde. Ejercicio: Si A es ua matriz de orde atisimétrica, demuestre que diag(a) (,...., ) y tr (A). i j Algebra Lieal - I. Arratia Z.

11 Algebra Lieal - I. Arratia Z. Ejercicios: ) Determie por extesió la matriz de orde 4 defiida como sigue. Calcule la traza de A. Es A ua matriz simétrica? ) Demuestre que toda matriz diagoal es simétrica. ) Determie todos los valores reales de a y b de modo que la matriz B dada sea simétrica. casos otros e j i si j i j i si 7 i A b b 5 a 6 a B ) (a A j i

12 Algebra Lieal - I. Arratia Z. Operacioes co matrices Se llama matriz ula (o matriz cero) de orde m x a la matriz de orde m x que tiee todas sus compoetes iguales a. La matriz ula se deotará por O mx o simplemete O. Suma de matrices Si, la suma de A y B es la matriz, dode ) ( M ) (c B A mx j i κ ) ( M ) (b B ), (a A mx j i j i κ j i j i j i b a c Por ejemplo, si 7 4 B A, B y A κ

13 Observe que para sumar matrices, ellas debe ser del mismo orde. Se tiee las siguietes propiedades:. (AB)C A(BC), A, B,C Mmx( ). AB BA, A, B Mmx( ). Existe O mx, matriz ula, tal que AO A, A M ( ) 4. Para cada matriz A Mmx( κ,) existe A M mx tal ( que κ ) A(- A) O, dode A ( a i j) cuado A (a ij) 5. tr(ab) tr(a) tr(b), A, B M ( κ ) t t t 6. ( A B) A B, A, B M ( ) 7. A, B diagoales AB diagoal 8. A, B simétricas AB simétrica mx κ mx κ 9. A, B atisimétricas AB atisimétricas Ejercicio: Demuestre las propiedades euciadas ates. Algebra Lieal - I. Arratia Z.

14 Multiplicació por escalar o poderació A (a ) M ( κ) α κ α Si i j mx y, la multiplicació veces A es la matriz de orde m x, αa ( α a ij) Por ejemplo, si A 4 6 Se puede establecer que: α( βa) ( αβ)a, ( α β)a αa βa, α(a B) αa αb, A A, 5, α, β κ, (-)A -A, α κ, etoces α, β κ, A O, A matriz A,B M A 4 A,B M mx mx ( κ) A matriz 5 4 ( κ) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

15 Además tr( αa) α tr(a), ( αa) t α A t A M, A M mx ( κ) ( κ) Ejercicio: Demuestre las propiedades. a 6. ateriores. Las propiedades algebraicas de las matrices os permite resolver ecuacioes matriciales de maera eficiete. Ejercicio: Resuelva la ecuació t (X A) A si A 5 5 (B 9X, B 4 6 y C t t ) t Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

16 Problema: U fabricate produce tres modelos de zapatillas de descaso A, B y C e tres tamaños: para iños, damas y caballeros. La fabricació se realiza e dos platas, ua ubicada e Sa Berardo y la otra e Maipú. La producció semaal, e pares de zapatillas, e cada plata se etrega a través de las matrices: Sa Bdo. A B C Niños 6 4 Damas 4 8 Varoes 48 Maipú A B C Niños 6 5 Damas 4 4 Varoes 6 8 a) Determie la matriz que cotiee los datos relativos a la producció semaal total de cada modelo de zapatilla e ambas platas. b) Si la producció e la plata de Sa Berardo se icremeta e u % y la de Maipú e u 4%, escriba la matriz que represeta la ueva producció semaal total de cada tipo de zapatilla. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6

17 A (a La multiplicació de matrices ) M ( κ) B (b ) M ( κ) Si i j mx y i j xr, la multiplicació de A y B es la matriz AB (c i j), de orde m x r, dode c i j k El elemeto ubicado e la fila i columa j del producto AB es: i j i j i a i k j b k j c a b a b... a i b j Compoetes de la fila i Compoetes de la columa j Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7

18 Por ejemplo, si 8 A etoces 5 y 5 AB 9 B 6 7 4, Observe que e este ejemplo, BA tambié se puede realizar pero es ua matriz de orde, co lo que cocluimos que La multiplicació de matrices o es comutativa Note tambié que para la matriz A del ejemplo aterior, el producto A A A o se puede efectuar. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8

19 Este producto tiee otras curiosidades? Si, por ejemplo, Existe matrices cuadradas A, o ulas pero tales que A O Más aú, existe matrices A y B, de orde, o ulas, distitas y AB O, es decir, el producto de dos matrices puede ser la matriz cero y igua de ellas ser cero. AB Por lo tato, / (A AB AC / B C B ) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9

20 Si embargo, siempre que las operacioes se pueda realizar, se puede demostrar que:. (A B) C A (B C). (A B) C A C B C y C (A B) C A CB Surge la iterrogate Existe elemeto idetidad e el cojuto? A I M mx ( κ) La matriz cuadrada I (ai j) de orde defiida así: a i j se llama matriz idetidad; ella es tal que si si A I i j i j A, A M ( κ) Algebra Lieal - I. Arratia Z.

21 M ( κ) E cosecuecia, existe elemeto idetidad e. Ejercicio: a) Muestre co ejemplos que, e geeral, t t t tr(ab) tr(a) tr(b) y que (AB) A B b) Demuestre que tr(ab) tr(ba) c) Demuestre que, siempre que los productos se pueda realizar, (A B) t B t A t. Ejercicio: Determie la matriz X de modo que la siguiete igualdad resulte verdadera: X 5 6 Algebra Lieal - I. Arratia Z.

22 Dadas las matrices A y B, qué ecesitamos para resolver la ecuació AX B? La ecuació ax b, e el cojuto de los úmeros reales, se resuelve usado el iverso multiplicativo de a: x a b b a Si A es ua matriz o ula os pregutamos existe ua matriz B tal que AB I BA? Que equivale a existe el iverso multiplicativo de A? Observe que esta preguta tiee setido sólo si A es ua matriz cuadrada. Si embargo, auque A sea cuadrada, la respuesta a la iterrogate es o siempre. Algebra Lieal - I. Arratia Z.

23 Por ejemplo para de tal matriz B. Supogamos que 6 a b c d A a B c 6 b d que equivale a ivestiguemos la existecia es tal que AB I ; etoces a 6c a c b 6d b d y a resolver a c y a c. Cocluimos que o existe a y c; de maera aáloga, o existe b y d. Por lo tato la matriz B o existe. Surge etoces la siguiete defiició: Algebra Lieal - I. Arratia Z.

24 Se dice que ua matriz A M ( κ ) es ivertible o o sigular si existe B M ( κ tal ) que AB I BA. La matriz B, cuado existe, está úicamete determiada por A, se llama iversa de A y se deota por A. Por lo tato, A A I A A Ejercicio: Demuestre que, a) ( A ) A, A M( κ) t t b) ( A ) (A ), A M( κ) c) ( AB) B A ; A, B M ivertible ivertible ( κ) ivertibles Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

25 Cuáles matrices so ivertibles? E lo que sigue, trataremos de cotestar esta iterrogate, es decir, caracterizaremos a las matrices ivertibles. Además mostraremos maeras de calcular la iversa. Ua primera respuesta la obtedremos a través de los determiates que comezaremos a estudiar a cotiuació. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

26 Determiates Asociado a cada matriz A M ( κ) existe u elemeto de κ, su determiate, que lo deotaremos det(a) o A. a b A M( ) c d Si κ, det(a) ad bc ; por ejemplo, Si A es ua matriz cuadrada de orde mayor que, el determiate de A se defie e forma recursiva como sigue: A (a ) Sea i j matriz de orde. Llamaremos meor de orde ij de A, y aotaremos, al Mdetermiate i j de orde - que se obtiee a partir de A, elimiádole la i-ésima fila y la j-ésima columa. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6

27 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7 El cofactor de orde ij de A, deotado es el úmero j i j i j i M ) ( C j C i Por ejemplo, si y C C M, M, 9 5 A El determiate de la matriz de orde, es el úmero ) (a A j i fijo i co C a M a ) ( fijo j co C a M a ) ( A) det( j j j i j i j i j i j i i i j i j i j i j i j i

28 Por ejemplo, calculemos el determiate de Fijado i teemos que: det(a) j ( ) j a j M j M M 9M A Observe que el fijar i sigificó que al desarrollar la sumatoria iterviiero los elemetos y los correspodietes meores (o cofactores) de la fila. El determiate det(a) 4 se pudo haber obteido por seis camios diferetes. Cuál de ellos es el que ecesita meos cálculos? Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8

29 De la defiició dada para los determiates sigue las siguietes propiedades:. det(a) det(a t ). E cosecuecia, las propiedades de los determiates demostradas para las filas, so tambié válidas para las columas. Y recíprocamete.. Si todos los elemetos de ua fila (o columa) de la matriz A so cero, det(a). I IN. det( ),. E efecto, es claro que det(i ). Supogamos que det( I k ), para k IN. Etoces, det(i j k ) ( ) ajmj ( ) det(i k) j Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9

30 Del mismo modo, usado u razoamieto iductivo, podemos establecer que 4. Si A es ua matriz diagoal o triagular, det(a) es igual al producto de los elemetos de la diagoal. 5. Si dos filas (o columas) adyacetes de A so iguales, etoces det(a). Esta propiedad os permite demostrar que: 6. Si dos filas adyacetes o columas adyacetes de A se itercambia, se produce u cambio de sigo del determiate. Lo que os permite ampliar la propiedad 5: 7. Si dos filas (o columas) de A so iguales, etoces det(a) es igual a. Algebra Lieal - I. Arratia Z.

31 Qué sucede co el determiate de AB? E geeral, det( A B) det( A ) det( B) Si embargo, existe ua propiedad que la euciaremos e primer lugar para uo de los casos de orde. a a c c b d a a 8. Si A M ( κ ) y A ( k), k, deota la k-ésima columa de A, etoces det(a det(a () (),...,A,...,A (k) (k) A (k),..., A,..., A () () b d ) ) det(a () c c,...,a (k) b d,..., A () ) Algebra Lieal - I. Arratia Z.

32 9. Respecto a la poderació, e geeral, det( αa) α det(a) Pero, utilizado la otació de la propiedad 8, se tiee que det(a (),..., αa (k),..., A Y como cosecuecia, () ) α det(a (),...,A (k) det( αa) α det(a),..., A () ). Si A y B so matrices de orde, se puede demostrar que det (A B) det(a) det(b). Fialmete ua propiedad que será de mucha utilidad: Si las compoetes de ua fila (o columa) de A se multiplica por u úmero α κ y los resultados se suma a los elemetos correspodietes de otra fila (o columa), el valor del determiate o se altera. Es decir, det(a (),...,A (k),..., A (j) αa (k),..., A () ) det(a) Algebra Lieal - I. Arratia Z.

33 Cómo utilizar la propiedad aterior? Si la fila i multiplicada por el úmero la sumamos a la fila j, aotaremos αf i F j. Para calcular el siguiete determiate usaremos la operació F F ; a cotiuació la operació 4 F F y luego desarrollaremos el determiate a través de la primera columa: α Algebra Lieal - I. Arratia Z.

34 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4 Ejercicio: Clasifique las siguietes afirmacioes como verdaderas o falsas: ) ( M A det(a), - det(-a). tr(a) ) det(i det(a) ) I det(a. ) ( M B A,, B) det(a B) det(a ) B det(a. κ κ Ejercicio: Calcule los siguietes determiates: c c b b a a, x x 7 x, d d a c c a b b a,

35 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5 Defiició: La matriz adjuta de, es la traspuesta de la matriz de los cofactores de A, es decir, ) ( M ) (a A j i κ ) (C ) (C ) M ) (( (A) adj i j t j i t j i j i Por ejemplo, si R a - c - b d adj(a), M d c b a A ) ( Cuál es la matriz adjuta de? La matriz de los 6 5 A cofactores de A es ; luego adj(a)

36 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6 Observe que si ad - bc ad - bc d c b a a - c - b d A adj(a) y ad - bc ad - bc a - c - b d d c b a adj(a) A ), ( M d c b a A R A adj(a) det(a) I adj(a) det(a) A Y si el determiate de A es distito de cero teemos que,

37 Este resultado es más geeral; se puede demostrar que si A M ( κ) y det(a) es distito de cero, etoces A det( A) adj(a) I es decir, A es ivertible y se tiee que det( A) A - Recíprocamete, si A es ivertible, etoces det(i ) det(a A ) det(a) det(a adj(a) A adj(a) det(a) ) y por lo tato, det(a). Por lo tato, podemos euciar el siguiete teorema que caracteriza a las matrices ivertibles: Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7

38 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8 Teorema: Sea ; etoces A ivertible Y e este caso se tiee que ) ( M A κ A) det( adj(a) A A - ) det( R a - c - b d bc ad A etoces, y ad - bc, M d c b a A - ) ( Por ejemplo, si Ejercicio: Calcule la iversa de las siguietes matrices: 4 5 C, 6 4 B, 9 5 A

39 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9 Ejercicio: Es verdadero o falso que para matrices A, B ivertibles de orde se tiee que: A ) (A 4. A B (AB). B A B ) ( A. A ) det( ) A det(. - - Ejercicio: Determie todos los valores reales de k de modo que las siguietes matrices sea ivertibles: k k k k C, k k k B, k k k k A

40 Operacioes elemetales Matrices escaloadas A Mmx( κ) Para ua matriz cosideraremos las siguietes operacioes elemetales co las filas de A : Permutar dos filas: Si se permuta la fila i co la fila j aotamos F i j Multiplicar ua fila por u úmero real: Si se multiplica la fila i por el úmero α, esta operació se aota αf i Sumar dos filas: Si la fila i se suma a la fila j, aotamos F i F j Fialmete, podemos combiar las dos últimas operacioes y obteer αf i F j Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

41 Ejercicio: Verifique que si se realiza las operacioes elemetales idicadas co las filas de la matriz A, se obtiee la matriz E. 6 4 A 4, F, -F F, F F, F, F F, E A, B Mmx( κ ) Si y si B se obtiee realizádole a la matriz A u úmero fiito de operacioes elemetales, etoces se dice que A es equivalete a B y se aota. APor Bejemplo, las matrices A y E del ejercicio aterior so equivaletes. La matriz E del ejercicio aterior tiee ua forma muy particular, es ua matriz del tipo escaloada. A cotiuació damos ua defiició de matriz escaloada: Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

42 A Mmx( κ) Ua matriz se llama matriz escaloada si satisface las siguietes codicioes: Las filas que tega todas sus compoetes iguales a cero debe estar ubicadas debajo de aquellas que tega compoetes o ulas. La primera compoete o ula de cada fila o ula es, vista de izquierda a derecha. Esta compoete se llama uo distiguido o uo capital. El úmero de ceros al comiezo de ua fila aumeta a medida que se desciede e la matriz. Si además A satisface lo siguiete: Todas las compoetes de la columa dode aparece u distiguido so ceros, la matriz A se llama escaloada reducida por filas. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

43 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4 Ejercicio: Decida si las siguietes matrices so o o so escaloadas. So escaloadas reducidas por filas? 4 5 C, B, A Teorema: Toda matriz es equivalete a ua matriz del tipo escaloada reducida por filas. Si, etoces, co E matriz escaloada reducida por filas. Se defie el rago de A como el úmero de filas o ulas de E, que equivale al úmero de uos distiguidos de E. El rago de A lo deotaremos por r(a). A E ) ( M A mx κ ) ( M E mx κ ) ( M A mx κ

44 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 44 El rago de la matriz ula es cero: r(o). El rago de la matriz idetidad de orde es : El rago de la matriz es. Por qué? I r ) ( A Ejercicio: Determie todos los valores reales de a de modo que el rago de la matriz M sea si a 4 a M Ejercicio: Estudie el rago de la matriz A, depediedo de los valores reales de k si 4 k A

45 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 45 Teorema: Sea ; etoces A ivertible (A r ) U teorema que caracteriza a las matrices ivertibles es: I A Ejercicio: Aplique la última parte del teorema para calcular la iversa de cada ua de las siguietes matrices: k C, 4 B, 5 A ) ( M A κ Y si ua sucesió de operacioes elemetales fila reduce A a la matriz idetidad, etoces esa misma sucesió de operacioes elemetales fila cuado se aplica a proporcioa. I I A

46 Las operacioes elemetales tambié se puede realizar co las columas de la matriz. Si embargo, para los objetivos de este curso, usaremos sólo operacioes elemetales co las filas de la matriz. Ejercicio: compleja: Determie el rago de la siguiete matriz i i A i i 4 i i i i i Algebra Lieal - I. Arratia Z. 46

47 Matrices elemetales Ua matriz elemetal es aquella que se obtiee al realizar ua operació elemetal a la matriz idetidad I. Usaremos las siguietes otacioes para las matrices elemetales: E E E i j i ( α) i j ( α) : : : se se se obtiee obtiee obtiee Por ejemplo, para orde, al al al realizar realizar realizar F i j αf i αf i a a F I j I a I E, E(4) 4 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 47

48 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 48 Observacioes () Existe ua equivalecia etre realizar a la matriz A ua operació elemetal fila y multiplicar, por la izquierda, la matriz A por ua matriz elemetal. A saber, A ) ( E A ) ( E A E j i i j i α α correspode a realizar a A la operació elemetal j i i j i F F F F α α () Las matrices elemetales so ivertibles; e efecto, i j i i i j i j i I ) ( E ) ( E I ) ( E ) ( E I E E α α α α

49 () La iversa de ua matriz elemetal es tambié ua matriz elemetal. Ahora estamos e codicioes de demostrar el teorema euciado ates y que caracteriza a las matrices ivertibles. Teorema: Sea A M ( ) ; etoces κ A ivertible A I i) Supogamos que A es ivertible y que A E, co E matriz escaloada reducida por filas, E I. Etoces E tiee por lo meos ua fila de ceros y por tato det( E). Pero si A E, el determiate de A difiere del determiate de E e el sigo o e u factor umérico. E cualquier caso cocluimos que det(a), lo que es ua cotradicció. Por lo tato se debe teer A I. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 49

50 i) Supogamos que A I ; etoces I se obtiee realizado ua sucesió de operacioes elemetales fila a la matriz A. Esto quiere decir que E k E k-.... E E A I, co E,... E k matrices elemetales. Como las matrices elemetales so ivertibles podemos expresar A det(a) det(a) A E E det(e ivertible.... E - - k ).... det(e Del teorema sigue los siguietes corolarios: - k ) () A M ( ) A ivertible κ r (A) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

51 () A M ( ), A ivertible A es producto de κ matrices elemetales. Esto último sugiere otro método para calcular la iversa de A: E k... E E A I A - E k... E E Además, prueba el euciado hecho ates: Si ua sucesió de operacioes elemetales fila reduce A a la matriz idetidad I, etoces esa misma sucesió de operacioes elemetales fila cuado se aplica a I proporcioa A. 8 Ejercicio: Exprese la iversa de la matriz A como producto de matrices elemetales. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

52 Factorizació LU Sea A M( κ). Si al escaloar A o es ecesario realizar permutació de filas, etoces A puede factorizarse como el producto LU dode: L es ua matriz triagular iferior co todos los elemetos de su diagoal iguales a. U es ua matriz triagular superior co los elemetos pivotes e la diagoal. No toda matriz admite factorizació LU Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

53 Por ejemplo, A o admite factorizació LU. E efecto, A a c d x y z ax A o o ivertible Lo que es ua cotradicció pues det(a) -. Este ejemplo muestra que, (a L o U x ax cx ) ay cy dz ivertible A ivertible / A admite factorizació LU Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

54 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 54 Ejemplo: Ecotremos la factorizació LU de la matriz A U A F F F F Lo aterior se expresa co matrices elemetales así: U () E () E A U )) ( (E )) ( (E A U A ) ( E ) ( E A L U

55 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 55 Efectivamete, A De lo realizado se puede cocluir que la factorizació LU de ua matriz A o es úica. Ejercicio: Ecuetre ua descomposició LU para las matrices A y B siguietes. A B

56 Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas se expresa dode A a a (*) a (a i j m x x x ) M m a a a m x x x..... a..... a a ( R ) es la matriz de los coeficietes del x b sistema y x b X, B so las (matrices) columas x bm de icógitas y de térmios costates respectivamete. m x x x b b b... m Algebra Lieal - I. Arratia Z. 56

57 x Los úmeros reales ( x, x,....., x ), formalmete x... x que satisface cada ua de las ecuacioes de (*) forma ua solució del sistema (*). El sistema (*) se dice compatible si posee al meos ua solució y se dice icompatible cuado o tiee solució. Observe que el sistema (*) equivale a la ecuació matricial AX B, co A la matriz de orde m x formada co los coeficietes del sistema, X la matriz columa de icógitas y B la matriz columa de térmios costates. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 57

58 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 58 Ejercicio: Escriba la ecuació matricial AX B que represeta a los sistemas: 9x 4x x x x x x x 6 x x 5x x 4x x 7x x x 4 4 Ejercicio: Escriba el sistema de ecuacioes lieales AX B que correspode a las matrices: 6 - B, A 4 - B, 6 5 A

59 Problema: Haga el plateamieto matemático del siguiete problema: U empresario tiee tres máquias que so empleadas e la fabricació de cuatro productos diferetes. Para utilizar pleamete las máquias, estas estará e operació 8 horas diarias. El úmero de horas que cada máquia es usada e la producció de ua uidad de cada uo de los cuatro productos está dado e la tabla. Prod Prod Prod Prod 4 Máq Máq Máq Cuátas uidades de cada producto se debe producir e u día, co el fi de usar pleamete las máquias? Algebra Lieal - I. Arratia Z. 59

60 Sistemas de ecuacioes lieales homogéeos U sistema de ecuacioes lieales se dice homogéeo cuado la columa de térmios costates está formada sólo por ceros. Sea AX O, co A Mm ( R ) u sistema homogéeo; etoces:. AX O es siempre compatible pues X O es solució de él.. Si E Mm ( R ) es tal que A E, etoces los sistemas (equivaletes) AX O y EX O tiee las mismas solucioes.. Si el rago de A, r(a), etoces X O es la úica solució de AX O. 4. Si el rago de A, r(a) <, etoces existe ifiitas solucioes para AX O. Estas se puede expresar e térmios de uo o más parámetros. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6

61 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6 Resolució de sistemas homogéeos x 7x x x x x x x x La matriz de este sistema es: Co A, realizamos operacioes elemetales fila hasta obteer E 7 A E A Como r(a) N columas de A N de icógitas, el sistema tiee solució úica y ésta es la misma que tiee EX O, es decir, S, que os permitimos escribir S (,, ) Ejemplo

62 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6 5x 7x x 6x 4x x x x x Ejemplo : E A E este caso: Como r(a) < N columas de A (N de icógitas), el sistema tiee ifiitas solucioes. Estas las buscamos e el sistema EX O: x x x x x x x x Asigamos a el parámetro co el fi de expresar las ifiitas solucioes así:. ; S R λ λ λ λ λ x λ R λ O tambié, S (,, ), λ

63 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6 Ejemplo : Resolvamos el sistema de 4 icógitas: 7 z y x 5u 4 z y x E A E este caso, r(a) < N columas de A (N de icógitas) y el sistema tiee ifiitas solucioes. El sistema equivalete EX O es: u z y u z - - x u z y u z x Asigamos dos parámetros:. Las ifiitas solucioes se expresa:., ; - S R µ λ µ λ µ R λ µ λ, ; ),,, ( ),,, ( S µ λ u, z O tambié,

64 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 64 Ejemplo 4: Determiemos todos los valores de k de modo que el siguiete sistema tega solucioes distitas de XO, es decir, solucioes o triviales. )x (k x 6x 4x x x x 5x E k - k k A El sistema tedrá solucioes o triviales si y sólo si r(a) < N columas de A (N de icógitas del sistema). Por lo tato el valor de k buscado es k, e cuyo caso las múltiples solucioes del sistema se puede expresar: R λ λ ; ), -, (

65 Ejercicio: Determie todos los valores reales de k de modo que el siguiete sistema tega solucioes o triviales: x x x x 4x 7x x kx x Ejercicio: Para qué valores del úmero real a, el sistema AX O tiee solució úica? Aquí A es la matriz: A 4 a a a Algebra Lieal - I. Arratia Z. 65

66 Sistemas de ecuacioes lieales o homogéeos Cosideremos el sistema o homogéeo AX B, de m ecuacioes lieales co icógitas, dode A (ai j ) Mm t B m M mx ( b, b,..., b ) ( R) ( R ) y Llamaremos matriz ampliada sistema AX B a: (o matriz aumetada) del A a a... a m a a a... m a a a... m b b... b m Algebra Lieal - I. Arratia Z. 66

67 Se tiee que: El sistema AX B es compatible si y sólo si r(a) r(a; B) O equivalete, El sistema AX B es icompatible si y sólo si r(a) r(a; B). Supogamos que AX B, sistema de m ecuacioes lieales co icógitas, es compatible.. Si r(a) r(a; B), etoces AX B tiee solució úica.. Si r(a) r(a; B) <, etoces AX B tiee ifiitas solucioes que se puede expresar e térmios de uo o más parámetros. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 67

68 Ejercicio: X BA Ejercicio: resuelva Si el sistema AX B tiee ecuacioes y icógitas, A es ua matriz cuadrada de orde. Y si el rago de A, r(a), etoces r(a; B) tambié es, A es ivertible y la úica solució del sistema la podemos ecotrar a través de la iversa de A: X A E las codicioes ateriores, por qué o es solució del sistema? x x x Usado la iversa de la matriz del sistema, x x 9 6x 5x 4x 4x B Algebra Lieal - I. Arratia Z. 68

69 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 69 Resolució de sistemas o homogéeos Ejemplo : z 6y x z 4y x (A;B) E este caso, r(a) r(a; B) y el sistema es compatible. Como N de icógitas, el sistema tiee ifiitas solucioes; las buscamos e: z y z x λ R λ );,, ( ),, ( Solucioes:

70 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7 Ejemplo : Estudiemos la compatibilidad del sistema c x 5x b x x x a x x x c b a a b 5 a c 5 a b 5 a c 5 b a (A; B) Por lo tato, el rago de A es. El sistema será compatible si y sólo si r(a; B), lo que equivale a que a, b, c debe cumplir, a b c

71 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7 Ejemplo : Determiemos los valores reales de m de maera que el sistema: i) Tega solució úica ii) Posea múltiples solucioes iii) Sea icompatible mx x x x mx x x x m ) ( ) (m m m m m m m B) (A;

72 i) Para cualquier úmero real m, m, r(a) r(a; B) y el sistema tiee solució úica. E este caso, ( m ) ( A; B) m m ( m ) ( m ) m ( ) Y la solució es: S,, -, m m - m - ii) Si m, ( A; B), r(a) r(a; B) y el sistema tiee múltiples solucioes que se expresa: (, -, ) λ (-,, ) ; λ R iii) Para igú úmero real m, el sistema es icompatible. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7

73 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7 Ejercicio: Aalice las solucioes del sistema depediedo de los valores que tome el úmero real a. x x x ax x x ax x x ax x x Ejercicio: Resuelva el sistema Para todos los valores reales de k para los cuales existe múltiples solucioes. Para algú valor de k, el sistema resulta ser icompatible? k kx kx x k kx kx x x x x

74 Problema: Ua persoa ivierte US$. e tres diferetes egocios que proporcioa utilidades del 5%, 6% y 8% respectivamete. La gaacia aual total de las tres iversioes es US$.66. Determie la catidad depositada e cada egocio si se sabe que la utilidad del egocio al 8% es igual a dos veces la gaacia que deja el egocio al 5%. Determie la catidad depositada e cada egocio si se sabe que la utilidad del egocio al 8% es igual a dos veces la gaacia que deja el egocio al 5%. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 74

75 La Regla de Cramer La Regla de Cramer os proporcioa u método para resolver ciertos sistemas de ecuacioes lieales co icógitas. Sea A matriz de orde y cosideremos el sistema de ecuacioes lieales AX B. Si det (A), etoces A es ivertible y la úica solució del sistema es X A B. La Regla de Cramer os etrega otra maera de hallar esta úica solució de AX B a través de los determiates; asegura que, x i i, i,,....., dode det( A ) y i es el determiate de la matriz que se obtiee al sustituir la i-ésima columa de A por la columa B de térmios costates. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 75

76 Ejemplo: Resolvamos el sistema x x x mx x x x mx para todos los valores de m que hace que este sistema tega solució úica. E este caso m m (m ) Luego m R {}, det(a) y el sistema tiee solució úica. Calculemos la solució: Algebra Lieal - I. Arratia Z. 76

77 x m m (m ) (m ) (m ) x m (m ) (m ) (m ) m x m (m ) (m ) (m ) m - m - m - Solució: S (,, ), m Algebra Lieal - I. Arratia Z. 77

78 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 78 Problema: Supoga que dos productos A y B compite y que las demadas de estos productos está relacioadas co sus precios por las ecuacioes de demada: Las ecuacioes de la oferta so: que idica los precios a los cuales las catidades estará dispoibles e el mercado. E el puto de equilibrio del mercado las cuatro ecuacioes debe satisfacerse. Calcule los valores de equilibrio de Q y Q B A p y p B A B A B B A A p p - 7 Q, p p - 7 Q B 4 A B B A A Q Q p, Q Q p. p y p, Q, Q B A B A

79 Sistemas lieales y factorizació LU Cosideremos el sistema AX B, dode A es ua matriz de orde que admite ua descomposició LU. Si AX B tiee solució úica, ésta se puede obteer de la maera que se idica a cotiuació: AX B LU X B LY B, co Y UX Ejemplo: Resolvamos el sistema x x x x4 x x x x4 x 4x x x 4x x x4 4 7 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 79

80 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8 La matriz A del sistema admite ua factorizació LU así: A L U Resolvemos LY B, 7 y y y y y y 4 y y y Y

81 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8 Fialmete, resolvemos U X Y, x 9 x 4x x x x x x x X Solució del sistema

82 Espacios vectoriales Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8

83 E el estudio de las matrices y, e particular, de los sistemas de ecuacioes lieales realizamos sumas y multiplicació por escalares co u tipo especial de matrices, las de orde x. Abusado del leguaje y la otació establecimos la correspodecia: x x x.... (x, x,...., x ) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8

84 Es decir, aceptamos que Mx ( R) R, co el fi de aprovechar la familiaridad que se tiee co los espacios R y R. E este capítulo estudiaremos cojutos que posee propiedades algebraicas similares a R. A dichos cojutos se les dará el ombre de espacios vectoriales y a sus elemetos el ombre de vectores. κ E lo que sigue desigará al cuerpo de los úmeros reales o al cuerpo C de los úmeros complejos. R Algebra Lieal - I. Arratia Z. 84

85 Espacios y subespacios vectoriales U espacio vectorial sobre el cuerpo es u cojuto de objetos V co dos operacioes: () : V x V V ; (u, v) u v que es asociativa, comutativa, posee elemeto eutro (cero) y cada elemeto posee u iverso. () p: x V V ; ( α, v) que satisface lo siguiete: i) ii) iii) κ iv) α( βv) ( α β)v ( αβ)v ; αv βv; α, β κ; α, β κ; v α v α(u v) αu αv; α κ; u, v V v v; v V, co elemeto uidad de κ Algebra Lieal - I. Arratia Z. 85 κ V v V

86 La operació () es itera e V; se llama suma o adició. La operació () es extera y se llama multiplicació por escalar o poderació. Los elemetos de V se llama vectores y los de escalares. Si κ R, se dice que V es u espacio vectorial real. Si κ C, el espacio vectorial V se dice complejo. E cualquier espacio vectorial V sobre se tiee que: a) b) c) d) v α v α (-) v,, v, v V α κ ( α v V v κ ) κ Algebra Lieal - I. Arratia Z. 86

87 Ejemplos de espacios vectoriales () Para úmero atural, sea ( veces), es decir, R R (x,..., x R R.... R {(x,..., x ) / x i R, i,..., } co las operacioes siguietes: ) (a α (x,..., a,..., x ) (x ) ( α x es u espacio vectorial real. a,..., x,..., α x a ) ), α R E cosecuecia, R es u espacio vectorial sobre sí mismo. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 87

88 El espacio vectorial real R Algebra Lieal - I. Arratia Z. 88

89 El espacio vectorial real R Algebra Lieal - I. Arratia Z. 89

90 Suma e R Poderació e R Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9

91 R () No sólo es u espacio vectorial sobre. Si IK es u cuerpo, IK es u espacio vectorial sobre si mismo. E este caso, la poderació coicide co la multiplicació del cuerpo IK. E cosecuecia, C (úmeros complejos) es u espacio vectorial complejo. Pero C tambié es u espacio vectorial real si se cosidera la poderació: α (a bi ) αa αbi, α R () Para m, IN, el cojuto M mx ( R ) de las matrices reales de orde mx, co las operacioes suma y multiplicació habituales de las matrices, es u espacio vectorial real. (4) El cojuto R[x] de los poliomios e x co coeficietes reales, co las operacioes suma y poderació usuales, es u espacio vectorial sobre. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9 R R

92 (5) Para úmero atural, deotemos por [x] P {p(x) R[x] / p(x) grado } P [x], co las operacioes suma y multiplicació por escalares reales, es u espacio vectorial real. (6) Si A R, el cojuto F(A, R) { f :A R / fució }, co la suma y poderació usuales de las fucioes, es u espacio vectorial sobre. R de Cuál es el elemeto cero de los siguietes espacios vectoriales reales? R, M mx ( R ), P [x] y F(A, R) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9

93 Los siguietes cojutos, co las operacioes suma y poderació habituales de los respectivos espacios, o so espacios vectoriales reales. A { (x, y) R / y x } B C D { a 5x { A M P [x] / a R } ( R ) / det(a) { f F( R, R ) / f creciete } e R } Ejercicio: Demuestre que los cojutos A, B, C y D mecioados ateriormete, o so espacios vectoriales reales. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9

94 Cuado u subcojuto W de u espacio vectorial V sobre el cuerpo κ, co las operacioes de V restrigidas a sus elemetos, resulta ser u espacio vectorial sobre κ, etoces se dice que W es u subespacio vectorial (o subespacio lieal o simplemete subespacio) de V. Por lo tato, W es u subespacio de V O equivaletemete, V W W V W o es subespacio de V Algebra Lieal - I. Arratia Z. 94

95 El siguiete teorema caracteriza a los subespacios de V. Teorema: Sea V u espacio vectorial sobre y W u subcojuto o vacío de V. W es u subespacio de V si y sólo si i) u, v W u v W ii) α κ, u W αu W κ Del teorema aterior sigue que, si V es u espacio vectorial sobre κ, etoces V y { } so subespacios vectoriales de V. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 95

96 Ejemplo: El cojuto D { (x, y) R / y x } o es u subespacio de R pues, por ejemplo, u (, 4) D, v (, 9) D y u v (5, ) D. Ejemplo: El cojuto W {(x, y, u subespacio de R ; e efecto, Algebra Lieal - I. Arratia Z. 96 z) R / x - z } W { (x, y, x) / x, y R } y se tiee que, i) (,, ) W y W ii) (x, y, x) (a, b, a) (x a, y b, (x a)) W iii) α( x, y, x) ( αx, αy, αx) W E virtud del teorema euciado ateriormete, W es u subespacio de R. es

97 Ejemplo: El cojuto U { A M ( R ) / A es simétrica} es u subespacio de M ( R ) ; efectivamete, i) O U; puesto que la matriz ula es simétrica. Luego U i) A, B U (A t A B t B ) (A B) t A t B t A B A B U ii) ( α R A U) ( α A) t α A t α A α A U Por lo tato, W es u subespacio de M ( R ). Algebra Lieal - I. Arratia Z. 97

98 Ejercicio: Muestre ejemplos de cojutos que sea subespacios de R y cojutos que o sea subespacios de R. Ejercicio: Demuestre que los siguietes cojutos so subespacios del respectivo espacio. S S S S 4 { (x, { a a c y) bx b d R c x M / y { (x, y, z, t) R P 4 ( R) / x [x] / 4x } / y a a 4t b - c d } y c - z t - b } Algebra Lieal - I. Arratia Z. 98

99 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 99 Teorema: Sea V u espacio vectorial sobre y sea U y W subespacios de V. Etoces es u subespacio de V. κ U W Efectivamete, como V perteece a U y tambié a W, Además si u, v so vectores de, W. U V W U W U u W u U u W u U u, y W U u α α α α κ W U v u W v u U v u W v U v V u U u Fialmete, si

100 Es posible demostrar que la itersecció de cualquier colecció de subespacios de u espacio vectorial V es u subespacio de V. Tambié es fácil mostrar que la uió de dos subespacios de u espacio vectorial V o es u subespacio de V. Por ejemplo, cosidere los subespacios de R : U { (x, y) / y x } W { (x, y) / y x } Etoces U U W o es u subespacio de R. Por qué? Algebra Lieal - I. Arratia Z.

101 Combiacioes lieales - geeradores Sea V es u espacio vectorial sobre y S {v,..., v } u cojuto de vectores de V. Ua combiació lieal de vectores de S (o de v,..., v ) es u vector de la forma v α v... αv, dode α...., α., κ Por ejemplo, el vector v (-, -, 7) del espacio R es combiació lieal de los vectores s (, -4, ) y t (-, 5, -) puesto que v s t. κ Algebra Lieal - I. Arratia Z.

102 El cojuto de todas las combiacioes lieales de vectores de S resulta ser u subespacio vectorial de V; se llama espacio geerado por S (o espacio geerado por v,..., v ) y se deota <S> o < v,..., v } >. { Ejemplo: Determiemos el subespacio geerado por los vectores v (,, ) y v (, -, ) de : < { v, R v } > { αv { ( α, - β, α β) / α, β R } { (x, y, βv z) R / α, β R } { α(,, ) β(, -, ) / α, β R } / z x - y } Algebra Lieal - I. Arratia Z.

103 Ejemplo: Sea S { - 5x x, - x x } P [x] El vector p(x) - 4x 5x perteece a < S >? La preguta equivale a existe α( - 5x x ) β(- x x α, β R ) tales que - 4x - 5x? Esta igualdad os coduce a α β 5α β 4 α β 5 Sistema que resulta icompatible y, e cosecuecia, p <S> Algebra Lieal - I. Arratia Z.

104 V o F Ejercicio: Determie si las siguietes afirmacioes, relativas a u espacio vectorial V, so verdaderas o falsas: A) B) C) D) < S >, S V k,...,, vk < {v,..., v S T < S > < T > < S > < T > S T } > Si V es u espacio vectorial y S es u subcojuto de V, puede ocurrir que < S > V; e este caso se dice que S geera a V o que V está geerado por S. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

105 Ejemplo: Cosideremos los vectores de R, e (,, ), e (,, ) y e (,, ). Etoces { e, e, e } geera al espacio R ; e efecto, < { e, e, e } > {a(,, ) b(,, ) c(,,) / a,b,c R} {(a,b,c) / a,b,c R} R Putos e el espacio R Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

106 R está geerado por e R está geerado por e (, ), e (, ) P [x] está geerado por {, x, x } puesto que a bx cx a b x c x Cuáles so los geeradores aturales de M ( )? R Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6

107 4 Depedecia lieal E R, cosideremos los vectores u (,, -, ), v (,,, -) y w (, -, -, ). Etoces, < {u, v, w} > {( α γ, β γ, - α γ, - β γ ) / α, β, γ R } {(a, b, c, d) / a c y b d } Por otra parte, < {u, v} > {( α, β, - α, - β) / α, β R } {(a, b, c, d) / a c y b d ] Es decir, < {u, v, w} > < {u, v} >. Este hecho o es casual, se deriva de la depedecia lieal que existe etre u, v, w que, e este caso, sigifica w u v. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7

108 S { v Sea V espacio vectorial sobre y,..., v } u cojuto de vectores de V. Se dice que S es liealmete depediete (l.d.) si existe escalares α,..., α o todos ulos tales que α v... α v κ Si S o es l.d., se dice que S es liealmete idepediete (l.i.). Por lo tato S es l. i. si α v... α v α, i,..., i Por ejemplo, los vectores e, e, e de R so l. i. demuéstrelo! Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8

109 Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9 E, E, E, E 4 Sea e i el vector de que tiee todas sus compoetes iguales a cero, excepto la i-ésima que es uo. Etoces el cojuto de vectores {e,...,e }, además de geerar a, es u cojuto l. i. R R El cojuto {, x, x } de geeradores de P [x] es u cojuto l. i. Los vectores geera al espacio M ( ) y so l. i. R Ejercicio: Demuestre las afirmacioes hechas ates.

110 Ejercicio: Determie si los siguietes cojutos so l. i. S { (,, ), (,, ), (,, ) } R S S S 4 { (, {, x - ), - x, (-,,, x ), x, (-,, - -, ) x } } 4 4 R P M [x] ( R ) Ejercicio: Sea V espacio vectorial sobre, u y v vectores de V. a) Bajo que codicioes { v } es l. i.? b) Bajo que codicioes { u, v } es l.d.? κ Algebra Lieal - I. Arratia Z.

111 Ejercicio: Sea V espacio vectorial sobre. Demuestre que: a) S S l. d b) c) ( S T ( S T T S l.i.) l.d.) S l.i. T l.d. Ejercicio: Supoga que { v, v, v } es u cojuto liealmete idepediete de vectores de u espacio vectorial V. Demuestre que {v v v, v v, v v } es tambié u cojuto liealmete idepediete de V. κ Algebra Lieal - I. Arratia Z.

112 Base - dimesió Sea V u espacio vectorial sobre el cuerpo. Ua base de V es u cojuto B de vectores de V que es liealmete idepediete y geerador de V. Por ejemplo, para cada IN el cojuto B { e,...., e } de vectores de R, es ua base de R ; se llama base caóica (o usual) de R. Los cojutos B {, x, x } B,,, so las bases caóicas de [x] y M ( ) respectivamete. P R Algebra Lieal - I. Arratia Z. κ

113 Todo espacio vectorial tiee ua base? Si u espacio vectorial posee u cojuto fiito de geeradores S, S {}, etoces S cotiee a ua base de V. Para demostrar este hecho cosideremos S {v,..., v m }. (*) Si S es l.i., etoces S es base de V. Si S o es l.i., alguo de los vectores de S, llamemos v i depede liealmete de los demás y el cojuto S () S {v i } sigue geerado a V. Y volvemos a (*) pero ahora co S (). Repitiedo este proceso llegamos a obteer ua base de V que, al meos, tedrá u solo vector o ulo. Algebra Lieal - I. Arratia Z.

114 Cada espacio vectorial tiee ua úica base? No, por ejemplo, sea B el cojuto de vectores de B {(-,, ), (,, ), (,, )} R i) Demostremos que B es liealmete idepediete. Sea α, β, γ R tales que α(,, ) β(,, ) γ(,,) (,, ) α β γ α β γ β γ Luego B es l. i. Sistema que tiee solució úica α, β, γ Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

115 ii) Demostremos que B geera a R. Sea ( a, b, c) R y α, β, γ R tales que α(,, ) β(,, ) γ(,, ) (a, b, c) α β α β β γ b γ c Sistema que tiee solució úica E cosecuecia, γ a α a b c β a b - c γ a - 4b 7c (-a-bc)(-,, ) (ab-c)(,, ) (-a-4b7c)(,, ) (a, b, c) Luego B geera a R y B es ua base de R. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

116 Ejercicio: Determie si los cojutos S, S base del espacio P [x]. S { x x, x, - x x } S { x, - x, x } so Ejercicio: Supoga que { v, v, v } es ua base de u espacio vectorial V. Demuestre que {v v v, v v, v 4v 6v } tambié es ua base de V. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6

117 U espacio vectorial V sobre puede teer múltiples bases, pero se puede demostrar que todas ellas, cuado so fiitas, tiee el mismo úmero de elemetos (la misma cardialidad). Este hecho os permite etregar el siguiete cocepto: κ Si V es u espacio vectorial sobre que tiee ua base B co vectores, etoces se dice que V es u espacio de dimesió fiita y el úmero etero se llama dimesió de V. κ Si V tiee dimesió, aotaremos dim K V dim V, si o hay lugar a cofusió. o Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7

118 E cosecuecia, dim R, dim dim P [x], dim M ( R) 4, R dim P dim M [x] m ( R) m Cuál es la dimesió del espacio {} El espacio V {} o posee base, si embargo se le asiga la dimesió cero: dim {} Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8

119 Ejemplo: Determiemos la dimesió del subespacio de P [x], W { a bx cx / a b 4c } Se tiee que W {a bx cx { a (a 4c)x cx { a( x) c(4x x < { x, 4x x / b a 4c } } > / a, c R } ) / a, c R } Siedo B { x, 4x x } u cojuto geerador de W y liealmete idepediete, puesto que B tiee dos vectores y uo o es múltiplo escalar del otro, B es ua base de W; luego dim W. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9

120 Observacioes: ) La dimesió del espacio vectorial real C de los úmeros complejos es. Pero si cosideramos a C como espacio vectorial sobre si mismo, etoces C es u espacio de dimesió. Justifique esta afirmació. ) Existe espacios vectoriales que o posee ua base fiita. Dichos espacios se dice de dimesió ifiita; por ejemplo, el espacio vectorial real C([a, b]; R ), de todas las fucioes reales cotiuas e [a, b] tiee dimesió ifiita. Muestre otro ejemplo de u espacio vectorial de dimesió ifiita. Algebra Lieal - I. Arratia Z.

121 Sea V u espacio vectorial sobre de dimesió fiita. La demostració de los siguietes teoremas queda de ejercicio.. Si S {v,...., v m } V, co m >, etoces S es l.d.. Si B {v,...., v } V es l. i., etoces B es base de V.. Si B {v,...., v } V es geerador de V, etoces B es base de V. 4. Si W es u subespacio de V, etoces dimw 5. Si W es u subespacio de V tal que dim W, etoces V W. κ Algebra Lieal - I. Arratia Z.

122 E u espacio vectorial V de dimesió fiita, u cojuto liealmete idepediete de vectores de V puede completarse hasta formar ua base de V. Teorema (Completació de base) Sea V espacio vectorial sobre κ de dimesió fiita. Si { v,..., vk } V, co k <, es u cojuto liealmete idepediete, etoces existe vectores vk,..., v V tales que { v,..., vk, vk,..., v} es base de V. Ejercicio: Demuestre el teorema precedete. Algebra Lieal - I. Arratia Z.

123 Ejercicio: Cosidere el subespacio de M (R), a b W / a - b c - 4d a b - d c d a) Determie ua base S para W. b) Ecuetre ua base B de M (R) que cotega a la base S de W. Ejercicio: Determie todos los valores del úmero k de modo que el cojuto B { (,, -), (, k, k), (4, k, )} sea ua base de R. Algebra Lieal - I. Arratia Z.

124 El siguiete teorema os proporcioa otra caracterizació para las bases de u espacio vectorial de dimesió fiita. Teorema: Sea V espacio vectorial sobre y sea B {v,...., v } cojuto de vectores de V. B es base de V todo vector v de V se escribe de ua úica maera como combiació lieal de los vectores de B. Ejercicio: Demuestre el teorema precedete. κ Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

125 El teorema precedete asegura que para cada v V existe úicos escalares α,..., α κ tales que v α v..... α v Estos escalares recibe el ombre de coordeadas del vector v co respecto a la base (ordeada) B y se deota v] ( α,....., α ) [ B Observe que [v] B es u vector de. Por esta razó, muchas veces es llamado vector coordeado. κ Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

126 Ejemplo: Las coordeadas del vector v (6, -5) co respecto a la base caóica E {(, ), (, )} de R so [ v] E (6, Cuáles so las coordeadas de v (6, -5) co respecto a la base ordeada B {(5, - ), (, -)}? α, Debemos resolver para la ecuació - β R 5) α( 5, - ) β(, -) (6, es decir, 5α β 6 - α β - 5-5) R De aquí, [ v] B (4, - 7) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6

127 Ejemplo: Sea v R tal que [ v] B (, -, ), dode B es la base ordeada B {(, -, ), (,, -), (,, -)}. Cuál es el vector v? Determiemos [ v ] C, dode C es la base C {(,, ), (,, ), (,, 4)}. El vector es v (, -, ) -(,, -) (,, -) (6,, ) Determiemos α, β, α β 4γ Obteemos [ v ] C (5,, -) γ R tales que α(,,) β(,, ) γ(,, 4) (6,, ) Esto requiere resolver el sistema compatible α β γ 6 β γ Algebra Lieal - I. Arratia Z. 7

128 Ejemplo: Cosideremos la base ordeada de P [x] B { x, x, x } Determiemos las coordeadas del vector p (x) 4 5x - x co respecto a la base B, esto es, ecotremos tales que α, β, γ R α( x ) β( x) γ( x ) 4 5x x Reordeado e igualado poliomios obteemos el sistema: α β γ 4 β 5 α γ - cuya solució os coduce a [ p(x)] B (, 5, - ) Algebra Lieal - I. Arratia Z. 8

129 Sea V espacio vectorial sobre y B ua base ordeada de V. Etoces, κ () () [v [ α v] u] B B α [v] [v] B B, [u ] v B, V, v, u α V κ Ejercicio: Sea B { v, v, v } ua base ordeada de R. Determie los vectores de B si se sabe que (-,, ), (, -, ) y (, -, ) so las respectivas coordeadas, segú la base B, de los vectores e, e, e de la base caóica de R. Algebra Lieal - I. Arratia Z. 9

130 Suma y Suma directa Sea V u espacio vectorial sobre y sea U, W dos subespacios de V. Ya mecioamos que la uió de U y W o es, ecesariamete, u subespacio de V. Defiiremos U W, la suma de U y W; esta resultará ser u subespacio de V que cotedrá a ambos subespacios. κ La suma de U y W es: U W { v V / v u w, u U, w W } Algebra Lieal - I. Arratia Z.

131 Se tiee que: i) V, co U y W ii) Si v u w y v u w so vectores de U W, etoces v v (u u ) (w w ) U W. iii) Si α κ, etoces αv αu αw U W Por lo tato U W es u subespacio de V. Además se puede establecer que: () () () U U W Si U S y W dim(u W) dimu y W U W T, etoces dim W - U W dim(u W) S T Algebra Lieal - I. Arratia Z.

132 Puede suceder que dim(u W) dim V, es decir, V U W. Por ejemplo, R U W dode U {(, ), (, )} y W {(, )} E efecto, es claro que U W R Por otra parte, si ( x, y) R, etoces (x, y) (, y - x ) (x, x ) U W Si V U W, los vectores de V o ecesariamete se escribe de maera úica como ua suma de u vector de U y u vector de W. E el ejemplo aterior, (, ) (, ) (, ) (, ) -6(, ) (, ) Algebra Lieal - I. Arratia Z.

133 Observe que: V U W v V, u U, w W: v u w Sea V u espacio vectorial sobre y sea U, W dos subespacios de V. Se dice que V es la suma directa de U y W, e cuyo caso se aota V U W si κ v V,!u U,! w W: v u w Ejercicio: Sea U < {(, )} > y W < {(, )} > subespacios de R. Demuestre que R directa de U y W. es suma Algebra Lieal - I. Arratia Z.

134 Ua caracterizació útil de la suma directa la etrega el siguiete teorema: Teorema: Sea V u espacio vectorial sobre y sea U, W dos subespacios de V. V U W (V U W U W {}) Ejercicio: Demuestre el teorema precedete. Cosecuecia del teorema aterior es la siguiete: Si V es u espacio vectorial de dimesió fiita y V U W, etoces dim V dim U dim W. κ Algebra Lieal - I. Arratia Z. 4

135 Ejercicio: Cosidere los subespacios de R U { (x, y, z) : x y z } U < { (,, ) } > Demuestre que R es suma directa de U y U. Ejercicio: Sea S y S los subespacios de M ( R) S { A M ( R) / A diagoal a b S M( R) / d c d Es M (R) suma directa de S y S? } Algebra Lieal - I. Arratia Z. 5

136 Dado u subespacio U de V, existe u suplemetario de U? Es decir, existe u subespacio W de V tal que V U W. Teorema: Sea V u espacio vectorial sobre de dimesió fiita y sea U subespacio de V. Etoces existe W subespacio de V tal que V U W. E efecto, si U V, basta tomar W {}. Supogamos que dim U k < y sea { v,..., v k } ua base de U. Por el teorema completació de base, existe v k,..., v vectores de V tales que { v,...., v } es base de V. Sea W { v k,..., v } ; etoces V U W. κ Algebra Lieal - I. Arratia Z. 6