Análisis del caso promedio El plan:

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1 Aálisis del caso promedio El pla: Probabilidad Aálisis probabilista Árboles biarios de búsqueda costruidos aleatoriamete Tries, árboles digitales de búsqueda y Patricia Listas skip Árboles aleatorizados Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 09

2 Abb s costruidos aleatoriamete Recordar árbol biario de búsqueda (abb): La clave de todo odo es mayor o igual que las de sus descedietes si izquierdos y meor que las de sus descedietes derechos. a su Las operacioes básicas (búsqueda, iserció, borrado ) tiee u ama si coste O(h), dode h es la altura del árbol. al eso La altura de u abb varía co las isercioes y borrados y, e el peor caso, puede llegar a ser igual al úmero de odos, O(). Qué ocurrirá e u caso promedio? Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 0

3 Abb s costruidos aleatoriamete Abb de odos costruido aleatoriamete: Es el resultate tras la iserció cosecutiva de claves e orde aleatorio e u árbol vacío, supoiedo que las! permutacioes posibles de las claves so equiprobables. La preguta: cuál es el coste promedio de las operacioes co estos árboles?, es decir, cuál es la altura media de estos árboles? La respuesta o es trivial iremos por partes! Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos

4 Abb s costruidos aleatoriamete Logitud de los camios iteros y exteros de u árbol biario Defiició. Árbol biario extedido: el resultate de añadir u odo a especial e el lugar de cada subárbol vacío. Defiició. Logitud de al camios exteros, E: es la suma de las logitudes de todos los camios desde la raíz hasta las hojas,. ama Defiició. Logitud de camios iteros, : es la suma de las logitudes de todos los camios desde la raíz hasta todos los odos iteros,. eso si si su E = 6 = Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos

5 Abb s costruidos aleatoriamete Teorema: E = +, dode es el úmero de odos iteros. Demostració: supogamos que se borra u odo itero V a distacia k de la raíz y tal que sus dos hijos so hojas. E tal caso, E dismiuye e (k+), porque los hijos de V desaparece, y aumeta e k, porque V pasa a ser hoja, luego E se covierte e E-k-. Por otra parte, dismiuye e k. Por tato, E- dismiuye e por cada odo que se borra. Borrado los odos se llega a u árbol vacío, es decir co E = = E- = 0, por tato, E- =. Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 3

6 Abb s costruidos aleatoriamete Notació y relació fudametal: C : úmero medio de comparacioes e ua búsqueda co éxito e u árbol de odos costruido aleatoriamete, supoiedo que la búsqueda de toda clave es equiprobable. C ': úmero medio de comparacioes e ua búsqueda si éxito, supoiedo que cada uo de los + itervalos etre las claves y fuera de sus valores extremos so equiprobables. Etoces: C = + / y C ' = E/(+) Por tato (E = + ): C C Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 4

7 Fialmete Abb s costruidos aleatoriamete El úmero de comparacioes ecesarias para ecotrar ua clave es exactamete uo más que el úmero de comparacioes que se ecesitaba cuado esta clave o estaba e el árbol, por tato: C Supogamos que cada ua de las! ordeacioes posibles de las claves es ua secuecia de iserció igualmete probable para costruir el árbol C 0 C C que uido a C C os da la recurrecia: (+)C ' = + C 0 ' + C ' + + C - ' Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 5

8 Abb s costruidos aleatoriamete Para resolver (+)C ' = + C 0 ' + C ' + + C - ' se resta C - ' = (-) + C 0 ' + C ' + + C - ' y se obtiee (+)C ' - C - ' = + C - ' es decir C ' = C - ' + /(+) y como C 0 ' = 0, etoces C ' = H + dode H es la serie armóica Aplicado H y simplificado: C C i i l O() C H 3 O(log ) Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 6

9 Abb s costruidos aleatoriamete El aterior es u bue resultado, pero Si u abb se costruye aleatoriamete y se somete después a ua secuecia de isercioes aleatorias y de borrados aleatorios, el árbol resultate pierde la aleatoriedad, co lo que se carece de resultados teóricos sobre el coste promedio de las operacioes. No obstate, la evidecia empírica sugiere que tras ua secuecia de borrados e isercioes aleatorios, la altura del árbol tiede a dismiuir, si bie o he ecotrado e la literatura la explicació teórica de este comportamieto. Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 7

10 Abb s costruidos aleatoriamete Otra defiició de abb s elegidos al azar : Hipótesis de equiprobabilidad de todos los abb s posibles de odos. Primera cuestió: ver que ésta es ua defiició de abb aleatorio distita a la aterior. Hay 5 abb s distitos de 3 odos (supoer < < ), por tato cada uo tiee probabilidad /5: a a3 Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 8

11 Abb s costruidos aleatoriamete Si embargo, costruyédolos a partir de las permutacioes posibles de,, sale 6, cada uo co probabilidad /6: a a3 Es decir, éste árbol tiee el doble de probabilidad que los otros! (/3) Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 9

12 Abb s costruidos aleatoriamete Cálculo de la profudidad media de u odo e u abb de odos elegido al azar: Recordar: logitud de camios iteros,, de u árbol de odos (suma de las logitudes de todos los camios desde la raíz hasta todos los odos iteros). = 0 U árbol de odos tiee u subárbol izquierdo co i odos (para algú 0 i < ) y u subárbol derecho co -i- odos, por tato: = i + -i- + - Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 0

13 Abb s costruidos aleatoriamete Hipótesis adicioal: el úmero de odos de u subárbol (izquierdo o derecho) de u abb de odos elegido al azar es equiprobable para todos los valores posibles (de 0 a -), por tato: E[ i ] E[ i] j j0 promedio de la logitud itera del subárbol izquierdo Y aplicádolo a la recurrecia aterior (se omite el operador esperaza por comodidad), se obtiee la recurrecia: j0 j Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos

14 Abb s costruidos aleatoriamete Resolució de: Multiplicado por : j0 j0 j j Y por tato: ( ) j ( ) ( ) j0 Restado ambas: ( ) Es decir: ( ) Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos

15 Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 3 Abb s costruidos aleatoriamete Y para resolver esta ueva recurrecia: Dividiedo por (+) y despreciado la costate: Luego: ) ( sumado : i i

16 Abb s costruidos aleatoriamete Fialmete, como i3 i O(log ) (serie armóica) Se sigue que O( log ) Y como es la suma de las logitudes de todos los camios desde la raíz hasta todos los odos iteros, etoces la profudidad media de cada odo es O(log ). Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 4

17 Abb s costruidos aleatoriamete De uevo, al aterior es u bue resultado pero El efecto de las operacioes de borrado destruye la aleatoriedad. No he ecotrado e la literatura resultados teóricos sobre el coste promedio resultate cosiderado secuecias de operacioes de iserció y borrado. Abb de 500 odos Profudidad media: 9 98 Tras pares de operacioes de iserció y borrado. Profudidad media: 5 Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 5

18 Abb s costruidos aleatoriamete Para evitar el crecimieto de la altura del árbol hay dos tipos de solucioes: Realizar algua operació de equilibrado del árbol tras cada iserció/borrado (árboles AVL, árboles -3, árboles B, árboles rojiegros). Reuciar a u equilibrado ta estricto y aplicar algua regla de re-estructuració que ayude a que las futuras secuecias de operacioes sea más eficietes (aálisis amortizado, lo veremos más adelate). Este tipo de estructuras se llama auto-orgaizativas (listas auto-orgaizativas, árboles auto-orgaizativos o splay trees ). Técicas Avazadas de Programació - Javier Campos 6

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