Traslación de puntos
|
|
- Montserrat Silva Cárdenas
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que cambia o desplaza una figura se conoce como una transformación. En esta lección eplorarás un tipo de transformación. Investigación: Figuras en movimiento Pasos 1 6 El triángulo siguiente tiene los vértices ( 1, 2), (1, 1), (, 1). Si sumas a cada coordenada, obtienes ( 1, ), (1, 2), (, 4). Si restas 2 de cada coordenada, obtienes ( 1, 0), (1, ), (, 1). Las cuadrículas siguientes muestran el triángulo original los triángulos cuos vértices son los puntos transformados. Suma a las coordenadas Resta 2 de las coordenadas Observa que sumar a las coordenadas desplaza el triángulo hacia arriba unidades que restar 2 de las coordenadas desplaza el triángulo hacia abajo 2 unidades. Ahora dibuja tu propio triángulo desplázalo sumando o restando un número de las coordenadas de los vértices. En cada cuadrícula del Paso 6 en la página 477 se muestra un triángulo original el triángulo que resulta de sumar un número a, o restar un número de las coordenadas de los vértices. Trata de determinar cuál número fue sumado o restado. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press
2 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 120 Lección 9.1 Traslación de puntos (continuación) Aquí están las respuestas del Paso 6. a. Se sumó. b. Se restó 4. c. Se restó. Pasos 7 1 Ahora, dibujarás desplazarás un polígono usando tu calculadora. Los vértices del cuadrilátero que se muestra en el Paso 7 son (1, 2), (2, 2), (, 1), ( 2, 1). Sigue el Paso 8 para introducir las coordenadas dibujar el cuadrilátero en tu calculadora. Define las listas L L4 de modo que L L1 L4 L2. De esa forma, L contiene las coordenadas originales menos, L4 contiene las coordenadas originales. Grafica un nuevo cuadrilátero usando L para las coordenadas L4 para las coordenadas. Los vértices del nuevo cuadrilátero son ( 2, 2), ( 1, 2), ( 6, 1), (, 1). Observa que restar de las coordenadas del cuadrilátero original lo desplaza unidades hacia la izquierda. Sigue los Pasos 9 10 al menos dos veces más, sumando un número diferente a, o restando un número diferente de las coordenadas cada vez. Debes encontrar que al sumar un número positivo a las coordenadas, la figura se desplaza hacia la derecha ese número de unidades, al restar un número positivo de las coordenadas, la figura se desplaza hacia la izquierda ese número de unidades. Ahora, supón que L L1 1 L4 L2. Esto hace que se reste 1 de las coordenadas originales se sume a las coordenadas originales, desplazando el cuadrilátero 1 unidad hacia la izquierda unidades hacia arriba, como se muestra a continuación. Cada ventana de graficación del Paso 12 muestra el cuadrilátero original un nuevo cuadrilátero transformado. Escribe definiciones para L L4 en términos de L1 L2, las cuales crearían el cuadrilátero transformado. Aquí se presentan las reglas correctas. a. L L1 6, L4 L2 b. L L1, L4 L2 c. L L1, L4 L2 Cuando transformas una figura, el resultado se conoce como la imagen de la figura original. Las transformaciones horizontales verticales, tales como las que eploraste en la investigación, se conocen como traslaciones. Puedes definir una traslación al describir la imagen de un punto general (, ). Por ejemplo, la traslación que desplaza una figura 4 unidades hacia la izquierda 2 unidades hacia arriba puede definirse como ( 4, 2). Ahora lee sigue el ejemplo en tu libro. 120 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press
3 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 121 LECCIÓN CONDENSADA 9.2 Traslación de gráficas En esta lección trasladarás la función del valor absoluto las funciones cuadráticas trasladarás una función eponencial aprenderás acerca de familias de funciones En la lección anterior trasladaste figuras en el plano de coordenadas. En esta lección aprenderás cómo trasladar funciones. Investigación: Traslación de funciones Pasos 1 6 Si sustitues por en la función del valor absoluto, obtienes. Puedes pensar en este proceso como encontrar f( ) cuando f(). Introduce en Y1 en Y2, grafica ambas funciones. Observa que la gráfica de es la gráfica de trasladada unidades hacia la derecha. El vértice de una gráfica del valor absoluto es el punto en donde la función cambia de decreciente a creciente, o de creciente a decreciente. El vértice de es (0, 0), el vértice de es (, 0). Entonces, el vértice de, como el resto de la gráfica, ha sido trasladado unidades hacia la derecha. La función ( 4) ó 4 traslada la gráfica de hacia la izquierda 4 unidades. Para obtener 4, sustitues por 4 en. Escribe una función para crear cada traslación de mostrada en el Paso 6. Usa tu calculadora para verificar tu trabajo. Debes obtener estos resultados. a. 2 b. c. Pasos 7 12 Ahora trasladarás a lo largo del eje. Si sustitues por en, obtienes ó (resolviendo para ). Aquí se presentan las gráficas de en los mismos ejes. Observa que la gráfica de es la gráfica de trasladada hacia arriba unidades. El vértice de es (0, ), que es el vértice de trasladado hacia arriba unidades. Si sustitues por ( ) ó en, obtienes ó. La gráfica de es la gráfica de trasladada hacia abajo unidades. Escribe una función para crear cada traslación de mostrada en el Paso 12. Usa tu calculadora para verificar tu trabajo. Debes obtener estos resultados. a. 2 b. 1 c. 4 (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press
4 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 122 Lección 9.2 Traslación de gráficas (continuación) Paso 1 Has visto que para trasladar la gráfica de horizontalmente, restas un número de en la función. Restar un número positivo traslada la gráfica hacia la derecha, restar un número negativo traslada la gráfica hacia la izquierda. Para trasladar una gráfica verticalmente, sumas un número a la función completa. Sumar un número positivo traslada la gráfica hacia arriba, sumar un número negativo traslada la gráfica hacia abajo. EJEMPLO Las mismas ideas que usaste para trasladar la función del valor absoluto pueden usarse para trasladar la función 2. Aquí está la gráfica de 2 ( 2) 2. Aquí está la gráfica de 2 2. Aquí está la gráfica de 2 ( ) 2 2. El vértice de una parábola es el punto donde la gráfica cambia de decreciente a creciente, o de creciente a decreciente. Los vértices de las parábolas anteriores son ( 2, 0), (0, ), (, 2). Observa que la coordenada del vértice es el valor restado de en la función que la coordenada es el valor sumado a la función completa. Las funciones 2 son ejemplos de funciones madres. Al transformar una función madre, puedes crear un número infinito de funciones de la misma familia de funciones. Por ejemplo, las funciones ( 2) son parte de la familia de funciones cuadráticas, que tienen 2 como la función madre. Ahora lee el Ejemplo B en tu libro, que te muestra cómo puedes trasladar una función eponencial. 122 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press
5 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 12 LECCIÓN CONDENSADA 9. Refleión de puntos gráficas En esta lección reflejarás polígonos a través de los ejes reflejarás gráficas de funciones a través de los ejes escribirás ecuaciones para las gráficas creadas al combinar transformaciones Has estudiado traslaciones transformaciones que deslizan una figura de manera horizontal o vertical. En esta lección aprenderás sobre transformaciones que voltean una figura a través de una recta. Investigación: Volteo de gráficas Pasos 1 El triángulo de la página 492 de tu libro tiene vértices (1, ), (, 1), (6, 2). La cuadrícula siguiente muestra el triángulo original el triángulo formado al cambiar el signo de la coordenada de cada vértice para obtener ( 1, ), (, 1), ( 6, 2). Cambiar los signos de las coordenadas voltea la figura a través del eje, creando un reflejo eacto del original. Si doblas la cuadrícula a lo largo del eje, verás que las dos imágenes se ajustan perfectamente. La cuadrícula siguiente muestra el triángulo original el triángulo formado al cambiar el signo de la coordenada de cada vértice, para obtener (1, ), (, 1), (6, 2). Cambiar los signos de las coordenadas voltea una figura a través del eje, creando un reflejo eacto del original. Si doblas la cuadrícula a lo largo del eje, verás que las dos imágenes se ajustan perfectamente. Cambias los signos de ambas coordenadas para obtener ( 1, ), (, 1), ( 6, 2). Esta transformación voltea la figura a través de un eje después a través del otro. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press
6 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 124 Lección 9. Refleión de puntos gráficas (continuación) Pasos 6 10 Si sustitues por de la función 2,obtienes 2. (Esto es lo mismo que hallar f( ) cuando f() 2.) Si graficas ambas funciones en tu calculadora, verás que la gráfica de 2 es la gráfica de 2 volteada a través del eje. Si sustitues por en 2,obtienes 2 ó (resolviendo para ) 2. (Esto es lo mismo que hallar f() cuando f() 2.) Si graficas ambas funciones en tu calculadora, verás que la gráfica de 2 es la gráfica de 2 volteada a través del eje. En cada función del Paso 9, sustitue por grafica la función original la nueva función. En cada caso, debes encontrar que la gráfica de la función original se voltea a través del eje para obtener la gráfica de la nueva función. (Observación: Debido a que la gráfica de es simétrica a lo largo del eje, se ve igual cuando se voltea a través del eje. Entonces, las gráficas de son idénticas.) En cada función del Paso 9, sustitue por grafica la función original la nueva función. En cada caso, debes encontrar que la gráfica de la función original se voltea a través del eje para obtener la gráfica de la nueva función. Una transformación que voltea una figura para crear un reflejo eacto se conoce como refleión. Como has descubierto en la investigación, un punto se refleja a través del eje cuando cambias el signo de su coordenada. Un punto se refleja a través del eje cuando cambias el signo de la coordenada. Igualmente, una función se refleja a través del eje cuando cambias el signo de, una función se refleja a través del eje cuando cambias el signo de. Lee el resto de la lección en tu libro. Lee el ejemplo con mucha atención. Allí se eplica cómo escribir ecuaciones de gráficas creadas al aplicar más de una transformación a la gráfica de una función madre. 124 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press
7 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 12 LECCIÓN CONDENSADA 9.4 Estiramiento encogimiento de gráficas En esta lección estirarás encogerás un cuadrilátero estirarás encogerás la gráfica de una función escribirás las ecuaciones de gráficas formadas al combinar transformaciones Has aprendido sobre transformaciones que deslizan una figura de manera horizontal o vertical que voltean una figura a través de una recta. En esta lección estudiarás una transformación que cambia la forma de una figura. Investigación: Cambio de la forma de una gráfica Pasos 1 Copia el cuadrilátero que se encuentra en la página 02 de tu libro, en un papel cuadriculado, o introduce las coordenadas en la lista L1 las coordenadas en la lista L2. Las coordenadas de los vértices son (1, ), (2, 1), (, 0), ( 2, 2). Multiplica la coordenada de cada vértice por 2, para obtener (1, 6), (2, 2), (, 0), ( 2, 4). En la misma cuadrícula que la figura original, traza un nuevo cuadrilátero con estos nuevos puntos como vértices; o sigue las instrucciones en tu libro para graficarlo en tu calculadora. Como puedes ver, multiplicar las coordenadas por 2 estira la figura de manera vertical. Los puntos que están encima del eje se mueven hacia arriba; los puntos que están debajo del eje se mueven hacia abajo. Los puntos que están sobre el eje se quedan fijos. 6 6 Ahora, multiplica las coordenadas de los vértices del cuadrilátero original por, por 0., por 2, traza los cuadriláteros resultantes. A continuación se muestran los resultados para Multiplica por 0. Multiplica por Multiplicar por 0. encoge la figura verticalmente a la mitad de su tamaño original. Multiplicar por 2 estira la figura verticalmente la voltea a través del eje. En general, multiplicar la coordenada de una figura por un número a estira la figura si a 1 la encoge si a 1 refleja la figura a través del eje si a 0 (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press
8 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 126 Lección 9.4 Estiramiento encogimiento de gráficas (continuación) Pasos 6 8 Grafica el triángulo que se muestra en el Paso 6 en tu calculadora, colocando las coordenadas en la lista L1 las coordenadas en la lista L2. Después, prognostica cómo las definiciones de las partes a b del Paso 7 transformarán el triángulo, usa tu calculadora para verificar tus respuestas. Aquí se presentan los resultados. a. La figura se encoge verticalmente a la mitad de su tamaño original se voltea a través del eje. b. La figura se estira verticalmente al doble de su tamaño original se traslada hacia abajo 2 unidades. En el Paso 8, escribe definiciones para las listas L L4 que crearían cada imagen. Aquí están las respuestas. a. L L1; L4 L2 b. L L1; L4 2 L2 Pasos 9 1 Introduce la ecuación f() 2 1 como Y1 grafícala en tu calculadora. Multiplica el lado derecho de la ecuación por 2 es decir, halla 2 f() e introduce el resultado, 2 2 1, como Y2. A continuación se presentan una gráfica una tabla de las dos funciones. En la tabla, observa que cada valor en la ecuación es el doble del correspondiente valor en 1 2. Esto ocasiona que la gráfica se estire. Los puntos de la gráfica de se ubican dos veces más lejos del eje que los puntos correspondientes de la gráfica de 2 1. Multiplicar por 2 ocasiona que los puntos que están por encima del eje se muevan hacia arriba que los puntos colocados debajo del eje se muevan hacia abajo. Repite el proceso anterior para 0. f(), f(), 2 f(). Debes encontrar lo siguiente: Multiplicar por 0. da valores que son la mitad de los valores correspondientes de en la función original, lo cual tiene como resultado un encogimiento vertical. Multiplicar por da valores que son veces los valores correspondientes de en la función original, lo cual tiene como resultado un estiramiento vertical. Multiplicar por 2 da valores que son 2 veces los correspondientes valores de en la función original, lo cual tiene como resultado un estiramiento vertical una refleión a través del eje. Observa las gráficas del Paso 1. Usa lo que has aprendido sobre el estiramiento el encogimiento de gráficas para escribir una ecuación para R() en términos de B(), una ecuación para B() en términos de R(). Debes obtener los resultados siguientes: a. R() B(); B() 1 R() b. R() 1 2 B(); B() 2 R() [,, 1, 16,, 1] Lee el resto de la lección, incluendo los ejemplos, con mucha atención. 126 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press
9 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 127 LECCIÓN CONDENSADA 9.6 Introducción a las funciones racionales En esta lección eplorarás transformaciones de la función madre 1 harás predicciones sobre la forma gráfica de una función racional, basándote en su ecuación En el Capítulo, aprendiste sobre la variación inversa. La ecuación más sencilla de variación inversa es 1. En la página 1 de tu libro, lee sobre 1 su gráfica. En esta lección verás cómo la función madre 1 puede audarte a entender muchas otras funciones. Investigación: Esto intentando ser racional Pasos 1 Grafica la función madre 1 en tu calculadora. Todas las funciones del Paso 2 son transformaciones de 1.Usa lo que has aprendido en este capítulo para predecir cómo la gráfica de cada función se comparará con la gráfica de 1. Las respuestas se muestran a continuación. a. Estiramiento vertical por un factor de b. Estiramiento vertical por un factor de refleión a través del eje 2 traslación unidades hacia arriba c. Traslación 2 unidades a d. Traslación 1 unidad a la izquierda la derecha 2 unidades hacia abajo Ahora, sin graficar, describe como se ve la gráfica de cada función del Paso 4. Usa las palabras lineal, no lineal, creciente, decreciente. Define el dominio el rango, ofrece ecuaciones para las asíntotas. A continuación se muestran unas respuestas posibles. La Gráfica a es un estiramiento vertical de 1 por un factor de, seguido por una traslación 4 unidades a la derecha; es no lineal decreciente; el dominio es 4 el rango es 0; ha asíntotas en 4 0. La Gráfica b es una refleión de 1 a través del eje, seguida por una traslación unidades a la izquierda unidades hacia abajo; es no lineal creciente; el dominio es el rango es ; ha asíntotas en. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press
10 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 128 Lección 9.6 Introducción a las funciones racionales (continuación) La Gráfica c es un estiramiento vertical de 1 por un factor de a (si a 0, la gráfica también se refleja a través del eje ), seguido por una traslación horizontal de h unidades una vertical de k unidades; es no lineal decreciente si a es positiva, no lineal creciente si a es negativa; el dominio es h el rango es k; ha asíntotas en h k. Funciones como 4 se conocen como funciones racionales porque implican las razones de dos epresiones. No todas las funciones racionales son transformaciones de 1,pero la gráfica de cualquier función racional comparte algunas similitudes con la gráfica de 1. Pasos 6 12 Grafica ( 2)( ) en tu calculadora. Compara esta gráfica con las gráficas de las funciones del Paso 2. Debes hallar que esta gráfica se parece 1 a la gráfica de. 2 Si rastreas la gráfica (con el comando trace), debes encontrar que eiste un hoo en. El hoo se presenta porque la función no se define en (el denominador es 0 en este valor). Sin embargo, para, 1 ( 2)( ) Entonces, ( 2)( ) es idéntica a 2 para es indefinida para. Ahora grafica la ecuación del Paso 9. Debes encontrar que tiene asíntotas verticales en 1 una asíntota horizontal en 4. En general, las siguientes son características de la gráfica de una función racional: Un hoo se presenta en h, cuando el factor ( h) eiste tanto en el numerador como en el denominador. Una asíntota vertical se presenta en h, si el factor ( h) eiste en el denominador, pero no en el numerador. Una asíntota horizontal se presenta en k, cuando k es la constante de la ecuación. Ahora lee el ejemplo en tu libro, que usa una función racional para modelar una situación real. 128 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press
11 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 129 LECCIÓN CONDENSADA 9.7 Transformaciones con matrices En esta lección relacionarás las traslaciones con la suma de matrices relacionarás las refleiones, los estiramientos, los encogimientos con la multiplicación de matrices En tu libro, lee el teto que precede la investigación, que eplica cómo usar una matriz para representar los vértices de una figura geométrica. Investigación: Transformaciones matriciales Pasos 1 6 La matriz [A] 4 2 representa un triángulo con los vértices ( 4, 1), (, 4), (2, 0) acada coordenada, lo cual traslada el triángulo Al sumar la matriz a la matriz [A], se suma unidades a la derecha: [A] En las partes a c del Paso, halla la suma matricial grafica el triángulo resultante. Debes encontrar que las sumas corresponden a las siguientes traslaciones del triángulo original. a. 4 unidades hacia abajo b. unidades a la derecha, 4 unidades hacia abajo c. 6 unidades a la izquierda, 4 unidades hacia arriba Ahora escribe unas ecuaciones matriciales para representar las traslaciones del Paso 6. Aquí se presentan las respuestas a b (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press
12 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 10 Lección 9.7 Transformaciones con matrices (continuación) Pasos 7 11 Copia el cuadrilátero de la página 21 en papel cuadriculado. La matriz [B] da las coordenadas de los vértices, junto con las coordenadas de un punto general, (, ) lo cual refleja el cuadrilátero a través del eje : El cálculo [B] multiplica cada coordenada por 1, Ahora, realiza las multiplicaciones del Paso 11 grafica los cuadriláteros resultantes. Debes obtener los siguientes resultados: a Las coordenadas son multiplicadas por 1. Esto refleja el cuadrilátero a través del eje Las coordenadas son multiplicadas por 0.. Esto encoge el cuadrilátero verticalmente por un factor de 0.. b Las coordenadas son multiplicadas por 0. las coordenadas son multiplicadas por 2. Esto encoge el cuadrilátero horizontalmente por un factor de 0. lo estira verticalmente por un factor de 2. c CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press
8.1. Traslación de puntos. Investigación: Figuras en movimiento CONDENSADA
LECCIÓN CONDENSADA 8.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que
Más detallesRepresentaciones de matrices
LECCIÓN CONDENSADA 6. Representaciones de matrices En esta lección Representarás unos sistemas cerrados con unos diagramas de transición unas matrices de transición Usarás las matrices para organizar información
Más detallesUna fórmula para la pendiente
LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Una fórmula para la pendiente En esta lección aprenderás cómo calcular la pendiente de una recta dados dos puntos de la recta determinarás si un punto se encuentra en la misma recta
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
Más detallesTransformación de gráfica de funciones
Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir
Más detallesCaracterísticas de funciones que son inversas de otras
Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =
Más detallesGrado polinomial y diferencias finitas
LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas En esta lección Aprenderás la terminología asociada con los polinomios Usarás el método de diferencias finitas para determinar el grado de
Más detallesLección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas
Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesSe llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en
Más detallesDOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:
Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela
Más detallesFunciones exponenciales
LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Funciones exponenciales En esta lección Escribirás una fórmula recursiva para modelar un deterioro radiactivo Encontrarás una función exponencial que pasa por los puntos de una sucesión
Más detallesFunciones polinomiales de grados 3 y 4
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados
Más detallesConcepto de función y funciones elementales
Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante
Más detallesPARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:
Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay
Más detallesMedidas de la tendencia central y las gráficas de caja
LECCIÓN CONDENSADA 2.1 Medidas de la tendencia central y las gráficas de caja En esta lección Encontrarás e interpretarás la media, la mediana, y la moda para unos conjuntos de datos Crearás e interpretarás
Más detalles1. Funciones y sus gráficas
FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada
Más detalles6. VECTORES Y COORDENADAS
6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES
Más detallesGráficas de caja. El borde derecho de la caja es el tercer cuartil, Q 3, que es la mediana de los valores que están por encima de la mediana.
LECCIÓN CONDENSADA 2.1 Gráficas de caja En esta lección crearás e interpretarás las gráficas de caja para conjuntos de datos usarás el rango intercuartil (IQR) para identificar valores extremos potenciales
Más detalles2. GRAFICA DE FUNCIONES
. GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un
Más detallesEJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1:
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Por: Ing. Mario René De León García.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función eponencial tiene la forma, donde a es la base de la potencia la variable es el eponente. Esta función
Más detallesUniversidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa
Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.
Más detallesEcuaciones lineales y secuencias aritméticas
LECCIÓN CONDENSADA 3.1 Ecuaciones lineales secuencias aritméticas En esta lección escribirás fórmulas eplícitas para secuencias aritméticas escribirás ecuaciones lineales en forma de intersección En el
Más detallesUNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado
Más detallesSecuencias definidas de manera recursiva
LECCIÓN CONDENSADA 1.1 Secuencias definidas de manera recursiva En esta lección Escribirás definiciones y fórmulas recursivas para patrones y secuencias Aprenderás a reconocer y escribir fórmulas para
Más detalles3. Operaciones con funciones.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente
Más detallesEl Teorema de Pitágoras
LECCIÓN CONDENSADA 9.1 El Teorema de Pitágoras En esta lección Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo
Más detallesTRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS En una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta). TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones
Más detallesPrecálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela
Definición de función Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada en D, ha eactamente un par ordenado (, ) en W que tiene a en la primera posición. Terminología Definición
Más detallesLa Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.
LF.3.A1.2-Steve Cole-Determining Domain and Ranges- La Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.2 Qué es Dominio? Es
Más detalles2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.
año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe
Más detallesMovimientos en el plano
7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros
Más detallesSISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,
Más detallesGeometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA
Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro
Más detallesFunciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,
Más detallesEstudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009
Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................
Más detallesFUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO
1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad
Más detallesColegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y
Más detallesEnunciado unidades fraccionarias fracción fracciones equivalentes comparar operaciones aritméticas fracciones propias Qué hacer deslizador vertical
Enunciado Si la unidad la dividimos en varias partes iguales, podemos tomar como nueva unidad de medida una de estas partes más pequeñas. Las unidades fraccionarias son necesarias cuando lo que queremos
Más detallesDescripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2
Descripción: En éste tema se utiliza la primera derivada para encontrar los valores máximo y mínimo de una función, así como para determinar los intervalos en donde la función es creciente o decreciente,
Más detallesc) ( 1 punto ). Hallar el dominio de definición de la función ( ). Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene derivada.
Materiales producidos en el curso: Curso realizado por Escuelas Católicas del 7 de noviembre al 19 de diciembre de 2011 Título: Wiris para Matemáticas de ESO y Bachilleratos. Uso de Pizarra Digital y Proyector
Más detallesEjemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Más detallesUnidad 6 Estudio gráfico de funciones
Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)
Más detallesI. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }
I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas
Más detallesFunciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Más detallesFunción Cuadrática *
Función Cuadrática * Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1 Una función f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0, se llama una función cuadrática.
Más detallesCap. 24 La Ley de Gauss
Cap. 24 La Ley de Gauss Una misma ley física enunciada desde diferentes puntos de vista Coulomb Gauss Son equivalentes Pero ambas tienen situaciones para las cuales son superiores que la otra Aquí hay
Más detallesUnidad 6 Cálculo de máximos y mínimos
Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos
Más detallesUniversidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.
Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detalles10Soluciones a los ejercicios y problemas
0Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice
Más detallesDOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:
DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)
Más detallesTEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1
TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder
Más detallesMATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad
MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado
Más detallesMÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta
Más detallesTema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1
Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto
Más detallesDiagrama de barras y gráficas de puntos
LECCIÓN CONDENSADA 1.1 Diagrama de barras y gráficas de puntos En esta lección interpretarás y crearás diferentes gráficos encontrarás algunos valores sumarios de un conjunto de datos llegarás a conclusiones
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detallesUna desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la
Más detalleshttp://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17
http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal.
ECUACION DE DEMANDA La ecuación de demanda es una ecuación que expresa la relación que existe entre q y p, donde q es la cantidad de artículos que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio
Más detallesFUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y.
FUNCIÓN CUADRÁTICA 5º AÑO 013 PROF. RUHL, CLAUDIA FUNCIÓN CUADRÁTICA BATÁN, ROMINA FORMA CANÓNICA FORMA POLINÓMICA FORMA FACTORIZADA Y = a. ( x h ) + k Y = a. x + b. x + c y = a. ( x x1 ). ( x x FORMA
Más detallesRazonamiento inductivo
LECCIÓN CONDENSADA 2.1 Razonamiento inductivo En esta lección Aprenderás cómo se usa el razonamiento inductivo en la ciencia y en las matemáticas Usarás el razonamiento inductivo para hacer conjeturas
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos
Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo Cálculo Contenidos Clase 1: Funciones: Dominio, recorrido, gráfico. Ejemplos. Clase 2: Igualdad de funciones.
Más detalles1. Definición 2. Operaciones con funciones
1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN En el presente documento se explican detalladamente dos importantes temas: 1. Descomposición LU. 2. Método de Gauss-Seidel. Se trata de dos importantes herramientas
Más detallesFunciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica
10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a
Más detalles5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades
5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesCapítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES
Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES 6.1 DEFINICIONES: a. Desigualdad: Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos elementos escritos en términos matemáticos, y
Más detallesGráficas de funciones
Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:
Más detallesTipos de funciones. Clasificación de funciones
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
Más detallesEJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS
1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que
Más detallesSeminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff
Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.
Más detallesESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.
ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.
Más detallesIntegral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)
Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb
Más detallesFunciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas
CAPÍTULO Funciones.6 Tipos de funciones Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos mu particulares que son importantes en el estudio del cálculo..6. Funciones monótonas Una función
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detallesHoja de Actividades. Nombre: Fecha:
Hoja de Actividades Nombre: Fecha: PASO A PASO 1. Dada la función: y = cos () Es continua? Es periódica? Es simétrica respecto del eje Y? Solución: a) Haz clic en Ventana D b) Selecciona en la barra de
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesAXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán
Más detallesProporciones. Puedes verificar que las proporciones son verdaderas por hallar el equivalente. 5 9 no es verdadera; 0.2 no es igual a 0.5.
LECCIÓN CONDENSADA.1 Proporciones En esta lección aprenderás varias maneras de escribir una razón aprenderás métodos para resolver proporciones resolverás problemas escribiendo y resolviendo proporciones
Más detallesRazones trigonométricas
LECCIÓ CODESADA 12.1 Razones trigonométricas En esta lección Conocerás las razones trigonométricas seno, coseno, y tangente Usarás las razones trigonométricas para encontrar las longitudes laterales desconocidas
Más detallesActividades recreativas para recordar a los vectores. 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias:
Actividades recreativas para recordar a los vectores 1) Representa en un eje de coordenadas las siguientes sugerencias: a) Dibuja un segmento y oriéntalo en sentido positivo. b) Dibuja un segmento y oriéntalo
Más detallesANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES
ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar
Más detallesFunciones y gráficas (1)
Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes
Más detallesLas funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se
Más detallesLibreOffice - curso avanzado
LibreOffice - curso avanzado Math Qué es? Math es el editor de fórmulas la suite LibreOffice, que se puede invocar en sus documentos de texto, hojas de cálculo, presentaciones y dibujos, permitiéndole
Más detallesLímite de una función
Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Más detallesTema 3. Medidas de tendencia central. 3.1. Introducción. Contenido
Tema 3 Medidas de tendencia central Contenido 31 Introducción 1 32 Media aritmética 2 33 Media ponderada 3 34 Media geométrica 4 35 Mediana 5 351 Cálculo de la mediana para datos agrupados 5 36 Moda 6
Más detallesUNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.
UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesProblemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal
Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo
Más detallesPROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático
PROYECTO DE L REL CDEMI DE CIENCIS Estímulo del talento matemático Prueba de selección 8 de junio de 2013 Nombre:... pellidos:... Fecha de nacimiento:... Teléfonos:... Información importante que debes
Más detalles