Traslación de puntos

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1 LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que cambia o desplaza una figura se conoce como una transformación. En esta lección eplorarás un tipo de transformación. Investigación: Figuras en movimiento Pasos 1 6 El triángulo siguiente tiene los vértices ( 1, 2), (1, 1), (, 1). Si sumas a cada coordenada, obtienes ( 1, ), (1, 2), (, 4). Si restas 2 de cada coordenada, obtienes ( 1, 0), (1, ), (, 1). Las cuadrículas siguientes muestran el triángulo original los triángulos cuos vértices son los puntos transformados. Suma a las coordenadas Resta 2 de las coordenadas Observa que sumar a las coordenadas desplaza el triángulo hacia arriba unidades que restar 2 de las coordenadas desplaza el triángulo hacia abajo 2 unidades. Ahora dibuja tu propio triángulo desplázalo sumando o restando un número de las coordenadas de los vértices. En cada cuadrícula del Paso 6 en la página 477 se muestra un triángulo original el triángulo que resulta de sumar un número a, o restar un número de las coordenadas de los vértices. Trata de determinar cuál número fue sumado o restado. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

2 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 120 Lección 9.1 Traslación de puntos (continuación) Aquí están las respuestas del Paso 6. a. Se sumó. b. Se restó 4. c. Se restó. Pasos 7 1 Ahora, dibujarás desplazarás un polígono usando tu calculadora. Los vértices del cuadrilátero que se muestra en el Paso 7 son (1, 2), (2, 2), (, 1), ( 2, 1). Sigue el Paso 8 para introducir las coordenadas dibujar el cuadrilátero en tu calculadora. Define las listas L L4 de modo que L L1 L4 L2. De esa forma, L contiene las coordenadas originales menos, L4 contiene las coordenadas originales. Grafica un nuevo cuadrilátero usando L para las coordenadas L4 para las coordenadas. Los vértices del nuevo cuadrilátero son ( 2, 2), ( 1, 2), ( 6, 1), (, 1). Observa que restar de las coordenadas del cuadrilátero original lo desplaza unidades hacia la izquierda. Sigue los Pasos 9 10 al menos dos veces más, sumando un número diferente a, o restando un número diferente de las coordenadas cada vez. Debes encontrar que al sumar un número positivo a las coordenadas, la figura se desplaza hacia la derecha ese número de unidades, al restar un número positivo de las coordenadas, la figura se desplaza hacia la izquierda ese número de unidades. Ahora, supón que L L1 1 L4 L2. Esto hace que se reste 1 de las coordenadas originales se sume a las coordenadas originales, desplazando el cuadrilátero 1 unidad hacia la izquierda unidades hacia arriba, como se muestra a continuación. Cada ventana de graficación del Paso 12 muestra el cuadrilátero original un nuevo cuadrilátero transformado. Escribe definiciones para L L4 en términos de L1 L2, las cuales crearían el cuadrilátero transformado. Aquí se presentan las reglas correctas. a. L L1 6, L4 L2 b. L L1, L4 L2 c. L L1, L4 L2 Cuando transformas una figura, el resultado se conoce como la imagen de la figura original. Las transformaciones horizontales verticales, tales como las que eploraste en la investigación, se conocen como traslaciones. Puedes definir una traslación al describir la imagen de un punto general (, ). Por ejemplo, la traslación que desplaza una figura 4 unidades hacia la izquierda 2 unidades hacia arriba puede definirse como ( 4, 2). Ahora lee sigue el ejemplo en tu libro. 120 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

3 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 121 LECCIÓN CONDENSADA 9.2 Traslación de gráficas En esta lección trasladarás la función del valor absoluto las funciones cuadráticas trasladarás una función eponencial aprenderás acerca de familias de funciones En la lección anterior trasladaste figuras en el plano de coordenadas. En esta lección aprenderás cómo trasladar funciones. Investigación: Traslación de funciones Pasos 1 6 Si sustitues por en la función del valor absoluto, obtienes. Puedes pensar en este proceso como encontrar f( ) cuando f(). Introduce en Y1 en Y2, grafica ambas funciones. Observa que la gráfica de es la gráfica de trasladada unidades hacia la derecha. El vértice de una gráfica del valor absoluto es el punto en donde la función cambia de decreciente a creciente, o de creciente a decreciente. El vértice de es (0, 0), el vértice de es (, 0). Entonces, el vértice de, como el resto de la gráfica, ha sido trasladado unidades hacia la derecha. La función ( 4) ó 4 traslada la gráfica de hacia la izquierda 4 unidades. Para obtener 4, sustitues por 4 en. Escribe una función para crear cada traslación de mostrada en el Paso 6. Usa tu calculadora para verificar tu trabajo. Debes obtener estos resultados. a. 2 b. c. Pasos 7 12 Ahora trasladarás a lo largo del eje. Si sustitues por en, obtienes ó (resolviendo para ). Aquí se presentan las gráficas de en los mismos ejes. Observa que la gráfica de es la gráfica de trasladada hacia arriba unidades. El vértice de es (0, ), que es el vértice de trasladado hacia arriba unidades. Si sustitues por ( ) ó en, obtienes ó. La gráfica de es la gráfica de trasladada hacia abajo unidades. Escribe una función para crear cada traslación de mostrada en el Paso 12. Usa tu calculadora para verificar tu trabajo. Debes obtener estos resultados. a. 2 b. 1 c. 4 (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

4 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 122 Lección 9.2 Traslación de gráficas (continuación) Paso 1 Has visto que para trasladar la gráfica de horizontalmente, restas un número de en la función. Restar un número positivo traslada la gráfica hacia la derecha, restar un número negativo traslada la gráfica hacia la izquierda. Para trasladar una gráfica verticalmente, sumas un número a la función completa. Sumar un número positivo traslada la gráfica hacia arriba, sumar un número negativo traslada la gráfica hacia abajo. EJEMPLO Las mismas ideas que usaste para trasladar la función del valor absoluto pueden usarse para trasladar la función 2. Aquí está la gráfica de 2 ( 2) 2. Aquí está la gráfica de 2 2. Aquí está la gráfica de 2 ( ) 2 2. El vértice de una parábola es el punto donde la gráfica cambia de decreciente a creciente, o de creciente a decreciente. Los vértices de las parábolas anteriores son ( 2, 0), (0, ), (, 2). Observa que la coordenada del vértice es el valor restado de en la función que la coordenada es el valor sumado a la función completa. Las funciones 2 son ejemplos de funciones madres. Al transformar una función madre, puedes crear un número infinito de funciones de la misma familia de funciones. Por ejemplo, las funciones ( 2) son parte de la familia de funciones cuadráticas, que tienen 2 como la función madre. Ahora lee el Ejemplo B en tu libro, que te muestra cómo puedes trasladar una función eponencial. 122 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

5 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 12 LECCIÓN CONDENSADA 9. Refleión de puntos gráficas En esta lección reflejarás polígonos a través de los ejes reflejarás gráficas de funciones a través de los ejes escribirás ecuaciones para las gráficas creadas al combinar transformaciones Has estudiado traslaciones transformaciones que deslizan una figura de manera horizontal o vertical. En esta lección aprenderás sobre transformaciones que voltean una figura a través de una recta. Investigación: Volteo de gráficas Pasos 1 El triángulo de la página 492 de tu libro tiene vértices (1, ), (, 1), (6, 2). La cuadrícula siguiente muestra el triángulo original el triángulo formado al cambiar el signo de la coordenada de cada vértice para obtener ( 1, ), (, 1), ( 6, 2). Cambiar los signos de las coordenadas voltea la figura a través del eje, creando un reflejo eacto del original. Si doblas la cuadrícula a lo largo del eje, verás que las dos imágenes se ajustan perfectamente. La cuadrícula siguiente muestra el triángulo original el triángulo formado al cambiar el signo de la coordenada de cada vértice, para obtener (1, ), (, 1), (6, 2). Cambiar los signos de las coordenadas voltea una figura a través del eje, creando un reflejo eacto del original. Si doblas la cuadrícula a lo largo del eje, verás que las dos imágenes se ajustan perfectamente. Cambias los signos de ambas coordenadas para obtener ( 1, ), (, 1), ( 6, 2). Esta transformación voltea la figura a través de un eje después a través del otro. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

6 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 124 Lección 9. Refleión de puntos gráficas (continuación) Pasos 6 10 Si sustitues por de la función 2,obtienes 2. (Esto es lo mismo que hallar f( ) cuando f() 2.) Si graficas ambas funciones en tu calculadora, verás que la gráfica de 2 es la gráfica de 2 volteada a través del eje. Si sustitues por en 2,obtienes 2 ó (resolviendo para ) 2. (Esto es lo mismo que hallar f() cuando f() 2.) Si graficas ambas funciones en tu calculadora, verás que la gráfica de 2 es la gráfica de 2 volteada a través del eje. En cada función del Paso 9, sustitue por grafica la función original la nueva función. En cada caso, debes encontrar que la gráfica de la función original se voltea a través del eje para obtener la gráfica de la nueva función. (Observación: Debido a que la gráfica de es simétrica a lo largo del eje, se ve igual cuando se voltea a través del eje. Entonces, las gráficas de son idénticas.) En cada función del Paso 9, sustitue por grafica la función original la nueva función. En cada caso, debes encontrar que la gráfica de la función original se voltea a través del eje para obtener la gráfica de la nueva función. Una transformación que voltea una figura para crear un reflejo eacto se conoce como refleión. Como has descubierto en la investigación, un punto se refleja a través del eje cuando cambias el signo de su coordenada. Un punto se refleja a través del eje cuando cambias el signo de la coordenada. Igualmente, una función se refleja a través del eje cuando cambias el signo de, una función se refleja a través del eje cuando cambias el signo de. Lee el resto de la lección en tu libro. Lee el ejemplo con mucha atención. Allí se eplica cómo escribir ecuaciones de gráficas creadas al aplicar más de una transformación a la gráfica de una función madre. 124 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

7 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 12 LECCIÓN CONDENSADA 9.4 Estiramiento encogimiento de gráficas En esta lección estirarás encogerás un cuadrilátero estirarás encogerás la gráfica de una función escribirás las ecuaciones de gráficas formadas al combinar transformaciones Has aprendido sobre transformaciones que deslizan una figura de manera horizontal o vertical que voltean una figura a través de una recta. En esta lección estudiarás una transformación que cambia la forma de una figura. Investigación: Cambio de la forma de una gráfica Pasos 1 Copia el cuadrilátero que se encuentra en la página 02 de tu libro, en un papel cuadriculado, o introduce las coordenadas en la lista L1 las coordenadas en la lista L2. Las coordenadas de los vértices son (1, ), (2, 1), (, 0), ( 2, 2). Multiplica la coordenada de cada vértice por 2, para obtener (1, 6), (2, 2), (, 0), ( 2, 4). En la misma cuadrícula que la figura original, traza un nuevo cuadrilátero con estos nuevos puntos como vértices; o sigue las instrucciones en tu libro para graficarlo en tu calculadora. Como puedes ver, multiplicar las coordenadas por 2 estira la figura de manera vertical. Los puntos que están encima del eje se mueven hacia arriba; los puntos que están debajo del eje se mueven hacia abajo. Los puntos que están sobre el eje se quedan fijos. 6 6 Ahora, multiplica las coordenadas de los vértices del cuadrilátero original por, por 0., por 2, traza los cuadriláteros resultantes. A continuación se muestran los resultados para Multiplica por 0. Multiplica por Multiplicar por 0. encoge la figura verticalmente a la mitad de su tamaño original. Multiplicar por 2 estira la figura verticalmente la voltea a través del eje. En general, multiplicar la coordenada de una figura por un número a estira la figura si a 1 la encoge si a 1 refleja la figura a través del eje si a 0 (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

8 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 126 Lección 9.4 Estiramiento encogimiento de gráficas (continuación) Pasos 6 8 Grafica el triángulo que se muestra en el Paso 6 en tu calculadora, colocando las coordenadas en la lista L1 las coordenadas en la lista L2. Después, prognostica cómo las definiciones de las partes a b del Paso 7 transformarán el triángulo, usa tu calculadora para verificar tus respuestas. Aquí se presentan los resultados. a. La figura se encoge verticalmente a la mitad de su tamaño original se voltea a través del eje. b. La figura se estira verticalmente al doble de su tamaño original se traslada hacia abajo 2 unidades. En el Paso 8, escribe definiciones para las listas L L4 que crearían cada imagen. Aquí están las respuestas. a. L L1; L4 L2 b. L L1; L4 2 L2 Pasos 9 1 Introduce la ecuación f() 2 1 como Y1 grafícala en tu calculadora. Multiplica el lado derecho de la ecuación por 2 es decir, halla 2 f() e introduce el resultado, 2 2 1, como Y2. A continuación se presentan una gráfica una tabla de las dos funciones. En la tabla, observa que cada valor en la ecuación es el doble del correspondiente valor en 1 2. Esto ocasiona que la gráfica se estire. Los puntos de la gráfica de se ubican dos veces más lejos del eje que los puntos correspondientes de la gráfica de 2 1. Multiplicar por 2 ocasiona que los puntos que están por encima del eje se muevan hacia arriba que los puntos colocados debajo del eje se muevan hacia abajo. Repite el proceso anterior para 0. f(), f(), 2 f(). Debes encontrar lo siguiente: Multiplicar por 0. da valores que son la mitad de los valores correspondientes de en la función original, lo cual tiene como resultado un encogimiento vertical. Multiplicar por da valores que son veces los valores correspondientes de en la función original, lo cual tiene como resultado un estiramiento vertical. Multiplicar por 2 da valores que son 2 veces los correspondientes valores de en la función original, lo cual tiene como resultado un estiramiento vertical una refleión a través del eje. Observa las gráficas del Paso 1. Usa lo que has aprendido sobre el estiramiento el encogimiento de gráficas para escribir una ecuación para R() en términos de B(), una ecuación para B() en términos de R(). Debes obtener los resultados siguientes: a. R() B(); B() 1 R() b. R() 1 2 B(); B() 2 R() [,, 1, 16,, 1] Lee el resto de la lección, incluendo los ejemplos, con mucha atención. 126 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

9 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 127 LECCIÓN CONDENSADA 9.6 Introducción a las funciones racionales En esta lección eplorarás transformaciones de la función madre 1 harás predicciones sobre la forma gráfica de una función racional, basándote en su ecuación En el Capítulo, aprendiste sobre la variación inversa. La ecuación más sencilla de variación inversa es 1. En la página 1 de tu libro, lee sobre 1 su gráfica. En esta lección verás cómo la función madre 1 puede audarte a entender muchas otras funciones. Investigación: Esto intentando ser racional Pasos 1 Grafica la función madre 1 en tu calculadora. Todas las funciones del Paso 2 son transformaciones de 1.Usa lo que has aprendido en este capítulo para predecir cómo la gráfica de cada función se comparará con la gráfica de 1. Las respuestas se muestran a continuación. a. Estiramiento vertical por un factor de b. Estiramiento vertical por un factor de refleión a través del eje 2 traslación unidades hacia arriba c. Traslación 2 unidades a d. Traslación 1 unidad a la izquierda la derecha 2 unidades hacia abajo Ahora, sin graficar, describe como se ve la gráfica de cada función del Paso 4. Usa las palabras lineal, no lineal, creciente, decreciente. Define el dominio el rango, ofrece ecuaciones para las asíntotas. A continuación se muestran unas respuestas posibles. La Gráfica a es un estiramiento vertical de 1 por un factor de, seguido por una traslación 4 unidades a la derecha; es no lineal decreciente; el dominio es 4 el rango es 0; ha asíntotas en 4 0. La Gráfica b es una refleión de 1 a través del eje, seguida por una traslación unidades a la izquierda unidades hacia abajo; es no lineal creciente; el dominio es el rango es ; ha asíntotas en. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

10 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 128 Lección 9.6 Introducción a las funciones racionales (continuación) La Gráfica c es un estiramiento vertical de 1 por un factor de a (si a 0, la gráfica también se refleja a través del eje ), seguido por una traslación horizontal de h unidades una vertical de k unidades; es no lineal decreciente si a es positiva, no lineal creciente si a es negativa; el dominio es h el rango es k; ha asíntotas en h k. Funciones como 4 se conocen como funciones racionales porque implican las razones de dos epresiones. No todas las funciones racionales son transformaciones de 1,pero la gráfica de cualquier función racional comparte algunas similitudes con la gráfica de 1. Pasos 6 12 Grafica ( 2)( ) en tu calculadora. Compara esta gráfica con las gráficas de las funciones del Paso 2. Debes hallar que esta gráfica se parece 1 a la gráfica de. 2 Si rastreas la gráfica (con el comando trace), debes encontrar que eiste un hoo en. El hoo se presenta porque la función no se define en (el denominador es 0 en este valor). Sin embargo, para, 1 ( 2)( ) Entonces, ( 2)( ) es idéntica a 2 para es indefinida para. Ahora grafica la ecuación del Paso 9. Debes encontrar que tiene asíntotas verticales en 1 una asíntota horizontal en 4. En general, las siguientes son características de la gráfica de una función racional: Un hoo se presenta en h, cuando el factor ( h) eiste tanto en el numerador como en el denominador. Una asíntota vertical se presenta en h, si el factor ( h) eiste en el denominador, pero no en el numerador. Una asíntota horizontal se presenta en k, cuando k es la constante de la ecuación. Ahora lee el ejemplo en tu libro, que usa una función racional para modelar una situación real. 128 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

11 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 129 LECCIÓN CONDENSADA 9.7 Transformaciones con matrices En esta lección relacionarás las traslaciones con la suma de matrices relacionarás las refleiones, los estiramientos, los encogimientos con la multiplicación de matrices En tu libro, lee el teto que precede la investigación, que eplica cómo usar una matriz para representar los vértices de una figura geométrica. Investigación: Transformaciones matriciales Pasos 1 6 La matriz [A] 4 2 representa un triángulo con los vértices ( 4, 1), (, 4), (2, 0) acada coordenada, lo cual traslada el triángulo Al sumar la matriz a la matriz [A], se suma unidades a la derecha: [A] En las partes a c del Paso, halla la suma matricial grafica el triángulo resultante. Debes encontrar que las sumas corresponden a las siguientes traslaciones del triángulo original. a. 4 unidades hacia abajo b. unidades a la derecha, 4 unidades hacia abajo c. 6 unidades a la izquierda, 4 unidades hacia arriba Ahora escribe unas ecuaciones matriciales para representar las traslaciones del Paso 6. Aquí se presentan las respuestas a b (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

12 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 10 Lección 9.7 Transformaciones con matrices (continuación) Pasos 7 11 Copia el cuadrilátero de la página 21 en papel cuadriculado. La matriz [B] da las coordenadas de los vértices, junto con las coordenadas de un punto general, (, ) lo cual refleja el cuadrilátero a través del eje : El cálculo [B] multiplica cada coordenada por 1, Ahora, realiza las multiplicaciones del Paso 11 grafica los cuadriláteros resultantes. Debes obtener los siguientes resultados: a Las coordenadas son multiplicadas por 1. Esto refleja el cuadrilátero a través del eje Las coordenadas son multiplicadas por 0.. Esto encoge el cuadrilátero verticalmente por un factor de 0.. b Las coordenadas son multiplicadas por 0. las coordenadas son multiplicadas por 2. Esto encoge el cuadrilátero horizontalmente por un factor de 0. lo estira verticalmente por un factor de 2. c CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

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