Traslación de puntos

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Traslación de puntos"

Transcripción

1 LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que cambia o desplaza una figura se conoce como una transformación. En esta lección eplorarás un tipo de transformación. Investigación: Figuras en movimiento Pasos 1 6 El triángulo siguiente tiene los vértices ( 1, 2), (1, 1), (, 1). Si sumas a cada coordenada, obtienes ( 1, ), (1, 2), (, 4). Si restas 2 de cada coordenada, obtienes ( 1, 0), (1, ), (, 1). Las cuadrículas siguientes muestran el triángulo original los triángulos cuos vértices son los puntos transformados. Suma a las coordenadas Resta 2 de las coordenadas Observa que sumar a las coordenadas desplaza el triángulo hacia arriba unidades que restar 2 de las coordenadas desplaza el triángulo hacia abajo 2 unidades. Ahora dibuja tu propio triángulo desplázalo sumando o restando un número de las coordenadas de los vértices. En cada cuadrícula del Paso 6 en la página 477 se muestra un triángulo original el triángulo que resulta de sumar un número a, o restar un número de las coordenadas de los vértices. Trata de determinar cuál número fue sumado o restado. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

2 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 120 Lección 9.1 Traslación de puntos (continuación) Aquí están las respuestas del Paso 6. a. Se sumó. b. Se restó 4. c. Se restó. Pasos 7 1 Ahora, dibujarás desplazarás un polígono usando tu calculadora. Los vértices del cuadrilátero que se muestra en el Paso 7 son (1, 2), (2, 2), (, 1), ( 2, 1). Sigue el Paso 8 para introducir las coordenadas dibujar el cuadrilátero en tu calculadora. Define las listas L L4 de modo que L L1 L4 L2. De esa forma, L contiene las coordenadas originales menos, L4 contiene las coordenadas originales. Grafica un nuevo cuadrilátero usando L para las coordenadas L4 para las coordenadas. Los vértices del nuevo cuadrilátero son ( 2, 2), ( 1, 2), ( 6, 1), (, 1). Observa que restar de las coordenadas del cuadrilátero original lo desplaza unidades hacia la izquierda. Sigue los Pasos 9 10 al menos dos veces más, sumando un número diferente a, o restando un número diferente de las coordenadas cada vez. Debes encontrar que al sumar un número positivo a las coordenadas, la figura se desplaza hacia la derecha ese número de unidades, al restar un número positivo de las coordenadas, la figura se desplaza hacia la izquierda ese número de unidades. Ahora, supón que L L1 1 L4 L2. Esto hace que se reste 1 de las coordenadas originales se sume a las coordenadas originales, desplazando el cuadrilátero 1 unidad hacia la izquierda unidades hacia arriba, como se muestra a continuación. Cada ventana de graficación del Paso 12 muestra el cuadrilátero original un nuevo cuadrilátero transformado. Escribe definiciones para L L4 en términos de L1 L2, las cuales crearían el cuadrilátero transformado. Aquí se presentan las reglas correctas. a. L L1 6, L4 L2 b. L L1, L4 L2 c. L L1, L4 L2 Cuando transformas una figura, el resultado se conoce como la imagen de la figura original. Las transformaciones horizontales verticales, tales como las que eploraste en la investigación, se conocen como traslaciones. Puedes definir una traslación al describir la imagen de un punto general (, ). Por ejemplo, la traslación que desplaza una figura 4 unidades hacia la izquierda 2 unidades hacia arriba puede definirse como ( 4, 2). Ahora lee sigue el ejemplo en tu libro. 120 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

3 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 121 LECCIÓN CONDENSADA 9.2 Traslación de gráficas En esta lección trasladarás la función del valor absoluto las funciones cuadráticas trasladarás una función eponencial aprenderás acerca de familias de funciones En la lección anterior trasladaste figuras en el plano de coordenadas. En esta lección aprenderás cómo trasladar funciones. Investigación: Traslación de funciones Pasos 1 6 Si sustitues por en la función del valor absoluto, obtienes. Puedes pensar en este proceso como encontrar f( ) cuando f(). Introduce en Y1 en Y2, grafica ambas funciones. Observa que la gráfica de es la gráfica de trasladada unidades hacia la derecha. El vértice de una gráfica del valor absoluto es el punto en donde la función cambia de decreciente a creciente, o de creciente a decreciente. El vértice de es (0, 0), el vértice de es (, 0). Entonces, el vértice de, como el resto de la gráfica, ha sido trasladado unidades hacia la derecha. La función ( 4) ó 4 traslada la gráfica de hacia la izquierda 4 unidades. Para obtener 4, sustitues por 4 en. Escribe una función para crear cada traslación de mostrada en el Paso 6. Usa tu calculadora para verificar tu trabajo. Debes obtener estos resultados. a. 2 b. c. Pasos 7 12 Ahora trasladarás a lo largo del eje. Si sustitues por en, obtienes ó (resolviendo para ). Aquí se presentan las gráficas de en los mismos ejes. Observa que la gráfica de es la gráfica de trasladada hacia arriba unidades. El vértice de es (0, ), que es el vértice de trasladado hacia arriba unidades. Si sustitues por ( ) ó en, obtienes ó. La gráfica de es la gráfica de trasladada hacia abajo unidades. Escribe una función para crear cada traslación de mostrada en el Paso 12. Usa tu calculadora para verificar tu trabajo. Debes obtener estos resultados. a. 2 b. 1 c. 4 (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

4 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 122 Lección 9.2 Traslación de gráficas (continuación) Paso 1 Has visto que para trasladar la gráfica de horizontalmente, restas un número de en la función. Restar un número positivo traslada la gráfica hacia la derecha, restar un número negativo traslada la gráfica hacia la izquierda. Para trasladar una gráfica verticalmente, sumas un número a la función completa. Sumar un número positivo traslada la gráfica hacia arriba, sumar un número negativo traslada la gráfica hacia abajo. EJEMPLO Las mismas ideas que usaste para trasladar la función del valor absoluto pueden usarse para trasladar la función 2. Aquí está la gráfica de 2 ( 2) 2. Aquí está la gráfica de 2 2. Aquí está la gráfica de 2 ( ) 2 2. El vértice de una parábola es el punto donde la gráfica cambia de decreciente a creciente, o de creciente a decreciente. Los vértices de las parábolas anteriores son ( 2, 0), (0, ), (, 2). Observa que la coordenada del vértice es el valor restado de en la función que la coordenada es el valor sumado a la función completa. Las funciones 2 son ejemplos de funciones madres. Al transformar una función madre, puedes crear un número infinito de funciones de la misma familia de funciones. Por ejemplo, las funciones ( 2) son parte de la familia de funciones cuadráticas, que tienen 2 como la función madre. Ahora lee el Ejemplo B en tu libro, que te muestra cómo puedes trasladar una función eponencial. 122 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

5 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 12 LECCIÓN CONDENSADA 9. Refleión de puntos gráficas En esta lección reflejarás polígonos a través de los ejes reflejarás gráficas de funciones a través de los ejes escribirás ecuaciones para las gráficas creadas al combinar transformaciones Has estudiado traslaciones transformaciones que deslizan una figura de manera horizontal o vertical. En esta lección aprenderás sobre transformaciones que voltean una figura a través de una recta. Investigación: Volteo de gráficas Pasos 1 El triángulo de la página 492 de tu libro tiene vértices (1, ), (, 1), (6, 2). La cuadrícula siguiente muestra el triángulo original el triángulo formado al cambiar el signo de la coordenada de cada vértice para obtener ( 1, ), (, 1), ( 6, 2). Cambiar los signos de las coordenadas voltea la figura a través del eje, creando un reflejo eacto del original. Si doblas la cuadrícula a lo largo del eje, verás que las dos imágenes se ajustan perfectamente. La cuadrícula siguiente muestra el triángulo original el triángulo formado al cambiar el signo de la coordenada de cada vértice, para obtener (1, ), (, 1), (6, 2). Cambiar los signos de las coordenadas voltea una figura a través del eje, creando un reflejo eacto del original. Si doblas la cuadrícula a lo largo del eje, verás que las dos imágenes se ajustan perfectamente. Cambias los signos de ambas coordenadas para obtener ( 1, ), (, 1), ( 6, 2). Esta transformación voltea la figura a través de un eje después a través del otro. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

6 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 124 Lección 9. Refleión de puntos gráficas (continuación) Pasos 6 10 Si sustitues por de la función 2,obtienes 2. (Esto es lo mismo que hallar f( ) cuando f() 2.) Si graficas ambas funciones en tu calculadora, verás que la gráfica de 2 es la gráfica de 2 volteada a través del eje. Si sustitues por en 2,obtienes 2 ó (resolviendo para ) 2. (Esto es lo mismo que hallar f() cuando f() 2.) Si graficas ambas funciones en tu calculadora, verás que la gráfica de 2 es la gráfica de 2 volteada a través del eje. En cada función del Paso 9, sustitue por grafica la función original la nueva función. En cada caso, debes encontrar que la gráfica de la función original se voltea a través del eje para obtener la gráfica de la nueva función. (Observación: Debido a que la gráfica de es simétrica a lo largo del eje, se ve igual cuando se voltea a través del eje. Entonces, las gráficas de son idénticas.) En cada función del Paso 9, sustitue por grafica la función original la nueva función. En cada caso, debes encontrar que la gráfica de la función original se voltea a través del eje para obtener la gráfica de la nueva función. Una transformación que voltea una figura para crear un reflejo eacto se conoce como refleión. Como has descubierto en la investigación, un punto se refleja a través del eje cuando cambias el signo de su coordenada. Un punto se refleja a través del eje cuando cambias el signo de la coordenada. Igualmente, una función se refleja a través del eje cuando cambias el signo de, una función se refleja a través del eje cuando cambias el signo de. Lee el resto de la lección en tu libro. Lee el ejemplo con mucha atención. Allí se eplica cómo escribir ecuaciones de gráficas creadas al aplicar más de una transformación a la gráfica de una función madre. 124 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

7 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 12 LECCIÓN CONDENSADA 9.4 Estiramiento encogimiento de gráficas En esta lección estirarás encogerás un cuadrilátero estirarás encogerás la gráfica de una función escribirás las ecuaciones de gráficas formadas al combinar transformaciones Has aprendido sobre transformaciones que deslizan una figura de manera horizontal o vertical que voltean una figura a través de una recta. En esta lección estudiarás una transformación que cambia la forma de una figura. Investigación: Cambio de la forma de una gráfica Pasos 1 Copia el cuadrilátero que se encuentra en la página 02 de tu libro, en un papel cuadriculado, o introduce las coordenadas en la lista L1 las coordenadas en la lista L2. Las coordenadas de los vértices son (1, ), (2, 1), (, 0), ( 2, 2). Multiplica la coordenada de cada vértice por 2, para obtener (1, 6), (2, 2), (, 0), ( 2, 4). En la misma cuadrícula que la figura original, traza un nuevo cuadrilátero con estos nuevos puntos como vértices; o sigue las instrucciones en tu libro para graficarlo en tu calculadora. Como puedes ver, multiplicar las coordenadas por 2 estira la figura de manera vertical. Los puntos que están encima del eje se mueven hacia arriba; los puntos que están debajo del eje se mueven hacia abajo. Los puntos que están sobre el eje se quedan fijos. 6 6 Ahora, multiplica las coordenadas de los vértices del cuadrilátero original por, por 0., por 2, traza los cuadriláteros resultantes. A continuación se muestran los resultados para Multiplica por 0. Multiplica por Multiplicar por 0. encoge la figura verticalmente a la mitad de su tamaño original. Multiplicar por 2 estira la figura verticalmente la voltea a través del eje. En general, multiplicar la coordenada de una figura por un número a estira la figura si a 1 la encoge si a 1 refleja la figura a través del eje si a 0 (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

8 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 126 Lección 9.4 Estiramiento encogimiento de gráficas (continuación) Pasos 6 8 Grafica el triángulo que se muestra en el Paso 6 en tu calculadora, colocando las coordenadas en la lista L1 las coordenadas en la lista L2. Después, prognostica cómo las definiciones de las partes a b del Paso 7 transformarán el triángulo, usa tu calculadora para verificar tus respuestas. Aquí se presentan los resultados. a. La figura se encoge verticalmente a la mitad de su tamaño original se voltea a través del eje. b. La figura se estira verticalmente al doble de su tamaño original se traslada hacia abajo 2 unidades. En el Paso 8, escribe definiciones para las listas L L4 que crearían cada imagen. Aquí están las respuestas. a. L L1; L4 L2 b. L L1; L4 2 L2 Pasos 9 1 Introduce la ecuación f() 2 1 como Y1 grafícala en tu calculadora. Multiplica el lado derecho de la ecuación por 2 es decir, halla 2 f() e introduce el resultado, 2 2 1, como Y2. A continuación se presentan una gráfica una tabla de las dos funciones. En la tabla, observa que cada valor en la ecuación es el doble del correspondiente valor en 1 2. Esto ocasiona que la gráfica se estire. Los puntos de la gráfica de se ubican dos veces más lejos del eje que los puntos correspondientes de la gráfica de 2 1. Multiplicar por 2 ocasiona que los puntos que están por encima del eje se muevan hacia arriba que los puntos colocados debajo del eje se muevan hacia abajo. Repite el proceso anterior para 0. f(), f(), 2 f(). Debes encontrar lo siguiente: Multiplicar por 0. da valores que son la mitad de los valores correspondientes de en la función original, lo cual tiene como resultado un encogimiento vertical. Multiplicar por da valores que son veces los valores correspondientes de en la función original, lo cual tiene como resultado un estiramiento vertical. Multiplicar por 2 da valores que son 2 veces los correspondientes valores de en la función original, lo cual tiene como resultado un estiramiento vertical una refleión a través del eje. Observa las gráficas del Paso 1. Usa lo que has aprendido sobre el estiramiento el encogimiento de gráficas para escribir una ecuación para R() en términos de B(), una ecuación para B() en términos de R(). Debes obtener los resultados siguientes: a. R() B(); B() 1 R() b. R() 1 2 B(); B() 2 R() [,, 1, 16,, 1] Lee el resto de la lección, incluendo los ejemplos, con mucha atención. 126 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

9 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 127 LECCIÓN CONDENSADA 9.6 Introducción a las funciones racionales En esta lección eplorarás transformaciones de la función madre 1 harás predicciones sobre la forma gráfica de una función racional, basándote en su ecuación En el Capítulo, aprendiste sobre la variación inversa. La ecuación más sencilla de variación inversa es 1. En la página 1 de tu libro, lee sobre 1 su gráfica. En esta lección verás cómo la función madre 1 puede audarte a entender muchas otras funciones. Investigación: Esto intentando ser racional Pasos 1 Grafica la función madre 1 en tu calculadora. Todas las funciones del Paso 2 son transformaciones de 1.Usa lo que has aprendido en este capítulo para predecir cómo la gráfica de cada función se comparará con la gráfica de 1. Las respuestas se muestran a continuación. a. Estiramiento vertical por un factor de b. Estiramiento vertical por un factor de refleión a través del eje 2 traslación unidades hacia arriba c. Traslación 2 unidades a d. Traslación 1 unidad a la izquierda la derecha 2 unidades hacia abajo Ahora, sin graficar, describe como se ve la gráfica de cada función del Paso 4. Usa las palabras lineal, no lineal, creciente, decreciente. Define el dominio el rango, ofrece ecuaciones para las asíntotas. A continuación se muestran unas respuestas posibles. La Gráfica a es un estiramiento vertical de 1 por un factor de, seguido por una traslación 4 unidades a la derecha; es no lineal decreciente; el dominio es 4 el rango es 0; ha asíntotas en 4 0. La Gráfica b es una refleión de 1 a través del eje, seguida por una traslación unidades a la izquierda unidades hacia abajo; es no lineal creciente; el dominio es el rango es ; ha asíntotas en. (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

10 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 128 Lección 9.6 Introducción a las funciones racionales (continuación) La Gráfica c es un estiramiento vertical de 1 por un factor de a (si a 0, la gráfica también se refleja a través del eje ), seguido por una traslación horizontal de h unidades una vertical de k unidades; es no lineal decreciente si a es positiva, no lineal creciente si a es negativa; el dominio es h el rango es k; ha asíntotas en h k. Funciones como 4 se conocen como funciones racionales porque implican las razones de dos epresiones. No todas las funciones racionales son transformaciones de 1,pero la gráfica de cualquier función racional comparte algunas similitudes con la gráfica de 1. Pasos 6 12 Grafica ( 2)( ) en tu calculadora. Compara esta gráfica con las gráficas de las funciones del Paso 2. Debes hallar que esta gráfica se parece 1 a la gráfica de. 2 Si rastreas la gráfica (con el comando trace), debes encontrar que eiste un hoo en. El hoo se presenta porque la función no se define en (el denominador es 0 en este valor). Sin embargo, para, 1 ( 2)( ) Entonces, ( 2)( ) es idéntica a 2 para es indefinida para. Ahora grafica la ecuación del Paso 9. Debes encontrar que tiene asíntotas verticales en 1 una asíntota horizontal en 4. En general, las siguientes son características de la gráfica de una función racional: Un hoo se presenta en h, cuando el factor ( h) eiste tanto en el numerador como en el denominador. Una asíntota vertical se presenta en h, si el factor ( h) eiste en el denominador, pero no en el numerador. Una asíntota horizontal se presenta en k, cuando k es la constante de la ecuación. Ahora lee el ejemplo en tu libro, que usa una función racional para modelar una situación real. 128 CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

11 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 129 LECCIÓN CONDENSADA 9.7 Transformaciones con matrices En esta lección relacionarás las traslaciones con la suma de matrices relacionarás las refleiones, los estiramientos, los encogimientos con la multiplicación de matrices En tu libro, lee el teto que precede la investigación, que eplica cómo usar una matriz para representar los vértices de una figura geométrica. Investigación: Transformaciones matriciales Pasos 1 6 La matriz [A] 4 2 representa un triángulo con los vértices ( 4, 1), (, 4), (2, 0) acada coordenada, lo cual traslada el triángulo Al sumar la matriz a la matriz [A], se suma unidades a la derecha: [A] En las partes a c del Paso, halla la suma matricial grafica el triángulo resultante. Debes encontrar que las sumas corresponden a las siguientes traslaciones del triángulo original. a. 4 unidades hacia abajo b. unidades a la derecha, 4 unidades hacia abajo c. 6 unidades a la izquierda, 4 unidades hacia arriba Ahora escribe unas ecuaciones matriciales para representar las traslaciones del Paso 6. Aquí se presentan las respuestas a b (continúa) Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

12 DACLS_676_09.qd 1/21/04 :4 PM Page 10 Lección 9.7 Transformaciones con matrices (continuación) Pasos 7 11 Copia el cuadrilátero de la página 21 en papel cuadriculado. La matriz [B] da las coordenadas de los vértices, junto con las coordenadas de un punto general, (, ) lo cual refleja el cuadrilátero a través del eje : El cálculo [B] multiplica cada coordenada por 1, Ahora, realiza las multiplicaciones del Paso 11 grafica los cuadriláteros resultantes. Debes obtener los siguientes resultados: a Las coordenadas son multiplicadas por 1. Esto refleja el cuadrilátero a través del eje Las coordenadas son multiplicadas por 0.. Esto encoge el cuadrilátero verticalmente por un factor de 0.. b Las coordenadas son multiplicadas por 0. las coordenadas son multiplicadas por 2. Esto encoge el cuadrilátero horizontalmente por un factor de 0. lo estira verticalmente por un factor de 2. c CHAPTER 9 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish 2004 Ke Curriculum Press

8.1. Traslación de puntos. Investigación: Figuras en movimiento CONDENSADA

8.1. Traslación de puntos. Investigación: Figuras en movimiento CONDENSADA LECCIÓN CONDENSADA 8.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que

Más detalles

Representaciones de matrices

Representaciones de matrices LECCIÓN CONDENSADA 6. Representaciones de matrices En esta lección Representarás unos sistemas cerrados con unos diagramas de transición unas matrices de transición Usarás las matrices para organizar información

Más detalles

Una fórmula para la pendiente

Una fórmula para la pendiente LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Una fórmula para la pendiente En esta lección aprenderás cómo calcular la pendiente de una recta dados dos puntos de la recta determinarás si un punto se encuentra en la misma recta

Más detalles

Grado polinomial y diferencias finitas

Grado polinomial y diferencias finitas LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas En esta lección Aprenderás la terminología asociada con los polinomios Usarás el método de diferencias finitas para determinar el grado de

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Ecuaciones lineales y secuencias aritméticas

Ecuaciones lineales y secuencias aritméticas LECCIÓN CONDENSADA 3.1 Ecuaciones lineales secuencias aritméticas En esta lección escribirás fórmulas eplícitas para secuencias aritméticas escribirás ecuaciones lineales en forma de intersección En el

Más detalles

Funciones exponenciales

Funciones exponenciales LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Funciones exponenciales En esta lección Escribirás una fórmula recursiva para modelar un deterioro radiactivo Encontrarás una función exponencial que pasa por los puntos de una sucesión

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

El Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras LECCIÓN CONDENSADA 9.1 El Teorema de Pitágoras En esta lección Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Transformaciones. la cual el libro introduce en este capítulo. Si se traslada la gráfica de y 1 x 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades

Transformaciones. la cual el libro introduce en este capítulo. Si se traslada la gráfica de y 1 x 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades CAPÍTULO 8 Transformaciones Resumen de contenido En el Capítulo 8, los estudiantes continúan su trabajo con funciones, especialmente funciones no lineales a través del estudio adicional de las gráficas

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela Definición de función Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada en D, ha eactamente un par ordenado (, ) en W que tiene a en la primera posición. Terminología Definición

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Hoja de Actividades. Nombre: Fecha:

Hoja de Actividades. Nombre: Fecha: Hoja de Actividades Nombre: Fecha: PASO A PASO 1. Dada la función: y = cos () Es continua? Es periódica? Es simétrica respecto del eje Y? Solución: a) Haz clic en Ventana D b) Selecciona en la barra de

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS En una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta). TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

Secuencias definidas de manera recursiva

Secuencias definidas de manera recursiva LECCIÓN CONDENSADA 1.1 Secuencias definidas de manera recursiva En esta lección Escribirás definiciones y fórmulas recursivas para patrones y secuencias Aprenderás a reconocer y escribir fórmulas para

Más detalles

4.3 Función Logarítmica. Copyright Cengage Learning. All rights reserved.

4.3 Función Logarítmica. Copyright Cengage Learning. All rights reserved. 4.3 Función Logarítmica Copyright Cengage Learning. All rights reserved. Función Logarítmica La función que es inversa de la exponencial f (x) = b x es la función logarítmica. Introducimos el vocabulario

Más detalles

Diagrama de barras y gráficas de puntos

Diagrama de barras y gráficas de puntos LECCIÓN CONDENSADA 1.1 Diagrama de barras y gráficas de puntos En esta lección interpretarás y crearás diferentes gráficos encontrarás algunos valores sumarios de un conjunto de datos llegarás a conclusiones

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD Función Eponencial y Función Logarítmica 9 Alicia rió. "No sirve de nada intentarlo - dijo -; uno no puede creer cosas imposibles." - "Me atrevería a decir que no tienes

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

10Soluciones a los ejercicios y problemas

10Soluciones a los ejercicios y problemas 0Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano 7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES FUNCINES PLINÓMICAS RACINALES EJERCICIS PRPUESTS. Estudia y representa la siguiente función cuadrática: f(). Es una parábola con las ramas hacia arriba, pues a 0. El vértice es el punto V, 5 8. El eje

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Por: Ing. Mario René De León García.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función eponencial tiene la forma, donde a es la base de la potencia la variable es el eponente. Esta función

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Razonamiento inductivo

Razonamiento inductivo LECCIÓN CONDENSADA 2.1 Razonamiento inductivo En esta lección Aprenderás cómo se usa el razonamiento inductivo en la ciencia y en las matemáticas Usarás el razonamiento inductivo para hacer conjeturas

Más detalles

c) ( 1 punto ). Hallar el dominio de definición de la función ( ). Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene derivada.

c) ( 1 punto ). Hallar el dominio de definición de la función ( ). Hallar el conjunto de puntos en los que la función tiene derivada. Materiales producidos en el curso: Curso realizado por Escuelas Católicas del 7 de noviembre al 19 de diciembre de 2011 Título: Wiris para Matemáticas de ESO y Bachilleratos. Uso de Pizarra Digital y Proyector

Más detalles

Función Cuadrática *

Función Cuadrática * Función Cuadrática * Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1 Una función f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0, se llama una función cuadrática.

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

Proporciones. Puedes verificar que las proporciones son verdaderas por hallar el equivalente. 5 9 no es verdadera; 0.2 no es igual a 0.5.

Proporciones. Puedes verificar que las proporciones son verdaderas por hallar el equivalente. 5 9 no es verdadera; 0.2 no es igual a 0.5. LECCIÓN CONDENSADA.1 Proporciones En esta lección aprenderás varias maneras de escribir una razón aprenderás métodos para resolver proporciones resolverás problemas escribiendo y resolviendo proporciones

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Más detalles

Medidas de la tendencia central y las gráficas de caja

Medidas de la tendencia central y las gráficas de caja LECCIÓN CONDENSADA 2.1 Medidas de la tendencia central y las gráficas de caja En esta lección Encontrarás e interpretarás la media, la mediana, y la moda para unos conjuntos de datos Crearás e interpretarás

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y.

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y. FUNCIÓN CUADRÁTICA 5º AÑO 013 PROF. RUHL, CLAUDIA FUNCIÓN CUADRÁTICA BATÁN, ROMINA FORMA CANÓNICA FORMA POLINÓMICA FORMA FACTORIZADA Y = a. ( x h ) + k Y = a. x + b. x + c y = a. ( x x1 ). ( x x FORMA

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones

Estudio Gráfico de Funciones Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA. FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA. La ecuación de dichas funciones es de la forma f(x) = y = ax 3 +bx 2 +cx +d, donde a,b,c y d PRIMERAS CARACTERÍSTICAS: 1.- DOMINIO: por ser polinómicas

Más detalles

2. GRAFICA DE FUNCIONES

2. GRAFICA DE FUNCIONES . GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos:

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos: FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado de la forma y=ax +bx+c, cuya gráfica es una parábola de eje vertical, donde a representa la abertura de la parábola.

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES .5 FUNCIONES CON RADICALES UNIDAD : Funciones racionales y con radicales.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES Aprendizajes: - Eplora en una situación o problema que da lugar a una función

Más detalles

Gráficas de caja. El borde derecho de la caja es el tercer cuartil, Q 3, que es la mediana de los valores que están por encima de la mediana.

Gráficas de caja. El borde derecho de la caja es el tercer cuartil, Q 3, que es la mediana de los valores que están por encima de la mediana. LECCIÓN CONDENSADA 2.1 Gráficas de caja En esta lección crearás e interpretarás las gráficas de caja para conjuntos de datos usarás el rango intercuartil (IQR) para identificar valores extremos potenciales

Más detalles

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez Ejercicios de Matemática para Bachillerato Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Se pretende mediante este material contribuir a que los estudiantes que se preparan de

Más detalles

49 http://iedonboscohunter.hol.es

49 http://iedonboscohunter.hol.es 49 http://iedonboscohunter.hol.es MODULO PRECALCULO SEGUNDA UNIDAD Funciones Algebraicas Había un hombre en Roma que se parecía mucho a César Augusto; Augusto se enteró de ello, mandó buscarlo y le preguntó.

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo.

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo. 1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo. 1.5.1.- Introducción. Como ya mencionamos al inicio de estas

Más detalles

12 ESTUDIO DE FUNCIONES

12 ESTUDIO DE FUNCIONES ESTUDI DE FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS. Representa las siguientes funciones lineales e indica el valor de sus pendientes. a) y b) y 5 y = + y = 5 c) y a) m 0 b) m 5 c) m y =. Representa estas funciones

Más detalles

Posteriormente el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) fue el primero que utilizó el símbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos.

Posteriormente el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) fue el primero que utilizó el símbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos. Una función en matemáticas, es un término que se usa para indicar la relación entre dos o más magnitudes. El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue el primero que utilizó el término

Más detalles

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados

Más detalles

Duplicación de segmentos yángulos

Duplicación de segmentos yángulos LECCIÓN CONDENSD 3.1 Duplicación de segmentos yángulos En esta lección prenderás lo que significa crear una construcción geométrica Duplicarás un segmento usando una regla no graduada y un compás, y usando

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas

Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas CAPÍTULO Funciones.6 Tipos de funciones Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos mu particulares que son importantes en el estudio del cálculo..6. Funciones monótonas Una función

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La

Más detalles

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta. año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

4. Se considera la función f(x) =. Se pide:

4. Se considera la función f(x) =. Se pide: Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las acciones

Más detalles

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,

Más detalles

Funciones. Efraín Soto Apolinar

Funciones. Efraín Soto Apolinar Funciones Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Funciones Primera edición. Incluye índice.

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

representación gráfica de funciones

representación gráfica de funciones representación gráfica de funciones Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las funciones polinómicas y racionales.

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

La Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.

La Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1. LF.3.A1.2-Steve Cole-Determining Domain and Ranges- La Lección de hoy es sobre determinar el Dominio y el Rango. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.2 Qué es Dominio? Es

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas LECCIÓ CODESADA 12.1 Razones trigonométricas En esta lección Conocerás las razones trigonométricas seno, coseno, y tangente Usarás las razones trigonométricas para encontrar las longitudes laterales desconocidas

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

Funciones lineales. Año Hombres Mujeres 2008 40.3% 35.2% 2009 42.9% 37.6% 2010 45.1% 40.6%

Funciones lineales. Año Hombres Mujeres 2008 40.3% 35.2% 2009 42.9% 37.6% 2010 45.1% 40.6% Capítulo Funciones lineales Todos los días leemos, en los medios de comunicación, información basada en datos recopilados de fuentes estadísticas. En el Ecuador, el organismo encargado de recopilar datos

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas.

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas. Guía para el eamen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías matemáticas aplicadas. Septiembre 23 Índice. Instrucciones.. Objetivo....2. Requisitos....3. Característicasdeleamen...

Más detalles

9 Estudio de funciones

9 Estudio de funciones Solucionario 9 Estudio de funciones ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 0 0 b) 4 0 c) 0 d) 0 7 9 a) (, ) b) (, 4] c) (, ] [0, ] d) (, ) (4, ) 9.II. Halla el valor en radianes

Más detalles

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS.

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 008-009 MATEMÁTICAS II ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. Bloque 1. Dado el número real a, se considera el sistema a) Discuta el sistema según los valores

Más detalles

n la presente Unidad estudiamos los fundamentos de las funciones. Veremos las dos

n la presente Unidad estudiamos los fundamentos de las funciones. Veremos las dos UNIDAD Funciones n la presente Unidad estudiamos los fundamentos de las funciones. Veremos las dos E notaciones eistentes para familiarizarnos con los términos usados en Matemáticas, y así poder introducir

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

Geometría Vectorial y Analítica con GEOGEBRA

Geometría Vectorial y Analítica con GEOGEBRA Geometría Vectorial y Analítica con GEOGEBRA Fuente Martos, Miguel de la 1 Resumen Partiendo sólo de un conocimiento muy básico de GEOGEBRA, pretendemos trabajar con la mayoría de herramientas y comandos

Más detalles

Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación y Acreditación Especial. (Versión preliminar)

Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación y Acreditación Especial. (Versión preliminar) Guía de estudio para presentar eámenes de Recuperación Acreditación Especial (Versión preliminar) Diciembre de 004 ii Matemáticas II ÍNDICE PRESENTACIÓN... PRÓLOGO... vi vii UNIDAD 1. Sistema de ejes coordenados...

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

9 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

9 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA 9 FUNCINES DE PRPRCINALIDAD DIRECTA E INVERSA EJERCICIS PRPUESTS 9. Dibuja la gráfica de la función que eprese que el precio del litro de gasolina en los últimos 6 meses ha sido siempre de 0,967 euros.

Más detalles