R de Pearson para dos variables cuantitativas Vicente Manzano Arrondo 2014

Transcripción

1 R de Pearso para dos variables cuatitativas Vicete Mazao Arrodo 014 Teemos ua muestra aleatoria de expedietes académicos de estudiates de eseñazas medias. Tomamos sus resultados e las materias de geografía (variable X) y de historia (variable Y). Nos iteresa coocer si existe relació etre ambas. Tal vez o sea el objetivo de tu vida, pero se trata de dos variables claramete cuatitativas, medidas ambas e el itervalo habitual de 0 a 10 y, por tato, muy apropiadas para estudiar cómo se represeta gráficamete y cómo se cuatifica ua relació etre dos variables cuatitativas. Estudio de la relació. Diagrama de dispersió X Y Ua represetació gráfica idóea es tomar uos ejes cartesiaos, ubicar ua variable e el eje horizotal y otra e el vertical. Cada estudiate (su par de calificacioes e geografía es historia) será u puto e la gráfica. Ese puto expresa ua coordeada, posició o valor e X (putuació e geografía) y otra e Y (putuació e historia). Los datos se ecuetra a la izquierda de este párrafo. Y: Historia X: Geografía Observa, por ejemplo, el puto que está rodeado por ua elipse roja. Represeta a u estudiate que ha obteido u 5 e geografía y u 3 e historia. Auque hay 0 estudiates, podrás cotar solo 16 putos. Esto ocurre porque hay superposicioes: e 4 ocasioes hay coordeadas repetidas. Ocurre, por ejemplo co el par X:9, Y:7. Esta represetació gráfica tiee por ombre diagrama y por apellido de dispersió, puesto que expresa el grado e que los datos está dispersos a lo largo y alto de la superficie del gráfico. Para que resulte útil, es ecesario que exista realmete cierta dispersió. Si existiera mucha coicidecia etre pares de datos, el gráfico o mostraría lo que ocurre e realidad. Nos faltaría represetar ua tercera dimesió, algo así como la 1

2 profudidad, idicado el grado e que u mismo puto es visitado por más o meos pares de datos. Por otro lado, tambié se ecesita cierta dispersió o variabilidad e cada uo de los dos ejes. Si cotamos, por ejemplo, co ua variable co pocos valores (imagia que 4 o 5), auque se tratara de ua variable cuatitativa, o os serviría para u diagrama de dispersió porque o habría realmete dispersió e la superficie sio básicamete coicidecias, especialmete si el tamaño de la muestra es grade. Así que o os eteraríamos bie de lo que esté ocurriedo. E tales casos, es preferible acudir a ua tabla de cotigecia si ambas variables cuatitativas tiee pocos valores. Si ua de ellas tiee pocos valores y la otra muchos, podemos acudir a ua represetació gráfica propia de ua relació etre ua omial y ua cuatitativa, como veremos e u apartado posterior. El objetivo es que la represetació sea útil. Para ello, segú vemos, o solo es importate que se adapte al tipo de escala, sio que las variables represetadas cuete co suficietes valores como sea ecesario segú el tipo de gráfica que estemos utilizado. El diagrama de dispersió de uestro ejemplo es muy ilustrativo. Se observa co claridad que coforme las otas e ua asigatura tiee u valor mayor, tambié so mayores las calificacioes e la otra asigatura. Por este motivo, los putos se distribuye e toro a ua líea recta imagiaria que es ascedete. Este tipo de relació (lieal ascedete) se deomia relació positiva. Imagia que ocurriera lo cotrario: coforme mayores so las otas e ua asigatura, meores so las calificacioes e la otra. E tal caso, los putos se mostraría e toro a ua líea imagiaria descedete (más alta a la izquierda y más baja a la derecha). E tales casos se habla de relació egativa. Así pues, uestro diagrama de dispersió está hablado y dice he aquí ua relació positiva etre las otas e geografía e historia. Cuatificació. Coeficiete de correlació lieal simple de Pearso Observa este par de cojutos de datos: Cojuto A: 3, 1, 9, 1 Cojuto B: 7, 4, 9, Nos plateamos u juego. Cosiste e formar parejas de úmeros: uo del A co uo del B. Tedremos al fial 4 parejas. Pues bie. Esaya co ello. Juega geerado diferetes parejas. Hay seis combiacioes posibles. Iteta ecotrar la combiació que cosigue la máxima suma de productos cruzados. U producto cruzado es la multiplicació de los dos úmeros de u par. Si has jutado A:3 co B:9, el producto cruzado es 7. Cuado hayas geerado u cojuto de cuatro pares, calcula los cuatro productos cruzados y suma el resultado. Juega co ello y después sigue leyedo. No sé si has jugado realmete. Supogamos que sí. Si has ecotrado las seis agrupacioes posibles, has calculado los productos cruzados y los has sumado, ecotrarás que el valor máximo para esa suma ocurre cuado jutas los valores grades de ambos cojutos y, por tato, tambié los pequeños etre sí. El valor míimo ocurre cuado reúes los grades co los pequeños. La suma míima es: par 1 par par 3 par 4 A B Suma: AB

3 Y la máxima: par 1 par par 3 par 4 A B Suma: AB Las cuatro combiacioes restates sumiistra valores mayores que 90 y meores a 185. Aquí está el corazó del procedimieto que vamos a utilizar para cuatificar la relació etre dos variables cuatitativas. Si observas la suma míima de productos cruzados, ocurre cuado la relació etre las dos variables es egativa, mietras que la suma máxima tiee lugar e el caso cotrario: relació positiva. Parece, pues que u bue ídice de relació (ir) sería: ir = AB Parece u bue ídice, pero o lo es. Tiee u par de icoveietes importates. El primero es que es sesible al úmero de datos. Si e lugar de 4 pares cotáramos co 8, el procedimieto sumiistraría u valor más grade y eso o estaría señalado ua relació mayor, i ua mayor relació positiva, sio registrado úicamete que estamos cosiderado u cojuto más grade de datos. La solució parece imediata: e lugar de la suma, la media. No es mala cosa. El uevo ídice (ir) sería: ir = AB No obstate os queda el otro icoveiete: la escala de medida. Imagia que estamos registrado distacias e metros. Si se os ocurre registrarlas e cetímetros, todo queda multiplicado por 100. Es más, los productos cruzados geerará el efecto de que el resultado fial quede multiplicado por 100. Esto es ua barbaridad. Hay que corregirlo. Y sabemos muy bie cómo hacerlo. Lo sabemos porque coocemos ua forma de expresar valores o putuacioes que es idepediete de la escala: las putuacioes típicas, distacias estadarizadas o Zs. Si operamos co ellas e lugar de co las putuacioes origiales, tedremos uestro ídice, que auque se os ha ocurrido aquí, ya se le ocurrió tambié a otra persoa hace u siglo, uestro compañero de viaje Carl Pearso (el mismo que el coeficiete de variació y la chi cuadrado). Se le llama coeficiete de correlació lieal simple de Pearso y se simboliza co la letra r. r = Es u ídice, estadístico o coeficiete. Se deomia de correlació porque mide relació etre variables si que podamos establecer estadísticamete u setido (ua es causa de la otra), por lo que hablamos de co-relació. Lieal porque se refiere a ua relació que puede ser expresada mediate ua líea recta. Digamos que e lugar de hablar de líearectal o secillamete rectal, decimos lieal, algo que es de agradecer e castellao. Cuado la relació etre dos variables o sigue ua líea recta sio curva, hablamos de relació curvilíea. Es simple porque la lógica de este procedimieto puede aplicarse o solo al caso de relació etre dos variables, sio tambié de relació etre más de dos variables, e cuya situació ya o hablamos de coeficiete de correlació simple, sio múltiple. Y, por último, de Pearso, porque fue el ivetor de la cosa. Cuidado 3

4 co Carl Pearso. E efecto teía ua mete brillate para estos asutos, pero tambié es cierto que el hombre se preocupó de divulgar sus hallazgos, hallazgos que e muchas ocasioes era compartidos co persoas que o hiciero lo mismo, por lo que o cueta co u pedestal a lo pearso. Iterpretació de r Observa lo que ocurre co las dos combiacioes ateriores (míima y máxima) cuado calculamos r co ellas. Míima: par 1 par par 3 par 4 Máxima: par 1 par par 3 par 4 Los resultados se acerca mucho a -1 para la míima media de productos cruzados de putuacioes estadarizadas, y +1 para la máxima. Es más, los resultados obteidos o llega a 1 o -1 porque hemos arrastrado errores e los redodeos de Z. Obteer 1 o -1 No es ua casualidad. El coeficiete r se mueve e ese itervalo (-1, 1), co este sigificado: Cuado r = -1, la relació etre las dos variables es máxima y egativa. Coforme ua aumeta, la otra dismiuye y lo hace de tal modo que bastaría co coocer ua de las variables para deducir la otra (eso es lo que sigifica relació máxima). Cuado r = 1, la relació es máxima y positiva. Coforme ua aumeta, la otra tambié. Cuado r = 0, la relació es ula. Ocurra lo que ocurra co ua de las dos variables, o sabemos ada de la otra. So idepedietes. E cualquier ocasió, lo que expresa r es grado y setido de relació. Coforme mayor sea su valor absoluto (más cercao se ecuetre a -1 o a 1), mayor es la relació etre ambas variables. El setido de la relació (positiva o egativa) depede del sigo de r. Para ayudaros a iterpretar su cuatía, tomádolo como ua medida de tamaño de efecto, os vale las sugerecias de Cohe, que hemos visto para el caso de la chi cuadrado, utilizado los mismos putos de corte: r < 0,10: efecto ulo. 0,10 r < 0,30: efecto pequeño. 0,30 r < 0,50: efecto moderado. r 0,50: efecto grade. -1,183-0,73 0,60 1,96 1,300 0,557-0,557-1,300 Suma: -1,538-0,408-0,345-1,685-0,994-1,183-0,73 0,60 1,96-1,300-0,557 0,557 1,300 Suma: 1,538 0,408 0,345 1,685 0,994 4

5 A partir de r = 0,10, diremos que existe relació, si bie de efecto pequeño, moderado o grade. Visto más despacio, persoalmete yo pediría al meos r 0,30 para asumir algo de relació, puesto que al cotrario de lo que ocurre co la V de Cramer, r es muy sesible. Podrías ver diagramas de dispersió dode o hay forma de apreciar relació, co valores de r claramete superiores a 0,10. He dicho persoalmete yo pediría. No es lo que suele hacerse e la comuidad académica y, por tato, o es exigible e esta asigatura. Pero llamo la ateció sobre ello: u poco más de exigecia co r o vedría ada mal. Ua última aclaració: r mide relació lieal, es decir, relació que puede ser represetada mediate ua líea recta. Si hay relació etre dos variables pero o cumple esa codició de liealidad, etoces r puede sumiistrar icluso el valor 0. Por eso, etre otras razoes ya expuestas, es importate que ates de abordar la cuatificació llevemos a cabo ua represetació gráfica de la relació etre ambas variables. Más fácil de calcular Para despediros de r es bueo teer e cueta que existe otras formas de calcularlo. Obviamete, todas lleva al mismo resultado. Ocurre como pasó co la variaza. Recuerda sus dos versioes: S ( X = i X ) = X i X Ambas expresioes permite calcular el valor de la variaza. La primera es preferible para compreder mejor e qué cosiste el cálculo. La seguda lo hace más secillo y rápido. Lo mismo ocurre co el coeficiete de correlació lieal simple de Pearso. Hemos visto la expresió de cálculo que permite compreder mejor e qué cosiste. Pero para calcular el ídice es preferible otra, que se deduce de la primera cuado se sustituye las distacias estadarizadas por sus expresioes de cálculo: r = = X A X B X A X B S A S B La seguda expresió es más secilla de calcular que la primera, auque la primera expresa co más claridad el sigificado de lo que estamos haciedo. La ueva expresió puede ser recordada como media de productos meos producto de medias etre las desviacioes. Vamos realizar los cálculos para uestro ejemplo, de las dos formas. Para ello, partimos de ua tabla co resultados itermedios. Esta tabla va a cotar co ua fila para cada caso (e uestro ejemplo, u caso se refiere a ua persoa), co la siguiete iformació: putuació directa e las variables A y B (lo ecesitamos para el cálculo de la media de cada variable y para el producto X A X B e la seguda versió del cálculo de r), putuacioes cuadráticas de A y B (lo ecesitamos para el cálculo de las desviacioes tipo), producto cruzado de las putuacioes directas (para el cálculo de r e la seguda versió) y putuacioes tipo co sus productos cruzados (para el cálculo de r e su primera versió). Co todo ello: 5

6 X X Y Y XY Zx Zy ZxZy ,445 0,301-0, ,03-0,46-0, ,03 0,847 0, ,49 0,301 0, ,85-1,339, ,961 0,847 0, ,430 0,847 1, ,914-1,339 1, ,961 0,847 0, ,430 1,394 1, ,430 0,847 1, ,961 0,847 0, ,49 0,301 0, ,445-0,46 0, ,383-1,886, ,914-1,339 1, ,383-0,793 1, ,445-1,339 0, ,914-0,46 0, ,49 1,394 0,686 Suma ,000 0,000 17,88 Media 5,95 39,95 5,45 33,05 35,8 0,000 0,000 0,864 S X = X X A = A = = 5,95 X = X B B = = 5,45 X i X = ,95 =,135 S Y = ,45 = 1,896 r = = 17,88 0 = 0,864 r = X X X X A B A B 35,8 5,95 5,45 = S A S B,135 1,896 = 0,864 E uestro ejemplo, co la relació etre calificacioes de geografía y de historia, el valor que obteemos es r = 0,86, lo que idica claramete u efecto grade. 6