Análisis de Sistemas Lineales. Controlabilidad y Observabilidad

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María Cristina Núñez Alcaraz
hace 6 años
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1 Análisis de Sistems Lineles Controlbilidd y Observbilidd

2 Contenido Controlbilidd de estdo Trnsformción form cnónic (regulr) controlble, FCC Observbilidd de estdo Trnsformción form cnónic (regulr) observble, FCO Ejemplos y ejercicios E. Interino

3 Controlbilidd L controlbilidd trt de l existenci de un vector de control que puede cusr que el estdo del sistem llegue lgún estdo rbitrrio en un tiempo finito. El concepto de controlbilidd es l bse pr solucionr el problem de l ubicción de polos Si el sistem es de estdo completmente controlble, entonces es posible seleccionr los polos en lzo cerrdo desedos (o ls ríces de l ecución crcterístic) E. Interino

4 Controlbilidd de estdo Prtimos del sistem MIMO x Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) Pr que este sistem se de estdo completmente controlble, es necesrio y suficiente que l mtriz de controlbilidd M de n x nr teng rngo n M [B AB A B A n- B] E. Interino 4

5 Pruebs pr l controlbilidd de estdo Si M no es cudrd (MIMO), se puede formr l mtriz MM, que es de n x n; entonces si MM es no singulr M tiene rngo n. El pr [A, B] es completmente controlble si A y B están en l Form Cnónic Controlble o FCC, o son trnsformbles l Form Cnónic Controlble E. Interino 5

Pruebs pr l controlbilidd de estdo () Si los vlores propios de A son diferentes y A está en l Form Cnónic Digonl el pr [A, B] es completmente controlble si todos los elementos de B no son cero Si A

6 Pruebs pr l controlbilidd de estdo () Si los vlores propios de A son diferentes y A está en l Form Cnónic Digonl el pr [A, B] es completmente controlble si todos los elementos de B no son cero Si A está en l Form Cnónic de Jordn, el pr [A, B] es completmente controlble si l menos uno, de los elementos en los renglones de B que corresponden l último renglón de cd bloque de Jordn, es diferente de cero E. Interino 6

7 Ejemplo : Controlbilidd Se el sistem SISO descrito por: A - B L mtriz de controlbilidd (nxn) es M [ B AB] Que es singulr y por lo tnto el sistem es NO controlble. - E. Interino 7

8 E. Interino 8 Form cnónic controlble (SISO) u d x c y u x x T n n Ls mtrices o vectores C y D no siguen ningún ptrón en prticulr

9 Estructur del modelo FCC (SISO) E. Interino 9

10 E. Interino Trnsformción FCC Se T l mtriz de trnsformción, con M l mtriz de controlbilidd donde ls i son los coeficientes crcterísticos T MW n n W n n n A I B] A B A AB [B M n-

11 Trnsformción FCC Se define xˆ como un nuevo vector de estdo x Txˆ Si el sistem tiene estdo completo controlble, l mtriz T tiene invers. Utilizndo l mtriz T se puede trnsformr el sistem l form cnónic controlble: xˆ y T ATxˆ T CTxˆ Du Bu E. Interino

12 Ejercicio Encuentre si el sistem es controlble y trnsfórmelo l form cnónic controlble o FCC x 4 5 [ ] x y x u E. Interino

13 Solución l ejercicio Prueb de controlbilidd M 9 [ B AB] Como M es nxn, y su determinnte no es cero, entonces el pr (A,B) es controlble E. Interino

14 Solución l ejercicio Conversión FCC E. Interino 4 ( ) det det T W A I MW T

15 Solución l ejercicio Conversión FCC E. Interino 5 [ ] [ ] 5 7 ~ / / / / ~ / / / / ~ : ~~ ~ ~~ ~ T c CT C b T B T B AT T A Du Cx y Bu Ax x T Verificción

16 Observbilidd: definición Prtimos del sistem se dice que el estdo x(t ) es observble si dd culquier entrd u(t), existe un tiempo finito t f t tl que, el conocimiento de: u(t) pr t t < t f ls mtrices A, B, C y D x Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) l slid y(t) pr t t < t f se suficiente pr determinr x(t ). E. Interino 6

17 Observbilidd: definición Si cd estdo del sistem es observble pr un tiempo finito, se dice que el sistem es completmente observble, o simplemente observble. Pr que el sistem descrito se completmente observble, es necesrio y suficiente que S, l mtriz de observbilidd de np x n, teng un rngo n. S C CA CA... CA n E. Interino 7

18 Pruebs pr l observbilidd Si el sistem tiene solo un slid, C es un mtriz de reglón de x n y S es un mtriz cudrd de n x n. Entonces, el sistem es completmente observble si S es no singulr Pr un sistem SISO, el pr [A,C] es completmente observble si A y C están en l form cnónic observble (FCO) o son trnsformbles l FCO medinte un trnsformción de similitud. E. Interino 8

19 Pruebs pr l observbilidd () Si A está en l form cnónic digonl (FCD) el pr [A,C] es completmente observble si todos los elementos en ls columns de C son diferentes de cero. Si A está en l form cnónic de Jordn (FCJ), el pr [A,C] es completmente observble si l menos uno, de los elementos en ls columns de C que corresponden l primer column de cd bloque de Jordn, es diferente de cero. E. Interino 9

20 E. Interino Los elementos de ls mtrices y no están restringidos ningun form L form cnónic observble ˆ n A [ ].. ˆ C Bˆ Dˆ

21 Estructur del modelo FCO E. Interino

22 E. Interino Ejemplo : Sistem con cncelción de polos Se l función de trnsferenci: Se descompone en l form FCC, por lo que es controlble. Pero, cuy mtriz de observbilidd, S, es singulr y por ello el pr [A,C] no es observble ) )( ( ) ( ) ( s s s s U s Y [ ] C B A CA C S

23 E. Interino Ejemplo : continución El sistem en form FCC se trnsform l form FCO Debido que l FCO se puede relizr, el pr [A, C] es observble; pero, M es singulr y se pierde l controlbilidd [ ] C B A [ ]x x x y u [ ] AB B M

24 E. Interino 4 Trnsformción FCO Se Q l mtriz de trnsformción, con S l mtriz de observbilidd Y con WS Q ) ( n n W n CA... CA CA C S

25 Trnsformción FCO Se define xˆ como un nuevo vector de estdo x Qxˆ Si el sistem es observble, l mtriz Q tiene invers. Utilizndo l mtriz Q se puede trnsformr el sistem l form cnónic observble: ~ x Q AQx ~ Q y CQx ~ Du Bu E. Interino 5

26 Ejercicio Encuentre si el sistem es observble y trnsfórmelo l form cnónic observble o FCO x 4 5 [ ] x y x u E. Interino 6

27 Solución l ejercicio Prueb de observbilidd C S CA 6 Como S es nxn, y su determinnte no es cero, entonces el pr (A,C) es observble E. Interino 7

28 Solución l ejercicio Conversión FCO E. Interino 8 ( ) det det ) ( Q W A I WS Q

29 Solución l ejercicio Conversión FCO E. Interino 9 [ ] [ ] 9 7 / 9 / 9 4/ 9 / ~ ~ / 9 / 9 4/ 9 / ~ : ~~ ~ ~~ ~ Q c CQ C b Q B Q B AQ Q A Du Cx y Bu Ax x T Verificción

30 Ejercicio. Encuentre si el sistem continuo mostrdo es controlble y observble. - 4 x ( t) x( t) u( t) - [ ] x( ) y( t) t. Trnsforme si es posible el sistem nterior l form cnónic controlble, FCC, l form cnónic observble, FCO y l form cnónic digonl, FCD. E. Interino

31 Aplicción de l controlbilidd: Relimentción de estdo Tenemos un sistem descrito por x Ax Bu Hcemos l señl u como u Kx Sustituyendo obtenemos x ( A BK) x( t) E. Interino

32 Relimentción de estdo Puede observrse que el nuevo sistem posee un nuev mtriz ~ A ( A BK) Que posee nuevos vlores propios µ, µ, µ n det( I ( A BK)) E. Interino 4

Ejemplo : Ubicción de polos Considere el sistem continuo en FCC, lo cul signific que es controlble, tiene los vlores propios siguientes: Problem: se

33 Ejemplo : Ubicción de polos Considere el sistem continuo en FCC, lo cul signific que es controlble, tiene los vlores propios siguientes: Problem: se dese colocr rbitrrimente los vlores propios o polos de lzo cerrdo en µ - y µ -. Es decir: E. Interino 5 [ ]x x x y u ( ) ( )( ) ( )( ) 6 5 ~ det µ µ A I

34 Ejemplo : Solución por sustitución direct de K Por sustitución direct de K [k, k ] en el polinomio crcterístico desedo Comprndo polinomios obtenemos K: K [ 7 5 ] E. Interino 6 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) k k k k k k BK A I ( ) 6 5 k k

35 Referencis [] Kuo, Benjmin C.. Sistems de Control Automático, Ed. 7, Prentice Hll, 996, México. [] Ogt, Ktsuhiko. Ingenierí de Control Modern, Person, Prentice Hll,, 4ª Ed., Mdrid. E. Interino 7

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