1 Introducción al Álgebra conmutativa

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1 1 Introducción al Álgebra conmutativa Escrito por: Patrizio Guagliardo y Miguel Monsalve. A continuación, daremos algunas definiciones básicas de estructuras algebraicas para empezar a trabajar rápidamente con anillos conmutativos. En primer lugar, veamos qué estructuras puede adquirir un conjunto dotado con una única operación: sea G un conjunto arbitrario con una operación binaria y sean a, b, c G. Consideremos las siguientes propiedades: (i) a b G, es decir, es cerrado en G; (ii) (a b) c = a (b c) (asociatividad); (iii) e G tal que a e = e a = a (elemento neutro); (iv) a 1 G con a a 1 = a 1 a = e. (elemento inverso). Decimos que (G, ) es un semigrupo si cumple las propiedades (i) y (ii), y que (G, ) es un grupo si además cumple (iii) y (iv). Un grupo abeliano es un grupo (G, ) en el cual para todo a, b G se cumple a b = b a (conmutatividad). Un anillo (A, +, ) es un conjunto A dotado con dos operaciones: suma y producto; de modo que (A, +) es un grupo abeliano, (A, ) es un semigrupo y A cumple la propiedad distributiva: a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c para todo a, b, c A. Decimos que A es un anillo unitario si (A, ) cumple también la propiedad (iii), es decir, pedimos que el anillo tenga un elemento neutro respecto a la multiplicación que además tiene que ser distinto al elemento neutro respecto a la suma. Al elemento neutro respecto a la suma lo denotamos por 0, mientras que al elemento neutro respecto a la multiplicación por 1. Un anillo conmutativo es un anillo A que es conmutativo respecto a la multiplicación. Teorema Sea A un anillo. Entonces para todo a, b, c A se cumple (i) a 0 = 0 a = 0; (ii) a ( b) = ( a) b = (ab); (iii) ( a) ( b) = a b; (iv) a (b c) = a b a c y también (b c) a = b a c a. Si además A es un anillo unitario (v) ( 1) a = a; (vi) ( 1) ( 1) = 1. Este último teorema viene a decir que en cualquier anillo las operaciones funcionan como esperamos. Una prueba de este resultado puede encontrarse en el libro Contemporary abstract algebra de Gallian. Ejemplo Veamos algunos ejemplos de anillos: 1

2 1.1 Dominios de integridad y cuerpos 2 (i) A = 0 es el llamado anillo trivial. Nótese que este el único anillo en el que los elementos neutros respecto a la suma y el producto coinciden. (ii) Los números enteros Z con la suma y la multiplicación son un ejemplo de anillo conmutativo. (iii) Anillos de matrices, por ejemplo: A = {( ) } a b c d a, b, c, d Z con la suma y el producto de matrices usual. Este es un buen ejemplo de anillo infinito no conmutativo, ya que: ( ) ( ) ( ) = ; 3 4 ( ) 1 0 ( ) 1 2 = ( (iv) Z n el conjunto de clases módulo n con la suma y la multiplicación son un ejemplo de anillos conmutativos finitos. (v) Dado un anillo A, se define su anillo de polinomios como: ). A[x] := { a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n a i A, n N }. A[x] forma un anillo con la suma y el producto usuales: m a i x i + n a ix i := ( m ) ( n ) a i x i a ix i := máx(m,n) m+n (a i + a i)x i ; k+j=i a k a j x i que hereda algunas de las características del anillo A, por ejemplo, la conmutatividad. Al igual que cuando consideramos grupos y subgrupos, en el caso de anillos también nos interesarán las subestructuras que pueda contener un anillo. Así pues, dado un subconjunto S del anillo (A, +, ) se dice que es un subanillo si (S, +, ) tiene en sí mismo estructura de anillo. En lo que sigue, salvo aclaración explícita, trabajaremos exclusivamente con anillos conmutativos, a los que denotaremos por R. Cuando se quiera hablar en un contexto más general (en el que la conmutatividad no sea un factor esencial), denotaremos a nuestro anillo como lo hemos hecho hasta ahora: con la letra A Dominios de integridad y cuerpos Un elemento no nulo a de un anillo conmutativo unitario R se le llama divisor de cero si existe otro elemento no nulo b R tal que ab = 0. Un dominio de integridad es un anillo conmutativo unitario que no tiene divisores de cero; es decir, si ab = 0, entonces o bien a = 0 o b = 0. Observamos que en un dominio de integridad se cumple la ley de cancelación. Es decir, si a 0 y ab = ac entonces se cumple b = c. Esto se demuestra observando que ab = ac es lo mismo que a(b c) = 0, y como a 0 tenemos que b c = 0 lo que implica b = c. Un cuerpo es un conjunto F dotado con las dos operaciones + y, tales que (F, +) y (F \ {0}, ) son ambos grupos abelianos y que además se cumple la propiedad distributiva. Equivalentemente, si llamamos unidad a todo elemento de un anillo que tiene un elemento inverso respecto de la multiplicación; se tiene que un cuerpo es un anillo conmutativo unitario en el que todo elemento no nulo es una unidad. Proposición Sea R un anillo conmutativo, entonces: {Unidades de R} {Divisores de cero de R} =. Además, si todos los elementos de R, salvo un número finito, son unidades o divisores de cero (incluyendo al 0); entonces, todos los elementos de R son unidades o divisores de cero.

3 1.2 Característica de un anillo 3 Demostración. Sea a R simultáneamente una unidad y un divisor de cero, esto es, existe a R tal que a a = 1 y existe b R no nulo, de modo que a b = 0. Sumando y sacando factor común, tenemos que: a (a b) = 1. Como a, a y a b son unidades y éstas con el producto forman un grupo, podemos usar la propiedad cancelativa; de lo que se deduce que a = a b, es decir b = 0 y llegamos a una contradicción ya que b 0. Supongamos que el conjunto finito N de no unidades y no divisores de cero es no vacío, y sea a N. Entonces, a n N para todo n 1, ya que la potencia de una no unidad es también una no unidad y análogamente, la potencia de un no divisor de cero es también un no divisor de cero. Por tanto, como N es finito, existirán m > n de modo que a m = a n, restando y sacando factor común, deducimos que: a m n (a n 1) = 0. Como a m n no es un divisor de cero, cancelando en la ecuación, obtenemos que a n 1 = 0, es decir a n = 1; y llegamos a una contradicción con que a no sea una unidad. Un corolario inmediato de esta proposición es: Corolario Sea R un anillo conmutativo finito, entonces todos sus elementos no nulos son unidades o divisores de cero. Nótese que esta afirmación no es cierta para anillos infinitos. Tómese como contraejemplo inmediato a 2 Z: no es ni unidad ni divisor de cero. Proposición Si R es un dominio de integridad, R[X] también lo es. Demostración. Sean f y g dos polinomios de la forma f(x) = a n x n + + a 1 x + a 0, g(x) = b n x n + + b 1 x + b 0, donde a n 0 y b n 0. Pero entonces fg = a n b m x n+m + + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + a 0 b 0. Como R es un dominio de integridad, a n b m 0, de modo que fg 0 con grado deg(fg) = n + m Característica de un anillo La característica de un anillo A es el entero positivo más pequeño tal que nx = 0 para todo x A. Si no existe tal entero, decimos que el anillo tiene característica 0. Podemos observar que la característica de un anillo unitario A depende del orden aditivo del elemento unitario: si 1 tiene orden aditivo n (n es el entero positivo más pequeño tal que n 1 = 0), entonces para todo x A se tiene nx = (n 1)x = 0x = 0. Es decir, A tiene característica n. Si 1 tiene orden infinito, no existe ningún n con n 1 = 0, por lo que A tiene característica 0. Si el anillo además es un dominio de integridad, y suponemos que n es el orden aditivo del elemento neutro 1 y que n = st donde 1 < s, t < n. Entonces 0 = n 1 = st 1 = (s 1)(t 1). Pero como es un dominio de integridad, (s 1) = 0 o (t 1) = 0. Esto contradice que n puede ser un producto de dos enteros positivos distintos a 1, lo que nos lleva a que n tiene que ser un numero primo: Teorema La característica de un dominio de integridad es 0 o un número primo. Como consecuencia inmediata de este teorema y del corolario 1.1.2, tenemos el siguiente resultado: Corolario Un dominio de integridad finito es un cuerpo. En particular, para todo p primo Z p es un cuerpo.

4 1.3 Ideales y anillos cocientes Ideales y anillos cocientes Dado un subconjunto S del anillo R, definimos en R la relación: r r si r r S. Sin embargo, lo anterior no define en general una relación de equivalencia: hay que imponerle a S algunas condiciones adicionales. En primer lugar, la propiedad reflexiva se cumple siempre y cuando 0 S; puesto que r r si y solamente si r r = 0 S. Por otro lado, se ha de cumplir la propiedad simétrica, esto es: r s si y sólo si s r, o equivalentemente r s S si y sólo si (r s) S; de modo que es necesario que todos los inversos aditivos de los elementos de S estén contenidos en S. Finalmente, es preciso que se cumpla la propiedad transitiva, esto es: si r s y s t entonces r t; teniendo en cuenta que r t = r s + s t se tendrá la propiedad transitiva siempre y cuando S sea cerrado con la suma. Por lo que, en primera instancia, para que lo anterior defina una relación de equivalencia es necesario que S sea un grupo con la suma. Es fácil comprobar que si S es un subrupo aditivo de R entonces el conjunto cociente R/S es un grupo aditivo. Por consiguiente, para que el conjunto cociente R/S tenga estructura de anillo, basta con que nos ocupemos exclusivamente de la multiplicación y le exijamos, quizás, alguna propiedad adicional al subconjunto S: Definición Decimos que a R es un ideal si (a, +) es un subgrupo de (R, +) y si para todo a a y para todo x R se cumple que ax a (propiedad de absorción). Decimos que a es un ideal propio cuando a está estrictamente contenido en R. Un ideal principal es un ideal generado por un único elemento. Ejemplo (i) Como ejemplo trivial, nótese que 0 es siempre un ideal de cualquier anillo R. (ii) Para todo entero n, nz es un ideal de Z. Nótese aquí que el conjunto 2Z de todos los números pares define un ideal; mientras que el conjunto 2Z + 1 de todos los números impares no lo es, ya que en este caso no se cumple la propiedad de absorción. (iii) Si R es un anillo unitario y si a es un ideal que contiene a 1 entonces a = R. En general, si a contiene una unidad entonces a = R. (iv) El conjunto de polinomios en R[X] divisibles por x forman un ideal que se denota por x (v) Un ejemplo más avanzado que más adelante será de interés: el anillo H(U) de todas las funciones holomorfas sobre un dominio U contiene ideales que son de la forma {f H(U) f(p) = 0} para cada punto p U. Es facíl comprobar que se trata de un ideal. Análogamente se puede encontrar ideales de esta forma en el anillo de polinomios k[x 1,..., x n ] para cada punto p k n. Un punto importante a aclarar es: no confundir el concepto de ideal con el de subanillo aunque sus definiciones puedan parecer similares. Por ejemplo: un subanillo siempre tiene al elemento 1, mientras que un ideal (siempre y cuando no sea propio) no lo contendrá. Sea R un anillo y a un ideal de R. Ya sabemos que R/a = {r + a r R} define un grupo respecto de la suma. En el siguiente teorema vamos a demostrar que si definimos el producto de s + a y t + a como st + a, entonces R/a es un anillo si y solamente si a es un ideal: Teorema Sea R un anillo y a un ideal de R. La unión de las clases de equivalencia {r + a r R} con las operaciones (s + a) + (t + a) = s + t + a y (s + a)(t + a) = st + a es un anillo si y solamente si a es un ideal de R. Demostración. Tenemos que ver que la multiplicación está bien definida si y solamente si a es un ideal de R. ( ) Por definición tenemos s = s + a 1 y t = t + a 2 donde a 1, a 2 a. Queremos ver que st + a = s t + a. Entonces st = (s + a 1 )(t + a 2 ) = s t + a 1 t + s a 2 + a 1 a 2, st + a = s t + a 1 t + s a 2 + a 1 a 2 + a = s t + a,

5 1.4 Ideales maximales y primos 5 ya que por la propiedad de absorción de los ideales tenemos que a 1 t, s a 2, a 1 a 2 a. Concluimos que la multiplicación está bien definida cuando a es un ideal. ( )Supongamos ahora que a no es un ideal de R, pero si al menos un subgrupo con respecto a la suma. Entonces existen elementos a a y r R tal que ar / a. Consideramos los elementos a + a = 0 + a y r + a. Obviamente (a + a)(r + a) = ar + a, pero (0 + a)(r + a) = a. Como ar + a a, vemos que la multiplicación no está bien definida y la unión de las clases de equivalencia {r + a r R} no es un anillo. Como iremos viendo a lo largo del capítulo, el retículo de ideales de un anillo R nos dará información relevante sobre la estructura del anillo. Por ejemplo: Proposición Un anillo R es un cuerpo si y sólo si su único ideal propio es 0. Demostración. ( ) Sea a un ideal no trivial de R, y sea a a un elemento no nulo. Consideremos el ideal a := {ax x R}. Por un lado, claramente a a. Mientras que por otro lado, existe b R tal que ab = 1 a a; de donde se deduce que a = R. ( ) Sea a R un elemento no nulo, de nuevo consideremos el ideal a de la primera implicación. Entonces, por hipótesis a = R; esto es, existe b R tal que ab = 1 y por tanto R es un cuerpo. Ejemplo (Cuerpos F p ). Sea p Z un primo cualquiera y consideremos el ideal pz, formado por los múltiplos de p. De la anterior construcción, tenemos que Z/pZ tiene estructura de anillo con la suma y el producto. Vamos a afinar un poco más: sea i un ideal propio de Z/pZ, como Z/pZ tiene p elementos y como (i, +) es un subgrupo de (Z/pZ, +), se deduce que i tiene 1 ó p elementos (ya que el número de elementos de cualquier subgrupo es un divisor del número de elementos del grupo). Como i es un ideal propio, se sigue que i puede tener sólo un elemento, esto es: i = 0. De la proposición se sigue que F p := (Z/pZ, +, ) es un cuerpo para todo p primo Operaciones con ideales Dado un subconjunto cualquiera S del anillo R definimos el ideal generado por S como el mínimo ideal que contiene a S, lo cual es equivalente a { N } S := a i x i a i R, x i S, N 1. i=1 Si tenemos dos ideales cualesquiera a, b R, entonces nos preguntamos si la unión, intersección, suma o multiplicación de estos dos ideales (y por tanto de, al menos, un numero finito de ideales) es un ideal. (i) a + b := {a + b a a, b b} es el ideal más pequeño de R que contiene a a y b; (ii) a b es un ideal; (iii) a b no es en general un ideal; (iv) a b := {ab a a, b b} es el ideal generado por los elementos a b con a a, b b; (v) a b a b. Un ejemplo, donde la igualdad en (v) no se cumple, es en R[X] lo siguiente: x x = x 2 x x = x. Más adelante, veremos una condición suficiente para que se cumpla la igualdad. Por otro lado, un ejemplo del punto (iii) es 2 3 en Z Ideales maximales y primos Vemos ahora que si le pedimos alguna propiedad más a un ideal, entonces resulta que el anillo cociente R/a pasa a ser un dominio de integridad o incluso un cuerpo. Vamos a definir lo siguiente:

6 1.4 Ideales maximales y primos 6 Definición Sea a un ideal propio de R. Entonces, se dice que a R es un ideal primo si siempre que ab a se tiene que a a o b a. Por otro lado, se dice que a R es un ideal maximal si dado cualquier ideal propio b tal que a b, se tiene que b = a. Al conjunto de ideales primos del anillo R se le conoce como el espectro de R y se denota mediante specr. Antes de trabajar con ideales primos y maximales, vamos a enunciar un teorema fundamental, el llamado Lema de Zorn. Para ello recordamos primero que es un conjunto parcialmente ordenado. Decimos que un orden parcial es una relación binaria sobre un conjunto X que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Entonces decimos que (X, ) es un conjunto parcialmente ordenado. Teorema (Lema de Zorn). Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior, contiene al menos un elemento maximal. Teorema Cualquier anillo no trivial tiene por lo menos un ideal maximal. Demostración. Sea Σ el conjunto de todos los ideales propios de un anillo arbitrario R. En primer lugar, observamos que Σ, ya que 0 Σ. Para poder aplicar el lema de Zorn, tenemos que ver que cada cadena creciente en Σ tiene una cota superior en Σ. Sea {a n } n 1 una cadena creciente, donde para cada par de indices n m 1 se cumple que a m a n. Definimos a = n 1 a n, que es un ideal (es inmediato comprobarlo) y que además es propio ya que cumple que 1 / a, puesto que 1 / a n para todo n 1. Por tanto, a Σ y es una cota superior de la cadena creciente {a n } n 1. Por el lema de Zorn concluimos que existe un elemento maximal. Teorema Sea R un anillo y sea a un ideal de R. Entonces R/a es un dominio de integridad si y solamente si a es primo. Demostración. ( ) Supongamos que R/a es un dominio de integridad y que st a. Vemos que (s + a)(t + a) = st + a = a es el elemento cero del anillo R/a. Entonces o bien s + a = a o bien t + a = a, es decir, s a o t a. En consecuencia, a es un ideal primo. ( ) Ahora suponemos que a es primo y que (s + a)(t + a) = 0 + a = a. Entonces st a y por tanto s a ó t a. Esto implica que o bien s + a = a o bien t + a = a. Teorema Sea R un anillo y sea a un ideal de R. Entonces R/a es un cuerpo si y solamente si a es maximal. Demostración. ( ) Sea R/a un cuerpo y supongamos que existe un ideal b tal que a b. Entonces existe un elemento x b tal que x / a, lo cual implica que x + a a. Como x + a no es un elemento nulo en R/a, ha de ser una unidad en R/a. Existe entonces un elemento y + a tal que (x + a)(y + a) = 1 + a. Por tanto, 1 xy a y en consecuencia (1 xy) + xy = 1 b, lo cual implica que b = R. ( ) Ahora supongamos que a es maximal y sea x R pero x / a. Basta con demostrar que x + a es una unidad en R/a. Es fácil ver que b := x + a es un ideal tal que a b. Pero como a es maximal, se ha de cumplir que b = R y por tanto 1 b, es decir, 1 = xr 1 + a 1 b, para algún a 1 a y algún r R. Entonces 1 + a = xr 1 + a 1 + a = xr 1 + a = (x + a)(r 1 + a). Veamos un par de ejemplos importantes en este punto: Ejemplo Construcción de cuerpos finitos. Sea p un número primo. En primer lugar, consideremos F p [x] el anillo de polinomios con coeficientes en F p. Nótese que como en F p [x] existe algoritmo de división, resulta que sus ideales maximales son los generados por un polinomio irreducible, es decir: a es maximal en F p [x] a = p(x), para p(x) irreducible.

7 1.5 Homomorfismos de anillos 7 Por tanto, si escogemos un polinomio irreducible p(x) F p [x], digamos de grado n, y tomamos el anillo cociente F p n := F p[x] / p(x) habremos construido un cuerpo finito con p n elementos. Por otro lado, se puede probar que todo cuerpo finito tiene orden potencia de un primo. Recordemos el teorema 1.2.1: la característica de un cuerpo finito es siempre un número primo. Así pues, dado k un cuerpo finito de característica p primo, se puede probar que existe una copia de F p dentro de k. Llegados a este punto, no es difícil ver que k puede entenderse como un F p espacio vectorial de dimensión finita: k k k (u, v) u + v F p k k (a, v) a v De lo que se sigue que k tiene p n elementos para algún n 1 entero positivo. Ejemplo Cuerpos ciclotómicos: Sea ζ n = e 2πi/n para n entero positivo. A el número ζ n se le dice raíz n-ésima de la unidad, ya que ζ n n = 1. Claramente para n 3 se tiene que ζ n Q. Vamos a construir el menor cuerpo que contenga a ζ n y a Q simultáneamente, para todo n. Denotemos por φ n (x) Q[x] el polinomio mónico de menor grado para el cual ζ n es raíz. Claramente, la condición sobre el grado impone la irreducibilidad del polinomio φ n (x), y por tanto tenemos que Q[x] / φ n (x) es un cuerpo. Los cuerpos construidos de este modo se denominan cuerpos ciclotómicos. Más adelante, en el segundo capítulo, volveremos sobre este ejemplo para dar más detalles Homomorfismos de anillos Dados dos anillos (A, +, ) y (B, +, ) se dice que f : A B es un homomorfismo de anillos si para todo a, b A se tiene: (i) f(a + b) = f(a) + f(b); (ii) f(a b) = f(a) f(b). Para anillos unitarios, además se impone la condición: (iii) f(1 A ) = 1 B. Además, se dice que f es un isomorfismo si es un homomorfismo de anillos biyectivo con la inversa f 1 : B A un homomorfismo de anillo biyectivo también, y en tal caso a A y B se les dice isomorfos y se denota por A = B. Sin embargo, si f es un homomorfismo de anillos biyectivo, la inversa ya es un homorfismo de anillos. En efecto, sean a, b f(a) = B, entonces a = f(a ) y b = f(b ) de modo que f 1 (a + b) = f 1 (f(a ) + f(b )) = f 1 (f(a + b )) = f 1 (a) + f 1 (b) f 1 (a b) = f 1 (f(a ) f(b )) = f 1 (f(a b )) = f 1 (a) f 1 (b). Por esta razón, basta con que f : A B sea un homomorfismo de anillos biyectivo, para establecer un ismorfismo de anillos. Teorema (Primer teorema de isomorfía para anillos). Sea f : R S un homomorfismo de anillos. Entonces R/ ker f = Imf. Teorema (Segundo teorema de isomorfía para anillos). Sea R un anillo, S un subanillo y a un ideal de R. Entonces S + a a = S S a.

8 1.6 Suma directa, producto directo 8 Teorema (Tercer teorema de isomorfía para anillos). Sean a b R ideales con R un anillo. Entonces b/a es un ideal en R/a y además R/b = R/a b/a Suma directa, producto directo La suma directa de anillos R i, (i I) se denota por i I R i consta de las sucesiones {a i } i I con a i R i tal que a i 0 para sólo un numero finito de i I. A la suma directa exterior podemos darle una estructura de anillo: la suma se define como {a i } i I + {b i } i I = {a i + b i } i I, es decir, coordenada a coordenada; la multiplicación se define análogamente, coordenada a coordenada: {a i } i I {b i } i I = {a i b i } i I. Con esta estructura tenemos que la suma directa i I R i forma un anillo. Es importante observar que es un anillo unitario siempre que I sea finito, ya que en caso contrario no puede existir un elemento de la forma {1 i } i I con 1 i R i el elemento unitario respecto a la multiplicación (solamente permitimos un número finito de elementos no nulos). De este modo nos tenemos que restringir a sumas directas (exteriores) finitas si queremos trabajar con anillos unitarios. El producto directo de anillos R i, (i I) se construye de la misma manera que la suma directa, pero permitiendo que sus elementos {a i } i I tengan infinitos a i no nulos. Se denota por i I R i. Claramente, en caso de tener un número finito de anillos {R i } N i=1, el producto directo y la suma directa coinciden, ya que la condición de que los elementos tengan solamente un número finito de componentes no nulas se vuelve irrelevante. Sea ahora un anillo arbitrario R y a 1,..., a n ideales de R; definamos el siguiente homomorfismo: φ : R n R/a i i=1 x (x + a 1,..., x + a n ) La cuestión que nos entretendrá momentáneamente es saber qué condiciones debemos imponer a los ideales a 1,..., a n para que el homomorfismo anterior sea un isomorfismo. Dichas condiciones vendrán de la mano de un teorema cuyo nombre nos resultará muy familiar de cursos anteriores. Teorema (Teorema chino del resto). Sea R un anillo y a 1,..., a n ideales de R. Entonces: (i) Si a i, a j son primos entre sí cuando i j, entonces n i=1 a i = n i=1 a i; (ii) φ es sobreyectiva si y sólo si a i, a j son primos entre sí cuando i j; (iii) φ es inyectiva si y sólo si n i=1 a i = 0. Por consiguiente, del teorema anterior se deduce que siempre y cuando los ideales a 1,..., a n sean coprimos dos a dos, tenemos que R / n i=1 a = i n R/a i (1.1) Como veremos en el siguiente ejemplo, ésta es la versión más parecida al enunciado del teorema chino del resto que todos conocemos. i=1

9 1.6 Suma directa, producto directo 9 Ejemplo (El teorema chino del resto en Z). Recordemos en primer lugar su enunciado para relacionarlo con el del Teorema 1.6.1: Teorema Sean m 1,..., m n enteros tales que mcd(m i, m j ) = 1 para i j. Entonces, para todos a 1,..., a n existe un entero x que resuelve el siguiente sistema de congruencias: x a 1 (mód m 1 ); x a 2 (mód m 2 );. x a n (mód m n ). Además, para todo par x 1, x 2 de soluciones del sistema de congruencias, se tiene que: x 1 x 2 (mód m 1 m n ). No es necesario probar el teorema, simplemente vamos a poner en evidencia los paralelismos entre ambos teoremas y así ver que este último es una mera versión del teorema La traducción va como sigue: R = Z y los ideales a i = m i Z. En virtud del teorema de Bézout deducimos que como mcd(m i, m j ) = 1, los ideales m i Z y m j Z son coprimos dos a dos, y de la ecuación (1.1) se infiere que Z / n i=1 m iz = n Z/m i Z es un isomorfismo. Por consiguiente, existe una clase x que es solución del sistema de congruencias para los a 1,..., a n correspondientes. i=1