SEL Métodos Directos

Transcripción

1 SEL Pantoja Carhuavilca Métodos Numérico

2 Agenda

3 métodos directos Encuentra una solución en un número finito de operaciones(en ausencia de errores de redondeo) transformando el sistema en un sistema equivalente que sea más fácil de solucionar. Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales,. 3

4 Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), la matriz A es transformada en una matriz triangular superior (todos los elementos debajo de la diagonal son cero). Sustitución hacia atrás es usada para resolver un sistema triangular superior 4

5 Primer Paso de Eliminación 5

6 Segundo Paso de Eliminación 6

7 Sustitución Regresiva 7

8 Ejemplo Ejemplo Utilizando resolver: 8 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 1 x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 3

9 Ejemplo Método de Sistema equivalente: 9 3x 1 2x 1/3x 2 2 4x 2 / 3x 8x / 3 0 Solución: x* 3 5 0

10 Computadoras usan precisión aritmética finita. Pequeños errores son introducidos en cada operación aritmética, propagación de errores 10 Cuando los elementos pivotales son muy pequeños, los multiplicadores podrían ser muy grandes. La adición de números de magnitud diferente puede conducir a la pérdida de significación. Para reducir el error, se realiza intercambio de filas para maximizar la magnitud del elemento pivotal.

11 Ejemplo (Sin ) 11

12 Ejemplo (Con ) 12

13 Procedimiento con 13

14 por Filas Más comúnmente llamado procedimiento de pivoteo parcial. 14 Busque la columna pivotal. Encuentre el mas grande elemento en magnitud. Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.

15 por Filas 15

16 Ejemplo de por Filas En la etapa k, escoger para pivote el elemento de mayor módulo entre a ik, i=k,k+1,...,n; Para n 4, k 2, tenemos max ai 2 3 i2 pivote a (1) (1) A b A (1) b (1)

17 Completo 17

18 Ejemplo de Completo Para n 4 e k 2, tenemos max aij 7 pivo a34 A (1) b (1) Luego, intercambiamos las filas 2 y 3 y las columnas 2 y 4: A (1) b (1) i, j

19 Algoritmo de la factorización LU Descomposición de una matriz como producto de dos triangulares Supongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puede descomponer como A = LU, con L triángular inferior y U triangular superior. 19 LUx = b, Ly = b, Ux = y Teorema Una matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que sea equivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operaciones elementales ( de filas).

20 Diferentes Formas de Factorización 20

21 Forma de Crout Cálculo de la primera columna de L l i1 = a i1 Cálculo de la primera fila de U u 1j = a 1j l 11 Cálculo alternado de las columnas de L y filas de U l ij = a ij a j 1 k=1 l iku kj j i, i = 1, 2,..., n u ij = a ij a i 1 k=1 l iku kj l ii i j, j = 2, 3,..., n 21

22 Crout 22

23 Descomposición de Cholesky Descomposición de Cholesky. Sea A una matriz simética y definida positiva, existe una única matriz triangular inferior L con l ii > 0 tal que A = LL T Esto es a 11 a a 1n a 21 a a 2n = l l 21 l l 11 l l 1n 0 l l 2n a n1 a n2... a nn l n1 l n2... l nn l nn

24 Descomposición de Cholesky Note que a 11 = l 2 11 l 11 = a l 11 es un número real positivo ya que a 11 > 0 por que A es definida positiva. a i1 = l i1 l 11 l i1 = a i1 l 11

25 Descomposición de Cholesky Como a ij = l i1 l j1 + l i2 l j l ij l jj ; j = 1, 2,..., i 1 25 luego l ij = a ij a j 1 k=1 l ikl jk l jj ; j = 1, 2,..., i 1

26 Descomposición de Cholesky Además lo que implica a ii = li lii 2 26 [ i 1 l ii = a ii k=1 ] 1 2 lik 2

27 Descomposición de Cholesky-MatLab 27

28 Ejemplo: Ejemplo Dada la matriz A A = Factorizar utilizando descomposición de Cholesky. Solución: A es simetrica y definida positiva, en efecto: det(6) ( > 0; ) 6 15 det = 105 > det(a) = 3920 > 0

29 Continuación