TÉCNICAS DE RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICAS (ART)

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1 TÉCNICAS DE RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICAS (ART) Procesamiento de Imágenes Digitales Dpto. Matemática Aplicada I 5º Ingeniería Inormática Escuela Superior de Ingeniería Inormática. Jonathan Cáceres Martínez. Francisco Calle Blanco. Ana Romero Ruiz.

2 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES Índice.- INTRODUCCIÓN OBJETIVOS IMAGEN Y REPRESENTACIÓN DE PROYECCIONES MÉTODO DE KACZMARZ APROXIMACIONES AL MÉTODO DE KACZMARZ PROBLEMAS APLICACIONES DESCRIPCIÓN DE LA APLICACIÓN BIBLIOGRAFÍA TEST Índice de Figuras Figura. Representación de una imagen... 5 Figura 2. Ejemplo de proyección... 0 Figura 3. Esquema de proyección... 2 Figura 4. Otro orma de ver el método de Kaczmarz... 8 Figura 5. Imagen de la aplicación Figura 6. Opción de Zoom Figura 7. Como usar la Aplicación - Paso... 3 Figura 8. Como usar la Aplicación - Paso Figura 9. Como usar la Aplicación - Paso Figura 0. Como usar la Aplicación - Paso

3 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES.- INTRODUCCIÓN Una aproximación a la tomograía de imágenes consistiría en asumir que la sección de cruce sea un array de variables, y así deinida, construir un sistema de ecuaciones para esas variables en términos de proyección de datos. Conceptualmente esta aproximación es mucho más simple que los métodos basados en Transormadas base. Para la obtención de la imagen de un objeto se parte de los datos de relexión o transmisión obtenidos iluminando dicho objeto mediante rayos de luz desde dierentes direcciones. Esta técnica no permite obtener datos con gran exactitud, pero es válida para aquellas situaciones en las que el número de proyecciones es demasiado grande o estas no están uniormemente distribuidas. La principal característica que ha de cumplirse para aplicar esta técnica es conocer las direcciones de los rayos que conectarán las posiciones del transmisor con el correspondiente receptor. La primera solución matemática al problema de la reconstrucción de una unción a partir de sus proyecciones ue realizada por Radon en 97. En 972 Hounsield recibió el premio Nóbel por la invención de un escáner de cálculo tomográico

4 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES 2.- OBJETIVOS El propósito que se persigue en este trabajo es el de introducir al lector en la reconstrucción de imágenes partiendo de una base algebraica. Se expondrá como se construye el array de datos necesarios para aplicar la reconstrucción de imágenes mediante la aproximación algebraica. También se explicará como se debe construir un sistema de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas serán elementos de la sección de cruce de los objetos. Y inalmente, se hará uso del método de Kaczmarz para resolver dicho sistema de ecuaciones. Este método aplicará una serie de aproximaciones para acelerar su implementación

5 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES 3.- IMAGEN Y REPRESENTACIÓN DE PROYECCIONES Como punto de partida, tendremos una imagen como la que se muestra en la igura, a la que le será aplicada la reconstrucción. Para ello, necesitaremos descomponerla de alguna orma, de manera que dicha reconstrucción sea sistemática. Figura. Representación de una imagen En los métodos de reconstrucción algebraicos, se superpone una malla sobre la imagen desconocida. Los valores de la imagen se suponen constantes dentro de cada celda de la malla. Entonces m representa este valor constante para la m-ésima celda, y N representa el número total de celdas

6 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES Una vez que tenemos la imagen cuadriculada hacemos incidir sobre ella una serie de rayos, cada uno de los cuales partirá desde una dirección dierente. Un rayo se denotará con una línea gruesa que atraviesa el plano xy, y que tendrá una anchura τ. Como ejemplo se ha sombreado el rayo i-ésimo en la Figura. En la mayoría de los casos la anchura del rayo es aproximadamente igual a la anchura de la celda. Cada rayo al relejarse sobre la imagen dará origen a una proyección. Se deinirán las proyecciones con la siguiente órmula: P i = N j= ij j i = 0,2,...,M donde N = número total de celdas M = número total de rayos (en todas las proyecciones) ij es el actor de peso y representa la contribución de la j-ésima celda al i-ésimo rayo suma. El actor ij es igual a la racción de área de la j-esima celda de la imagen interceptada por el i-esimo rayo. Cuando la anchura del rayo es igual al tamaño de la celda este será cero si no pertenece a la imagen y uno en caso contrario

7 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES Hasta aquí se ha visto como se representa las imágenes mediante proyecciones. A partir de ahora se vera el método de Kaczmarz que resolverá el sistema de ecuaciones, para así poder reconstruir las imágenes

8 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES 4.- MÉTODO DE KACZMARZ Si M y N ueran de orden pequeño se podría utilizar métodos matriciales convencionales para invertir el sistema de ecuaciones del apartado anterior. Pero en la práctica, N suele ser muy grande, del orden de (para imágenes de 250x250) y M será de la misma magnitud. Para estos valores de M y N el tamaño de la matriz del sistema de ecuaciones será de 65000x65000 lo cual impide cualquier posibilidad de inversión directa de matrices. Cuando existe ruido en los datos medidos y cuando M<N, incluso para N pequeño, no es posible el uso de la inversión directa de matrices y menos aún de la utilización de métodos cuadráticos Cuando M y N son grandes tales métodos son inactibles computacionalmente. Existe un método iterativo para resolverlo, este es el método de Kaczmarz, también llamado método de proyecciones que resuelve el sistema de ecuaciones cuando los valores de M y N son grandes. Para desarrollar este método se partirá de la orma expandida del sistema de ecuaciones obtenido: - 8 -

9 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES.. 2 M M N 2N MN N N = p = p N = 2 p M Si la malla tiene N celdas, la imagen resultante tendrá N grados de libertad. Además, la imagen la representaremos por (,,..., 2 N ) considerándose que este vector representará a un único punto en el espacio N-dimensional. En este espacio cada una de las ecuaciones representa un hiperplano. Cuando existe una única solución para estas ecuaciones, ésta vendrá dada por la intersección de todos estos hiperplanos en un solo punto. A continuación se explicará el método, ilustrado en la igura 2. Representaremos el sistema de ecuaciones para el caso de dos variables y : = = p p 2-9 -

10 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES Figura 2. Ejemplo de proyección El método de Kaczmarz de resolución algebraica de ecuaciones esta ilustrado para el caso de 2 incógnitas. Se comienza con un valor arbitrario inicial y después se proyecta éste sobre el hiperplano originado por la primera ecuación. El resultado obtenido es de nuevo proyectado sobre el hiperplano generado por la segunda ecuación. Si solo hay dos ecuaciones, este proceso es repetido sucesivamente hasta encontrar la solución del sistema de ecuaciones, hasta lograr la convergencia a la misma. En la igura 2 la línea discontinua en zig-zag denota este proceso

11 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES En el método de Kaczmarz se parte suponiendo una solución inicial. Ésta podría ser (0) (0) (0), 2... N. Este supuesto puede ser ( 0 ) representado vectorialmente por r en el espacio N- dimensional. La solución inicial es proyectada sobre el hiperplano representado por la primera ecuación obteniéndose r (), como se observa en la igura 2 para el caso bidimensional. La implementación computacional de este paso se lleva a cabo mediante la siguiente órmula: () () (0) p (0) = = (,..., N Donde, 2 la primera ecuación. ), se corresponden con los coeicientes de Vamos a comentar como se llega a este resultado, partiendo de la primera ecuación. (2) = p ` - -

12 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES El hiperplano que representa a esta ecuación es perpendicular al vector, como puede observarse en la igura 3. Figura 3. Esquema de proyección El hiperplano. = p (representado por una línea en esta gráica bidimensional) es perpendicular al vector. Esta ecuación dice simplemente que la proyección de un vector OC (para algún punto C sobre el hiperplano) sobre el vector es - 2 -

13 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES de longitud constante. El vector unitario, OU, a lo largo de viene dado por (3) OU = Y la distancia perpendicular al hiperplano desde el origen, es igual a la longitud de OA, que vendrá dada por OC.OU : (4) OA = OU. OC = ( OU. OC) = r (. ) = p () (o) Para conseguir se resta de el vector GH (5) () (0) = - GH donde la longitud del vector GH viene dada por (6) GH (0) = OF OA =. OU OA - 3 -

14 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES Sustituyendo (3) y (4) en esta ecuación (7) (0). GH =. p Y como la dirección de OU, se puede rescribir GH es la misma que la del vector unitario (8) GH (0). p = GH OU =. Substituyendo (8) en (5) se obtiene (). () Después de conseguir, la proyectamos sobre el hiperplano representado por la segunda ecuación en el sistema de (2) ecuaciones, con lo cual, resulta, como se muestra en la igura 2. Este proceso se repite con el tercer hiperplano y a si sucesivamente. La proyección sobre el j-ésimo hiperplano se debe obtener del (j-)-ésimo hiperplano, es decir: ( j) = ( j ) ( j ) j p j j j j

15 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES = Donde j ( j, j 2,..., jn ). El proceso de proyectar sobre distintos hiperplanos se sigue hasta (M ) obtener, que lo conseguimos proyectando sobre la última ecuación. Nuevamente iteramos proyectándolo sobre el primer hiperplano. Por ejemplo, para el caso mostrado en la igura 2, si se proyecta (2) sobre el primer hiperplano (para este caso una línea) se obtiene. Este proceso continuaría hasta que todos los M hiperplanos hayan sido recorridos obteniéndose como (3) ( 2M ) ( 2M ) resultado, la segunda iteración volverá a proyectar sobre el primer hiperplano, y así sucesivamente. Tanabe demostró que si el sistema de ecuaciones tiene solución única entonces: S lim k ( km ) = S Tenemos que hacer mención aquí, que la convergencia del algoritmo se obtiene en dos pasos debido a que los hiperplanos son entre sí perpendiculares. Si este hecho no se produce, provocará situaciones que serán estudiadas en el apartado 6 de problemas

16 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES 5.- APROXIMACIONES AL MÉTODO DE KACZMARZ En las aplicaciones donde el tamaño de la reconstrucción es muy grande, la diicultad de utilizar el método de reconstrucción se hallará, en el calculo, almacenamiento y una rápida recuperación de los coeicientes de los pesos. Si por ejemplo, tenemos una imagen de 28x28 de 50 proyecciones y con 50 rayos por proyección, esta requiere 2.7x0 8 pesos, un número inmenso que puede causar problemas para un rápido almacenamiento y recuperación en las aplicaciones donde la velocidad de reconstrucción es primordial. Este problema puede resolverse considerando aproximaciones a si ij como consideramos los solamente en unción de la perpendicular de la distancia entre el centro del i-ésimo rayo y el centro del la j-ésima celda. Así la distancia perpendicular puede ser computerizada en tiempo de ejecución. Las diicultades de implementación del sistema de ecuaciones a provocado una avalancha de sugerencias dando lugar a otras aproximaciones algebraicas que se asemejan al método de Kaczmarz. Para discutirlas primero modiicaremos levemente el sistema. () m ( j) = m ( j ) ( p j q j ) + N jk. jk k = jm donde - 6 -

17 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES (2) q j = r ( j ). j = N k = r k ( j ) jk Estas ecuaciones signiican que cuando se proyecta la (j-)- ( j) ésima solución sobre el j-ésimo hiperplano, el incremento para el valor de la m-ésima celda vendrá dado por (3) m m ( j) = m ( j) m ( j ) ( p j q j ) = N jk. jk k= jm Mientras p j es el valor del rayo suma a lo largo del j-ésimo rayo, q j será considerado el rayo suma calculado para el mismo rayo base sobre la (j-)-ésima solución para los distintos niveles de gris. La corrección de la i-ésima celda es obtenida i calculando la dierencia entre el valor del rayo suma y el rayo suma calculado. Esta dierencia será normalizada por jk jk y asignada a todas las celdas de la imagen en el j-ésimo rayo. Cada asignación estará ponderada con el correspondiente peso (ver igura 4). N k =. ij - 7 -

18 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES Figura 4. Otro orma de ver el método de Kaczmarz Después de usar el (j-)-ésimo rayo, se calcula el rayo suma para todas las celdas en el j-ésimo rayo. El rayo suma calculado se resta al valor de la proyección para ese rayo. Otra aproximación para (3) ue propuesta por Gordon, en la cual, los ij ' s eran sustituidos por unos y ceros, dependiendo si el centro de la j-ésima celda de la imagen estaba dentro del i-ésimo rayo. Esto hace que su implementación sea más ácil, porque cada una de las decisiones puede ser hecha en tiempo de ejecución. El nuevo denominador de (3) viene dado por k N =. = jk jk N j - 8 -

19 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES es decir, el número de celdas de la imagen en las que sus centros están dentro del j-esimo rayo. La corrección para la m-ésima celda de la imagen para la j-ésima ecuación puede ser escrita como: (4) m ( j) = p j q N j j para todas las celdas que tienen sus centros dentro del j-ésimo rayo. En (4), los q j ' s son calculados utilizando la expresión (2), solo que ahora, usamos la aproximación binaria para los ij 's. Dines y Lytle, han demostrado recientemente que (4) puede ser también considerada una aproximación para minimizar la solución de un problema de minimización. Si restamos en (2) la j-ésima ecuación, el sistema podría escribirse: (5) p j q j = N k = m ( j) jm donde m ( j) es ahora la dierencia correcta, aunque desconocida, del valor de la m-esima celda y su valor después de usar la (j-)- ésima ecuación en el sistema de ecuaciones

20 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES Puede observarse en (5) que tenemos una ecuación de N ( j) ( j) incógnitas:,...,. Entonces esta ecuación tiene ininitas N soluciones. Se debe imponer una restricción adicional. Por ejemplo, se debería seleccionar una solución que minimizara (6) C = N m= ( m ( j) ) 2 p m ( j ) Si p =, se minimiza la distancia Euclídea entre la solución y el j-ésimo hiperplano. Por tanto, minimizando la distancia entre un punto y el plano, el resultado de la solución es la misma que en (3). Si p, en el problema de minimización de (6), el criterio resultante es conocido indistintamente como L o norma de Chebychev. La solución de (6) con esta norma viene dada por: (7) m p q ( j) ( j j) ( jm) = N k = b jk jm

21 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES donde (8) b( jm ) = para jm > 0 b ( ) = 0 para < 0 jm jm Si continuamos la aproximación asignado jm = si el centro de la celda m-ésima está dentro del j-ésimo rayo, y cero en otro caso, nos llevará a (4). Hemos de hacer notar que, la implementación (4) es una aproximación rayo a rayo. Si empezamos con un valor inicial para todas las celdas de la imagen (normalmente poniéndolas a cero). Entonces se usa el primer rayo, en el sistema de ecuaciones y se modiica la correspondiente celda de la imagen usando (4). Esto se repite para cada subsiguiente rayo en el sistema. Retrocedemos a la primera ecuación y comenzamos la segunda iteración, y así sucesivamente. El proceso iterativo para cuando la variación de cambio del valor de la celda de la imagen es una racción despreciable de su valor actual. Un criterio para parar las iteraciones ha sido estudiado por Herman. La aproximación de (4), es además muy ácil de implementar, Gilbert demostró que Nj no es una buena aproximación para el denominador ni en (3) ni en (7). Una reconstrucción superior puede ser obtenida si en (4) se reemplaza por - 2 -

22 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES (9) m ( j) p = L j j q N j j donde L j es la longitud (normalizada por x, ver igura 5) del j-ésimo rayo que atraviesa la región reconstruida. Gilbert propuso otra aproximación por reducción. En esta aproximación, llamada técnica de reconstrucción algebraica ( j) simultánea (SIRT). Se calcula el cambio causado por un j- ésimo rayo. Como siempre, los valores de las celdas de la imagen no cambian en este punto. Antes de hacer cualquier cambio se pasa por todos los rayos solamente al inal de cada iteración se cambian los valores. El cambio para cada celda es la media de todos los cambios calculados para esa celda. m

23 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES 6.- PROBLEMAS El principal problema que plantea el método de Kaczmarz es la elección de una estimación inicial correcta que nos ayude a encontrar la solución del sistema de ecuaciones obtenidos en el menor número de iteraciones posibles. Como pudo observarse en la igura 2, los dos hiperplanos eran perpendiculares, por tanto, dado un punto inicial se llega a la solución en solo dos pasos. Pero si el ángulo de separación entre los hiperplanos es muy pequeño, el valor de k (9) es muy grande para poder encontrar una solución correcta. Es decir, el ángulo entre los hiperplanos inluye considerablemente en el grado de convergencia de la solución. Si conseguimos que los M hiperplanos sean ortogonales la solución se puede conseguir en un único paso. Podemos utilizar para ortogonalizar las M ecuaciones el procedimiento de Gram-Schmidt, pero computacionalmente no es actible. Además, toda ortogonalización incrementará los eectos del ruido en la solución inal. Ramakrishnan ha sugerido un esquema de ortogonalización mucho mas ácil de implementar y al mismo tiempo incrementa considerablemente la velocidad de convergencia. Una situación inusual en la reconstrucción de imágenes es que si M > N, la solución puede no ser única debido a la presencia

24 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES del ruido. Es decir, la solución no converge a un solo punto. Pero estará comprendida entre las intersecciones de los planos vecinos. Si M < N, no existe un única solución para el sistema de ecuaciones, incluso es posible que tuviera ininitas soluciones. Tanabe ha demostrado que para esta situación la aproximación ' ( ) ' iterativa converge a la solución, llamándola s, tal que o s es minimizada. Además su implementación es eiciente, siendo posible incorporar en la solución inormación a priori de la imagen. Por ejemplo, si sabemos a priori que la imagen (x,y) no es negativa, entonces en cada una de las soluciones obtenidas del sistema de ecuaciones, deberían hacer cero su componente negativa. Si sabemos que (x,y) es cero uera de un cierto área también deberían incorporarlo. (k )

25 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES

26 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES 7.- APLICACIONES Los métodos de reconstrucción algebraicos son utilizados en aplicaciones médicas donde la alta de precisión y velocidad de implementación no sean actores críticos. A menudo, existen situaciones en las que no es posible medir un gran número de proyecciones, o estas no están uniormemente distribuidas entre los 80 o 360º, estas condiciones son requisitos necesarios para las técnicas basadas en transormadas para producir resultados con la exactitud deseada en las imágenes médicas. Problemas de este tipo son resueltos con técnicas tomográicas, normalmente se combinan los ART y SIRT, permitiendo a los médicos ver los órganos internos con una precisión si precedentes y la consiguiente seguridad para el paciente. La primera aplicación médica ue utilizada en los rayos-x ormando imágenes de los tejidos basadas en el coeiciente de atenuación de sus rayos-x. Siento también completamente satisactorio con los radioisótopos, ultrasonidos, resonancia magnética, etc. En los últimos años, los estudios se centran en la medicina nuclear, en la reconstrucción de la imagen de los isótopos radioactivos distribuidos dentro del cuerpo humano. También, en resonancia magnética para reconstruir las propiedades magnéticas de los objetos. Existen otras aplicaciones uera del campo de la medicina como la construcción de mapas del subsuelo

27 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES 8.- DESCRIPCIÓN DE LA APLICACIÓN La aplicación desarrollada permite realizar la reconstrucción algebraica de imágenes mediante el método de Kaczmarz. La apariencia de la aplicación es la siguiente: Figura 5. Imagen de la aplicación. - Indica el número de rayos generados durante la simulación. La simulación solo se realiza cuando se dispone de una imagen de tamaño NxN y en escala de grises

28 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES 2. - Numero de ilas de la Imagen Numero de Columnas de la Imagen Número de la iteración actual del método Indicador del rayo que se va a procesar en el caso de una ejecución paso a paso Seleccionar el modo de ejecución, se permite realizar una iteración completa (Ejecución Normal) o una ejecución paso a paso Botón de ejecución. Ejecuta el método Kaczmarz según el modo seleccionado. Si la imagen no es de tamaño NxN o no es una imagen en escala de grises este botón no estará visible. Decisiones de diseño El método de Kaczmarz solo se puede aplicar a imágenes cuadradas en escala de grises con ormato bmp y que no dispongan de paleta de colores. En la simulación se han calculado rayos el horizontal, vertical, a 45º y 35º. Con ello conseguimos 6*N 2 rayos para una imagen de tamaño N x N. Como propuesta inicial se ha optado por una imagen del mismo tamaño de la imagen a reconstruir con todos sus píxeles puestos a 0 (Negro) Se ha escogido el color 0 (Negro) como indicación de la ausencia de imagen

29 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES Opciones Aunque hallamos restringido el método de Kaczmarz a imágenes cuadradas y en escala de grises la aplicación permite visualizar cualquier imagen en ormato bmp. También permite guardar la imagen obtenida tras aplicar el método en ormato bmp en escala de grises. Además se permite hacer zoom a una imagen como mostramos en la igura:

30 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES Figura 6. Opción de Zoom

31 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES Como usar la aplicación.- Abra una imagen cuadrada en escala de grises. Figura 7. Como usar la Aplicación - Paso - 3 -

32 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES 2.- Ajuste el zoom para la correcta visualización de la imagen. Ajuste el tamaño de la Imagen para una mejor visualización Figura 8. Como usar la Aplicación - Paso

33 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES 3.- Seleccione el modo de ejecución (Ejecución Normal- Paso a Paso) Seleccionar modo de ejecución Figura 9. Como usar la Aplicación - Paso

34 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES 4. - Pulse el botón Ejecutar en el marco izquierdo o el botón Art en la barra de herramientas para ejecutar el método. Pulsar el botón de ejecución Figura 0. Como usar la Aplicación - Paso Sigua pulsando el botón de ejecutar para realizar otra iteración (Ejecución Normal) o para ver la aportación del rayo actual a la imagen (Paso a Paso)

35 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES 9.- BIBLIOGRAFÍA PRINCIPLES OF COMPUTERIZED TOMOGRAPHIC IMAGING Avinash C. Kak, Malcom Slaney, 999 DIGITAL PICTURE PROCESSING Vol Azriel Roseneld, Avinash C. Ka, Second Edition,Ed. Academic Press

36 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES 0.- TEST.- Qué es reconstrucción algebraica de imágenes? A: Es un método para la obtención de imágenes. B: Es un método para la aplicación de las marcas de agua. C: Es una técnica de compresión MPG. 2.- En la reconstrucción algebraica de imágenes... A: Es necesario aplicarle un código de cadena a la, imagen B: Hay que dividir la imagen en celdas. C: Se debe enriquecer la imagen aumentando los niveles de Gris. 3.- En la reconstrucción algebraica de imágenes el actor de peso... A: Representa la contribución de un rayo a la imagen. B: Representa la racción de área de la celda de la imagen que es interceptada por un rayo. C: Es la marca con la que denotamos a un rayo. 4.- En la reconstrucción algebraica de imágenes el actor de peso... A: Puede tomar valores ininitos. B: Toma valores alternos. C: Toma el si intercepta a parte de la imagen, 0 en otro caso

37 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES 5.- El método de kaczmarz también llamado método de proyecciones... A: Es utilizado para calcular las direcciones de los rayos B: Asigna un valor a los pesos. C: Resuelve el sistema de ecuaciones. 6.- En el método de kaczmarz... A: Los rayos no son tenidos en cuenta B: Los actores de peso no son tenidos en cuenta. C: Cada una de las ecuaciones representa un hiperplano. 7.- En el método de kaczmarz... A: La solución se obtiene aumentando los niveles de gris de la imagen. B: La solución aplicando un código de cadenas. C: La solución se obtiene superponiendo planos. 8.- Uno de los principales problemas El principal problema que plantea el método de Kaczmarz... A: Es la elección del código de cadenas. B: Es elegir el primer rayo sobre el que será proyectado la estimación inicial. C: Es la elección de una estimación inicial. 9.- En el método de Kaczmarz... A: Si los M hiperplanos son ortogonales la solución se puede conseguir en un único paso. B: Si los M hiperplanos son paralelos la solución se puede conseguir en un único paso. C: Si los M hiperplanos son ortogonales no se

38 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES DIGITALES encuentra solución

39 RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE IMÁGENES 0.- La reconstrucción de imágenes es aplicada... A: Sobre todo en el campo de la medicina. B: En la industria aeronáutica. C: En arquitectura

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

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