APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CÓPULAS AL CÁLCULO DE LA PRIMA DE EMISION DE LOS BONOS SOBRE CATÁSTROFES

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1 APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CÓPULAS AL CÁLCULO DE LA PRIMA DE EMISION DE LOS BONOS SOBRE CATÁSTROFES Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso 2 y Alfredo Cest Infnte 3 RESUMEN: En el presente rtíclo se reliz n plicción de l teorí de Cópls los prodctos lterntios de trnsferenci de riesgo, denomindos bonos sobre ctástrofes (CAT Bonds). El objetio principl es considerr, trés de l citd teorí, l dependenci existente entre los fctores de riesgo qe interienen en el proceso de fijción de l prim de resegro de estos prodctos. Pr ello, se determin empíricmente cles son ls cópls qe mejor se decn los dtos siniestrles simldos y distribciones mrginles considerds y se desrroll n lgoritmo qe permite obtener nméricmente l prim de resegro del bono ctstrófico nlizdo. Plbrs Cle: Trnsferenci lternti de riesgos, Dependenci de riesgos, Correlción no linel, Simlción de MonteCrlo, MtLb. Profesor de Mtemátics de ls Operciones Finnciers, Centro de Estdios Speriores FELIPE II (U.C.M.), C/ Lcs Jordán, s/n , Arnjez, Mdrid. Teléfono: etx. 36 Fx: e-mil: mris@cesfelipesegndo.com 2 Profesor Visitnte de Mtemátic Actril, Deprtmento de Economí de l Empres. Uniersidd Crlos III de Mdrid,.Aenid de l Uniersidd Crlos III, , Colmenrejo, Mdrid. Teléfono: Fx: e-mil: mjperez@emp.c3m.es 3 Profesor de Fndmentos de Comptdore, Centro de Estdios Speriores Felipe II (U.C.M.), C/ Lcs Jordán, s/n , Arnjez, Mdrid. Teléfono: ext. 25 Fx: e-mil: cest@cesfelipesegndo.com 5

2 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos.... Introdcción En ls últims décds se h prodcido n incremento mndil de l ocrrenci de ctástrofes ntrles como consecenci de dos fctores cle: los cmbios climáticos y geológicos, qe hn proocdo n myor seeridd y frecenci de desstres ntrles tles como terremotos, hrcnes, inndciones, seqís, etc., y l concentrción y el crecimiento de l poblción en áres propenss, o potencilmente propenss, ctástrofes ntrles, como Cliforni o Florid en EE.UU. Derido de ello, el mercdo segrdor mndil se encentr sometido n myor exposición pérdids ctstrófics qe pede comprometer l solenci y estbilidd de ls compñís qe opern en él, si no es cpz de obtener l finncición y diersificción necesris pr segrr s ibilidd ftr y l protección de ss segrdos. Entre ls solciones trdicionles con ls qe centn ls segrdors pr resoler el incremento de l siniestrlidd por ctástrofes, cbe destcr l redcción de l concentrción de pólizs en qellos rmos más ssceptibles de erse fectdos por este tipo de eentos, o el mento de l contrtción de resegro, pr cbrir n myor proporción de ls potenciles pérdids. En este contexto de incremento de l siniestrlidd socid los riesgos ctstróficos, los mercdos de cpitl ofrecen, trés de l titlizción del riesgo, n lternti pr obtener protección ctstrófic complementri l del resegro trdicionl. Medinte l creción y emisión de deridos finncieros, como bonos, opciones o swps dentro del proceso de titlizción se trnsfiere el riesgo segrdo los inersores de los mercdos de cpitl, qienes tomn posiciones en l ocrrenci y el coste de ls ctástrofes. L emisión de Bonos sobre Ctástrofes es n de ls forms de titlizción qe más h desrrolldo y tilizdo el sector segrdor en los últimos ños. Estos bonos son prodctos finncieros cyos fljos, cpones y principl, están condiciondos l ocrrenci de n determindo sceso de ntrlez ctstrófic estblecido en l emisión (Pérez-Frctoso, 2005). 6

3 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte Un specto relente en el nálisis, tnto teórico como práctico, de estos instrmentos finnciero-ctriles es s trificción lo lrgo de n horizonte temporl determindo. Desde n enfoqe exclsimente ctril, pr fijr el precio de n prodcto de segros, trdicionlmente se trbj con ls hipótesis de l Teorí Clásic del Riesgo qe sponen ribles letoris cntís indiidles de los siniestros independientes y eqidistribids. L prim se obtiene plicndo, demás, el principio de mtlidd prtir del cl los riesgos se distribyen entre tod l ms segrd, de form qe en promedio los errores se compensn y l espernz mtemátic de l siniestrlidd totl, o prim pr, es sficiente pr ller cbo l cobertr. Sin embrgo, este procedimiento de determinción del precio del segro es incongrente con l lorción relizd en los mercdos finncieros, en los qe, l cntificción de los ctios deridos se obtiene, eitndo ls oportniddes de rbitrje, medinte l réplic de crters formds por ctios simples cyos resltdos son igles, en todo momento del periodo de negocición, l del ctio derido objeto de lorción. Diersos tores hn desrrolldo modelos de determinción del precio de estos deridos sobre segros tilizndo combinciones de ls herrmients finnciero-ctriles trdicionles descrits. Así por ejemplo, Lobergé, Kellezi y Gilli (999) plicn el modelo de lorción de opciones sobre ctástrofes bsdo en n proceso de Wiener, desrrolldo por Cmmins y Gemn en 992, pr clclr el precio de n CAT Bond cyo desencdennte es n índice de pérdids de l indstri segrdor. Lee y Y (2002) incorporn en l lorción del bono el riesgo de crédito trés de n moimiento geométrico Brownino demás de considerr cestiones práctics relcionds con el zr morl y el riesgo de bse. Cox y Pedersen (2000) proponen n método de cálclo del precio del CAT Bond en mercdos incompletos prtir de l definición de n determind estrctr temporl de los tipos de interés y de n estrctr de probbiliddes de ocrrenci del riesgo ctstrófico. Finlmente, Lne (2000) reliz n nálisis empírico de n serie de trnscciones de CAT Bonds negocids drnte el ño 999, y propone, prtir de n regresión linel, n modelo qe permite fijr el precio de dichs emisiones prtir de n fnción similr l fnción de prodcción de Coob-Dogls. 7

4 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... Est reisión de l litertr finnciero-ctril pone de mnifiesto qe ningno de los modelos desrrolldos hst el momento, incorpor l existenci de fctores de riesgos dependientes, como los qe se prodcen en los scesos de crácter extrordinrio o ctstrófico, lo qe pede dr lgr resltdos erróneos en el cálclo de l prim del segro (resegro) si no considern decdmente ls estrctrs de dependenci qe se estblecen entre los mismos. En este sentido, l Teorí de Cópls profndiz en el estdio de ls relciones qe se prodcen entre el conjnto de ribles letoris dependientes qe interienen en n determindo fenómeno de l ntrlez. L plicción de est teorí l sector segrdor se fndment, precismente, en l ocrrenci de scesos relciondos o cúmlos, como n ctástrofe, qe peden fectr rios rmos de negocio l mismo tiempo. En este cso, sponer independenci pr clclr l prim del segro (resegro) pede proocr desiciones de precios significtis qe hgn peligrr l solenci de l compñí segrdor qe lo contrt. L plicción de l teorí de cópls l sector segrdor permitirá seleccionr l mejor fnción de distribción qe crcterice l riesgo extrordinrio nlizdo y prtir de ell, ls distribciones mrginles óptims pr cd no de los riesgos relciondos con el mismo. El objetio de este rtíclo es, por tnto, tilizr l teorí de cópls pr desrrollr n plicción empíric qe determine l prim de resegro socid l emisión de bonos ctstróficos. Pr ller cbo los cálclos se h desrrolldo n conjnto de fnciones pr Mtlb denomindo ICT (Insrnce/Copl Toolbox) (Ris, Cest. 2006). L tilidd principl de ICT rdic en dos spectos: por n ldo permite relizr n estdio sobre dierss fnciones mrginles y copls con el fin de elegir qells qe mejor crcterizn n pr de ectores de dtos correlciondos, y demás pede clclr l prim de diersos prodctos prtir de l generción de escenrios más relists y qe permite l posibilidd de tilizr cópls. Pr ello el toolbox const de n bterí de fnciones qe implementn los prodctos y otr qe implement ls fnciones de distribción. Finlmente existen tres fnciones interfz qe se conectn cd no de los prodctos, de ls mrginles y de ls copls y deelen qel elemento reqerido. De este modo el toolbox se pede ctlizr simplemente ñdiendo más prodctos o fnciones de distribción en 8

5 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte form de fnciones de MtLb independientes. Pr este rtíclo en prticlr se h ñdido el prodcto CAT Bond. L orgnizción del rtíclo es l sigiente: en el epígrfe 2 se describen los prodctos lterntios de cobertr de riesgo ctstrófico nlizdos en el presente trbjo. El tercer epígrfe recoge los conceptos teóricos relciondos con ls cópls, fndmentles pr s plicción l sector segrdor. L sección 4 desrroll n método pr seleccionr l copl óptim y ls distribciones mrginles socids nos dtos siniestrles relciondos con fctores de riesgos dependientes. L generción por MonteCrlo de los dtos siniestrles sí como el método generl pr clclr l prim de clqier prodcto de segro trdicionl o lterntio se desrrolln en el epígrfe 5. En l sección 6 se present n ejemplo de plicción de l teorí de cópls en el proceso de fijción de l prim de emisión (o prim totl de resegro) de n bono ctstrófico y se nliz el efecto qe prodce l plicción de l citd teorí sobre l mism. Finlmente se exponen ls conclsiones del citdo proceso. 2. Descripción generl de n trnscción con Bonos sobre Ctástrofes Los bonos ctstróficos, CAT Bonds, son instrmentos finncieros qe proporcionn l indstri segrdor cceso n ne fente de cobertr del riesgo trés de los mercdos de cpitl. S estrctr es similr l de los bonos trdicionles nqe, diferenci de estos últimos, los CAT Bonds condicionn el pgo de intereses y el reembolso del principl l ocrrenci de n ctástrofe, o sceso desencdennte, cyos prámetros qedn fijdos en el momento de l emisión (Pérez-Frctoso, 2005). En compensción por est incertidmbre qe se prodce en los fljos de cj, los inersores en bonos ctstróficos reciben ns rentbiliddes my speriores ls ofrecids por otro tipo de bonos con n rting de crédito comprble, demás de redcir el riesgo de ss crters trés de l diersificción; el rendimiento de n CAT Bond no depende de ls condiciones de los mercdos de cpitl sino de l ocrrenci de n ctástrofe cys crcterístics se jsten nos lores estblecidos en l emisión. Esto spone qe el riesgo de 9

6 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... pérdid en los bonos ctstróficos no está correlciondo con el riesgo de pérdid en otros bonos y ctios finncieros trdicionles, conirtiéndolos en títlos bet cero. L estrctr típic de n trnscción con bonos ctstróficos pede resmirse en el gráfico : Contrprte de swp Rentbilidd inersión Inersión corto plzo con eled rentbilidd LIBOR Gnncis Contbles LIBOR Fondos remnentes l encimiento Principl l encimiento y liqidción LIBOR+Prims Prims PATROCINADOR SPV INVERSORES Contrto de resegro TRANSACCIÓN DE REASEGURO Principl TITULIZACIÓN GRÁFICO : Estrctr típic de n trnscción con CAT-Bonds (Fente: McGhee et l. 2006) Los CAT Bonds son, en s myor prte, ptrocindos por compñís de segros y resegrdors qe bscn protección dicionl pr l cobertr de riesgos extrordinrios. En ests trnscciones, el segrdor cedente trnsfiere n Specil Prpose Vehicle (SPV), n prte, o l totlidd, de s riesgo de sscripción cmbio del pgo de n prim. El SPV es n resegrdor especilizd y sitd en n príso fiscl, cyo único objetio es mntener n conjnto de ctios procedentes de n emisión o de n operción finncier fer de blnce y cys fnciones básics son emitir n póliz de resegro conencionl pr el segrdo (ptrocindor) y bscr finncición en el mercdo de cpitl, qe ctú como contrprtid 20

7 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte de s primer fnción. Los fljos obtenidos con l emisión del bono y l prim pgd por l cedente en concepto de precio del resegro, son inertidos por el SPV en ctios corto plzo con eled rentbilidd, de form qe se generen los recrsos finncieros necesrios pr ller cbo el pgo de los cpones estblecido en l emisión y l cobertr del riesgo contrtd, en cso de ocrrenci del siniestro. Entonces, si lo lrgo de n determindo periodo, denomindo periodo de riesgo, no se prodce l ctástrofe cbiert por el bono, los inersores reciben el pgo de los cpones de form periódic y l deolción del principl l encimiento. En cso contrrio, los inersores están sjetos l pérdid de l totlidd, o de n prte de los cpones, y/o del principl dependiendo de cómo se hy estrctrdo el bono ctstrófico emitido. A este respecto hy qe destcr qe l myor prte de trnscciones con bonos sobre ctástrofes relizds hst l fech hn sido del tipo Principl-Flly-Secred Bonds, es decir, bonos en los cles sólo los cpones (n prte o l totlidd) hn estdo sjetos pérdids despés de l ocrrenci de l ctástrofe cbiert. Pero existen emisiones del tipo All-Risk Bonds, es decir bonos con cpones y principl rriesgdos, o bonos con el principl prcilmente protegido, Principl-Prtilly-Secred Bonds. Otros prticipntes en n operción con CAT-Bonds son empress, como AIR (Applied Insrnce Reserch, Inc.), EQECAT o RMS (Risk Mngement Soltions), dedicds l creción de modelos estdísticos de medición de pérdids, firms de bogdos qe dn form legl l emisión y gencis de rting qe lorn el riesgo de crédito de l mism. 3. Nociones fndmentles de Teorí de Cópls plicbles l sector segrdor En este prtdo se presentn ls bses teórics necesris pr comprender el fncionmiento de l distribción cópl birinte, 2

8 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... con el objetio de nlizr l fnción de distribción conjnt socid n determindo fenómeno de l ntrlez, qe fect n pr de ribles letoris cy distribción indiidl es distint de l distribción conjnt socid l citdo fenómeno (pr n informción más detlld er, por ejemplo, Embrechts, 2003 y Lei, 200). Definición : Un cópl, C, es n fnción de distribción mltirinte cys leyes mrginles se distribyen niformemente, C(, = p U, V es n entre [ 0 ]. En el cso birinte, [ ] fnción definid en [,] [ 0,] propieddes: 0 2 qe erific ls sigientes tres - C (, es n fnción creciente pr cd n de ss componentes. - C (,) = y C (, =. - 2 y b b2, ( b ) + C(, b ) C(, b ) C(, b ) 0 C., Teorem (Teorem de Sklr): Se n fnción de distribción bidimensionl cys mrginles son F X y F Y. Entonces, existe n C / ( x, y),, tl qe: cópl [ ] 2 ( F ( x), F ( )) F( x, y) = C y Si ls distribciones mrginles son contins, l cópl es únic. Por tnto, prtir de ls cópls, es posible crer distribciones birintes con distribciones mrginles definids. De est form, si C es n cópl y F X y F Y son dos distribciones mrginles, C( FX ( x), FY ( y) ) es n distribción birinte. De l definición del Teorem de Sklr, se dedce qe ls fnciones de distribción mrginles nirintes peden tener n estrctr seprd de l estrctr de l cópl. X Y 22

9 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte L plicbilidd de este Teorem l mercdo segrdor, y concretmente los prodctos de trnsferenci lternti de riesgos nlizdos en el rtíclo, se fndment en l premis de qe l estrctr del fenómeno de l ntrlez cy ocrrenci fect rios rmos de segros l ez es independiente de l fnción de distribción segid por cd rmo indiidlmente. Definición 2 (Fnción de distribción iners): Si F es n fnción de distribción, entonces s fnción iners generlizd, es tod () fnción 0, tl qe: F definid en [ ] ( ) - Si Im(F) x,, entonces F ( t) = x ( ) tnto, t Im(F), F ( F ( t)) = t. t y [ ] y F ( x) = t. Por - Si Im(F) ( ) t entonces F ( t) = inf{ x / F( x) t} = sp{ x / F( x) t} - Si F es estrictmente creciente tiene n únic fnción iners () generlizd F. Corolrio (Corolrio del Teorem de Sklr): Se definen F, C, F X y F Y como en los enncidos nteriores, y F X y F Y como ls respectis fnciones inerss generlizds de F X y F Y. Entonces,, 0,, ( ) [ ] 2 C (, = F( F ( x), F ( y) ) X Definición 3 (Densidd de n cópl): Sbemos qe, si existe, l densidd f de n fnción de distribción, F, se define como: f ( x, y) Y F( x, y) = x y L expresión de l densidd de n cópl, simbolizd por c, es:. 23

10 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... c (, = C(, A prtir de ( c,, l densidd f de l fnción de distribción F pede obtenerse como: f ( x, y) = c( F ( x), F ( y), ) f ( x) f ( y) X Definición 4 (Distribción condiciond de n cópl): Se C (, l derid de C (, respecto de, Y X Y C(, = C(, Si l distribción conjnt de X e Y es F( x, y) = C( F ( x), F ( y) ) entonces l distribción condiciond Y / X = x es: ( F ( x), F ( )) FY / X = x ( y) = C X Y y Definición 5 (Sril copl o cópl de sperienci): Se S ( x) = p( X > x). L fnción de sperienci conjnt S ( x, y) = p( X > x, Y > y) no es F ( x, y) como podrí pensrse, si no: S( x, y) = F ( x) F ( y) + F ( x y) X Y, Análogmente, pr n cópl sbemos qe C, = p[ U, V ] Por tnto, l fnción de sperienci de n cópl será: [ >, V > ] = C(, ) C s (, = p U + Entonces como F( x, y) C( F ( x), F ( y) ) S( x, y) = C ( F ( x), F ( y)). s X Y X Y X (. =, obtenemos qe Definición 6: Sen ( x, y) y ( x, y ) dos obserciones de n ector Y 24

11 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte letorio contino ( X, Y ). Entonces ( x, y) y ( x, y ) son concordntes si ( x x )( y y ) > 0 y discordntes en cso contrrio. Definición 7 (Coeficiente de correlción no linel de Kendll): Un de ls principles entjs de ls cópls, es qe permiten nlizr coeficientes de correlción no lineles. En el presente rtíclo se h tilizdo como coeficiente de correlción no linel, el denomindo coeficiente de correlción de Kendll, qe mestr n relción direct con el prámetro qe prece en l fnción de distribción mltirible cópl. Se ( X, Y ) n pr de ribles letoris. L medid de concordnci τ de Kendll se define como l diferenci entre ls probbiliddes de concordnci y discordnci de dos obserciones distints, ( x, y) y ( x, y ), de ese pr letorio: [( x x )( y y ) > 0] p[ ( x x )( y ) 0] τ ( X, Y ) = p y < con ls sigientes propieddes: - τ - Si X e Y son concordntes entonces, τ =. - Si X e Y no son concordntes entonces, τ =. - Si X e Y son independientes entonces, τ = 0. L implicción iners no tiene porqe ser ciert, es decir, si τ = 0, ls ribles X e Y no son necesrimente independientes. - Si α y β son dos fnciones estrictmente crecientes, entonces τ [ α( X ), β ( Y )] = τ ( X, Y ). El coeficiente de correlción de Kendll permnece inrinte nte n trnsformción estrictmente creciente de ls ribles letoris y qe sólo depende del rngo de cd obserción. - τ no depende de l copl de ( X, Y). 25

12 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... Teorem 2 (Definición de cópl Arqimedin): Considermos qe 0, sobre [ ] ϕ es l fnción psedo-iners de ϕ. ϕ es n fnción contin, estrictmente decreciente de [ ] [ 0, ] tl qe ϕ () = 0, y Se C l fnción definid de [ 0,] 2 sobre [,] [ ] C, = ϕ ( ϕ( ) + ϕ( ) 0 tl qe (. Est fnción es copl si y sólo si ϕ es conex. Este tipo de copl se llm Arqimedin y l fnción ϕ se conoce como el generdor de copl. Sigiendo este procedimiento se hn credo mchos tipos de cópls qe formn prte de l fmili de cópls Arqimedins cys propieddes resltn my interesntes en s plicbilidd l sector segrdor. A continción se presentn ls cópls Arqimedins tilizds en el presente estdio: Cópl de Frnk: L fnción de distribción pr l cópl de Frnk es: C ln + (, = ( e )( e ) e Si hcemos g = z z e, l derid de l cópl respecto de l componente reslt: C = C (, = g g g g + g + g y l fnción de densidd: c(, = g + g + 2 ( g + ) g g 26

13 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte El coeficiente de correlción de Kendll, en fnción de s prámetro, se define como: τ 4 4 ( ) = + 2 t 0 e t dt Cópl de Gmbel: L fnción de distribción pr l cópl de Gmbel es: { [( ln) + ( ln ] } C (, = exp L fnción derid de l cópl respecto de l componente es: C C = y l densidd, c(, = C + ( + ) ( = C(, [( ln) + ( ln ], + ( ln) (, [( ln) + ( ln ] [ ln ln] [( ln) + ( ln ] El coeficiente de correlción de Kendll, en fnción de s prámetro, se define como: τ ( ) = Cópl de Clyton: L fnción de distribción pr l cópl de Clyton es: ( ) + C (, = L fnción derid de l cópl respecto de l componente es: 27

14 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos ( ), + = = C C y l densidd, ( ) ( ) 2 ) ( ), ( + + = c El coeficiente de correlción de Kendll, en fnción de s prámetro, se define como: ( ) 2 = + τ Cópl HRT: Est cópl no pertenece l fmili de cópls Arqimedins pero pede definirse como l cópl de sperienci (sril copl) de l cópl de Clyton. L expresión de l fnción de distribción pr l cópl HRT es: [ ] C = ) ( ) ( ), ( L fnción derid de l cópl HRT respecto de l componente, reslt: ( ) C C ) ( ) ( ) (, + = = y l densidd de l cópl es: [ ] [ ] c 2 ) )( ( ) ( ) ( ), ( + + = El coeficiente de correlción de Kendll, en fnción de s prámetro, es el mismo qe pr l cópl de Clyton.

15 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte 4. Elección de l cópl birinte óptim y de ls distribciones mrginles plicbles l sector segrdor En los últimos ños, el método más tilizdo pr considerr ls relciones de dependenci existentes entre los diferentes tipos de riesgo l hor de clclr el precio de n determindo segro, h sido l plicción de l teorí de cópls. Un cópl describe l estrctr de dependenci de n rible letori mltirinte (birinte en nestro cso), demás de permitir l trnsformción de ls ribles letoris, trés de s distribción cmld, en ribles niformemente distribids. Ls cópls resltn, por tnto, n mgnífico instrmento pr simlr ribles letoris con distribciones mrginles dds, prtir de l simlción de ribles niformes con estrctrs de correlciones determinds. De est form, l relción de dependenci entre ls ribles nlizds, l determinrán ls relciones qe se estblezcn entre ls distribciones niformes simlds. El proceso de selección de l cópl y distribciones mrginles qe mejor se jstn l relidd ctril qe qeremos representr, se inici con l obtención de n serie de dtos de cntís siniestrles. Ests cntís peden ser reles o simlds (por ejemplo, trés del método de Monte Crlo) en fnción del niel de informción disponible pr el decisor. Pr l relizción del presente rtíclo, dichs series de dtos X = { x i } e Y = { y i }, con i=,2,...n, se h obtenido por simlción medinte el método de Monte Crlo y se corresponden con los dtos históricos de cntís siniestrles pr dos rmos de segros X e Y (se h de tener en cent qe, en l relidd empresril, l generción de estos dtos no serí necesri y qe ls empress disponen de dtos históricos reles pr el proceso de fijción de l prim). A prtir de l generción de estos dtos, los psos segir pr ller cbo el proceso de selección considerdo se enmern continción (Ris, Cest., 2005): 29

16 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos.... En primer lgr se trnsformn los dtos siniestrles X e Y en, U = dtos niformemente distribidos entre [ 0 ], U y V, siendo { i } y V = { }, con i=,2,...n, medinte l plicción de l fnción i empíric dd por: ( ) = n F x n + n i { x, x} crd = i= n { x < x} i + 2. Segidmente se estim el prámetro de l cópl plicndo el método de máxim erosimilitd: ˆ = rg mx n i= ln c(, ; ) donde c es l fnción de densidd de l cópl y â es el prámetro de l cópl estimdo. 3. Se seleccion el conjnto de fnciones de distribción mrginles qe se qieren elr y se estimn los prámetros de cd n de ells por máxim erosimilitd. 4. L elección de l distribción mrginl qe mejor se jst cd serie de dtos tilizd, se reliz plicndo lgnos de los criterios de selección de modelos tles como el criterio Akike Informtion (AIC) o el criterio Hnnn-Qinn Informtion (HQ). 5. A prtir de l cópl y de ls distribciones mrginles seleccionds preimente, se constrye l ne fnción de distribción y se estimn de neo ss prámetros tilizndo el método de máxim erosimilitd. 6. Finlmente se erific l clidd del jste medinte l plicción de n test de bondd como el de l χ 2. L plicción l sector segrdor de este proceso de selección de l cópl óptim permite extrer ls sigientes conclsiones (er Joe, 200 y Lei, 200): i i 30

17 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte - En el sector segrdor es más útil nlizr l dependenci entre los grndes siniestros qe entre los peqeños. Tl simetrí se lor de form mcho más precis trés de l fmili de cópls Arqimedins. - Dentro de est fmili, l cópl de Frnk no es plicble priori l sector segrdor, debido qe, como se obser en los gráficos socidos, l distribción de los dtos es simétric entre los pntos ( 0,0) y (,), y por tnto consider l mism estrctr de dependenci entre los siniestros de bj cntí qe entre los grndes siniestros. - L cópl de Clyton, present n importnte concentrción de pntos entorno l ( 0,0) lo qe signific qe tiende correlcionr los peqeños siniestros y no los grndes siniestros. Est cópl es n de ls qe pede tilizrse en el estdio de ls cntís siniestrles, pero será o no propid en fnción del tipo de siniestros qe se estén considerndo. No serirá, por tnto, pr modelr cntís socids l ocrrenci de grndes siniestros. - L cópl HRT y l Gmbel, peden dmitirse en el estdio de ls distribciones de ls reclmciones de siniestros ctstróficos, y qe los pntos en l representción gráfic mestrn n simetrí decd de los dtos siniestrles, tnto en los grndes siniestros como en los peqeños. Pr l cópl HRT, l concentrción de pntos cerc de (,) es l más importnte de tods ls cópls nlizds en est sección. Con est estrctr de dependenci, los grndes siniestros presentrán n tendenci ocrrir l mismo tiempo. 3

18 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... Representción de los pres (, distribidos según n cópl de Frnk Representción de los pres (, distribidos según n cópl de Gmbel Representción de los pres (, distribidos según n cópl de Clyton Representción de los pres (, distribidos según n cópl HRT Gráfico 2: Representción de ls cópls Arqimedins y HRT Ests conclsiones deben reforzrse con n nálisis empírico, desrrolldo en l sección 6 continción, pero seleccionr l cópl óptim permite cercrnos l determinción ftr del precio del segro, cndo los riesgos nlizdos son dependientes y están socidos n mismo eento o fenómeno de ntrlez. En clqier cso, se h de tener en cent qe l elección de l cópl óptim dependerá de ls relciones de dependenci qe mestren los dtos mestrles nlizdos. En cnto ls distribciones mrginles qe mejor se dptn ls cntís siniestrles nlizds, en este trbjo no se reliz n 32

19 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte selección de ls misms sino qe se trbj con n serie de distribciones típicmente de col lrg, y por tnto trdicionlmente tilizds en l modelción de grndes cntís siniestrles. Dichs distribciones se combinn con ls cópls Arqimedins seleccionds y se estdin tods ls combinciones de cópls y mrginles qe dn lgr los mejores resltdos de prim de resegro del CAT-Bond nlizdo. 5. Proceso de simlción de ls cntís siniestrles y método generl de cálclo de l prim de clqier prodcto de segro (resegro) En los últimos ños, l teorí de cópls se h tilizdo pr fijr l prim de los prodctos de segro y resegro trdicionles (Lei, 200). En este rtíclo s plicción se extiende los bonos sobre ctástrofes o CAT Bonds pertenecientes los denomindos prodctos de Trnsferenci Alternti de Riesgos (o prodctos ART) nqe podrí extenderse clqier otro prodcto de est fmili como se pone de mnifiesto en Blm et l Por est rzón, continción se present el método generl de cálclo de l prim de n prodcto ART pr dos rmos de segros, prtir de ls cópls y distribciones mrginles seleccionds sigiendo el proceso descrito en el epígrfe 3:. Se genern dos series de dtos niformemente distribidos U = { i } y P = { p i }. 2. Se obtiene l serie de dtos V = { i } prtir de U y P y de l cópl selecciond (Lei, 200). L generción de los pres (, de U y V se obtiene fácilmente teniendo en cent l distribción condiciond de l cópl y sigiendo los psos qe se detlln continción: - Se gener el ector letorio niformemente distribido. 33

20 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... - A continción, se clcl l fnción psedo-iners de c () qe dependerá de los prámetros de l cópl y del ector letorio. - Finlmente, se clcl el segndo ector letorio,, como: = c ( p) donde c es l derid prcil de l cópl respecto de. 3. Se obtienen ls cntís siniestrles { } x i los dtos niformemente distribidos { } i X = e { y i } U = y { } Y = prtir de V = y de ls fnciones de distribción mrginles y l cópl selecciond (Lei, 200). 4. Se seleccion el prodcto ART decdo ls necesiddes de l compñí 5. Se clcl l prim del prodcto ART selecciondo en fnción de ls cntís siniestrles X = { x i } e Y = { y i } sí como de ls condiciones prticlres del contrto nlizdo: retención, excedente, límite gregdo, etc. Pr ller cdo l simlción de ls cntís siniestrles y s posterior elción, el proceso segir es el sigiente: - El objetio de est simlción es generr n prej de ribles x, teniendo en cent ls leyes mrginles letoris ( ) i y i elegids, y cy estrctr de dependenci iene dd por el tipo de cópl selecciond. En el presente trbjo ls cópls considerds pr s plicción hn sido ls cópls Arqimedins (Gmbel, Frnk y Clyton) y l cópl HRT. Est últim se h inclido en el modelo por dos rzones fndmentles: en primer lgr porqe se obser qe l concentrción de pntos en s representción gráfic teóric, es de plicción decd pr el sector segrdor, en especil pr riesgos ctstróficos y en segndo lgr por ser l sril copl de l Cópl Clyton. En cnto ls distribciones mrginles, se hn tilizdo pr el i 34

21 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte nálisis ls distribciones Exponencil, Log-Norml, Preto, Logístic y Pr-Logístic. - Pr obtener l prej de ribles letoris ( x i, y i ) en primer lgr se simln dos ribles letoris independientes y 0,. Ls relizciones de ests niformemente distribids entre [ ] rible se simbolizn como i y p i. - A continción, prtir de los lores nteriormente simldos, se determin el lor de l rible i. - Y finlmente, con los lores de ( i, i ) se obtienen ls relizciones del ector letorio ( x i, y i ) como sige: x y i i = F = F ( ) xi ( ) yi ( ) i ( ) i Ls cntís siniestrles ftrs ( x i, y i ) de los rmos de segros X e Y, se hn obtenido plicndo el Corolrio del Teorem de Sklr qe permite, tilizndo l fnción iners, clclr los lores (, distribidos niformemente entre [ 0,] y finlmente, prtir de (, generr ls cntís siniestrles pr ser introdcids en el proceso de fijción de prim del prodcto segrdor considerdo. 6. Cálclo del precio de resegro (prim de emisión) de n Bono sobre Ctástrofes plicndo l Teorí de Cópls Pr clclr l prim de resegro o precio de emisión de n bono sobre ctástrofes es necesri l nión entre el mndo ctril y l lorción de los ctios finncieros en el mercdo de cpitles. Como pone de mnifiesto l litertr científic sobre el tem (Froot, et l y Pérez-Frctoso, 2005), ls pérdids socids este tipo de bonos no están correlcionds con los cmbios qe se prodcen en 35

22 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... l economí o en los mercdos finncieros y por tnto son bet cero ( β = 0 ) respecto ls pérdids qe se prodcen en n crter de inersión formd prodctos finncieros trdicionles. Derido de ello, y prtir de l teorí del CAPM, este tipo de deridos no deberín inclir en l determinción de s precio ningn prim de riesgo. Es eidente qe este enfoqe no sire pr explicr qellos csos en los qe debe inclirse n prim de riesgo por ls crcterístics especiles del prodcto nlizdo. En concreto, pr Embrechts (2003 y 2005) l correlción linel socid l coeficiente β, no es sficiente pr explicr l correlción de los lores extremos, como los qe se prodcen en scesos de ntrlez ctstrófic, socidos l fnción de distribción de los siniestros. Los prodctos de trnsferenci lternti de riesgos, dentro de los qe se inclyen los CAT Bonds, se diseñn pr cbrir scesos rros o extremos de l distribción conjnt de los fctores de riesgo. En este sentido, l plicción de l teorí de cópls reslt eidente en los bonos sobre ctástrofes y qe son prodctos qe cbren múltiples línes de segros. Expests ests considerciones, plicmos l teorí de cópls n modelo sencillo de determinción de l prim de resegro de n CAT Bond, considerndo el hecho de qe ls crcterístics específics del contrto rel exigirán relizr ls inclsiones en el modelo qe en cd cso sen oportns, con el objetio de stisfcer ls necesiddes de l cedente. Esto implic qe en l práctic segrdor, el nlist pede encontrrse con cobertrs qe reqiern n implementción más complej del modelo qí presentdo. 6.. Modelo y lgoritmo de simlción pr n Bono sobre Ctástrofes Uno de los enfoqes más reciente pr ller cbo l trificción de prodctos de trnsferenci lternti de riesgos en el denomindo método de inersión eqilente (Kreps et l., 2002). 36

23 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte El modelo de inersión eqilente se poy en el hecho de qe el mercdo segrdor (resegrdor) es my trdicionl, por lo qe clqier compñí qe opere en dicho mercdo preferirá contrtr n póliz de resegro, qe le permit grntizr l cobertr de s exceso de siniestrlidd y por tnto s solenci y estbilidd corto plzo, ntes de signr los mismos fondos n instrmento de cobertr lterntio. Por est rzón, el método de inersión eqilente tiene como objetio considerr l posibilidd de sscribir n contrto de resegro tilizndo el mismo rzonmiento qe en el cso de n inersión rriesgd en ctios de los mercdos finncieros. Pr ller cbo el desrrollo de dicho enfoqe se hn de tener en cent los criterios de inersión, l distribción de pérdids y l ersión l riesgo del resegrdor. Como el resegrdor prefiere sscribir n contrto de resegro ntes qe signr los mismos fondos n inersión trdicionl, ls lterntis finnciers disponibles en los mercdos de cpitl deberán tener n rentbilidd esperd y n oltilidd eqilentes ls de n contrto de resegro pr qe el resegrdor cepte prticipr en l cobertr trés de ells. Además, y como prección, el resegrdor mntendrá fondos sficientes pr grntizr los pgos contrtdos en el cerdo de resegro con n determindo niel de probbilidd pr eitr n sitción de rin de l compñí. A prtir de ests considerciones, l prim totl de resegro pgd por l cedente, P, expres el lor ctl de los pgos por pérdids esperdos más n crg de riesgo dicionl, EL P = R + ( + f ) Est fórml reflej ls gnncis del resegrdor en el momento inicil del contrto, donde EL es l pérdid esperd, f el tipo de interés libre de riesgo y R l crg de riesgo. A cmbio, el resegrdor constitye n fondo de segridd con el dinero recibido de l cedente más n excedente estblecido por él, y lo inierte completmente en ctios libres de riesgo. Este fondo se 37

24 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... represent como F = P + A, siendo A el excedente inertido y F l cntí totl destind l fondo. Es eidente qe, en términos netos, en el momento cero el resegrdor experiment n slid de excedente de igl A. A prtir de est definición del modelo, los psos relizdos pr ller cbo l simlción del precio de emisión (prim de resegro) del bono sobre ctástrofes hn sido los sigientes: Se consider qe l drción del bono ctstrófico emitido es nl y drnte ese periodo de riesgo se h de prodcir l ctástrofe cbiert con l trnscción (Ris et l., 2005). L emisión del bono se reliz pr cbrir ls pérdids por ctástrofes qe se prodcen en dos rmos de segros. Ls cntís de dichs pérdids en los dos rmos considerdos X e Y, se simln trés del método de MonteCrlo, teniendo en cent ls fnciones de distribción mrginles y cópl elegids como se h indicdo en el proceso generl descrito. L operción se reliz sobre l bse de n resegro cot prte 30/70 de form qe el bono se tiliz pr cbrir l cot del 70% de l sscripción totl qe crgo del resegrdor. El 30% restnte lo sme l segrdor, sin necesidd de contrtr cobertr dicionl. Ls pérdids totles se obtienen smndo ls cntís siniestrles X e Y socids mbs línes de negocios. A prtir ests pérdids totles, ls pérdids esperds, EL, se clcln como: EL = L Número Simlciones Como ribles predeterminds (ribles de entrd en el progrm) se considern R l crg de riesgo, definid como n 38

25 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte porcentje de l pérdid esperd, f l rentbilidd del ctio libre de riesgo, A n excedente estblecido por el resegro y LR el límite de resegro constnte. Los lores signdos ests ribles predeterminds son los sigientes: - R = 3% - f = 0% - A = LR = Con estos dtos, l prim totl de resegro y por tnto el precio EL de emisión del bono, P, se obtiene como P = R + + f ( ) Finlmente, se determin el fondo de resegro, F, smndo l prim de emisión y el excedente de resegro, F = P + A. Este fondo se tiliz pr obtener el lor neto de resegro cy expresión es NR = F( + f ) L Resltdos En el cdro resmen continción se mestrn los lores de l prim obtenidos pr ls distints combinciones de cópls Arqimedins y distribciones mrginles nlizds: 39

26 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... CUADRO : Resmen Prims de Emisión de n CAT-Bond X Y Prim Gmbel Prim HRT Prim Frnk Prim Clyton Prim Sin Cópls Pr-Logístic Pr-Logístic , , , , ,55 Logístic Pr-Logístic , , , , ,74 Preto Pr-Logístic , , , , Log-Norml Pr-Logístic , , , , ,97 Exponencil Pr-Logístic , , , , ,8 Pr-Logístic Logístic , , , , ,74 Logístic Logístic 96.5, , , , ,92 Preto Logístic , , , , Log-Norml Logístic , , , , ,6 Exponencil Logístic , , , , ,37 Pr-Logístic Preto , , , , Logístic Preto , , , , Preto Preto , , , , Log-Norml Preto , , , , Exponencil Preto , , , , Pr-Logístic Log-Norml , , , , ,97 Logístic Log-Norml , , , , ,6 Preto Log-Norml , , , , Log-Norml Log-Norml , , , , ,39 Exponencil Log-Norml , , , , ,60 Pr-Logístic Exponencil , , , , ,8 Logístic Exponencil , , , , ,37 Preto Exponencil , , , , Log-Norml Exponencil , , , , ,60 Exponencil Exponencil , , , , ,8 Obserndo los resltdos deridos de l simlción se desprenden ls sigientes conclsiones: l plicción de l teorí de cópls pr clclr l prim de emisión de n bono sobre ctástrofe redce el precio de dich emisión respecto l clcldo sin considerr ls estrctrs de dependenci existentes entre los riesgos qe interienen en el CAT Bond en 43 de los 00 csos nlizdos distribidos de l sigiente form: csos de los 25 posibles pr l cópl de Gmbel, 0 csos de los 25 posibles pr l cópl HRT, 3 csos de los 25 posibles pr l cópl de Frnk y 9 csos de los 25 posibles pr l cópl de Clyton. A pesr de qe los lores de prim más redcidos se obtienen l considerr ls relciones de dependenci trés de l 40

27 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte cópl de Frnk combind con ls distribciones mrginles Logístic-Pr-Logístic, Logístic-Logístic y Preto-Preto, estos resltdos no son relentes y qe l cópl de Frnk no es plicble priori l sector segrdor ctstrófico, l considerr el mismo grdo de dependenci entre los siniestros peqeños y grndes. Est conclsión se referz con los lores obtenidos l clclr el coeficiente de correlción de Kendll (er cdro 2). Por otr prte, l cópl de Clyton tmpoco es plicble los siniestros ctstróficos, objeto de nálisis, lo qe se reflej en ns prims my speriores ls obtenids considerndo clqier de ls otrs cópls nlizds. Respecto ls prims resltntes de plicr ls cópls de Gmbel y HRT, definids, desde n pnto de ist teórico, como ls cópls óptims pr s plicción ls reclmciones ctstrófics considerds, los lores más brtos se obtienen l tilizr l cópl de Gmbel, en concreto, pr ls distribciones mrginles, pr los rmos X e Y respectimente, Pr-Logístic-Pr-Logístic (75.626,52 ), Logístic-Logístic (96.5,23 ), Preto-Preto (22.796,32 ). L cópl HRT rebj l prim respecto l cálclo sin cópls en n 40% de los csos nlizdos pero en menor proporción qe en el cso de l cópl de Gmbel. Pr l cópl HRT los menores lores de prim se obtienen con ls combinciones Logístic-Logístic ( ,68 ), Preto-Preto ( ,6 ), Exponencil-Exponencil ( ,02 ). CUADRO 2: Coeficiente de Correlción de Kendll Mrginl X Mrginl Y Gmbel HRT Frnk Clyton Prlogístic Prlogístic 0, , , , Logístic Prlogístic 0,3676 0, , , Preto Prlogístic 0,3676 0, , , Log-Norml Prlogístic 0, , , , Exponencil Prlogístic 0, , , , Prlogístic Logístic 0,3676 0, , , Logístic Logístic 0, , , , Preto Logístic 0,3676 0, , , Log-Norml Logístic 0, , , , Exponencil Logístic 0, , , , Prlogístic Preto 0,3676 0, , , Logístic Preto 0,3676 0, , , Preto Preto 0, , , ,

28 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... Log-Norml Preto 0, , , , Exponencil Preto 0, , , , Prlogístic Log-Norml 0, , , , Logístic Log-Norml 0, , , , Preto Log-Norml 0, , , , Log-Norml Log-Norml 0, , , Exponencil Log-Norml 0, , , , Prlogístic Exponencil 0, , , , Logístic Exponencil 0, , , , Preto Exponencil 0, , , , Log-Norml Exponencil 0, , , , Exponencil Exponencil 0, , , , Anlizndo el coeficiente de correlción de Kendll socido ls combinciones de cópls y mrginles qe dn el menor lor pr el precio del CAT Bond, reslt qe pr l cópl de Gmbel, los coeficientes socidos los pres de distribciones selecciondos, Pr-Logístic-Pr-Logístic (0, ), Logístic-Logístic (0,569627), Preto-Preto (0,569627), son los más eledos (cercnos l nidd) pr tods ls posibles combinciones de mrginles. Además pr ests combinciones, el lor del prámetro de l cópl, â, estimdo medinte el método de máximerosimilitd es, , 2, y 2, respectimente. En l cópl HRT, y pr ls distribciones mrginles seleccionds, los lores de l τ-kendll tmbién resltn positios (Logístic-Logístic: 0, , Preto-Preto: 0, y Exponencil-Exponencil: 0,325935). Pr l cópl de Frnk los coeficientes de correlción no linel socidos ls mrginles qe dn lgr l menor precio de emisión, Pr-Logístic- Pr-Logístic (-0,788402), Pr-Logístic-Preto (-0, ), Logístic-Preto (-0, ) y Preto-Preto (-0, ), son en todos los csos negtios. Esto es n mestr dicionl de qe dich cópl no es plicble los dtos ctstróficos nlizdos y qe no recoge correctmente ls relciones de dependenci entre los mismos. A prtir del nálisis de los resltdos obtenidos, y teniendo en cent l prticlridd de los dtos simldos, podemos conclir qe l cópl de Gmbel es l más decd pr clclr l prim de 42

29 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte emisión del bono ctstrófico tilizdo en el ejemplo, porqe ofrece n grdo de concentrción de pntos, o n estrctr de dependenci entre fctores de riesgo decd ls necesiddes de est tipologí de siniestros crcterizdos por tener bj frecenci de ocrrenci y eled intensidd de siniestrlidd. Además pr est cópl se obtienen los lores de prim más bjos. En el cdro continción se mestrn los resltdos de tods ls ribles qe interienen en el proceso de fijción del precio del CAT Bond, pr l cópl de Gmbel selecciond. 43

30 CUADRO 3: Simlción Emisión Totl del CAT-Bond tilizndo l Cópl de Gmbel X Y EL R% Fondo EL ctlizds Prim NR LR ROL Prlogístic Prlogístic 87.07, , , , , ,97 0, ,03375 Logístic Prlogístic , , , , , ,42 0, ,37505 Preto Prlogístic , , , , , ,39 0, ,66008 Log-Norml Prlogístic , , , , , ,2 0, ,269 Exponencil Prlogístic , , , , , ,98 0, ,38999 Prlogístic Logístic.5.873, , , , , ,4 0, ,88439 Logístic Logístic , , , , , ,75 0, ,00959 Preto Logístic , , , , , ,85 0, ,97735 Log-Norml Logístic , , , , , ,63 0, ,3773 Exponencil Logístic , , , , , ,45 0, ,760 Prlogístic Preto , , , , , ,6 0, ,2630 Logístic Preto , , , , , ,37 0, ,77006 Preto Preto 236.8, , , , , ,85 0, ,05937 Log-Norml Preto , , , , , ,67 0, ,0884 Exponencil Preto , , , , , ,7 0, ,3987 Prlogístic Log-Norml , , , , , ,23 0, ,6925 Logístic Log-Norml , , , , , ,92 0, ,296 Preto Log-Norml , , , , , ,07 0, ,6828 Log-Norml Log-Norml , , , , , ,43 0, ,4524 Exponencil Log-Norml , , , , , ,54 0, ,27854 Prlogístic Exponencil , , , , , ,52 0, ,3260 Logístic Exponencil , , , , , ,83 0, ,9585 Preto Exponencil , , , , , ,68 0, ,4409 Log-Norml Exponencil , , , , ,78 0, ,47856 Exponencil Exponencil , , , , , ,62 0, ,499 5

31 Mª Victori Ris López, Mrí José Pérez Frctoso y Alfredo Cest Infnte Respecto ests ribles cbe mencionr qe es básico estimr de form decd el lor del excedente de resegro, A, qe de lgr n neto de resegro, NR, positio, lo qe spone n beneficio pr el resegrdor. Pr l cópl Gmbel y ss distribciones mrginles seleccionds, el lor del neto de resegro, pr n excedente de , es positio en ls combinciones Pr-Logístic-Pr- Logístic ,97 y Logístic-Logístic ,75. En estos csos, tnto segrdo como resegrdor slen beneficidos y qe el primero de ellos pg l prim más brt y el segndo obtiene el myor beneficio neto. Pr l combinción Preto-Preto el neto de resegro es ,85, lo qe signific qe en este cso sólo se benefici el segrdo (compñí de segros), qe pg menor prim, nqe el segrdor (resegrdor) tiene n pérdid como consecenci de ller cbo dich emisión. 8. Conclsiones El trtmiento de riesgos dependientes socidos los prodctos de trnsferenci lternti de riesgos (ART), necesit s propi fnción de distribción conjnt qe refleje n determind sitción de correlción no linel entre fctores de riesgo. Medinte l plicción de l Teorí de Cópls es posible nzr en este sentido, con el objetio de ller cbo n determinción ftr del precio tnto de los prodctos de segro y resegro trdicionles como de los prodctos de trnsferenci lternti de riesgos como los qe qí se nlizn. Además, por medio de est teorí, se pede estblecer n relción entre ls distribciones mrginles de los distintos rmos de negocios correlciondos y l fnción de distribción mltirinte conjnt. En lo referente l conenienci de tilizr l teorí de cópls en el sector segrdor, dependerá de ls crcterístics de los rmos o fctores de riesgo qe compongn el prodcto segrdor considerdo. Desde el pnto de ist teórico, si son riesgos dependientes, l plicción es clr. En este trbjo hemos tilizdo ls cópls pr medir el impcto de l ocrrenci de ctástrofes ntrles sobre dos rmos de segros fectdos por este tipo de riesgo (por ejemplo, los rmos de dños y responsbilidd ciil) y clclr, prtir de este nálisis, el precio de 45

32 Aplicción de l teorí de cópls l cálclo de l prim de emisión de los bonos... resegro o prim de emisión de n Bono Ctstrófico. El estdio se h centrdo en l fmili de cópls Arqimedins por ser ls qe mejor representn l relidd del sector segrdor y dentro de ells hemos nlizdo los efectos de plicr ctro tipos de cópls: Frnk, Clyton, Gmbel y HRT. Los resltdos obtenidos eidencin qe l cópl qe mejor represent el fenómeno considerdo es l cópl de Gmbel, l cl trdce correctmente el hecho de qe ls grndes ctástrofes sponen cntís siniestrles eleds en dos rmos de segros dependientes. L cópl HRT, definid como l sril copl de l cópl de Clyton, tmbién es decd pr modelr el fenómeno ctstrófico nlizdo pero, en nestro cso, los lores obtenidos pr el precio de emisión del bono resltn speriores los qe ofrece l cópl de Gmbel. Ls cópls de Frnk y de Clyton no siren pr ser plicds en nestro ejemplo porqe mestrn ls relciones de dependenci entre siniestros trdicionles de bj intensidd y eled frecenci qe no son objeto de cobertr por los bonos considerdos. Finlmente hy qe destcr qe el lor del prámetro qe prece en l fnción cópl mltirible mestr el grdo de correlción no linel según los dtos mestrles determindos. En el presente trbjo, el lor del citdo prámetro, se h obtenido plicndo el método de máxim erosimilitd con el objetio de obtener estimciones eficientes y consistentes. Todos los cálclos desrrolldos en el rtíclo se hn relizdo medinte n toolbox pr Mtlb qe integr todo el proceso: elección de cópl y mrginles, simlción de escenrios y cálclo de prims. De este modo l complejidd mtemátic y lgorítmic qedn en n segndo plno, ejectándose de modo inisible, mientrs qe el srio de l plicción simplemente debe hcer peticiones l ordendor en form de comndos o trés de n interfz gráfico. BIBLIOGRAFÍA. Blm, P., A. Dis y P. Embrechts (2002). The ART of dependence modelling: the ltest dnces in correltion nlysis en Alterntie Risk Strtegies. Ed. Morton Lne. Risk Books. London Cherbini, U. (2004). Copl methods in finnce. John Wiley & Sons, Ltd. EE.UU. 46