Guía para el estudio de la segunda Unidad. Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo

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1 Guía para el estudio de la segunda Unidad didáctica Dr. Víctor Hernández Dr. Jorge Martín Dr. José Antonio Carrillo 18 de marzo de 2011

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3 Índice general Donald Erwin Knuth 5 Recomendaciones para el estudio 7 Ejercicios de la segunda unidad didáctica 9 Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio

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5 Donald Erwin Knuth Ciencia es aquello que comprendemos lo bastante bien como para explicarlo al computador, todo lo demás es Arte. DONALD E. KNUTH, prólogo de A = B, de PETKOVSEK, WILF y ZEILBERGER) Donald Erwin Knuth, nació en Milwaukee, Wisconsin, (USA) en Estudió en el Case Institute of Technology, donde cambió su orientación hacia la música por las matemáticas. Allí tuvo su primer encuentro con los computadores: un IBM 650, era el año 1956, un año antes de descubrir a las chicas, como él mismo confiesa. Se doctoró en matemáticas en el Instituto tecnológico de California. En 1968 se incorporó a la universidad de Stanford como profesor de Ciencia de los computadores. Como profesor universitario introdujo nuevos cursos en el currículo como Estructura de datos y Matemática concreta. En 1993 fue nombrado profesor emérito de El Arte de programar computadores, en honor a su gran obra. Ha sido pionero en la investigación en compiladores, gramática de atributos y algoritmos pero, sobre todas las cosas, es un hombre que busca lo perfecto. Quedó tan insatisfecho de la primera edición del volumen I de The Art of Computer Programming, que interrumpió su trabajo y dedicó diez años a crear un lenguaje de programación que permitiera publicar textos, en particular textos de matemáticas, con la máxima calidad tipográfica. Así, nació TEX, el lenguaje para publicar textos hermosos. Sus trabajos sobre tipografía digital le han llevado a desarrollar dos lenguajes para la documentación estructurada de programas y un método que denomina programación literaria. Los lenguajes WEB y CWEB facilitan escribir programas que se puedan leer. Se trata de combinar dos lenguajes, uno para la documentación y otro para la programación, creando simultáneamente dos rutinas diferentes, una para los humanos y otra para las máquinas. Desde 1968 ha sido profesor de la Universidad de Stanford, donde ha creado nuevos títulos del curriculum en matemáticas, como su Matemática concreta. Su gran obra es The Art of Computer Programming, de la que lleva publicados tres volúmenes y parte del cuarto y en la que sigue trabajando activamente. Es una referencia indispensable en computación y algoritmos. Para hacerse una idea del enorme trabajo que supone basta leer sus documentadas introducciones históricas. Cuando KNUTH estudia un problema lo hace en todas las direcciones y en todos los sentidos. Ha publicado 17 libros y alrededor de 150 artículos, que incluyen algunos sobre los algoritmos de la matemática babilonia, la Biblia o la historia de la letra S.

6 6 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso Nota: Todas las referencias al libro, páginas, apartados, ejemplos, etc., lo son a la primera edición de Modelos probabilísticos y Optimización. Ediciones académicas. Madrid En cada ejercicio se señalan los apartados que hay que estudiar previamente.

7 Recomendaciones para el estudio Como si de una fuga musical se tratara, esta unidad didáctica trata exactamente los mismos problemas que la anterior en una clave distinta: la de los puntos elegidos aleatoriamente en el continuo. Si has estudiado a fondo la primera unidad, ahora recibirás tu premio porque todos los conceptos te resultarán familiares y solo tendrás que adaptarlos a las herramientas matemáticas de continuo, cosa que es bastante inmediata y en la que trataremos de ayudarte; si no has dedicado el tiempo debido al estudio de la primera unidad, estás construyendo sobre arena. Esta segunda Unidad sólo añade dos conceptos nuevos y son los de función de densidad y función de distribución; como se relata en el texto, la intuición del concepto de densidad de masa es clave para comprender la idea de densidad de probabilidad; el apartado merece una lectura tranquila y detallada, ya que permite alcanzar una buena comprensión del modo en que se salva la dificultad de extender la noción de probabilidad al continuo de los reales; de nuevo insistimos que invertir tiempo en cimentar ideas básicas es ganar tiempo ya que tarde o temprano recibimos el rendimiento. Estudiar con detalle los ejemplos 2.1 y 2.2 te ayudará. El apartado es crucial, ya que la función de densidad es la herramienta clave de esta clase de modelos; no te preocupes por el cálculo integral, todos los ejemplos y ejercicios que resolvamos tratan funciones muy sencillas o distribuciones cuyos valores están tabulados. El apartado ayuda a pulir la intuición de densidad de probabilidad. Estudia con atención los apartados y y repite los cálculos que están en el texto. De los apartados de la sección 2.2 debes leer el y y estudiar con atención el y 2.2.4; tras el estudio tienes que ser capaz de calcular probabilidades en la distribución normal; estudia con detalle el ejemplo 2.5. Estudia el apartado 2.3 de la siguiente manera, son fundamentales los puntos 2.6 y 2.7, donde se define la función de distribución (2.6) y se enumeran las propiedades características (2.7). Estudia los apartados y como si de dos ejemplos se tratara. Otro resultado esencial es el 2.8 que nos permite saber cuando una función de distribución tiene función de densidad. La función de distribución proporciona la herramienta más elemental para calcular la distribución de una función de una variable aleatoria, el procedimiento general se explica en y el apartado muestra el cálculo de la distribución de una función lineal como aplicación del método anterior. Lo más importante de la sección 2.4 son los conceptos: densidad conjunta, marginal y condicionada, independencia de variables y momentos; todos ellos son una repetición de los estudiados en la primera Unidad, tan sólo puede resultar nueva la herramienta matemática

8 8 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso en particular cómo poner límites a las integrales iteradas para aplicar el teorema de Fubini, con unos pocos ejemplos lo dominarás pronto. Nuestro consejo es que leas con mucha atención el apartado donde se explica la idea intuitiva que subyace tras ellos y que estudies detenidamente los ejemplos desde del 2.7 al 2.13.

9 Ejercicios de la segunda unidad didáctica Ejercicio 2.1. [2.1.2][2.1.4][2.1.5] Sea f la función definida por f(x) = { 2(1 x) si 0 x 1 0 si x > 1 ó x < 0 comprobar que cumple las condiciones para ser una función de densidad de probabilidad. Si X es una variable aleatoria cuya función densidad es f, calcular 1. P(X > 0.5). 2. P(0.5 < X < 0.75). 3. P(X > 0.75 X > 0.5). 4. E{X} y σ 2 X. Ejercicio 2.2. [2.1.2][2.1.4][2.1.5] Sea X una variable aleatoria con la función de densidad que se muestra en la figura 2.1. Calcular 1. P(X 1.75) 2. P(X < 1.25 X 1.75) 3. E{X}. Ejercicio 2.3. [2.1.5] Consideremos una variable aleatoria, X, con distribución uniforme en el intervalo ( π,π) y sea Z = senx. Calcular E{Z} y σ 2 Z.

10 10 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso si 1 x 2 f(x) = xln2 0 en otro caso 1 f X (x) Figura 2.1 Ejercicio 2.4. [2.2.4] Consideremos una variable aleatoria Z con distribución N (0, 1); calcular 1. P(Z > 0.6). 2. P(Z > 0.5). 3. P(0.5 < Z 1.5). 4. P( 1 < Z 0.5). 5. P( 0.5 < Z 1.5). Ejercicio 2.5. [2.2.4] 1. Consideremos una variable X que se distribuye según una normal N (2.5,0.5). Para calcular la probabilidad P(2 < X < 3) 2. Si X es una variable aleatoria con distribución normal, N (µ, σ), calcular P(X > µ + σ) Ejercicio 2.6. [2.2.4] 1. Si Z es una variable con distribución normal N (0,1), cuál es el valor z que verifica la condición P(Z > z) = ?

11 Estadística. Segunda unidad didáctica Si Z tiene una distribución normal N (0,1), cuál es el valor z que verifica la condición P(Z z) = ? 3. Si X tiene una distribución normal N (1,2), cuál es el valor a que verifica la condición P( a < X < a) = 0.95? Ejercicio 2.7. [2.3.1][2.3.2] Una variable aleatoria X tiene función de distribución definida por 0 si x < 0 F(x) = x 2 si 0 x < 1 1 si x 1 1. Representar gráficamente F(x). 2. Comprobar que es una función de distribución. 3. Calcular P(0 X 1/4). 4. Tiene función de densidad esta función de distribución? Ejercicio 2.8. [2.3.1][2.3.2] Una variable aleatoria X tiene función de distribución definida por 0 si x < 0 F(x) = x si 0 x < 1/2 3 1 si x 1/2 1. Representar gráficamente F(x). 2. Comprobar que es una función de distribución. 3. Calcular P(0 X 1/4). 4. Tiene función de densidad esta función de distribución? Ejercicio 2.9. [2.4.1][2.4.2][2.4.4] Sea (X,Y) un vector con función de densidad conjunta: { c(x+y) si x+y < 1, x > 0, y > 0 f(x,y) = 0 en otro caso Se pide:

12 12 UNED. I. Informática/I. en Tecnologías de la Información, Curso Calcular la constante c. 2. Hallar las funciones de densidad marginal de X y de Y. 3. Son independientes X e Y? Ejercicio [2.4.1][2.4.3] Sea (X,Y) un vector con función de densidad conjunta: { cx si x > 0, y > 0, x+y < 1 f(x,y) = 0 en otro caso Se pide: 1. Calcular la constante c. 2. Calcular P(X > 0.5). 3. Calcular P(Y > X). 4. Hallar la función de densidad condicionada f(y x). Ejercicio [2.4.2][2.4.3][2.4.5] El valor que toma el vector aleatorio (X,Y) se elige mediante dos sorteos sucesivos. Primero elegimos el valor x de X sorteando un número según la ley de probabilidad uniforme entre 0 y 1 y, luego, elegimos el valor de Y, sorteando un número con función de densidad 1 si x < y < 1 f(y x) = 1 x 0 en otro caso Se pregunta: 1. Hallar la función de densidad conjunta f(x, y). 2. Hallar la función de densidad marginal de Y. 3. Calcular la función de densidad f(x y). Ejercicio [2.4.1][2.4.3][2.4.6][2.4.7] Sea (X,Y) un vector con función de densidad conjunta: { cxy si x > 0, y > 0, x+y < 1 f(x,y) = 0 en otro caso Se pide:

13 Estadística. Segunda unidad didáctica Calcular la constante c. 2. Calcular P(X +Y < 0.5). 3. Calcular σ X,Y.

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