TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

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1 TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 1.- REGLA DE L HôPITAL La regla de L hôpital sirve para resolver indeterminaciones del tipo. Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma indeterminaciones: Esta regla dice:, donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las o Si, en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe y además coincide con el anterior.. Entonces también existe el límite Es decir: Ejemplos: a) Aplico L hôpital 1

2 b) c) d) 2

3 Indeterminación infinito menos infinito En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común denominador. e) Indeterminación cero por infinito La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo: f) 3

4 2.- MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. Definiciones. Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (c,d) si y sólo si Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo (c,d) si y sólo si TEOREMA 1. Sea f una función definida en un intervalo (a,b). Se cumple lo siguiente: Si f (x)>0 (a,b) entonces f es estrictamente creciente en (a,b). Si f (x)<0 (a,b) entonces f es estrictamente decreciente en (a,b). 4

5 y f (x) < 0 f (x) > 0 0 x 0 x 3.-EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Si una función es continua, un máximo relativo es el punto donde la función cambia de ser creciente a ser decreciente y un mínimo relativo es dónde pasa de ser decreciente a ser creciente. Por esto, en las funciones continuas el estudio de los extremos va unido al de la monotonía. Si además las funciones a estudiar son derivables se pueden usar los siguientes resultados: Teorema : Si f tiene un extremo relativo en x=a y existe la derivada en el punto a, entonces ésta tiene que ser cero. (Por lo tanto los puntos que anulan a la primera derivada son los posibles extremos) TEOREMA 2: Sea f una función definida en el intervalo (a,b) y con derivada segunda en (a,b). Si x 0 es un punto de (a,b) en el que la derivada primera es cero. Entonces: Si f (x 0 )>0 f tiene un mínimo relativo en x o. Si f (x 0 )<0 f tiene un máximo relativo en x o. Si no se da ninguno de los dos casos, es decir, la derivada segunda se anula en los puntos candidatos a extremos, calcularemos las derivadas sucesivas hasta encontrar la primera que no se anule. Si es de orden par aplicaremos el teorema 2 y si es de orden impar el teorema 1. 5

6 Los valores en los que se anula la derivada de una función se llaman puntos singulares y son posibles extremos. Pero también serán posibles extremos los puntos en los que no exista derivada. En el siguiente ejemplo tenemos la función valor absoluto de x que no es derivable en x=0 (punto anguloso) y sin embargo tiene un mínimo en x=0 porque la función cambia de ser decreciente a ser creciente. En x= 0 no es derivable (punto anguloso) pero tiene un mínimo. En el siguiente ejemplo vemos una función que no es continua en el punto 2 en el que presenta una discontinuidad evitable. En este punto tiene la función sin embargo un mínimo. 6

7 Estudio de la monotonía y extremos de una función. EJEMPLOS: 1.-Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de f(x) = x 3 3x + 2 Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos: 1. Derivar la función. f '(x) = 3x Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f '(x) = 0. 3x 2 3 = 0 x = -1 x = 1 3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese). 4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. Recordamos que: Si f '(x) > 0 es creciente. Si f '(x) < 0 es decreciente. Del intervalo (, 1) tomamos x = -2, por ejemplo. f '( 2) = 3( 2) 2 3 > 0 Del intervalo ( 1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo. f '(0) = 3(0) 2 3 < 0 Del intervalo (1, ) tomamos x = 2, por ejemplo. f '(2) = 3(2) 2 3 > Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: La función crece en los intervalos: (, 1) U(1, ) La función decrece en el intervalo: ( 1,1) Para hallar los extremos locales de la misma función f(x) = x 3 3x + 2 Aplicando el teorema 2 seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. f '(x) = 3x 2 3 = 0 7

8 x = 1 x = 1. Estos serían los posibles extremos. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si: F ''(x) > 0 Tenemos un mínimo. F ''(x) < 0 Tenemos un máximo. F ''(x) = 6x F ''( 1) = 6 Como da negativo, la función tendrá un máximo en x=-1 F '' (1) = 6 Como da positivo, la función tendrá un mínimo en x=1. 3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. f( 1) = ( 1) 3 3( 1) + 2 = 4 f(1) = (1) 3 3(1) + 2 = 0 Máximo( 1, 4) Mínimo(1, 0) En este ejemplo como la función era continua por ser polinómica, simplemente con el estudio de la monotonía ya se podían deducir los extremos, pero hemos aplicado el teorema 2. 8

9 4.-CURVATURA: CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. Hemos tomado el criterio que se sigue en selectividad, el valle tiene forma CONVEXA y la montaña forma CÓNCAVA. Definiciones. Una función f es cóncava en un intervalo (c,d) si la región que queda por encima de su gráfica en ese intervalo es cóncava. Una función f es convexa en un intervalo (c,d) si la región que queda por encima de su gráfica en ese intervalo es convexa. TEOREMA.- Sea f una función que tiene al menos derivada segunda en un intervalo (a,b). En este caso: Si f (x) < 0 (a,b) entonces f es cóncava en (a,b). Si f (x) > 0 (a,b) entonces f es convexa en (a,b). PUNTOS DE INFLEXIÓN. Definición.- Una función continua f tiene un punto de inflexión en x=a si en este punto la función cambia su curvatura, es decir, pasa de ser cóncava a ser convexa o de ser convexa a ser cóncava. Si f tiene un punto de inflexión en a y además existe la derivada segunda en ese punto a, entonces esta derivada segunda es cero. Para hallar los puntos de inflexión de una función f resolveremos la ecuación f (x)=0 y comprobaremos si la derivada segunda cambia de signo antes y después de cada una de las raíces de la derivada segunda. Si la función tiene derivada tercera también podemos usar el siguiente teorema: TEOREMA. Dada f una función y a un punto en el que f (a)=0 y f (a), entonces f tiene en a un punto de inflexión. Una ampliación del teorema sería: Si f (a)=0 y f (a), a será punto de inflexión de f si la primera derivada no nula en a es de orden impar. 9

10 Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad. Ejemplos: Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función: f(x) = x 3 3x + 2 Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. F ''(x) = 6x 6x = 0 x = Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese). 3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda. Si f ''(x) > 0 es CONVEXA. Si f ''(x) < 0 es CÓNCAVA. Del intervalo (, 0) tomamos x = 1, por ejemplo. F ''( 1) = 6( 1) < 0 CÓNCAVA. Del intervalo (0, ) tomamos x = 1, por ejemplo. F ''(1) = 6 (1) > 0 Convexa. 4. Escribimos los intervalos: La función es convexa en: (0, ) La función es cóncava: (, 0) 10

11 Estudio de los puntos de inflexión. Calcular los puntos de inflexión de: f(x) = x 3 3x + 2 Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos: 1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0. (posible punto de inflexión) 2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si: f'''(x) 0 Tenemos un punto de inflexión. f'''(x) = 6 f (0) Entonces x=0 será un punto de inflexión. 3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión. f(0) = (0) 3 3(0) + 2 = 2 Punto de inflexión: (0, 2) 11

12 6.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Pasos para la resolución de problemas de optimización 1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar. 2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable. 3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable. 4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales. 5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido. Ejemplo De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima. 12

13 La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo: Relacionamos las variables: 2x + 2y = 12 x = 6 y Sustituimos en la función: = = Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces. = y=0 e y=2. Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero. 13

14 Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo. La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilátero. 14